专题02 方程与不等式的相关运算（讲练，4考点+11题型+方法指导+命题预测）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（江苏专用）

专题02 方程与不等式的相关运算 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 一次方程 ►题型01 一元一次方程的应用 ►题型02 二元一次方程组的解法与应用 考点二 一元二次方程 ►题型01 解一元二次方程 ►题型02 根据一元二次根的情况求参数 ►题型03 一元二次方程根与系数的关系 ►题型04 一元二次方程的应用 考点三 分式方程 ►题型01 解分式方程 ►题型02 分式方程的应用 考点四 不等式与不等式组 ►题型01 解不等式 ►题型02 解不等式组 ►题型03 不等式与不等式组的应用 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 中考考点 新课标要求 命题预测 方程与不等式的相关运算 理解方程与不等式的相关概念；方程与不等式的运算； 方程与不等式的相关运算，在中考数学中出题类型比较广泛，选择题、填空题、解答题都有可能出现，并且对应难度也多为中等难度，是属于占分较多的一类考点.但是同一张试卷，方程类问题只会出现一种，不会重复考察.涉及本考点的知识点重点有:由实际问题抽象出一次方程(组)或分式方程，解方程(包含一次方程、二次方程、分式方程)，一元二次方程的定义、解法及跟的判别式、根与系数的关系、实际应用等.不等式中常考不等式的基本性质，解一元一次不等式(组)及不等式(组)的应用题等.这就要求考生在复习该部分考点时，熟记各方程(组)和不等式(组)的相关概念、性质、解法及应用. 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 一次方程 ►题型01 一元一次方程的应用 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，利用井的深度不变建立方程是解题的关键． 【详解】解：设绳长为x尺，列方程为， 故选A． 2．（2024·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意可得野鸭的速度为，大雁的速度为，设经过天相遇，则相遇时野鸭的路程+大雁的路程=总路程，据此即可列出方程． 【详解】解：设经过天相遇， 可列方程为：， 故选：A． 3．（2024·江苏扬州·中考真题）《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走米，速度慢的人每分钟走米，现在速度慢的人先走米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要 分钟． 【答案】 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的运用，理解数量关系，列出方程是解题的关键． 根据题意，设需要分钟追上，则速度快的人的路程等于速度慢的人的路程，由此列式求解即可． 【详解】解：根据题意，设分钟追上， ∴， 解得，， ∴速度快的人追上速度慢的人需要分钟， 故答案为： ． ►题型02 二元一次方程组的解法与应用 4．（2024·江苏盐城·中考真题）中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为 尺． 【答案】15 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键． 设绳索长 尺，竿长 尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺”，即可得出关于 的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设绳索长 尺，竿长 尺， 根据题意得： ． 解得： 故答案为15． 5．（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、加减消元法 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把，代入，得到，整体代入中，得到方程组，加减消元法解方程组即可． 【详解】解：把代入，得：， ∵， ∴，即：， ，得：， ∵方程组有解， ∴， ∴， 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解集为：； 故答案为：． 6．（2024·江苏苏州·中考真题）解方程组：． 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法求解．根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解： 得，，解得，． 将代入①得． 方程组的解是 7．（2024·江苏徐州·中考真题）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题． 【答案】甲、乙原来各有38枚、18枚钱币 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解决本题的关键． 设甲有钱x枚，乙有钱y枚，根据“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”列出方程组，求解即可． 【详解】解：设甲有钱x枚，乙有钱y枚，由题意，得 ， 解这个方程组，得． 答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币． 解二元一次方程组的方法选择： 1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法； 2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法； 3)当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法； 4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法． 1．（2024·江苏扬州·三模）设是从，0，3这三个数中取值的一列数，若，，则（    ） A．154 B．155 C．156 D．157 【答案】D 【知识点】数字类规律探索、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查的是数字的变化规律和二元一次方程组的应用，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 根据题意，设这一列数中有个，个3，可列，即可求出与的值，再将其代入中计算即可． 【详解】解：设这一列数中有个，个3， 可列， 解得：， ， 故选：D． 2．（2024·江苏苏州·一模）方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了消元法解二元一次方程组，熟练掌握消元法是解题的关键．先用加减消元法求出y的值，再代入原方程求出x的值即可． 【详解】解：， 得，， 解得，把代入①得，， 解得， 故此方程组的解为 故答案为： 3．（2024·江苏无锡·二模）《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，物品价格为y钱，可列方程组为 ． 【答案】 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意．设有x人，物品价格为y钱，根据每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱，列出方程组即可． 【详解】解：设有x人，物品价格为y钱， 根据题意得：， 故答案为：． 4．（2024·江苏无锡·二模）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得洒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，则清酒 斗． 【答案】 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设清酒x斗，根据现在拿30斗谷子，共换了5斗酒得：，即可解得答案． 【详解】解：设清酒x斗，则醑酒斗， 根据题意得：， 解得， ∴清酒斗． 故答案为：． 5．（2024·江苏连云港·二模）解方程组： 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】运用加减消元法求解即可． 本题考查了方程组的解法，熟练掌握解方程组的基本步骤是解题的关键． 【详解】 得， 解得； 把代入①解得，， 故方程组的解为． 6．（2024·江苏苏州·模拟预测）解方程组：． 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：， 得：，即， 将代入①得：， 则原方程组的解是． 7．（2024·江苏徐州·模拟预测）某经销商长期销售A、两种商品，5月份此经销商花费30000元一次性购买了A、两种商品共1700件，此时A、两种商品的进价分别为15元和20元．求5月份此经销商购进A、两种商品的数量； 【答案】5月份此经销商购进种商品800件，购进种商品900件． 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．设5月份此经销商购进商品件，可得：，即可解答． 【详解】解：设5月份此经销商购进商品件，则购进商品件， 根据题意得：， 解得， ， 5月份此经销商购进种商品800件，购进种商品900件． 8．（2024·江苏连云港·三模）母亲节前夕，某店主从厂家购进，两种礼盒，已知，两种礼盒的单价比为，单价和为元． (1)求，两种礼盒的单价分别是多少元？ (2)该店主购进这两种礼盒恰好用去元，且购进种礼盒最多个，种礼盒的数量不超过种礼盒数量的倍，共有几种进货方案？ 【答案】(1)种礼盒单价为元，B种礼盒单价为元 (2)共有三种送货方案 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，二元一次不等式组的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程． （2）根据各数量之间的关系，列出，从而根据题意正确列出二元一次不等式组，分析即可． 【详解】（1）解：设种礼盒单价为元，B种礼盒单价为元， 依据题意：得， 解得． 则，． 答：种礼盒单价为元，B种礼盒单价为元． （2）设购进种礼盒个，种礼盒个， 依据题意，得， 整理，得， 即． ∵， ∴， 解得：， ∵，是整数， ∴的值为，，，的值为，，， 综上可知，共有三种送货方案． 考点二 一元二次方程 ►题型01 解一元二次方程 1．（2024·江苏徐州·中考真题）（1）解方程：； （2）解不等式组． 【答案】（1）， （2） 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，解一元一次不等式组，熟练掌握解法是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）分别解不等式①、②，然后找出它们的公共部分即可求出不等式组的解集． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ∴，； （2）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是． 2．（2024·江苏无锡·中考真题）（1）解方程：； （2）解不等式组： 【答案】（1），（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元一次不等式组． （1）先移项，再用直接开平方法即可求解； （2）先分别求解两个不等式，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”即可写出不等式组的解集． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得：． （2）解：， 由①可得：， 由②可得：， ∴原不等式组的解集为． 3．（2023·江苏无锡·中考真题）（1）解方程：       （2）解不等式组： 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据公式法解一元二次方程即可求解； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】（1） 解：∵， ∴， ∴ 解得：，； （2） 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 【点睛】本题考查了解一元二次方程，求不等式组的解集，熟练掌握公式法解一元二次方程以及解一元一次不等式组是解题的关键． 4．（2022·江苏徐州·中考真题）（1）解方程：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可求解； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：， ， ∴， ； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键． ►题型02 根据一元二次根的情况求参数 5．（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 6．（2024·江苏徐州·中考真题）关于x的方程有两个相等的实数根，则k值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 7．（2024·江苏南通·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值： ． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据判别式的意义得到，解不等式得到的范围，然后在此范围内取一个值即可． 【详解】解∶∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴当k取0时，方程有两个不相等的实数根． 故答案为：0（答案不唯一）． 8．（2024·江苏镇江·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：9． 9．（2024·江苏连云港·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式的关系．根据题意得，进行计算即可得． 【详解】解：若关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， 故答案为：． ►题型03 一元二次方程根与系数的关系 10．（2021·江苏盐城·中考真题）已知是方程 的两个根， 则的值为(  ) A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：∵是方程 的两个根， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 11．（2023·江苏泰州·中考真题）关于x的一元二次方程的两根之和为 ． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系进行求值． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握． ►题型04 一元二次方程的应用 12．（2024·江苏南通·中考真题）红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷，则2023年平均每公顷产，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷产， 则2023年平均每公顷产， 根据题意有：， 故选：A． 13．（2023·江苏·中考真题）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由．        【答案】的长为米或米 【分析】设米，则米，根据矩形生态园面积为，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设米，则米，根据题意得， ， 解得：， 答：的长为米或米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 14．（2023·江苏·中考真题）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为．若纸张大小为，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的，则需如何设置页边距？    【答案】 【分析】设页边距为，根据题意找出等量关系列方程，解方程即可解题． 【详解】解：设页边距为 则列方程为：， 解得：，（舍去）， 答：页边距为． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系列方程式解题的关键． （1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法； 1.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择： （2）当b=0时，首选直接开平方法； （3）当c=0时，可选因式分解法或配方法； （4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法； （5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法. 2.根的判别式 （1）求根公式的使用条件：a≠0且b2-4ac≥0. （2） 使用一元二次方程根的判别式，应先将方程整理成一般形式，再确定a,b,c 的值. （3）利用判别式可以判断方程的根的情况,反之,当方程：1）有两个不相等的实数根时, >0; 2）有两个相等的实数根时, =0; 3）没有实数根时, <0. （4） 【选择题小技巧】若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中ac<0(或a、c异号)，则可直接判断该方程有两个不相等的实数根. 3.根与系数的关系 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是和，则，与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝； ＝ 一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0. 用根与系数的关系求值时的常见转化： 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x2 （1）平方和 （2）倒数和 + = （3）差的绝对值 | x1 - x2 |= = 1．（2024·江苏南京·三模）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 将原方程转化为或，即可求解． 【详解】解：， 或 解得：或， 所以，原方程的解为，． 故选：C． 2．（2024·江苏盐城·三模）设方程的两个根为，那么的值等于（   ） A．－3 B．1 C．－1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程两根为，则两根之和，代值求解即可得到答案，熟记一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． 【详解】解：方程的两个根为， ， 故选：C． 3．（2024·江苏淮安·一模）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，由一元二次方程根的定义可得，进而得，再把代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．（2024·江苏南京·三模）若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，设关于的方程的两个根为，得到，换元法得到的两个根，，再进行求解即可． 【详解】解：设关于的方程的两个根为， ∴，， ∴关于y的方程的两根为， ∴． 故选C． 5．（2024·江苏宿迁·一模）若关于x的一元二次方程有的两根为、，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系，是解决本题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，直接得结论． 【详解】解：一元二次方程有两实根，， 这里，，， ． 故答案为：． 6．（2024·江苏扬州·三模）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．根据题意分两种情况：当，即时，当，即时，分别求解即可得出答案． 【详解】解：当，即时，方程为，解得，有实数根， 当，即时，方程为一元二次方程，则， 解得：， ∴综上所述，实数k的取值范围是， 故答案为：． 7．（2024·江苏南京·模拟预测）某产品原来成本是25元，按照固定的百分率降低成本，连续两次降低后比一次降低后所剩的成本少4元，设这个百分率为x，可得方程 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设降低的百分率为x，再表示出连续两次降低后的成本，一次降低后的成本，根据连续两次降低后比一次降低后所剩的成本少4元，列出方程即可． 【详解】解：设降低的百分率为x，根据题意得： ． 故答案为：． 8．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知m是一元二次方程的一个根，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程的解和代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键．利用一元二次方程的解的定义得到，再根据，代入求解即可求． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， 即， ， 将代入得：原式， 故答案为：0． 9．（2024·江苏徐州·模拟预测）（1）解方程：；     （2）解不等式组：． 【答案】（1），．（2） 【分析】本题主要考查解一元二次方程和解不等式组， （1）根据完全平方公式现将等式左面配成完全平方公式，利用开平方法求解即可； （2）根据解不等式组的方法，分别求得不等式的解，再取其公共部分即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， 解得，． （2）解不等式①，得． 解不等式②，得． ∴原不等式组的解集为． 10．（2024·江苏徐州·模拟预测）（1）解方程： （2）解不等式组： 【答案】（1）x1=，x2= （2） 【分析】本题考查解一元二次方程及解不等式方程组． （1）根据题意利用根与系数的关系即可求出两个根． （2）根据题意先分别求出每个不等式得解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴x1=，x2=， （2）由①，得x>-3， 由②，得， ∴． 11．（2024·江苏常州·模拟预测）某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了31.2万辆． (1)求从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率； (2)按照（1）中所求平均年增长率计算2024年该品牌新能源汽车的销售量． 【答案】(1)从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为 (2)2024年该品牌新能源汽车的销售量为81.92万辆 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为，根据题意，销售量从2021年20万辆增加到2023年51.2万辆，增加了31.2万辆，列出方程求解即可． （2）根据（1）中计算得出的增长率，列出算式求解即可． 【详解】（1）设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为． 得：， 解得：，（舍去）． ∴从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为． （2）由题意得：（万辆）． ∴2024年该品牌新能源汽车的销售量为81.92万辆． 12．（2024·江苏常州·模拟预测）为服务全民健身战略，学校体育馆周末面向社会开放．据统计，2月入馆128人次，入馆人次逐月增加，4月达到288人次．设入馆人次的月均增长率相同． (1)求入馆人次的月均增长率； (2)受条件限制，体育馆月接纳能力不能超过400人次．在入馆人次的月均增长率不变的前提下，体育馆能接纳5月的入馆人次吗？说明理由． 【答案】(1)入馆人次的月平均增长率 (2)体育馆不能接纳5月的入馆人次，见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用： （1）设入馆人次的月增长率为，根据题意，列出方程求解即可； （2）根据增长率计算5月的入馆人次，即可得到结论． 【详解】（1）解：设入馆人次的月增长率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：入馆人次的月平均增长率； （2）解：体育馆不能接纳5月的入馆人次，理由如下： 入馆人次的月平均增长率为， 月的入馆人次为（人次）． ， 体育馆不能接纳5月的入馆人次． 考点三 分式方程 ►题型01 解分式方程 1．（2024·江苏无锡·中考真题）分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行计算，最后验根即可． 【详解】解：， ， ， 检验，当时，， ∴是原分式方程的解， 故选：A． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：，即 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为， 故答案为：． 3．（2024·江苏南通·中考真题）（1）计算：； （2）解方程． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了单项式乘多项式，解分式方程，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可得到答案； （2）根据解分式方程的步骤进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， ， ∴ 检验，当时，， 所以，原分式方程的解为 4．（2023·江苏镇江·中考真题）（1）解方程：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先去分母，再移项合并同类项，解出x的值，再对所求的根进行检验即可； （2）分别解每一个不等式，再求不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） 方程两边同时乘以， 得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集是． 【点睛】本题考查解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程的方法，解一元一次不等式组的方法是解题的关键． ►题型02 分式方程的应用 5．（2024·江苏扬州·中考真题）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？ 【答案】B型机器每天处理60吨垃圾 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型． 设型机器每天处理吨垃圾，则型机器每天处理吨垃圾，根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】解：设型机器每天处理吨垃圾，则型机器每天处理吨垃圾， 根据题意，得， 解得． 经检验，是所列方程的解． 答：B型机器每天处理60吨垃圾． 6．（2024·江苏常州·中考真题）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后与的比是，且，，，求四周边衬的宽度． 【答案】上、下、左、右边衬的宽度分别是 【分析】本题考查分式方程的应用，分别表示出的长，列出分式方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∵与的比是， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解． ∴上、下、左、右边衬的宽度分别是． 1. 分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据. 2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤. 6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是： ①根据未知数的范围求出字母的范围； ②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值； ③综合①②，求出字母系数的范围. 已知分式方程的解确定字母参数，一般解法是：首先将分式方程化为整式方程，用含字母参数的代数式表x，再根据解的情况确定字母参数的取值. 同时要注意原分式方程的最简公分母不能为零. 依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤： 1)先将分式方程转化为整式方程; 2)由题意求出增根; 3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值. 1．（2024·江苏无锡·二模）分式方程的解为（    ） A．9 B．－9 C．6 D．－6 【答案】A 【分析】此题考查了解分式方程，去分母化为整式方程，解整式方程并检验即可得到答案. 【详解】解： 两边同乘以得，， 解得 当时，， 所以原分式方程的解是， 故选：A 2．（2024·江苏无锡·模拟预测）若关于的方程有增根，则的值是（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查解分式方程，理解增根是解题的关键． 先把分式方程转化为整式方程，再确定增根，并把增根代入整式方程求解即可． 【详解】解：，两边都乘以得：， 关于的方程有增根， ， 解得：， ∴， ． 故选：A． 3．（2024·江苏苏州·一模）算经之首《九章算术》中有这样一题：“今有邑方不知大小，各中开门． 出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”其大意为“今有正方形小城，不知其大小，东南西北城墙正中央各开有一城门．出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树．问正方形小城的边长是多少？”若设正方形小城的边长为步，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程以及相似三角形的实际应用问题，根据题意，画出图形找到等量关系是解题的关键． 设正方形小城的边长为x步，根据出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树列方程即可得到结论． 【详解】解：设小城的边长为x步，如图所示， 根据题意，，，，，， ， ， ， ， 故选：D． 4．（2024·江苏·模拟预测）方程的解是 ． 【答案】 【分析】观察可得方程最简公分母为，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，具体方法是方程两边同时乘以最简公分母，在此过程中有可能会产生增根，增根是转化后整式的根，不是原方程的根，因此要注意检验． 【详解】解： 方程两边同乘得： ， 整理、解得． 检验：把代入． ∴是原方程的解， 故答案为． 5．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知关于x的方程有一个正数解，则m的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式．熟练掌握解分式方程，解一元一次不等式是解题的关键． 解分式方程得，由关于x的方程有一个正数解，可得，且，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：， ， 解得，， ∵关于x的方程有一个正数解， ∴，且， 解得，且， 故答案为：且． 6．（2024·江苏宿迁·三模）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范图是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求分式方程中的参数，解题的关键是掌握分式方程的解法，并且注意分式方程增根的问题． 根据分式方程的解法，解出x，再根据题意列出不等式求解即可． 【详解】， 去分母得：， 解得：， 方程的解为正数，且方程的增根为， ，且， 解得：，且， 故答案为：且． 7．（2023·江苏苏州·一模）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以是分式方程的解， 即分式方程的解是． 8．（2024·江苏连云港·三模）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ 【答案】每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元 【分析】本题考查分式方程的应用，设每个甲种粽子的进价为元，则每个乙种粽子的进价为元，根据用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同，列出方程，解方程即可，注意验根． 【详解】解：设每个甲种粽子的进价为元，则每个乙种粽子的进价为元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的根， 此时， 答：每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元． 9．（2024·江苏扬州·一模）2024年扬州鉴真半程马拉松比赛于4月1日举行，本届赛事设置半程马拉松、健康跑、欢乐跑项目．小明参与了“半程马拉松”（约）项目，小明前按计划的速度跑，之后为了提高成绩，平均速度提高到之前的倍，最终比原计划提前到达目的地．求小明前的平均速度． 【答案】小明前的平均速度为 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设小明前的平均速度为，根据最终小明比原计划提前到达目的地，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设小明前的平均速度为， 根据题意得：， 解得：， 经检验是方程的解，也符合实际意义． 答：小明前的平均速度为． 10．（2024·江苏盐城·三模）某商店用800元人民币购进某种水果销售，过了一周时间，又用1920元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的价格贵了2元． (1)该商店第一次购进这种水果多少千克？ (2)假设该商店两次购进的这种水果按相同的标价销售，最后剩下的40千克按标价的五折优惠销售．若两次购进的这种水果全部售完，利润不低于1240元，则每千克这种水果的标价至少是多少元？ 【答案】(1)该商店第一次购进这种水果80千克 (2)每千克这种水果的标价至少是18元 【分析】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用． （1）设该商店第一次购进这种水果x千克，则第二次购进这种水果2x千克，然后根据每千克的价格比第一次购进的价格贵了2元，列出方程求解即可； （2）设每千克水果的标价是y元，然后根据两次购进水果全部售完，利润不低于1240元列出不等式，然后求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设该商店第一次购进这种水果x千克，则第二次购进这种水果2x千克． 由题意，得， 解得． 经检验，是所列方程的解． 答：该商店第一次购进这种水果80千克； （2）解：设每千克这种水果的标价是y元，则 ， 解得． 答：每千克这种水果的标价至少是18元． 考点四 不等式与不等式组 ►题型01 解不等式 1．（2024·江苏盐城·中考真题）求不等式的正整数解． 【答案】，． 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集以及正整数解，先求出不等式的解集，进而可得到不等式的正整数解，正确求出一元一次不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， ∴不等式的正整数解为，． 2．（2024·江苏连云港·中考真题）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，图见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，根据去分母，去括号，移项，合并同类项可得不等式的解集，然后再在数轴上表示出它的解集即可. 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 解得． 这个不等式的解集在数轴上表示如下：    3．（2023·江苏盐城·中考真题）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来.    【答案】，数轴见详解 【分析】根据解一元一次不等式的步骤解答即可． 【详解】 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1：． 在数轴上可表示为： ． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，能求出不等式的解集是解此题的关键，难度适中． ►题型02 解不等式组 4．（2024·江苏扬州·中考真题）解不等式组，并求出它的所有整数解的和． 【答案】，整数和为6 【分析】本题主要考查解不等式组的整数解，掌握不等式的性质，不等式组的取值方法是解题的关键． 根据不等式的性质分别求出不等式①，②的解，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”即可求解，结合解集取整数，再求和即可． 【详解】解：， 由①得，， 解得，； 由②得，， 移项得，， 解得，， ∴原不等式组的解为：， ∴所有整数解为：， ∴所有整数解的和为：． 5．（2023·江苏南京·中考真题）解不等式组，并写出它的整数解． 【答案】； 【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，进一步求出它的整数解即可． 【详解】解：由，得：； 由，得：； ∴不等式组的解集为， ∴它的整数解为：． 6．（2023·江苏·中考真题）解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出整数解．    【答案】，整数解为：0，1，2 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再写出不等式组的解集，进而即可得到答案． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 故不等式组的解集为：， 在解集在数轴上表示出来为：    它的整数解为0，1，2． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，并把解集表示在数轴上，解题的关键是准确求出不等式的解集，注意不等式两边同除以一个负数不等号方向要发生改变． ►题型03 不等式与不等式组的应用 7．（2023·江苏扬州·中考真题）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元． (1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？ (2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？ 【答案】(1)甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元． (2)购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元． 【分析】（1）设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得，求解； （2）设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,则，解得，故最小整数解为，，根据一次函数增减性，求得最小值=． 【详解】（1）解:设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得 解得，， ， 答：甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元． （2）解：设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w, 则，解得，故最小整数解为， ， ∵，则w随m的增大而增大， ∴时，w取最小值，最小值． 答：购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的性质，一次函数的应用、一元一次不等式的应用；根据题意列出函数解析式，确定自变量取值范围是解题的关键． 8．（2024·江苏宿迁·中考真题）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同． (1)求纪念品A、B的单价分别是多少元？ (2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 【答案】(1)纪念品A、B的单价分别是元和元 (2)A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． （1）设A种纪念品的单价是x元，则B种纪念品的单价是元，利用数量总价单价，结合“用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同”，可得出关于x的分式方程，解之即可； （2）设购买a件A种纪念品，总费用为元，利用总价单价数量，可得出关于a的一次函数，求出a的取值范围，根据函数的增减性解题即可． 【详解】（1）解：设A种纪念品的单价为元，则B种纪念品的单价为元， ， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴B种纪念品的单价为元， 答：纪念品A、B的单价分别是元和元． （2）解：设A种纪念品购进件，总费用为元， 则， 又∵， 解得， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，购买这两种纪念品使总费用最少， 这时A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少． 9．（2024·江苏无锡·中考真题）某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 (1)求两种型号劳动用品的单价； (2)若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变） 【答案】(1)A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元 (2)该校购买这40件劳动用品至少需要950元 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，一次函数的实际应用． （1）设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，根据表格中的数据，列出方程组求解即可； （2）设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件，根据题意得出，设购买这40件劳动用品需要W元，列出W关于a的表达式，根据一次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）解：设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元， ， 解得：， 答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元． （2）解：设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件， 根据题意可得：， 设购买这40件劳动用品需要W元， ， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W取最小值，， ∴该校购买这40件劳动用品至少需要950元． 10．（2023·江苏盐城·中考真题）某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）． (1)若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价． (2)若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．班长小华打算购买本硬面笔记本（为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价． 【答案】(1)甲商店硬面笔记本的单价为16元 (2)乙商店硬面笔记本的原价18元 【分析】（1）根据“硬面笔记本数量=软面笔记本数量”列出分式方程，求解检验即可； （2）设乙商店硬面笔记本的原价为a元，则软面笔记本的单价为元，由再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同可得，再根据且m，均为正整数，即可求解． 【详解】（1）解：设硬面笔记本的单价为x元，则软面笔记本的单价为元，根据题意得 ， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意， 故甲商店硬面笔记本的单价为16元； （2）设乙商店硬面笔记本的原价为a元，则软面笔记本的单价为元， 由题意可得， 解得， 根据题意得， 解得， 为正整数， ，，，，，分别代入， 可得，，，，， 由单价均为整数可得， 故乙商店硬面笔记本的原价18元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出相应方程． 不等式组解集的确定有两种方法： 1）数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 2）口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了． 解一元一次不等式组的一般步骤： 1） 求出不等式组中各不等式的解集. 2） 将各不等式的解决在数轴上表示出来. 3） 在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 1．（2024·江苏宿迁·模拟预测）若，则下列不等式中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，根据不等式的性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、∵， ∴，故A正确，不符合题意； B、∵， ∴，故B错误，符合题意； C、∵， ∴，故C正确，不符合题意； D、∵， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：B． 2．（2024·江苏苏州·一模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤，准确计算．先求出不等式的解集，然后在数轴上表示不等式的解集即可，需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点． 【详解】解：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 解集在数轴上表示，如图所示： 故选：B． 3．（2024·江苏南通·二模）若存在，使的值同时大于和的值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是由一元一次不等式组的解集求参数，解题关键是建立不等式组． 先根据题意列出不等式组，求解每个不等式的解集，找出解集的公共部分即可求出的取值范围． 【详解】解：依题得：， 解得， 则要使题中条件成立，， 解得． 故选：． 4．（2024·江苏扬州·二模）若关于的不等式组有且只有两个整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出两个不等式的解集，再根据不等式组有且只有两个整数解得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∵不等式组有且只有两个整数解， ∴不等式组的解集为：， ∴ 解得：，则符合条件的所有整数的和为 故选：D． 5．（2024·江苏南京·模拟预测）若有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于得出一元一次不等式，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 6．（2024·江苏宿迁·二模）不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 7．（2024·江苏南京·三模）不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，属于基础题，关键在于正确找到两个不等式的公共部分． 分别解得两个不等式的解集，取其公共部分即可． 【详解】解： 解不等式得： 解不等式得： ∴ ∴不等式组的解集为： 故答案为． 8．（2024·江苏宿迁·三模）已知不等式组的解集是，则的值为 ． 【答案】1 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集求得、的值，再代入计算即可．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解：由得：， 由得：， 解集为， ，， 解得，， 则原式， 故答案为：1 9．（2024·江苏盐城·二模）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，解题的关键是严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．首先去分母，移项、合并同类项，系数化为1，即可求得原不等式的解集． 【详解】解： 去分母得：， 移项合并得：， 解得： 将解集表示在数轴上如下： 10．（2024·江苏南京·模拟预测）解不等式组，并在数轴上标出该不等式组的解集． 【答案】；见解析 【分析】本题考查了解不等式组，先分别求出各不等式的解，即可得；掌握解不等式组的方法是解题的关键． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴此不等式组的解集为：， 解集在数轴上的表式： 11．（2024·江苏淮安·模拟预测）某校运动会欲购买，两种奖品，若购买种奖品件和种奖品件，共需元；若购买种奖品件和种奖品件，共需元． (1)求、两种奖品的单价各是多少元？ (2)学校计划购买，两种奖品共件，购买费用不超过元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的倍，设购买种奖品件，购买费用为元，写出元与件之间的函数关系式求出自变量的取值范围． 【答案】(1)中奖品的单价为12元，种奖品的单价为16元 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，，不等式的应用，解题的关键是掌握相关的知识． （1）设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解； （2）根据购买费用种奖品的费用种奖品可求出元与件之间的函数关系式，再根据题意列出不等式组可求出的取值范围． 【详解】（1）解：设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元， 由题意得：， 解得：， 答：种奖品的单价为元，种奖品的单价为元； （2）由题意可得：， 购买费用不超过元， ， 解得：， 又种奖品的数量不大于种奖品数量的倍， ， 解得：， 自变量的取值范围． 12．（2024·江苏常州·模拟预测）某景区对基础设施提档升级，计划购置一批A型和B型器材．购买1套A型器材比购买1套B型器材多50元；购买2套A型器材和3套B型器材共需1350元． (1)购买1套A型器材和1套B型器材各需多少元？ (2)根据景区的实际情况，需购买A、B型器材的总数为50套，购买A、B型器材的总费用不超过14500元．请问A型器材最多购买多少套？ 【答案】(1)购买1套A型器材和1套B型器材各需、元 (2)A型器材最多购买套 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是∶ （1）设购买1套A型器材和1套B型器材各需，元，根据“购买1套A型器材比购买1套B型器材多50元；购买2套A型器材和3套B型器材共需1350元”列方程组求解即可； （2）设购买A型器材套，则购买B型器材为套，根据“购买A、B型器材的总费用不超过14500元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解∶ 设购买1套A型器材和1套B型器材各需，元， 由题意可得： ，解得 答：购买1套A型器材和1套B型器材各需、元； （2）解∶ 设购买A型器材套，则购买B型器材为套， 由题意可得： 解得， 答：A型器材最多购买套． $$专题02 方程与不等式的相关运算 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 一次方程 ►题型01 一元一次方程的应用 ►题型02 二元一次方程组的解法与应用 考点二 一元二次方程 ►题型01 解一元二次方程 ►题型02 根据一元二次根的情况求参数 ►题型03 一元二次方程根与系数的关系 ►题型04 一元二次方程的应用 考点三 分式方程 ►题型01 解分式方程 ►题型02 分式方程的应用 考点四 不等式与不等式组 ►题型01 解不等式 ►题型02 解不等式组 ►题型03 不等式与不等式组的应用 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 中考考点 新课标要求 命题预测 方程与不等式的相关运算 理解方程与不等式的相关概念；方程与不等式的运算； 方程与不等式的相关运算，在中考数学中出题类型比较广泛，选择题、填空题、解答题都有可能出现，并且对应难度也多为中等难度，是属于占分较多的一类考点.但是同一张试卷，方程类问题只会出现一种，不会重复考察.涉及本考点的知识点重点有:由实际问题抽象出一次方程(组)或分式方程，解方程(包含一次方程、二次方程、分式方程)，一元二次方程的定义、解法及跟的判别式、根与系数的关系、实际应用等.不等式中常考不等式的基本性质，解一元一次不等式(组)及不等式(组)的应用题等.这就要求考生在复习该部分考点时，熟记各方程(组)和不等式(组)的相关概念、性质、解法及应用. 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 一次方程 ►题型01 一元一次方程的应用 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏扬州·中考真题）《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走米，速度慢的人每分钟走米，现在速度慢的人先走米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要 分钟． ►题型02 二元一次方程组的解法与应用 4．（2024·江苏盐城·中考真题）中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为 尺． 5．（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ． 6．（2024·江苏苏州·中考真题）解方程组：． 7．（2024·江苏徐州·中考真题）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题． 解二元一次方程组的方法选择： 1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法； 2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法； 3)当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法； 4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法． 1．（2024·江苏扬州·三模）设是从，0，3这三个数中取值的一列数，若，，则（    ） A．154 B．155 C．156 D．157 2．（2024·江苏苏州·一模）方程组的解为 ． 3．（2024·江苏无锡·二模）《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，物品价格为y钱，可列方程组为 ． 4．（2024·江苏无锡·二模）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得洒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，则清酒 斗． 5．（2024·江苏连云港·二模）解方程组： 6．（2024·江苏苏州·模拟预测）解方程组：． 7．（2024·江苏徐州·模拟预测）某经销商长期销售A、两种商品，5月份此经销商花费30000元一次性购买了A、两种商品共1700件，此时A、两种商品的进价分别为15元和20元．求5月份此经销商购进A、两种商品的数量； 8．（2024·江苏连云港·三模）母亲节前夕，某店主从厂家购进，两种礼盒，已知，两种礼盒的单价比为，单价和为元． (1)求，两种礼盒的单价分别是多少元？ (2)该店主购进这两种礼盒恰好用去元，且购进种礼盒最多个，种礼盒的数量不超过种礼盒数量的倍，共有几种进货方案？ 考点二 一元二次方程 ►题型01 解一元二次方程 1．（2024·江苏徐州·中考真题）（1）解方程：； （2）解不等式组． 2．（2024·江苏无锡·中考真题）（1）解方程：； （2）解不等式组： 3．（2023·江苏无锡·中考真题）（1）解方程：       （2）解不等式组： 4．（2022·江苏徐州·中考真题）（1）解方程：； （2）解不等式组： ►题型02 根据一元二次根的情况求参数 5．（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 6．（2024·江苏徐州·中考真题）关于x的方程有两个相等的实数根，则k值为 ． 7．（2024·江苏南通·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值： ． 8．（2024·江苏镇江·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 9．（2024·江苏连云港·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． ►题型03 一元二次方程根与系数的关系 10．（2021·江苏盐城·中考真题）已知是方程 的两个根， 则的值为(  ) A．2 B． C．3 D． 11．（2023·江苏泰州·中考真题）关于x的一元二次方程的两根之和为 ． ►题型04 一元二次方程的应用 12．（2024·江苏南通·中考真题）红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（    ） A． B． C． D． 13．（2023·江苏·中考真题）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由．        14．（2023·江苏·中考真题）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为．若纸张大小为，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的，则需如何设置页边距？    （1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法； 1.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择： （2）当b=0时，首选直接开平方法； （3）当c=0时，可选因式分解法或配方法； （4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法； （5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法. 2.根的判别式 （1）求根公式的使用条件：a≠0且b2-4ac≥0. （2） 使用一元二次方程根的判别式，应先将方程整理成一般形式，再确定a,b,c 的值. （3）利用判别式可以判断方程的根的情况,反之,当方程：1）有两个不相等的实数根时, >0; 2）有两个相等的实数根时, =0; 3）没有实数根时, <0. （4） 【选择题小技巧】若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中ac<0(或a、c异号)，则可直接判断该方程有两个不相等的实数根. 3.根与系数的关系 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是和，则，与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝； ＝ 一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0. 用根与系数的关系求值时的常见转化： 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x2 （1）平方和 （2）倒数和 + = （3）差的绝对值 | x1 - x2 |= = 1．（2024·江苏南京·三模）方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏盐城·三模）设方程的两个根为，那么的值等于（   ） A．－3 B．1 C．－1 D．2 3．（2024·江苏淮安·一模）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏南京·三模）若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏宿迁·一模）若关于x的一元二次方程有的两根为、，则的值为 ． 6．（2024·江苏扬州·三模）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是 ． 7．（2024·江苏南京·模拟预测）某产品原来成本是25元，按照固定的百分率降低成本，连续两次降低后比一次降低后所剩的成本少4元，设这个百分率为x，可得方程 ． 8．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知m是一元二次方程的一个根，则的值是 ． 9．（2024·江苏徐州·模拟预测）（1）解方程：；     （2）解不等式组：． 10．（2024·江苏徐州·模拟预测）（1）解方程： （2）解不等式组： 11．（2024·江苏常州·模拟预测）某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了31.2万辆． (1)求从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率； (2)按照（1）中所求平均年增长率计算2024年该品牌新能源汽车的销售量． 12．（2024·江苏常州·模拟预测）为服务全民健身战略，学校体育馆周末面向社会开放．据统计，2月入馆128人次，入馆人次逐月增加，4月达到288人次．设入馆人次的月均增长率相同． (1)求入馆人次的月均增长率； (2)受条件限制，体育馆月接纳能力不能超过400人次．在入馆人次的月均增长率不变的前提下，体育馆能接纳5月的入馆人次吗？说明理由． 考点三 分式方程 ►题型01 解分式方程 1．（2024·江苏无锡·中考真题）分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）分式方程的解为 ． 3．（2024·江苏南通·中考真题）（1）计算：； （2）解方程． 4．（2023·江苏镇江·中考真题）（1）解方程：； （2）解不等式组： ►题型02 分式方程的应用 5．（2024·江苏扬州·中考真题）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？ 6．（2024·江苏常州·中考真题）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后与的比是，且，，，求四周边衬的宽度． 1. 分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据. 2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤. 6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是： ①根据未知数的范围求出字母的范围； ②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值； ③综合①②，求出字母系数的范围. 已知分式方程的解确定字母参数，一般解法是：首先将分式方程化为整式方程，用含字母参数的代数式表x，再根据解的情况确定字母参数的取值. 同时要注意原分式方程的最简公分母不能为零. 依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤： 1)先将分式方程转化为整式方程; 2)由题意求出增根; 3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值. 1．（2024·江苏无锡·二模）分式方程的解为（    ） A．9 B．－9 C．6 D．－6 2．（2024·江苏无锡·模拟预测）若关于的方程有增根，则的值是（   ） A．3 B． C．5 D． 3．（2024·江苏苏州·一模）算经之首《九章算术》中有这样一题：“今有邑方不知大小，各中开门． 出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”其大意为“今有正方形小城，不知其大小，东南西北城墙正中央各开有一城门．出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树．问正方形小城的边长是多少？”若设正方形小城的边长为步，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏·模拟预测）方程的解是 ． 5．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知关于x的方程有一个正数解，则m的取值范围 ． 6．（2024·江苏宿迁·三模）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范图是 ． 7．（2023·江苏苏州·一模）解方程： 8．（2024·江苏连云港·三模）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ 9．（2024·江苏扬州·一模）2024年扬州鉴真半程马拉松比赛于4月1日举行，本届赛事设置半程马拉松、健康跑、欢乐跑项目．小明参与了“半程马拉松”（约）项目，小明前按计划的速度跑，之后为了提高成绩，平均速度提高到之前的倍，最终比原计划提前到达目的地．求小明前的平均速度． 10．（2024·江苏盐城·三模）某商店用800元人民币购进某种水果销售，过了一周时间，又用1920元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的价格贵了2元． (1)该商店第一次购进这种水果多少千克？ (2)假设该商店两次购进的这种水果按相同的标价销售，最后剩下的40千克按标价的五折优惠销售．若两次购进的这种水果全部售完，利润不低于1240元，则每千克这种水果的标价至少是多少元？ 考点四 不等式与不等式组 ►题型01 解不等式 1．（2024·江苏盐城·中考真题）求不等式的正整数解． 2．（2024·江苏连云港·中考真题）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 3．（2023·江苏盐城·中考真题）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来.    ►题型02 解不等式组 4．（2024·江苏扬州·中考真题）解不等式组，并求出它的所有整数解的和． 5．（2023·江苏南京·中考真题）解不等式组，并写出它的整数解． 6．（2023·江苏·中考真题）解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出整数解．    ►题型03 不等式与不等式组的应用 7．（2023·江苏扬州·中考真题）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元． (1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？ (2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？ 8．（2024·江苏宿迁·中考真题）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同． (1)求纪念品A、B的单价分别是多少元？ (2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 9．（2024·江苏无锡·中考真题）某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 (1)求两种型号劳动用品的单价； (2)若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变） 10．（2023·江苏盐城·中考真题）某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）． (1)若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价． (2)若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．班长小华打算购买本硬面笔记本（为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价． 不等式组解集的确定有两种方法： 1）数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 2）口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了． 解一元一次不等式组的一般步骤： 1） 求出不等式组中各不等式的解集. 2） 将各不等式的解决在数轴上表示出来. 3） 在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 1．（2024·江苏宿迁·模拟预测）若，则下列不等式中错误的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·江苏苏州·一模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏南通·二模）若存在，使的值同时大于和的值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏扬州·二模）若关于的不等式组有且只有两个整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏南京·模拟预测）若有意义，则的取值范围是 ． 6．（2024·江苏宿迁·二模）不等式组的解集是 ． 7．（2024·江苏南京·三模）不等式组的解集是 ． 8．（2024·江苏宿迁·三模）已知不等式组的解集是，则的值为 ． 9．（2024·江苏盐城·二模）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 10．（2024·江苏南京·模拟预测）解不等式组，并在数轴上标出该不等式组的解集． 11．（2024·江苏淮安·模拟预测）某校运动会欲购买，两种奖品，若购买种奖品件和种奖品件，共需元；若购买种奖品件和种奖品件，共需元． (1)求、两种奖品的单价各是多少元？ (2)学校计划购买，两种奖品共件，购买费用不超过元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的倍，设购买种奖品件，购买费用为元，写出元与件之间的函数关系式求出自变量的取值范围． 12．（2024·江苏常州·模拟预测）某景区对基础设施提档升级，计划购置一批A型和B型器材．购买1套A型器材比购买1套B型器材多50元；购买2套A型器材和3套B型器材共需1350元． (1)购买1套A型器材和1套B型器材各需多少元？ (2)根据景区的实际情况，需购买A、B型器材的总数为50套，购买A、B型器材的总费用不超过14500元．请问A型器材最多购买多少套？ $$