专题07 导数的极值最值（易错培优竞赛精练）-【竞赛】2024-2025学年高二数学竞赛能力培优精练（全国通用）

2025新高考高二导数的极值最值易错培优竞赛试题 【专题目录】 专题一：名校导数的极值最值易错题精选 专题二：名校导数的极值最值培优题精选 专题三：导数的极值最值全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 专题一：名校导数极值最值易错题精选 1．已知对恒成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 3．（多选题）已知函数的导函数为（   ） A．若有三个零点，则 B． C．是的极小值点 D．当时，则 4．（多选题）已知定义在R上的函数的导函数为，且，，则下列命题正确的是（   ） A．只有最大值，没有最小值 B．只有最小值，没有最大值 C．有两个零点 D．只有一个极值点 5．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．存在实数a，使得的图象关于点对称 B．任意的实数a，b，函数恒有两个极值点 C．设为的极值点，则 D．当时，若（其中），则 6．（多选题）对于一般函数，如果存在实数，使得，那么就称函数有不动点，也称是函数的一个不动点.则（    ） A．有1个不动点 B．有2个不动点 C．有3个不动点 D．没有不动点 7．（多选题）函数，向右平移3个单位得到，下列说法正确的是（    ） A．的极小值点为 B．当有两解时， C．若，，则 D．若，那么，且有且仅有一解 8．（多选题）已知函数，的图象是一条连续不断的曲线，设其导数为，函数的图象如下，则下列说法正确的是（   ） A．在处取最大值 B．是的极大值点 C．没有极小值点 D．可能不是导函数的极大值点 9．（多选题）已知（    ） A．当时，是的极大值点 B．当时，的所有零点之和为0 C．直线是的切线 D．存在使在上单调递增 10．（多选题）已知函数，则（   ） A．的定义域是 B．曲线在点处的切线方程是 C． D．有两个不同的解，且 11．（多选题）已知函数，且是的一个极值点，下列说法正确的是（   ） A．实数的值为1或 B．在上单调递增 C．若是的一个极小值点，则当时， D．若是的一个极大值点，则当时， 12．（多选题）函数叫自然指数函数，是一种常见的超越函数，它常与其它函数进行运算产生新的函数.已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数既有极大值，也有极小值 C．方程有个不同的实数解 D．在定义域内，恒有 13．已知函数，，若，则的最小值为 ． 14．若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是 . 15．已知函数存在两个极值点,满足，则实数 . 16．已知函数，的导函数为，且． (1)求的最值； (2)求证：． 17．已知，函数在处取得极值． (1)求a； (2)证明：对任意的m，，都有； (3)若存在实数，使得成立，求k的最小整数值． 18．已知函数. (1)求的单调区间； (2)已知直线是曲线的切线，且对恒成立，求的最大值. 19．已知函数和． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意，恒成立，求的取值范围； (3)若存在，，使得，证明：． 20．已知函数 (1)当时，求函数的极大值； (2)若对任意的，都有成立，求的取值范围； (3)设，对任意的，且，证明：恒成立． 21．十八世纪英国数学家布鲁克•泰勒提出了著名的泰勒公式，该公式利用了多项式函数曲线来逼近任意一个原函数曲线，该公式在近似计算.函数拟合、计算机科学上有着举足轻重的作用.如下列常见函数的阶泰勒展开式为： ， ， ， 其中，读作的阶乘. 这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，比如用计算器计算，得到的值约为，用泰勒展开式前三项计算得到. (1)，，，比较的大小; (2)当时，证明：； (3)设，是否存在区间，使得的定义域为时，值域也为？若存在，求出所有的区间. 22．已知函数. (1)若，求在点处的切线方程； (2)若，当时，，求b的取值范围； (3)若，求a的取值范围. 专题二：名校导数的极值最值培优压轴试题精选 1．三个相似的圆锥的体积分别为，，，侧面积分别为，，，且，，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则下列说法不正确的是（   ）    A．关于直线对称 B．的弦长最大值大于 C．直线被截得弦长的最大值为 D．的面积大于 3．，不等式恒成立，则正实数的最大值是（　 　）． A． B． C． D． 4．“超椭圆”是一种优美的封闭曲线．如图是当，时的图象，点是与轴正半轴的交点，过原点的直线交于点、，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知实数 满足，则 的值为（    ） A． B． C． D．3 6．（多选题）平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度.曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度.如：圆越小，曲率越大；圆越大，曲率越小.定义函数的曲率函数（其中是的导数，是的导数），函数在处的曲率半径为此处曲率的倒数，以下结论正确的是（    ） A．函数在无数个点处的曲率为1 B．函数，则曲线在点与点处的弯曲程度相同 C．函数的曲率半径随着x变大而变大 D．若函数在与处的曲率半径相同，则 7．（多选题）函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，在上是增函数 B．当时，在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 C．在上为减函数，则 D．当时，有且只有一个零点，则 8．（多选题）已知函数的定义域为，区间，若，，则称是在D上的不动点，集合为在D上的不动点集.若函数在R上的不动点集为，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．存在，使得恰有1个零点 B．过曲线上任意一点，均可作两条直线与相切 C．若存在两个极值点，且，则 D．若存在两个极值点，，则 10．（多选题）记函数的零点为，则（    ） A． B． C．当时， D．为函数的极小值点 11．（多选题）设函数，则下面说法正确的是（    ） A．当，时，函数在定义域上仅有一个零点 B．当，时，函数在上单调递增 C．若函数存在极值点，则或 D．若恒成立，则的最小值为 12．（多选题）若函数，则下列说法正确的是（   ） A．在处取得极小值 B．当时，方程有两个不同的实根 C． D．若点在的图象上运动，则点到直线距离的最小值为 13．（多选题）对于函数，则下列结论中正确的有（   ） A．对任意实数，均有零点 B．对任意实数，曲线总存在对称中心 C．存在实数，使得轴是曲线的切线 D．若函数存在极值点为，且，则 14．（多选题）已知函数，其中，且当时，，则（    ） A． B．为的极大值点 C．若关于的方程有3个不同的实数根，则 D．若对任意都有，则 15．（多选题）已知函数，，下列说法正确的是（   ） A．函数存在唯一极值点，且 B．令，则函数无零点 C．若恒成立，则 D．若，，则 16．（多选题）已知函数有两个极值点，则（    ） A．或 B． C．存在实数，使得 D． 17．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．若的最小值为，且，则（参考） C．若，则 D．若有两根，则的取值范围为 18．（多选题）已知函数，则（   ） A．当时，函数在上单调递减 B．当时，，使得 C．当时，，使得 D．当时，若函数在上的最小值小于，可得的取值范围为 19．若，则 ． 20．已知函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围是 ． 21．若不等式（是自然对数的底数）对任意恒成立，则当取最大值时，实数 . 22．若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值集合为 ． 23．已知，若不等式恒成立，则的最大值为 ． 24．已知函数，，其中． (1)当时，求曲线在点处切线的方程； (2)求函数的零点； (3)用表示、的最大值，记．问：是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 25．已知函数. (1)求在原点处的切线方程； (2)为正整数，对任意，求证：； (3)求证：（为自然对数的底数）. 26．已知函数． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，若曲线上的动点到直线距离的最小值为（为自然对数的底数）． ①求实数的值； ②求证：． 27．已知函数（其中）. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)证明：当时，成立； (3)设，且函数有极大值点，求证：. 28．已知曲线， (1)若，与在公共点处的切线重合，求 (2)若与相交于A，在B的左侧两点，记直线AB的斜率为 （i）求证： （ii）若，设，证明： 专题三：导数的极值最值全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（2024高二下·吉林·竞赛）函数，若对成立，则（    ） A．对成立 B．对成立 C．对成立 D．对成立 2．（2018高二·全国·竞赛）若，都有成立，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 3．（2016高二·全国·竞赛）已知函数既是二次函数又是幂函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称.若直线与函数的图象和函数的图象的交点分别为，，则当达到最小时，的值为（    ）. A．1 B． C． D． 4．（2018高二·全国·竞赛）设函数 ，且，则当时，的导函数的极小值为（    ）. A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2013高三·浙江·竞赛）设函数，则函数的极大值点为（    ） A． B． C． D． 6．（17-18高三·北京·强基计划）设正实数a，b满足，则得的最小值为（    ） A． B． C．218 D．前三个答案都不对 7．（16-17高三·北京·强基计划）设函数，若对任意，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（18-19高三·北京·强基计划）函数的最小值为（    ） A． B． C．5 D．6 10．（2023高二下·安徽阜阳·竞赛多选题）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心.已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（    ） A．， B．的值是199. C．函数有三个零点 D．过可以作三条直线与图像相切 11．（23-24高三下·全国·强基计划多选题）．则（    ） A．若有两个解，则． B．若有最小值，则． C．若有最小值，则． D．若有两个解，则． 12．（16-17高三·北京·强基计划多选题）设函数，则（    ） A．有两个极大值点 B．有两个极小值点 C．是的极大值点 D．是的极小值点 13．（2024高二下·吉林·竞赛）已知函数 .若，使得，则实数的最大 值为 . 14．（2024高三下·上海·竞赛）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 . 15．（2011高二·全国·竞赛），函数没有极值的充要条件为 ． 16．（2017高二·全国·竞赛）若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是 . 17．（2017高二·全国·竞赛）已知函数，，，则的最大值为 ． 18．（2012高二·全国·竞赛）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是 ． 19．（2007高一·全国·竞赛）不等式的解集为 . 20．（2009高二·全国·竞赛）的最大值为 ． 21．（2007高二·全国·竞赛）已知x、y、，且．如果x、y、z中没有一个数大于另一个数的2倍，那么乘积的最小值为 ． 22．（2023高二下·安徽阜阳·竞赛）设函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是 ． 23．（2022高二·江苏苏州·竞赛）若关于x的不等式恒成立，则实数a的最大值为 . 24．（23-24高三下·全国·强基计划）已知，，，则y的取值范围是 ． 25．（2024高二下·内蒙古·竞赛）已知函数. (1)当时，讨论在上的极值. (2)若是的极小值点，求的取值范围. 26．（2017高二·全国·竞赛）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数有两个极值点，不等式恒成立，求实数的取值范围. 27．（2012高二·全国·竞赛）已知函数． (1)若函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围； (2)设，若函数存在两个零点，且．问：函数在点处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由． 28．（2017高一·全国·竞赛）为美化校园环境，学校后勤处准备在一块直径为的半圆空地（如图所示）上进行绿化改造，规划在外的地方种草，的内接正方形建一个小型水池，其余地方种花，若的面积为，正方形的面积为，将比值称为“规划合理度”. (1)使用表示和； (2)若为定值，变化时，求“规划合理度”的最小值，并求取得最小值时的值. 29．（2024高三上·北京·竞赛）中，求的最大值 30．（2023高二·安徽·竞赛）已知函数（为常数）的图象上存在四个点，过的切线为，其中，且围成的图形是正方形． (1)求证：； (2)试求的取值范围． 31．（2023高二下·安徽阜阳·竞赛）已知函数和. (1)若存在零点，求实数的取值范围； (2)当函数和有相同的最小值时，求． 32．（2023高三下·全国·竞赛）已知函数．设为的导函数． (1)证明：有且仅有一个极值点； (2)判断的所有零点之和与的大小关系，并说明理由． 33．（2021高三·全国·竞赛）设函数有三个正零点，求的最小值. 34．（23-24高三下·全国·强基计划）均为正数，则的最大，最小值是否存在？是多少？ 35．（17-18高三·北京·强基计划）已知函数． (1)当时，求函数在上的最大值和最小值． (2)若，讨论的单调性． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 答案第12页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025新高考高二导数的极值最值易错培优竞赛试题 【专题目录】 专题一：名校导数的极值最值易错题精选 专题二：名校导数的极值最值培优题精选 专题三：导数的极值最值全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 专题一：名校导数极值最值易错题精选 1．已知对恒成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式进行变形，然后构造函数，根据其单调性得到，进而转化为恒成立问题，最后通过求函数在上的最大值来确定的取值范围. 【详解】设，对求导，可得. 因为时，，，所以，这表明在上单调递增. 已知对恒成立，当时，，则有， 当时，可变形为. 因为在上单调递增，且，（），所以由可得，即对恒成立. 设，对求导，可得. 当时，，所以，，则. 这说明在上单调递减，那么在上的最大值为. 因为对恒成立，所以，即实数的取值范围是. 故选：A. 2．已知在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，根据极值点可得与在内有2个交点，利用导数判断的单调性和最值，结合图象分析求解. 【详解】因为，可知在内有2个变号零点， 由可得，可知：与在内有2个交点， 又因为， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 且，， 结合图象可得，所以实数a的取值范围为. 故选：B. 3．（多选题）已知函数的导函数为（   ） A．若有三个零点，则 B． C．是的极小值点 D．当时，则 【答案】ABD 【分析】利用导数判断出单调性并求出、，结合零点定义逐项判断可得答案. 【详解】因为函数，所以， 令，解得，或， 当，或，，当，， 所以在，上单调递增，在上单调递减， ，， 对于A，由得， 即，， 因为在上单调递减，所以在上只有一个零点， 因为，在上单调递增， 可得在上只有一个零点， 因为，在上单调递增， 可得在上只有一个零点， 综上，有三个零点，故A正确； 对于B，， ， 所以，故B正确； 对于C，是的极大值点，故C错误；     对于D，当时，则， 解得，故D正确. 故选：ABD. 4．（多选题）已知定义在R上的函数的导函数为，且，，则下列命题正确的是（   ） A．只有最大值，没有最小值 B．只有最小值，没有最大值 C．有两个零点 D．只有一个极值点 【答案】AD 【分析】整理等式并构造函数，根据导数为零设出函数，结合函数值可得函数的解析式，利用导数与函数的最值与极值，可得答案. 【详解】可化为． 设，则，所以(k为常数)， 则，解得， 所以，则，． 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，没有最小值，故A，D正确，B错误； 令，得，方程有唯一的实数根，故C错误． 故选：AD. 5．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．存在实数a，使得的图象关于点对称 B．任意的实数a，b，函数恒有两个极值点 C．设为的极值点，则 D．当时，若（其中），则 【答案】ABD 【分析】对于A，当时，，显然满足题意；对于B，只需判断是否有两个不同的根即可；对于C，由可得，进而可得，结合不等式即可判断；对于D，由对等式进行化简，结合不等式即可求解的范围. 【详解】对于A，当时，，A选项正确； 对于B，，因为，所以有两个不相等的实数根，即恒有两个极值点，B选项正确； 对于C，易知，C选项错误； 对于D，当时，由（其中）可知，， 即，所以， 所以， 所以，D选项正确； 故选：ABD． 6．（多选题）对于一般函数，如果存在实数，使得，那么就称函数有不动点，也称是函数的一个不动点.则（    ） A．有1个不动点 B．有2个不动点 C．有3个不动点 D．没有不动点 【答案】AB 【分析】根据给定的定义，构造函数利用导数探讨函数性质判断AD；解方程判断B；作出函数图象判断C. 【详解】对于A，令，，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 因此的最大值为，函数有1个不动点，A正确； 对于B，，由，得或， 由，解得；由，解得，有2个不动点，B正确； 对于C，作出函数的部分图象与直线， 观察图象知，直线与函数在的图象有5个交点， 因此的不动点不只3个，C错误； 对于D，令，求导得，令，求导得， 当时，，当时，，函数在上递减，在上递增， ，函数在R上递增，，因此有一个不动点，D错误. 故选：AB 7．（多选题）函数，向右平移3个单位得到，下列说法正确的是（    ） A．的极小值点为 B．当有两解时， C．若，，则 D．若，那么，且有且仅有一解 【答案】BCD 【分析】由求得，解不等式可得单调区间得极值点，即可判断A；有两解相当于的图象与有两个不同交点，由A作出的图象，即可判断B；根据由向右平移3个单位得到，结合的单调情况得在上的单调性，由此比较大小即可判断C；将函数解析式代入，解方程即可判断D. 【详解】对于A，，由得，由得； ∴在上单调递减；在上单调递增.故在处取极小值，则的极小值点为.故A不正确； 对于B，由A知可知单调性，极小值为，又， 故时，，当时，，； 时，.时，，据此可作图象如图， 则方程有两解相当于图象与有两个不同交点，则由图可得.故B正确； 对于C，因为由向右平移3个单位得到，所以， 由A知在上单调递减；在上单调递增.故，即.故C正确； 对于D，由，得，而，故，解得.故D正确. 故选：BCD. 8．（多选题）已知函数，的图象是一条连续不断的曲线，设其导数为，函数的图象如下，则下列说法正确的是（   ） A．在处取最大值 B．是的极大值点 C．没有极小值点 D．可能不是导函数的极大值点 【答案】ACD 【分析】根据的图象，先分析出的正负性，即可得的单调性，从而可判断A，B，C，再由和时，，而不一定等于0，可判断D. 【详解】当时，， 函数单调递增， 同理可得：当时，，函数单调递减， 所以为函数的极大值， 当时，，函数单调递减， 当时，函数单调递减， 所以函数在上单调递减， 从而在处取最大值，且没有极小值点，故A,C正确，B错误； 又和时，， ，而在时等于0，所以不一定等于0， 当时，是导函数的极大值点， 当时，不是导函数的极大值点，所以D正确. 故选：ACD. 9．（多选题）已知（    ） A．当时，是的极大值点 B．当时，的所有零点之和为0 C．直线是的切线 D．存在使在上单调递增 【答案】BC 【分析】求出导数，利用极值的定义判断A；求出零点判断B；求出切点判断C；取特值说明判断D. 【详解】函数定义域为R，求导得， 对于A，，当时，， 当时，，因此是的极小值点，A错误； 对于B，，存在三个零点，， 为方程的两根，则，所有零点之和为0，B正确； 对于C，由时，得，点在函数的图象上， 因此函数的图象在点处的切线为，C正确； 对于D，，而，则不存在使在上单调递增，D错误. 故选：BC 10．（多选题）已知函数，则（   ） A．的定义域是 B．曲线在点处的切线方程是 C． D．有两个不同的解，且 【答案】ABD 【分析】根据对数、分式的性质求定义域判断A，应用导数几何意义求切线方程判断B，根据解析式化简判断C；利用导数研究的零点判断D. 【详解】由解析式知，故函数的定义域为，A对； 由且，则， 所以曲线在点处的切线方程， 则，B对； ，C错； 令，则， 所以在上都单调递增， 在区间上，时趋向，时趋向，故该区间存在一个零点， 在区间上，时趋向，时趋向，故该区间存在一个零点， 所以在定义域内存在两个不同零点，分别位于、内， 若零点，则，且，即， 此时， 所以是的一个零点，即，故，D对. 故选：ABD 11．（多选题）已知函数，且是的一个极值点，下列说法正确的是（   ） A．实数的值为1或 B．在上单调递增 C．若是的一个极小值点，则当时， D．若是的一个极大值点，则当时， 【答案】ACD 【分析】由是的一个极值点，得，求出实数的值并分析其单调性，并根据单调性判断即可； 【详解】函数的定义域为，． 令，得，， ① 当时，， 由，得或，由，得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 此时是的一个极大值点． ② 当时，解得，则， 由，得或，由，得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 此时是的一个极小值点． 故A正确，B错误； 若是的一个极小值点，则，在上单调递增， 因为，则，所以，故C正确； 若是的一个极大值点，则，在上单调递增， 因为，所以，，且等价于， 即当时，，所以，故D正确． 故选：ACD. 12．（多选题）函数叫自然指数函数，是一种常见的超越函数，它常与其它函数进行运算产生新的函数.已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数既有极大值，也有极小值 C．方程有个不同的实数解 D．在定义域内，恒有 【答案】BCD 【分析】对于A，由题知定义域为，，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解；对于B，利用极值的定义，即可求解；对于选项C，利用函数的单调性，得出函数图象，再数形结合，即可求解；对于D，构造函数，利用的图象关于点中心对称，即可求解. 【详解】易知的定义域为，， 对于选项A，由，得到，且，所以减区间为，，故选项A错误， 对于选项B，由，得到或， 当时，，当时，，当，，当时，， 所以的极大值为，极小值为，故选项B正确， 对于选项C，由选项B知，的增区间为，减区间为， 当时，，且时，，当从左边时，， 当从右边时，，且时，，当时，， 图象如图所示，由图知，只有一个零点，且， 令，由，得到，所以，令， 由图知，与有且仅有两个交点，所以选项C正确， 对于选项D，令，易知的图象关于点中心对称， 所以，即，得到，故选项D正确， 故选：BCD. 13．已知函数，，若，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】先将函数因式分解得到，由，得与同号，接着分和两种情况分析得到即，进而得到，构造函数，求出即可得解. 【详解】， 若，则与同号， 当时，，故， 当时，，故， 则，即， 则．令，则， 令，得，所以当时，，单调递减， 当时，单调递增， 所以当时，取得极小值，也是最小值， 所以，即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是求出即. 14．若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用导数几何意义，分别设出两条曲线的切线方程，将问题转化为一条直线与一条曲线交点个数问题，即可求出的取值范围. 【详解】设公切线为是与的切点，由，得， 设是与的切点，由，得， 所以的方程为，因为，整理得， 同理，因为，整理得， 依题意两条直线重合，可得， 消去，得， 由题意此方程有三个不等实根，设， 即直线与曲线有三个不同的交点， 因为，令，则， 当或时，；当时，， 所以有极小值为，有极大值为， 因为，，，所以， 当趋近于时，趋近于0；当趋近于时，趋近于， 故的图象简单表示为下图: 所以当，即时，直线与曲线有三个交点， 故答案为： 15．已知函数存在两个极值点,满足，则实数 . 【答案】 【分析】利用函数极值点的定义可知方程在上有两个不等的实数根，转化为方程在上有两个不等的实数根，结合韦达定理代入即可求解. 【详解】因为， 由题意可知方程在上有两个不等的实数根， 因此有，解得， 此时，， 所以 ， 解得，满足， 故答案为： 16．已知函数，的导函数为，且． (1)求的最值； (2)求证：． 【答案】(1)最小值为，无最大值． (2)证明见解析 【分析】（1）求导，通过，求得，进而确定函数单调性，即可求解； （2）不等式等价转化成，构造函数，确定其最值，再结合（1）的结论即可求证； 【详解】（1）由，得， 所以， 解得，所以． 因为的定义域为，令，求导，得，所以在上单调递增． 又，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，也是最小值，无极大值， 所以的最小值为，无最大值． （2）要证，只需证，即证． 令，，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，也是最大值， 所以． 又，所以，恒有， 即，也即． 17．已知，函数在处取得极值． (1)求a； (2)证明：对任意的m，，都有； (3)若存在实数，使得成立，求k的最小整数值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)5． 【分析】（1）先求导，由在处取得极值，得解出验证即可； （2）设，验证的单调递增，即有，即可得证； （3）存在实数，使得成立，即成立．构造函数，即求即可. 【详解】（1）， 因为在处取得极值， 所以，所以， 解得． 经验证当时，在处取得极小值，符合题意， 故． （2）对任意的m，，设，则， 由（1）知，则在上单调递增， 所以当时，，即，所以在上单调递增， 因为，所以，即， 故． （3）存在实数，使得成立，即成立． 令，，则，， 令，则在上恒成立， 故在上单调递增． 又，， 故存在唯一的，使得，即． 当时，，即，当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 故，结合，得， 故k的最小整数值为5． 18．已知函数. (1)求的单调区间； (2)已知直线是曲线的切线，且对恒成立，求的最大值. 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减. (2) 【分析】（1）求出导函数，令，根据导函数的符号即可确定函数的单调区间； （2）由（1）求出函数最大值，将分成和两种情形，分别讨论对恒成立是否满足，即得的最大值. 【详解】（1），             令得，当时，；当时，.             因此在上单调递增，在上单调递减.          （2）由（1）知，.          当时，直线是曲线的切线，且对恒成立，满足题意；    当时，设直线与曲线相切于点，， 因为，所以，又，因此，             又因为，所以，，          取，则，， 因此存在，使得，不满足题意. 综上，的最大值为. 19．已知函数和． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意，恒成立，求的取值范围； (3)若存在，，使得，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导函数可求得，进而可求得切线方程； （2）记，利用反证法可证明，进而可得； （3）由已知可得，令，，求导可求得结论. 【详解】（1）因为， 所以，故在点处的切线方程为； （2）记，则，因为，故． 反证法：若，则存在，使得在单调递增， 此时，与恒成立矛盾． 同理可得，也不成立．故． ，，． 下面证明：时，． 令，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，所以，所以， 当时，因为且， 故； 当时，因为且，故． 所以，当时，对任意，恒成立． （3）由（1）知，当时，，所以在单调递增，如图． ， ，． ，，即，，， 令，，． 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以，即． 20．已知函数 (1)当时，求函数的极大值； (2)若对任意的，都有成立，求的取值范围； (3)设，对任意的，且，证明：恒成立． 【答案】(1)0 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的极大值. （2）根据给定条件，分享参数并构造函数，利用导数求出最大值即可得解. （3）等价变形不等式并换元，再构造函数，利用导数证明不等式. 【详解】（1）当时，，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时函数取得极大值. （2），，，求导得， 当时，，当时，，函数在上递增，在上递减． 则当时函数取得最大值，， 所以的取值范围是. （3）依题意，， 对任意的，且，， 令，不等式化为， 令，求导得， 函数在上单调递增，，因此， 所以恒成立. 【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 21．十八世纪英国数学家布鲁克•泰勒提出了著名的泰勒公式，该公式利用了多项式函数曲线来逼近任意一个原函数曲线，该公式在近似计算.函数拟合、计算机科学上有着举足轻重的作用.如下列常见函数的阶泰勒展开式为： ， ， ， 其中，读作的阶乘. 这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，比如用计算器计算，得到的值约为，用泰勒展开式前三项计算得到. (1)，，，比较的大小; (2)当时，证明：； (3)设，是否存在区间，使得的定义域为时，值域也为？若存在，求出所有的区间. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，. 【分析】（1）根据题意中常见函数的阶泰勒展开式，即可比较的大小； （2）构造函数，求导，根据函数单调性，即可得证； （3）由题知，，当时，显然成立，当真包含于时，结合函数单调性可得，即可判断此时不存在符合条件的区间，然后下结论即可. 【详解】（1）由题知，用泰勒展开式前三项计算， 则， 又， ， 所以. （2）设，， 则， 所以在上单调递增， 所以，所以； 设，， 则， 令，，则在上单调递增， 令，，则在上单调递减， 又，， 所以，即， 综上，. （3）易知，， 当时，显然成立； 当真包含于时，若，则函数最小值应大于，故， 则函数最大值小于，于是，因此. 同理，若，也能得到. 所以函数在区间上单调递减， 所以，于是， 变形有， 又函数在区间上为单调递增函数，且为奇函数， 故，所以可以化为， 由（2）可以知道没有两个解， 此时不存在区间满足条件. 综上所述，符合条件的区间只有. 22．已知函数. (1)若，求在点处的切线方程； (2)若，当时，，求b的取值范围； (3)若，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）时，求出点和，再由点斜式即可求解； （2）先由得，当时将转化为，构造函数，求出并令即可求解； （3）先由题意求出，接着由得或再分、和三种情况结合题设利用导数工具分析求解即可. 【详解】（1）由得，则， 所以切线斜率，又，则切线方程为，即 （2）由，得， 当时，，所以 当时，转化为， 令，则， 因为，所以， 当时，，所以在递减， 当时，，所以在递增， 所以，得. 综上，. （3）设，则， 又，则， 即，解得，所以， 一方面，对任意，有，即 另一方面，若方程存在除a以外的其他解，则方程需无解. 求导得，由得或 ①当，时， ，在R上递增，方程有唯一解a，满足题意. ②当时，当时，，在区间递减； 当时，，在区间和上递增，此时极大值，所以方程有唯一解a，满足题意. ③当时，当时，，在区间递减； 当时，在区间和上递增， 此时极大值为，极小值为， （i）当时，则极小值，又时，， 所以存在，满足，且方程有解，不满足题意. （ii）当时，则极小值， 此时若方程有除a以外的其他解t，必有， 而极小值，且当时，， 所以无解，满足题意.综上， 专题二：名校导数的极值最值培优压轴试题精选 1．三个相似的圆锥的体积分别为，，，侧面积分别为，，，且，，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设三个圆锥的高分别为，，．母线与轴线的夹角为，分别表示出三个圆锥的体积以及侧面积，利用，可化简得到，构造函数，利用导数求出最大值即可. 【详解】设三个圆锥的高分别为，，，底面半径分别为，，， 母线长分别为，，，母线与轴线的夹角为， 则， ， ， 由，得， ， ， ， 由 可得， 则，则， 令，，得， 令，解得；令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以，故，故． 故选：A 【点睛】关键点睛：根据题意，用圆锥的高表示出，并化简为，令，，再利用导数研究函数的最值. 2．如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则下列说法不正确的是（   ）    A．关于直线对称 B．的弦长最大值大于 C．直线被截得弦长的最大值为 D．的面积大于 【答案】D 【分析】判断两函数的关系，判断A的真假；求函数被直线截得的弦长，判断B真假；求曲线上的点到直线距离的最大值，判断C的真假；构造矩形包含图形，求矩形的面积，判断D的真假. 【详解】如图：    对A：由，所以函数的反函数为，所以关于直线对称，故A正确； 对B：有. 设，则， 由，由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 且，，所以存在，使得，另. 所以上两点，，，所以. 所以的弦长最大值大于.故B正确； 对C：因为直线与直线垂直，设曲线的切线为， 由，所以切点为，所以切线方程为. 直线与的距离为. 所以直线被截得弦长的最大值为即.故C正确； 对D：由，所以B中. 过点做的切线，再做该切线关于对称的直线，过，做切线的垂线，与两切线分别交于，如图所示，构成矩形，该矩形将图形包含在内，所以的面积小于矩形的面积. 又，， 所以矩形的面积为. 又，所以D错误. 故选：D 【点睛】关键点点睛：对D选项，关键是构造矩形包含图形，求出矩形面积，与比较即可. 3．，不等式恒成立，则正实数的最大值是（　 　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将所求不等式变形为，构造函数，分析函数的单调性，则所求不等式即为，可得出，由参变量分离法可得出对恒成立，利用导数求出函数在上的最小值，由此可得出正实数的最大值. 【详解】将不等式变形可得， 即， 构造函数，可得， 令，则， 所以当时，，即在上单调递减， 当当时，，即在上单调递增， 所以，即，所以函数在上单调递增， 利用单调性并根据可得，则有， 又，即可得，即对恒成立，因此即可， 令，，则， 显然当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，即，因此正实数的最大值是. 故选：A. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 4．“超椭圆”是一种优美的封闭曲线．如图是当，时的图象，点是与轴正半轴的交点，过原点的直线交于点、，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出曲线的方程，分析可知，曲线关于原点和坐标轴对称，设点，其中，，则，计算得出，令，可得出，利用导数法求出的取值范围，即可得出的取值范围. 【详解】当，时，曲线的方程为， 在曲线上任取一点，则点关于原点的对称点为点， 则，即点在曲线上， 所以，曲线关于原点对称，同理可知，曲线关于、轴对称， 因为原点的直线交于点、，则点、关于原点对称， 在曲线的方程中，令，可得，即点， ， 由对称性，不妨设点，其中，，则， ， 令，令，其中， 则， 因为，令可得，列表如下： 减 极小值 增 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，又因为，则， 所以，，故. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于换元，将转化为关于的函数，再利用导数求其值域. 5．已知实数 满足，则 的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】构造函数和即可求导，得函数的最值，进而根据得，求解. 【详解】由题意可得， 设则， 故，即， 令，则 当时，，， 故在单调递增，在单调递减， 所以， 令则， 故当，故在单调递减，在单调递增， 故， 由题意可知故，， 此时且解得，故， 故选：A 【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 6．（多选题）平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度.曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度.如：圆越小，曲率越大；圆越大，曲率越小.定义函数的曲率函数（其中是的导数，是的导数），函数在处的曲率半径为此处曲率的倒数，以下结论正确的是（    ） A．函数在无数个点处的曲率为1 B．函数，则曲线在点与点处的弯曲程度相同 C．函数的曲率半径随着x变大而变大 D．若函数在与处的曲率半径相同，则 【答案】ABD 【分析】根据新定义结合导函数二次求导，分别判断各个选项即可. 【详解】对于A，已知，则，， 根据曲率函数，可得 当，时，，，此时， 所以函数在无数个点处的曲率为1，故A正确； 对于B，对于，，， 则，因为，所以为偶函数， 所以曲线在点与点处的弯曲程度相同，故B正确； 对于C，，，则函数的曲率半径， 令， 求导得， 由，得， 当时，，则函数在上单调递减， 函数在上单调递减，故C错误； 对于D，，， 则函数的曲率半径，，依题意，， 令，，则方程有两个不等正根，， 即直线与函数的图象有两个交点， ， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，函数值集合为 在上单调递增，函数值集合为 因此当时，方程有两个不等正根，， 令，令函数，， 求导得 ， 函数在上单调递增，，即， 令，则，，， 又函数在上单调递增，因此，即，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：新定义问题的求解过程可以模型化，一般解题步骤如下： 第一步：提取信息 — 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号， 第二步：加工信息 — 细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点 第三步：迁移转化 — 如果是新定义的运算法则，直接按照运算法则计算即可，如果是新定义的性质，一般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（如等量关系、图形的位置关系等） 第四步：计算，得结论 — 结合题意进行严密的逻辑推理、计算，得结论. 7．（多选题）函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，在上是增函数 B．当时，在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 C．在上为减函数，则 D．当时，有且只有一个零点，则 【答案】BD 【分析】根据导数正负得出单调区间判断A，应用单调性应用导数判断求参判断C，根据切线计算判断B，根据零点个数转化为函数交点个数结合导数计算求参判断D. 【详解】函数，则， 对于A：当时，，单调递增， ,所以在单调递减，A选项错误； 对于B：，所以在处的切线为， 令当时，， 切线与坐标轴围成的三角形的面积为，B选项正确； 对于C：在上为减函数，则恒成立，则恒成立， 令， 当单调递减，当单调递增， 所以，所以，所以，C选项错误； 对于D：当时，因为有且只有一个零点，所以有且只有一个零点， 所以， 所以只有一个零点，所以只有一个根， 令， 令，所以单调递增， 所以单调递减； 单调递增；所以，所以， 当时，，所以只有一个根，所以， 因为 所以，所以，D选项正确. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：函数的零点可以转化为两个函数的交点，进而根据导函数得出函数的单调性结合零点存在定理判断即可. 8．（多选题）已知函数的定义域为，区间，若，，则称是在D上的不动点，集合为在D上的不动点集.若函数在R上的不动点集为，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据不动点集的定义，根据方程的三个根化简列出等式，求解即可判断A和B；再设，对其求导，求出单调性得出m取值范围，再根据题意即可求出的范围，判断C和D即可. 【详解】因为在R上的不动点集为， 所以， 即方程在R上存在3个实数根，，， 所以 ， 从而，所以A正确，B错误； 令，则， 当和时，，单调递增； 当时，，单调递减， 则，解得. 因为， 所以C错误，D正确. 故选：AD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点（或方程的根）的问题的方法 （1）直接法，对函数求导，求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质结合零点存在定理求解： （2）构造函数法，将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法，将问题等价转化为直线与函数图象的交点问题． 9．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．存在，使得恰有1个零点 B．过曲线上任意一点，均可作两条直线与相切 C．若存在两个极值点，且，则 D．若存在两个极值点，，则 【答案】AC 【分析】因为存在使得恰有1个零点，判断A选项；根据三次函数的性质判断B选项；通过求导得到的极值点，在根据解得的取值范围判断C选项；通过求三次函数的对称中心判断D选项. 【详解】当时，，恰有1个零点，A对； 三次函数经过曲线的对称中心，仅能作一条切线，B错； 由，令得的极值点为0，， 所以，解得，，C对； 由，设，则，令得， 所以，曲线的对称中心为，所以，D错． 故选：AC. 10．（多选题）记函数的零点为，则（    ） A． B． C．当时， D．为函数的极小值点 【答案】BC 【分析】由题设，两边取对数并整理化简判断A；根据解析式判断函数单调性，应用零点存在性定理判断B；构造函数并应用导数研究区间的函数值符号判断C；假设为极小值点，对函数求导得到，结合判断D. 【详解】依题意，，故，即，故A错误； 易知当时，，且在上单调递增， 而，，故，故B正确； 令，则， 故当时，，则在上单调递增， 故，则，故C正确； ， 假设为极小值点，则有， 即， 将，代入可得， 因为，上述等式不成立，故D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：对于D，应用反证思想，先假设为极小值点，对函数求导得到，再判断所得方程是否成立为关键. 11．（多选题）设函数，则下面说法正确的是（    ） A．当，时，函数在定义域上仅有一个零点 B．当，时，函数在上单调递增 C．若函数存在极值点，则或 D．若恒成立，则的最小值为 【答案】ABC 【分析】代入得到解析式，结合对数运算可判断A；求导分析单调性可判断B；当时求导分析，当利用换元法二次求导数分析可判断C；由和的函数值在同一区间上同号可得，再结合二次函数取值可判断D. 【详解】的定义域为， 对于A，当时，， 由得，或，得， 所以函数在定义域上仅有一个零点，故A正确； 对于B，当时，函数， 当时，，故函数在上单调递增，故B正确； 对于C，， 设，则， 当时，，所以函数在定义域上单调递增， 即函数在定义域上单调递增，且当时，， 当时，，此时函数存在零点， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 故此时函数存在极值点； 当时，令，则， 当时，，所以函数在上单调递减； 当时，，所以函数在上单调递增， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 故， 若函数存在极值点，则需，解得， 综上，当函数存在极值点时，或，故C正确； 对于D，因为在为增函数， 且时，，时，， 当时，， 想要恒成立， 则需时，，时，， 所以，即， 则，当时取“=”，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题C选项的关键在于通过求导分析极值点的条件；D选项由和的函数值在同一区间上同号可得. 12．（多选题）若函数，则下列说法正确的是（   ） A．在处取得极小值 B．当时，方程有两个不同的实根 C． D．若点在的图象上运动，则点到直线距离的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，对求导，再利用极值的定义，即可求解；对于B，求出的单调区间，进而得出的图象，数形结合，即可求解；对于C，利用的单调性，即可求解；对于D，根据条件得当曲线在处的切线与平行时，点到直线的距离最小，再利用导数的几何意义，求出切点，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，则， 当时，，当时，，且， 所以是的极小值点，又，所以选项A正确， 对于选项B，由选项A知，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又当时，，当时，，的图象如图， 令，由图知，当时，与有两个交点， 当时，与只有一个交点，所以选项B错误， 对于选项C，由选项B知，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且当时，，当时，，又， 所以，故选项C正确， 对于选项D，设点，易知当曲线在处的切线与平行时， 点到直线的距离最小， 又，则， 令，则， 易知，当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且时，，又，所以， 又，得到，所以到直线的距离为，故选项D正确， 故选：ACD. 【点晴】方法点晴，利用导数研究函数的极值： （1）可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧f′(x)的符号不同； （2）若在内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值． 13．（多选题）对于函数，则下列结论中正确的有（   ） A．对任意实数，均有零点 B．对任意实数，曲线总存在对称中心 C．存在实数，使得轴是曲线的切线 D．若函数存在极值点为，且，则 【答案】ABD 【分析】结合零点存在性定理判断A，设曲线的对称中心为，由此可得函数为奇函数，结合奇函数性质列方程求，由此判断B，设函数与轴相切与点，，结合导数的几何意义可得，令，则 ，利用导数研究方程的根，判断C，由已知可得，，令可得， 利用导数研究函数的范围，判断D. 【详解】函数的定义域为， 当时，， 当时，， 由零点存在性定理可得，对任意实数，函数在区间内存在零点，A正确； 设曲线的对称中心为， 则函数为奇函数， 所以恒成立， 所以， 所以， 所以，， 所以，， 所以对任意实数，曲线总存在对称中心，B正确； 设函数与轴相切与点，， 则， 因为，故， 所以， 所以，故 令，则，， 设，，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 又， 所以方程无解， 所以不存在实数，使得轴是曲线的切线，C错误； 因为，， 令可得， 若函数存在极值点为，且， 所以为方程的两根，且， 所以方程在上有两个不等实根， 若，抛物线的对称轴为，开口向上，， 与方程在上有两个不等实根矛盾， 若，抛物线的对称轴为，开口向下，， 所以，所以， 因为为方程的两根， 所以，， 所以 故 所以， ， 令，则， 设， 则， 因为，故， 所以函数在上单调递增， 所以，D正确； 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于通过令将方程转化为利用导数求方程的解，判断B，通过令将转化为，再利用导数求其范围. 14．（多选题）已知函数，其中，且当时，，则（    ） A． B．为的极大值点 C．若关于的方程有3个不同的实数根，则 D．若对任意都有，则 【答案】AC 【分析】对于选项A，由已知条件可得当时，，当时，，故当时，即可求得；对于选项B，由A可知，利用导数判断函数的单调性，从而可得为的极小值点；对于选项C，结合函数图像可知要使方程有个不同的实数根，则，求解即可判断；对于选项D，若对任意都有，则恒成立，分类讨论即可求得的取值范围. 【详解】对于选项A：为函数的零点， 若，当时，，则；当时，，则. 所以时，，即，，故选项A正确； 对于选项B：由A可知，，∴在区间和递增，在区间递减，为的极小值点，故选项B错误； 对于选项C：由B可知，为的极大值点，要使方程有个不同的实数根，则，解得，故选项C正确； 对于选项D：，， ∴恒成立， 显然当时，成立； 显然当时，不恒成立； ∴当时，即恒成立， ∴恒成立， ∴或，故选项D错误. 故选：AC． 15．（多选题）已知函数，，下列说法正确的是（   ） A．函数存在唯一极值点，且 B．令，则函数无零点 C．若恒成立，则 D．若，，则 【答案】ABD 【分析】由在上单调递增，又，，即可判断A；由导数判断出恒大于0，恒大于0，即可判断B；由的值域即可判断C；由的单调性即可判断D. 【详解】对于A：，显然在上单调递增，又，， 所以，使得，故A正确； 对于B：由A得，，使得，即，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以恒大于0； 所以要研究函数的零点，只需研究函数的零点. 由，令，， ，当时，，即在单调递增， 当时，，即在单调递减， 所以，即，即在单调递增， 又时，，所以， 由恒大于0，恒大于0，故无零点，故B正确； 对于C：由B得，由恒成立，得在恒成立， 所以，即，故错误； 对于D：因为在单调递增，又，，则， 所以，即， 整理得， 不等式两边同除以得，，故D正确. 故选：ABD. 16．（多选题）已知函数有两个极值点，则（    ） A．或 B． C．存在实数，使得 D． 【答案】BD 【分析】A，B选项，两个极值点问题，转化为导函数两个异号零点问题；通过复合函数换元，将导函数转化为对勾函数或二次函数，利用对勾函数和二次函数的图象与性质快速的求解； C选项，解法1：先利用整体代入法，消，再利用单调性证明；解法2：利用为极小值点，通过证明； D选项，利用消元，转化为，利用单调性证明； 【详解】易知， 令，则. 令，则.设， 由对勾函数的图象可知： 当时，与的图象有两个交点， 因为，故不成立，故A错误； 设，则①， 设为①式的两根，则，即②， ③. 由③式可知，所以，则， 故B正确； 解法1：由②式可知， 令， 则， 则在上单调递减，所以， 故，所以不存在实数使得，故C错误； 解法2：，，， 可得为区间的极小值点，则必有，故C错误； 由③式可知，所以， 要证 ， 仅需证明成立. 令，则. 则在上单调递增，所以， 故，故D正确. 故选：BD. 17．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．若的最小值为，且，则（参考） C．若，则 D．若有两根，则的取值范围为 【答案】BC 【分析】对于A项：应用导数研究函数的单调性，再研究最值即可求得；对于B项：最小值为，即，可构造函数，应用零点存在定理证求解即可；对于C项：分类讨论当，，时，的最小值即可；对于D项：由有两根可等价转化为有两根，构造函数求其最值即可. 【详解】对于A项：因为函数的定义域为， 所以，由得， 所以在上，单调递减，在上，单调递减， 在上，单调递增. 当时，；当时，，所以A错误； 对于B项：由上推理可知当时，，所以. 设函数，则， 所以函数在单调递增. 又因为，， 所以，则，所以，故B正确； 对于C项：因为， 所以， 令，则， 则函数在单调递增， 又因为，所以， 若，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以； 若，当时，，单调递增； 所以； 若，当时，， 设，因为， 所以单调递增， 所以， 又因为，所以；综上可知C正确； 对于D项：因为有两根， 所以，即有两根. 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 且当，时，. 所以， 所以有两根只需，故D错误； 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：在C项推理中，若，只需证明，因此可构造函数，只需证明当时，即可，这样可以较易证出. 18．（多选题）已知函数，则（   ） A．当时，函数在上单调递减 B．当时，，使得 C．当时，，使得 D．当时，若函数在上的最小值小于，可得的取值范围为 【答案】ACD 【分析】利用导数研究函数单调性，判断A；利用基本不等式研究函数最值，判断B、C、D. 【详解】根据题意，， 当时，，，所以函数在上单调递减，A正确； 当时，若，则，则， 当且仅当，即， 设，则， 当，，则函数单调递减， 当，，则函数单调递增， 所以当时，，即， 所以当时，命题不成立，B错误； 当时，若，则， 则， 当且仅当，即， 设，则， 当，，则函数单调递增，且， 所以当时，，使得，C正确； 当时，，设， 则，由于， 当且仅当，即时，等号成立， 即在单调递减，在单调递增， 当取最小值，且最小值为， 所以，解得，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：利用基本不等式研究函数最值，注意等号成立的条件. 19．若，则 ． 【答案】3 【分析】等式两边同时除以后整理成，构造函数，通过导函数求得函数的单调性，得到函数存在唯一最小值0，由方程得到的值，从而求得的值. 【详解】两边同时除以得， 得． 令函数，则， 令，． 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以． 易得，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递增， 所以． 因为， 所以，得． 故答案为：3. 【点睛】方法点睛，本题考查了利用函数的性质来解决方程问题，对方程进行合理的整理，构造新的函数，利用导函数求得函数特征来解决对应分方程问题. 20．已知函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】问题转化为在上有解，分离参数，通过求导分析函数的最小值可得实数的取值范围. 【详解】∵，∴， 由题意得，在上有解，即在上有解， ∴，， 设，则， 设，则， ∴在上为增函数， ∵， ∴当时，，，当时，，， ∴在上为减函数，在上为增函数， ∴， ∴，故实数的取值范围是. 故答案为：. 21．若不等式（是自然对数的底数）对任意恒成立，则当取最大值时，实数 . 【答案】 【分析】根据题意，令，可知当时符合题意，利用导数可得函数的单调性和最小值，其中，令最小值大于或等于0，进而得解. 【详解】由题意可知，令， 当时，研究函数与的图象， 因为，当时，，所以函数单调递减， 当时，，所以函数单调递增， 所以函数有最小值为， 而为单调递减的直线，如图， 此时不恒成立，不符合题意； 当时，， 令，， 易知在上单调递减，在上单调递增， 且由于函数有最小值为，所以当时，方程有解， 设解为，则，且， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 由题意恒成立，所以， 所以， 当且仅当时取等号，此时. 【点睛】关键点点睛：利用导数可知方程有解，设解为，则，从而表示出的最小值，进而求解. 22．若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值集合为 ． 【答案】 【分析】根据函数的零点个数分三种情况分别讨论函数零点，再结合函数图象求出参数范围. 【详解】由题可知：函数有且仅有一个正零点， 又 当时，不妨令， 则， 所以． 当时，， 由，，所以． 此时函数没有零点； 当时，， 令，， ， 当时，，，所以， 即在上恒成立， 则在单调递增， 当时，，，则， 又，所以在上的值域为 当时，， 令，， 由在上单调递减，在上单调递减， 所以也在上单调递减， 当时，，，则， 又，所以在上的值域为 若只有一个正零点， 即与在有且仅有一个交点， 由上述分析可得的取值范围为： 或． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是画出函数的图象，数形结合得出参数范围. 23．已知，若不等式恒成立，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】首先不等式转化为，恒成立，转化为求函数的最值，并求得，再讨论的正负，转化为，转化为的最大值，即可求解. 【详解】，则， 所以不等式恒成立，即，恒成立， ，，所以 设， ，得， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以当时，函数取值最大值， 所以，即， 当时，， 当时，， 设，，，得， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以当时，函数取得最大值， 所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题转化为2次最值，一次是参变分离为，，转化为求函数的最值，第二次是转化为，转化为求函数的最值. 24．已知函数，，其中． (1)当时，求曲线在点处切线的方程； (2)求函数的零点； (3)用表示、的最大值，记．问：是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的取值范围是 【分析】（1）当时，求出，利用导数的几何意义可求得曲线在点处切线的方程； （2）利用导数分析函数的单调性，结合可得出函数的零点； （3）由题意，将恒成立转化为当时，恒成立即可，对求导得，分、、三种情况讨论，结合单调性可得答案. 【详解】（1）当时，，则， 所以，，， 此时曲线在点处切线的方程为，即. （2）函数的定义域为，且， 当时，，则；当时，，则， 所以函数在上为增函数， 又因为，故函数有且只有一个零点. （3）函数的定义域为， 由（2）知，当时，， 又，所以当时，恒成立， 由于当时，恒成立， 所以等价于：当时，，且. 下面考虑，当时，恒成立， ①若，当时，， 故，在递增，此时，不合题意； ②若，当时，由知， 存在，使得， 根据余弦函数的单调性可知，在上递增， 故当，，递增，此时，不合题意； ③若，当时，由知，对任意，，递减， 此时，符合题意. 且当时，，合乎题意， 综上可知：存在实数满足题意，的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 25．已知函数. (1)求在原点处的切线方程； (2)为正整数，对任意，求证：； (3)求证：（为自然对数的底数）. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切点和斜率，即可得切线方程； （2）构建，利用导数判断的单调性，进而可得； （3）根据（2）中不等式累加可得，令，即可得结果. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，则， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以在原点处的切线方程为：，即. （2）将看成变量，看成常数， 设，， 则， 当时，；当时，； 可知在上单调递减，在上单调递增 则， 又因为，所以. （3）由（2）可知：， 可得， 对累加可得 ， 即， 令，则. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 1.作差或变形； 2.构造新的函数； 3.利用导数研究的单调性或最值； 4.根据单调性及最值，得到所证不等式； 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 26．已知函数． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，若曲线上的动点到直线距离的最小值为（为自然对数的底数）． ①求实数的值； ②求证：． 【答案】(1)函数的单调递增区间为，单调递减区间为 (2)① ；②证明见解析 【分析】（1）对函数求导，结合a的取值范围分析可得函数的单调区间； （2）①利用导数的几何意义，结合动点到直线的最小值列等式即可求出a的值；②分和两种情况讨论，利用导数研究函数的单调性及最值，则不等式可得证. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为，令，得：，令，得：， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）①由（1）知：．由， 又，所以切点， 由（1）可知，切点在直线的上方， 所以，整理得， 设，则， （也可构造） 设，则在上恒成立． 所以在单调递增． 又，又，方程只有1解：． ②依题意：要证， 当时，，令， 在上单调递增 ，所以不等式成立； 当时，要证，即． 设，则． 设．则． 当时，，所以． 所以在上单调递减． 所以，即． 所以在上单调递减，， 即当时，成立． 综上：当时，在上恒成立． 27．已知函数（其中）. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)证明：当时，成立； (3)设，且函数有极大值点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）令，，利用导数分析函数在上的单调性，结合函数的单调性可证得原不等式成立； （3）利用导数分析函数的单调性，求出的表达式，可求出的取值范围，且有，化简得出，可得出，结合函数的单调性可得出结论. 【详解】（1）当时，有，故，而，故. 从而函数的图象在处的切点坐标为，切线斜率为. 则切线方程为，即. （2）设，， 则， 所以，函数在上单调递减，故当时，，故原不等式得证. （3）由，得. 当，则对或均有， 所以在和上单调递增. 从而在上单调递增，不可能有极大值点，矛盾. 所以，此时. 从而根据的符号可知在和上单调递增， 在上单调递减. 所以的极大值点，同时，即， 从而 ， 因为， 由（2）知， 所以成立. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 28．已知曲线， (1)若，与在公共点处的切线重合，求 (2)若与相交于A，在B的左侧两点，记直线AB的斜率为 （i）求证： （ii）若，设，证明： 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）设为公共点的横坐标，可得，且，计算求解即可； （2）法一：（i）分析可知只需证，由已知可得，令，则，进而可得构造函数,记，求导，可证结论.（ii）分析可知只需证明 由（i）分析可得，构造函数证明即可.法二：（i）由题意，，，两式作差可得，证明即可；（ii）证明即可. 【详解】（1）若，则， 因为与在公共点处的切线重合，不妨设为公共点的横坐标，则，且， 所以，于是，解得，所以 （2）设，，其中 （i）由为增函数，知，所以 法1：则 依题意，有，且， 两式相减，得 令，则，且，解得，， 所以 记，则， 令，求导得， 故单调递减，故，所以在上单调递增， 故，所以式成立，从而式成立，所以 （ii）若，，则 因为，故只需证明 由（i）知，只需证，即要证 记，则 因为，所以，所以 所以，故在上单调递增， 所以，所以式成立，所以 法2：（i）由题意，，， 两式作差得，， 即 又，且， 则， 所以 下证：，即证：，即证： 不妨设，，即证： 记，，则， 所以在上单调递增，所以，所以，故 （ii）依题意，， 同理可得，， 所以， 由（i）知， 又，所以， 所以， 又，故，所以，所以 【点睛】方法点睛：利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数，通过研究函数的性质进而解决不等式问题． 专题三：导数的极值最值全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（2024高二下·吉林·竞赛）函数，若对成立，则（    ） A．对成立 B．对成立 C．对成立 D．对成立 【答案】C 【分析】取端点值代入解得，并代入检验，对求导，利用导数判断的单调性，结合函数值分析判断. 【详解】若对成立， 可得 ，解得； 若，即， 又因为对恒成立， 且对恒成立， 即对成立，符合题意； 综上所述：. 因为，则， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 且， 由可知选项AB错误； 由可知选项D错误； 结合单调性可知：对成立，故C正确； 故选：C. 2．（2018高二·全国·竞赛）若，都有成立，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用导数求在区间的最大值，则在内恒成立可转化成在内恒成立，通过二次求导可得的最大值，即可得到答案 【详解】令， 则问题转化为恒成立，则， 由， 在上，单调递减，在上，单调递增， 且，， 则在上恒成立，所以. 令，且，则， 令且，则，即递减， 而，故时，单调递增，时，单调递减， 故，则. 故选：C. 3．（2016高二·全国·竞赛）已知函数既是二次函数又是幂函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称.若直线与函数的图象和函数的图象的交点分别为，，则当达到最小时，的值为（    ）. A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数图象，把表示为关于的函数，利用导数求达到最小时的值. 【详解】函数既是二次函数又是幂函数，则， 函数的图象与函数的图象关于直线对称，则， 结合图象得，. 由，且，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值. 故选：B 4．（2018高二·全国·竞赛）设函数 ，且，则当时，的导函数的极小值为（    ）. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由已知条件求出参数的值，利用导数判断当时，的单调性，求出极值. 【详解】当时，，， 当时，，， 由可知，解得 ， ∴当时，， 设则， 当，；当，， ∴在上单调递减，在上单调递增， 即的极小值为， 故选：. 5．（2013高三·浙江·竞赛）设函数，则函数的极大值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的表达式，计算出其所有零点，根据零点的分布，写出大于零和小于零的自变量区间，大概猜想其图象，判别其极值点. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 其函数大致如图所示． 结合图象可知，当时，函数值大于零，当时，函数值小于零，当时，函数值小于零， 根据函数极值的概念可知，是函数的极大值点．是极小值点，不是极值点． 故选：B． 6．（17-18高三·北京·强基计划）设正实数a，b满足，则得的最小值为（    ） A． B． C．218 D．前三个答案都不对 【答案】A 【分析】利用拉格朗日乘数法或齐次化可求最小值. 【详解】解法一 设， 则根据拉格朗日乘数法，有 解得， 进而由切线法，取在处的切线，取在处的切线即可得所求代数式的最小值为． 解法二 因为，所以 ． 令，设，则 ， 故当且仅当，即时，取到最小值，且 ． 故选：A. 7．（16-17高三·北京·强基计划）设函数，若对任意，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 求出函数的导数，就、分类讨论导数的符号后可求参数的取值范围. 【详解】函数的导函数， 考虑到，因此讨论分界点为． 情形一：当时，可得对任意实数，有， 符合题意． 情形二：当时，，而单调递增， 所以必然存在唯一正实数使得， 此时在区间上有单调递减，而，不符合题意． 综上所述，实数a的取值范围是． 故选：A. 8．（18-19高三·北京·强基计划）函数的最小值为（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】D 【分析】利用导数可求函数的最小值. 【详解】根据题意，有 于是 从而 x 0 6 因此所求函数的最小值为6． 故选：D. 9．（19-20高三·北京·强基计划）设函数在区间上存在零点，则的最小值为（    ） A． B．e C． D． 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离结合导数可求的最小值. 【详解】设零点为t，则， 因此， 考虑函数，其导函数， 因此函数在上单调递减，从而的最小值为． 故选：D. 10．（2023高二下·安徽阜阳·竞赛多选题）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心.已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（    ） A．， B．的值是199. C．函数有三个零点 D．过可以作三条直线与图像相切 【答案】AB 【分析】根据“拐点”的定义与的对称中心，建立方程求出可判断A，由函数的中心对称性质对式子相加可求，从而判断B，根据的单调性及的极值可判断C，根据导数的几何意义求出的切线方程，从而转化为切点个数问题即可判断D. 【详解】因为，所以， 从而，由题意，即，解得，故A正确； 因为函数的对称中心为， 所以有， 设， 所以有， 得，，所以 即的值是199.故B正确； 因为，所以， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在与处取得极大值与极小值， 又，，即的极大值与极小值大于0， 所以函数不会有3个零点，故C错误； 设切点为，则切线方程为， 又切线过，则， 化简得，即，解得或， 即满足题意的切点只有两个，所以满足题意只有两条切线，故D错误. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：本题把切线条数问题转化为函数的零点个数问题，要学会用试根法或者配方法求解三次方程. 11．（23-24高三下·全国·强基计划多选题）．则（    ） A．若有两个解，则． B．若有最小值，则． C．若有最小值，则． D．若有两个解，则． 【答案】AD 【分析】求得，得出函数的单调性和极值，判定A正确；当时，得到取得最小值0，当时，，可判定B、C错误； 设，令，利用导数求得在单调递增，得到，进而转化为，根据函数的单调性，求得，可判定D正确. 【详解】由函数，可得， 当时，；当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 当时，函数取得极大值，极大值为， 且当，，当时，， 所以有两个解，则，所以A正确； 当时，方程恒有根，取得最小值0都成立； 当时， ，所以， 即时，恒有最小值，所以B、C都不正确； 设，令， 可得， 当时，且，所以，可得， 所以在单调递增，所以， 所以在时，， 又由时，，所以，且，在上单调递增， 又因为有两个解，则， 不妨令，则， 由，因为，所以， 又因为，所以， 因为，可得，且，且函数在为单调递增函数， 所以，所以，所以D正确. 故选：AD. 【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 12．（16-17高三·北京·强基计划多选题）设函数，则（    ） A．有两个极大值点 B．有两个极小值点 C．是的极大值点 D．是的极小值点 【答案】BC 【详解】求出函数的导数，讨论其符号后可得正确的选项. 【分析】根据题意，可得， 于是 x 1 0 0 0 极小值 极大值 极小值 因此函数有2个极小值点，以及1个极大值点． 故选：BC 13．（2024高二下·吉林·竞赛）已知函数 .若，使得，则实数的最大 值为 . 【答案】 . 【分析】设，由，可得符合题意.后说明时不满足题意即可得答案. 【详解】设 ，则 ， 当 时，，即存在，使得 ， 符合题意. 当 时， . 设 ，则 ， 当时，，当时，， 即在单调递增，在单调递减 知为的极大值点，也是最大值点， 所以. 所以当时，对，有，不符合题意， 综上，. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：对于结构比较复杂的求参问题，可由函数零点，极值点得到满足题意的参数值，后证明大于参数或小于参数值时不满足题意即可得答案. 14．（2024高三下·上海·竞赛）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】函数零点问题，使用导函数研究原函数性质即可求解. 【详解】由条件,设, 则, 于是在区间上单调递增,在区间上单调递减, 从而. 结合图形知,所以实数的取值范围是. 故答案为：. 15．（2011高二·全国·竞赛），函数没有极值的充要条件为 ． 【答案】 【分析】求导后可得恒成立，计算即可得. 【详解】，注意到是开口向上的二次函数， 若没有极值，则只能是恒成立， 即，解得． 故答案为：. 16．（2017高二·全国·竞赛）若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用导数讨论函数的单调性，结合在区间上有最大值，列出不等式即可求解. 【详解】由题意得， 令，则或；令，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减，且时取极大值2. 又，故为使函数在区间上有最大值， 需满足，解得. 故答案为： 17．（2017高二·全国·竞赛）已知函数，，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用指数函数的图象与性质消元转化，构造函数利用导数研究其单调性与最值即可. 【详解】根据指数函数的图象与性质可知， ， 令， 显然时，，时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得最大值. 故答案为：． 18．（2012高二·全国·竞赛）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，构造函数，分与讨论，然后转化为恒成立，代入计算，即可得到结果. 【详解】构造函数，其定义域为， 则， 当时，单调递增，不可能恒成立； 当时，令，得或（舍去）． 当时，； 当时，，故在上有最大值， 由题意知恒成立，即， 令，则在上单调递减，且， 故成立的充要条件是． 故答案为： 19．（2007高一·全国·竞赛）不等式的解集为 . 【答案】或或 【分析】换元，由函数单调性知或，求解即可. 【详解】令，则， 即或. 令，则， 令，则， 当，单调递减，当，单调递增， 所以当时，有最小值，最小值为3，所以时取等号. 故或. . 所以当，即，解得， 当时，即，解得， 当时，即，解得， 故. 故答案为：或或. 20．（2009高二·全国·竞赛）的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据换元后的新函数，利用导数求解单调区间，再求最大值即可. 【详解】令 所以， 所以， 令，所以；令，所以. 所以. 故答案为：. 21．（2007高二·全国·竞赛）已知x、y、，且．如果x、y、z中没有一个数大于另一个数的2倍，那么乘积的最小值为 ． 【答案】/0.03125 【分析】依题意假设，设，，以使时推出矛盾，即得，从而问题转化为求函数在上的最小值，利用导数可得结果. 【详解】设是乘积的最小值，不妨设．又设，， 其中，且充分小，以使，于是，、、，仍满足原来的约束条件， 因此， 这与最小相矛盾，因此，， 又由约束条件得，∴， 由，得， 问题转化为求函数在上的最小值． 因为， 令，即，解得：， 令，即，解得：或， 所以在上是增函数，在上为减函数． 故． 故答案为：. 22．（2023高二下·安徽阜阳·竞赛）设函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意可得到或共有4个解，通过构造函数，根据导函数的性质判断函数的单调性，从而作出函数的图象，再结合图象即可求解． 【详解】因为恰好有4个不相等的实数解， 所以恰好有4个不相等的实数解， 所以或共有4个解， 设，，则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 又，，当时，，所以； 设，，则，为单调减函数， 且时，，，， 作出函数的图象如图所示：      由图可知只有一解，要恰好有4个不相等的实数解， 即要恰有3解，所以，即． 所以实数m的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：此题考查根据函数的零点个数求参数的范围，解题的关键是画出函数的图象，结合图象求解，考查学生的转化能力和数形结合的思想，属于较难题． 23．（2022高二·江苏苏州·竞赛）若关于x的不等式恒成立，则实数a的最大值为 . 【答案】 【分析】关于x的不等式恒成立，即关于x的不等式恒成立，则，即，分三种情况讨论，分离参数，构造新的函数，利用导数求出函数的最值，从而可得出答案. 【详解】解：关于x的不等式恒成立， 即关于x的不等式恒成立， 因为函数为增函数， 所以函数为增函数， 所以，所以， 当时，无意义，故， 当时，则， 则， 令，则， 所以函数在上递减， 当时，， 所以，与矛盾， 所以舍去， 当时，则， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上递减，在上递增， 所以， 所以， 综上所述，， 所以实数a的最大值为. 故答案为：. 24．（23-24高三下·全国·强基计划）已知，，，则y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，构建函数，利用导数研究其值域，可得答案. 【详解】由，则，令，， 令，解得，可得下表： 极大值 当时，；当时，. 由题意可知：. 故答案为：. 25．（2024高二下·内蒙古·竞赛）已知函数. (1)当时，讨论在上的极值. (2)若是的极小值点，求的取值范围. 【答案】(1)在上的极大值为，无极小值 (2) 【分析】（1）求导可得，构建，利用导数分析的单调性和符号，即可得的符号，进而可得的单调性和极值； （2）可知存在实数，使得在内恒成立，构建，则是的极小值点等价于是的极小值点，分类讨论，分析的极值点即可. 【详解】（1）若，则，， 构建， 则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 且， 可知当时，；当时，； 注意到当时，与的符号性一致， 即当时，；当时，； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 所以在上的极大值为，无极小值. （2）因为， 对于函数，且， 可知存在实数，使得在内恒成立， 构建函数， 可知当时，与符号相同，且， 所以是的极小值点等价于是的极小值点， 因为，则， 构建，则， ①当，即时，则存在， 使得在内单调递减，且， 可知当时，；当时，； 即当时，；当时，； 则在内单调递增，在内单调递减， 可知是的极大值点，不合题意； ②当，即时，则存在， 使得在内单调递增，且， 可知当时，；当时，； 即当时，；当时，； 则在内单调递减，在内单调递增， 可知是的极小值点，符合题意； ③当，即时，可知在上恒成立， 此时，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增，且， 可知在内恒成立，即在内恒成立， 则在内单调递增，不为的极值点，不合题意 综上所述：的取值范围是. 26．（2017高二·全国·竞赛）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数有两个极值点，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3). 【分析】（1）求当时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程； （2）求出的导数，令，得，对判别根式讨论，令导数大于零得到增区间，令导数小于零，得到减区间； （3）函数有两个极值点，，由（2）可知，，将不等式转化为，构造函数，利用导数求得的范围，从而得解. 【详解】（1）当时，，， 则，，所以切线方程为. （2）（），令，得， （I）当，即时，在上恒成立， 所以函数在上单调递增； （II）当，即时，由，得， ①若，由，得或, 的单调递增区间是，； 由，得, 的单调递减区间是； ②若，则，函数在上递减，在上递增； ③若，由，得，则函数在上递减； 由，得，则函数在上递增. 综上，当时，的单调递增区间是； 当时，的单调递增区间是，，单调递减区间是； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是. （3）由（2）可知，函数有两个极值点，，则， 由，得，则，，， 由，可得，， ， 令， 则， 因为，，，， 又，所以，即时，单调递减， 所以，即， 故实数m的取值范围是. 27．（2012高二·全国·竞赛）已知函数． (1)若函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围； (2)设，若函数存在两个零点，且．问：函数在点处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不可能，理由见解析 【分析】（1）将单调递增转化为导函数不小于零恒成立，通过参变分离转化为最值求解即可； （2）设在点的切线平行于轴，根据为零点，切线平行于轴列方程组，变形整理，构造函数，利用导数找出矛盾即可. 【详解】（1），， 由题意知恒成立，即恒成立，所以， 又，当且仅当时，等号成立， 故，所以； （2）设在点的切线平行于轴，其中， 则， 由题意有， ①－②得，所以， 由④得，所以 即⑤ 设，则⑤式变为， 令，， 所以函数在上单调递增， 因此，即，也就是，此式与⑤矛盾， 所以在点的切线不可能平行于轴． 【点睛】方法点睛：对于双变量问题，我们要想办法变形，通过换元，转化为单变量问题，然后构造函数解答，比较常见的换元有令. 28．（2017高一·全国·竞赛）为美化校园环境，学校后勤处准备在一块直径为的半圆空地（如图所示）上进行绿化改造，规划在外的地方种草，的内接正方形建一个小型水池，其余地方种花，若的面积为，正方形的面积为，将比值称为“规划合理度”. (1)使用表示和； (2)若为定值，变化时，求“规划合理度”的最小值，并求取得最小值时的值. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）是把边长用三角函数表示，再结合三角形面积公式和二倍角公式可得；是先用三角函数表示正方形边长，再经过二倍角公式，同角三角函数关系化简可得； （2）设，构造函数，求导分析其单调性，再求最值即可. 【详解】（1）由题意得，则的面积为， 设正方形的边长为，由， 则正方形的面积为. 由二倍角公式，同角三角函数，代入上式，通分化简可得 . （2）由（1）知，， 设， 于是，， 令可得， 所以在上为减函数，即上是的减函数 所以当时，， 当取得最小值时，求得. 29．（2024高三上·北京·竞赛）中，求的最大值 【答案】 【分析】根据题意，由正弦的和差角公式以及辅助角公式化简，然后构造函数，求导即可得到结果. 【详解】令 ，其中， 所以， 设，， 则显然有，， 因此只需考虑在上的最大值， 求导可得， 令，可得， 则其在上的解为， 于是. 所以的最大值是. 30．（2023高二·安徽·竞赛）已知函数（为常数）的图象上存在四个点，过的切线为，其中，且围成的图形是正方形． (1)求证：； (2)试求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据导函数的几何意义得到，由正方形性质得到，，，从而由基本不等式得到； （2）先排除，考虑，得到，化简得到，令，化简得到，， 方法一：令，求导，得到单调性，求出最小值，得到答案； 方法二：令，由基本不等式求出最小值，求出答案. 【详解】（1）设直线的斜率为，又，则， 由题意得，， 则，， 所以， ，当且仅当时，等号成立， 即． （2）若，则不成立， ． 不失一般性，可设． ． 与的距离与的距离分别设为与， 则，， 所以， ，令，则． ， ， ，又，可得． 方法一：令， 则， 因为，所以当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值，从而取得最小值， ， 的取值范围是． 方法二：令，则， 因为，所以， 由基本不等式得到， 当且仅当，即时，取得等号， ， 的取值范围是． 【点睛】当已知切点坐标为时，根据导函数的几何意义可得到切线的斜率，再利用求出切线方程； 当不知道切点坐标时，要设出切点坐标，结合切点既在函数图象上，又在切线方程上，列出等式，进行求解. 31．（2023高二下·安徽阜阳·竞赛）已知函数和. (1)若存在零点，求实数的取值范围； (2)当函数和有相同的最小值时，求． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）讨论，利用导数与函数的单调性的关系判断函数的单调性，结合零点存在性定理确定函数的零点情况，由此确定的取值范围； （2）由（1）可得且，利用导数求函数的最小值，由条件可得，利用导数求方程的解即可. 【详解】（1）因为，所以， ①当时，，此时在单调递增， 所以在存在唯一零点， 所以在存在唯一零点； ②当时，，所以在无零点； ③当时，，， 此时在单调递减，单调递增， 所以 ，且 ， 若存在零点，则只需要即可， 所以， 由①②③可得，实数的取值范围； （2）由（1）知，且. 函数的定义域为，导函数， 当时，，故在上为减函数， 当时，，故在上为增函数， 故. 因为和有相同的最小值， 故，整理得到，其中， 设，则， 故为上的减函数，而， 故的唯一解为，故的解为. 综上，. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 32．（2023高三下·全国·竞赛）已知函数．设为的导函数． (1)证明：有且仅有一个极值点； (2)判断的所有零点之和与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)：的所有零点之和大于，理由见解析 【分析】（1）要确定的极值点情况，则需要判断其导函数的单调性，设，对进行变形处理，即，即判断函数的取值情况，即可得的取值情况，从而确定函数的极值点取值个数； （2）结合的单调性，确定其零点，从而得函数的极值点分布，根据函数单调性结合零点存在定理即可确定函数的零点个数及范围，利用三角函数与指数函数的单调性即可判断的所有零点之和与的大小关系. 【详解】（1）证明：因为，所以 设，， 所以，其中恒成立， 令，， 则， 因为，所以， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递增； 又，，， 所以，使得 ，即， 故对于有，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 所以是函数的极大值点，无极小值点，故有且仅有一个极值点. （2）解：的所有零点之和大于，理由如下： 函数，其导函数，，使得当时，单调递增，当时，函数单调递减， 又， 所以， 因为，所以，所以， 又， 故，使得，，使得，于是可得： 当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又，故， 则，所以存在使得， 所以，又，所以，则存在使得， 又，所以函数在区间上无零点； 故函数在上有两个零点，且， 由可得： ，所以， 又， 所以， 根据，可得：，， 并且函数在上单调递减，所以，即， 故的两个零点之和大于. 【点睛】本题考查函数的极值点、零点与导数的关系，涉及到三角函数与指数函数混合运算，难度较大.解决本题中证明极值点个数问题的关键是，将指数函数与三角函数的加减运算，变形成乘除运算，这样避免求导数过程中，导函数的零点无法解含指数与三角函数的方程问题，例如本题中对函数直接求其导数无法消除指数运算，将其转化为，其影响正负的部分的导函数零点可求，其单调性与极值点即可确定；解决本题中原函数零点之和的问题的关键是确定零点范围为之后，结合零点所满足的等式关系，根据指数函数比较大小，利用诱导公式转化并结合余弦函数在上的单调性，即可确定零点之和与的大小关系. 33．（2021高三·全国·竞赛）设函数有三个正零点，求的最小值. 【答案】 【详解】一方面，当时，方程，故此函数有三个相等的零点，此时，下面证明即为所求的最小值. 设方程的三个正实根分别为､､， 则由根与系数的关系可得. 故. 由知：，可得.① 又由知：，可得， 从而有， 故，解得，所以，即， 所以② 由①②可得 ，其中， 设，则， 故在为减函数，故. 故. 34．（23-24高三下·全国·强基计划）均为正数，则的最大，最小值是否存在？是多少？ 【答案】存在，的最大值为3，最小值为. 【分析】根据已知条件进行化简，构造函数利用函数导数判断函数的单调性，解出最值，再根据条件限制范围； 【详解】由题意知，， 令则，且 令，则，令，则 递增，递减；所以，此时， 因此 所以的最大，最小值存在，的最大值为3，最小值为. 35．（17-18高三·北京·强基计划）已知函数． (1)当时，求函数在上的最大值和最小值． (2)若，讨论的单调性． 【答案】(1)在上的最大值为，最小值为0． (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导数后结合其符号可得函数的单调性，从而可得函数的最值. （2）就、、、、分类讨论后可得函数的单调性. 【详解】（1）当时，有， 于是其导函数， 因此 x 0 1 2 0 于是函数在上的最大值为，最小值为0． （2）函数的导函数， 因此讨论分界点为． 情形一 ．此时函数在上单调递增，在上单调递减． 情形二 ，此时函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 情形三 ．此时函数在上单调递减． 情形四 ．此时函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 情形五  ．此时函数在上单调递增，在上单调递减． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 答案第12页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $$