第9章 中心对称图形——平行四边形（单元测试）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（苏科版）

八年级下苏科版《中心对称图形--平行四边形》单元测试 （满分120分，考试时间100分钟） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）为培养学生利用现代信息技术解决数学问题的能力，十堰经开区数学教研室在本学期组织辖区内初中生开展了“运用几何画板，探寻美丽的数学世界”比赛活动．下列图形是部分参赛作品，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，点A、C的对应点分别为D、E，延长CA交DE于点F，下列结论错误的是（　　） A．∠BED＝30° B．∠DBE＝45° C．∠ABD＝60° D．∠CBE＝60° 3．（3分）下列说法中不正确的是（　　） A．四边相等的四边形是菱形 B．对角线垂直的平行四边形是菱形 C．菱形的对角线互相垂直且相等 D．菱形的邻边相等 4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CF是AB边上的中线，DE是△ABC的中位线，若CF＝6，则DE的长（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若，BD＝3，则菱形ABCD的面积为（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A． B． C． D． 7．（3分）如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值： ①线段MN的长； ②△PAB的周长； ③△PMN的面积； ④直线MN，AB之间的距离； ⑤∠APB的大小． 其中会随点P的移动而变化的是（　　） A．②③ B．②⑤ C．①③④ D．④⑤ 8．（3分）如图，已知点P是矩形ABCD内一点（不含边界），设∠PAD＝θ1，∠PBA＝θ2，∠PCB＝θ3，∠PDC＝θ4，若∠APB＝80°，∠CPD＝50°，则（　　） A．（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）＝30° B．（θ2+θ4）﹣（θ1+θ3）＝40° C．（θ1+θ2）﹣（θ3+θ4）＝70° D．（θ1+θ2）+（θ3+θ4）＝180° 9．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（　　） A． B．2 C．2 D．4 10．（3分）如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE＝EF；④S△AOE：S△BCM＝2：3．其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11．（3分）已知在▱ABCD中，∠A比∠B大40°，那么∠C的度数是 　 　． 12．（3分）如图，长方形AOBC中，A、B在坐标轴上，OA＝2，OB＝1，则C的坐标为　 　． 13．（3分）如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝　 　s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 14．（3分）如图，已知平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线交边AD于E，∠ABC的平分线交AD于F，若AB＝12，AE＝5，则EF＝　 　． 15．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M是BC边上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N，若正方形ABCD的边长为2，则四边形OMCN的面积是 　 　． 16．（3分）如图，已知AB＝10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是　 　． 17．（3分）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边CD上，DE＝1，作EF∥BC，分别与边AB、AC交于点F、G，点M，N分别是AG，BE的中点，则∠FMA＝ 　 　°，△MNC的面积是 　 　． 18．（3分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是　 　． 三．解答题（共7小题，满分66分） 19．（8分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB＝5，AC＝6，求▱ABCD的面积． 20．（6分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A1B1C1； （2）若将△ABC绕点P旋转得到△A2B2C2，则点P的坐标为 　 　． A．（0，1） B．（1，2） C．（1，1） D．（1，0） 21．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E为AB上一点． （1）如图①，只用无刻度直尺在CD上作出点F，使得四边形AECF为平行四边形； （2）如图②，用直尺和圆规作出矩形EFGH，使得点F、G、H分别在BC、CD、DA上．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 22．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF． （1）求证：BD＝DF； （2）求证：四边形BDFG为菱形； （3）若AG＝13，CF＝6，求四边形BDFG的周长． 23．（12分）【模型呈现】在正方形学习过程中，我们发现下面的结论：如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N，则AP＝MN． （1）如图②，将边长为40的正方形ABCD折叠，使得点B落在CD上的点E处．若折痕FG＝41，则CE＝　 　． 【继续探索】 （2）如图③，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，BD， DC于点M，E，F，N．求证：EF＝ME+FN． （3）如图④，在正方形ABCD中，E、F分别为AD，BC上的点，作DM⊥EF于M，在MF上截取MN＝DM， 连接BN，G为BN中点，连接CG，CM．请依题意补全图形，若CG＝2，则CM＝　 　． 24．（12分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为（6，8），点D为对角线OB的中点．点P是OC边上一动点，直线PD交AB边于点E． （1）求证：四边形OPBE为平行四边形； （2）若△ODP的面积与四边形OAED的面积之比为1：3，求点P的坐标； （3）设点Q是x轴上方平面内的一点，以点O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，直接写出点Q的坐标． 25．（12分）平面直角坐标系不仅可以研究函数，还可以研究并解决很多图形以及图形变换问题． （1）如图①，在菱形OABC中，若点A（3，4），则点B坐标为 　 　； （2）如图②，线段AB、CD关于点P对称，若点A（3，3）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为 　 　； （3）如图③，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣1，2）、（﹣5，1），点M、N分别是x轴、y轴上的点，若以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则点M的横坐标为 　 　； （4）如图④，已知正方形ABCD的边长为5，E、F分别是边CD、AD上的点，BE、CF交于点P，CE＝DF＝2，写出求AP长的解题思路． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下苏科版《中心对称图形--平行四边形》单元测试 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C D C C B A C B 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）为培养学生利用现代信息技术解决数学问题的能力，十堰经开区数学教研室在本学期组织辖区内初中生开展了“运用几何画板，探寻美丽的数学世界”比赛活动．下列图形是部分参赛作品，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此分析判断即可． 【解答】解：中心对称图形的概念逐项分析判断如下： A、绕某一点旋转180°后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故符合题意； C、绕某一点旋转180°后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转180°后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2．（3分）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，点A、C的对应点分别为D、E，延长CA交DE于点F，下列结论错误的是（　　） A．∠BED＝30° B．∠DBE＝45° C．∠ABD＝60° D．∠CBE＝60° 【分析】直接根据旋转的性质逐一判断即可． 【解答】解：∵△ABC中，∠ABC＝45°，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE， ∴∠DBE＝∠ABC＝45°，∠ABD＝∠CBE＝60°， 故选项B、C、D正确， 由已知条件无法得出∠BED＝30°， 故选项A错误， 故选：A． 3．（3分）下列说法中不正确的是（　　） A．四边相等的四边形是菱形 B．对角线垂直的平行四边形是菱形 C．菱形的对角线互相垂直且相等 D．菱形的邻边相等 【分析】由菱形的判定与性质即可得出A、B、D正确，C不正确． 【解答】解：A．四边相等的四边形是菱形；正确； B．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确； C．∵菱形的对角线互相垂直且平分， ∴选项C不正确； D．菱形的邻边相等；正确； 故选：C． 4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CF是AB边上的中线，DE是△ABC的中位线，若CF＝6，则DE的长（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据直角三角形斜边上的直线的性质得出AB的长，再根据三角形中位线定理得出结果． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CF是AB边上的中线， ∴AB＝2CF＝12， ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE6， 故选：D． 5．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若，BD＝3，则菱形ABCD的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】首先根据三角形中位线定理得到，再计算菱形的面积即可． 【解答】解：∵E，F分别是AD，CD边上的中点，， ∴， ∵四边形ABCD是菱形， ∴菱形ABCD的面积， 故选：C． 6．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】依据矩形的性质即可得到△AOD的面积为12，再根据S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即可得到OE+EF的值． 【解答】解：∵AB＝6，BC＝8， ∴矩形ABCD的面积为48，AC10， ∴AO＝DOAC＝5， ∵对角线AC，BD交于点O， ∴△AOD的面积为12， ∵EO⊥AO，EF⊥DO， ∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12AO×EODO×EF， ∴125×EO5×EF， ∴5（EO+EF）＝24， ∴EO+EF， 故选：C． 7．（3分）如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值： ①线段MN的长； ②△PAB的周长； ③△PMN的面积； ④直线MN，AB之间的距离； ⑤∠APB的大小． 其中会随点P的移动而变化的是（　　） A．②③ B．②⑤ C．①③④ D．④⑤ 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MNAB，从而判断出①不变；再根据三角形的周长的定义判断出②是变化的；确定出点P到MN的距离不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出③不变；根据平行线间的距离相等判断出④不变；根据角的定义判断出⑤变化． 【解答】解：∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点， ∴MN是△PAB的中位线， ∴MNAB， 即线段MN的长度不变，故①错误； PA、PB的长度随点P的移动而变化， 所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②正确； ∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半， ∴△PMN的面积不变，故③错误； 直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误； ∠APB的大小点P的移动而变化，故⑤正确． 综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤． 故选：B． 8．（3分）如图，已知点P是矩形ABCD内一点（不含边界），设∠PAD＝θ1，∠PBA＝θ2，∠PCB＝θ3，∠PDC＝θ4，若∠APB＝80°，∠CPD＝50°，则（　　） A．（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）＝30° B．（θ2+θ4）﹣（θ1+θ3）＝40° C．（θ1+θ2）﹣（θ3+θ4）＝70° D．（θ1+θ2）+（θ3+θ4）＝180° 【分析】依据矩形的性质以及三角形内角和定理，可得θ2﹣θ1＝10°，θ4﹣θ3＝40°，两式相减即可得到（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）＝30°． 【解答】解：∵矩形ABCD， ∴∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴∠BAP＝90°﹣θ1，∠DCP＝90°﹣θ3， ∴△ABP中，90°﹣θ1+θ2+80°＝180°，即θ2﹣θ1＝10°，① △DCP中，90°﹣θ3+θ4+50°＝180°，即θ4﹣θ3＝40°，② 由②﹣①，可得（θ4﹣θ3）﹣（θ2﹣θ1）＝30°， 即（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）＝30°， 故选：A． 9．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【分析】连接AE，那么，AE＝CG，所以这三个d的和就是AE+EF+FC，所以大于等于AC，故当AEFC四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案． 【解答】解：如图，连接AE， ∵四边形DEFG是正方形， ∴∠EDG＝90°，EF＝DE＝DG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG， ∴d1+d2+d3＝EF+CF+AE， ∴点A，E，F，C在同一条线上时，EF+CF+AE最小，即d1+d2+d3最小， 连接AC， ∴d1+d2+d3最小值为AC， 在Rt△ABC中，ACAB＝2， ∴d1+d2+d3最小＝AC＝2， 故选：C． 10．（3分）如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE＝EF；④S△AOE：S△BCM＝2：3．其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论； ②在△EOB和△CMB中，对应直角边不相等，则两三角形不全等； ③可证明∠CDE＝∠DFE； ④可通过面积转化进行解答． 【解答】解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点， ∴OB＝OC， ∵∠COB＝60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB＝BC， ∵FO＝FC， ∴FB垂直平分OC， 故①正确； ②∵△BOC为等边三角形，FO＝FC， ∴BO⊥EF，BF⊥OC， ∴∠CMB＝∠EOB＝90°， ∴BO≠BM， ∴△EOB与△CMB不全等； 故②错误； ③易知△ADE≌△CBF，∠1＝∠2＝∠3＝30°， ∴∠ADE＝∠CBF＝30°，∠BEO＝60°， ∴∠CDE＝60°，∠DFE＝∠BEO＝60°， ∴∠CDE＝∠DFE， ∴DE＝EF， 故③正确； ④易知△AOE≌△COF， ∴S△AOE＝S△COF， ∵S△COF＝2S△CMF， ∴S△AOE：S△BCM＝2S△CMF：S△BCM， ∵∠FCO＝30°， ∴FM，BMCM， ∴， ∴S△AOE：S△BCM＝2：3， 故④正确； 所以其中正确结论的个数为3个； 故选：B． 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11．（3分）已知在▱ABCD中，∠A比∠B大40°，那么∠C的度数是 　110　． 【分析】根据平行四边形的对角相等，邻角之和为180°，即可求出该平行四边形各个内角的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°， 又∵∠A﹣∠B＝40°， ∴∠B＝70°，∠A＝110°， ∴∠C＝∠A＝110°． 故答案为：110． 12．（3分）如图，长方形AOBC中，A、B在坐标轴上，OA＝2，OB＝1，则C的坐标为　（﹣2，1）　． 【分析】根据矩形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵四边形AOBC是矩形， ∴AC＝OB＝1，BC＝OA＝2，∠CAO＝∠CBO＝90°， ∴C的坐标为（﹣2，1）， 故答案为：（﹣2，1）． 13．（3分）如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝　2或6　s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 【分析】分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE＝CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． 【解答】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm， 则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm）， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形， 即t＝6﹣2t， 解得：t＝2； ②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm， 则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm）， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形， 即t＝2t﹣6， 解得：t＝6； 综上可得：当t＝2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 故答案为：2或6． 14．如图，已知平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线交边AD于E，∠ABC的平分线交AD于F，若AB＝12，AE＝5，则EF＝　7　． 【分析】根据平行四边形的性质可得AD∥BC，根据两直线平行内错角相等可得∠AFB＝∠FBC，再由角平分线的定义可得∠ABF＝∠FBC，从而不难推出∠AFB＝∠ABF，由等角对等边可得AB＝AF，已知AE的长，从而EF的长不难求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AFB＝∠FBC， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠FBC， ∴∠AFB＝∠ABF， ∴AB＝AF； ∵AB＝12，AE＝5， ∴EF＝AF﹣AE＝12﹣5＝7， 故答案为：7． 15．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M是BC边上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N，若正方形ABCD的边长为2，则四边形OMCN的面积是 　1　． 【分析】先证∠BOM＝∠CON，再证△BOM和△CON全等，得出△BOM和△CON的面积相等，再证得四边形OMCN的面积与△BOC的面积相等，即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，∠OBM＝∠OCN＝45°， ∴∠BOC＝90°， ∴∠BOM+∠COM＝90°， ∵ON⊥OM， ∴∠MON＝90°， ∴∠CON+∠COM＝90°， ∴∠BOM＝∠CON， 在△BOM和△CON中， ， ∴△BOM≌△CON（ASA）， ∴S△BOM＝S△CON， ∴S四边形OMCN＝S△COM+S△CON＝S△COM+S△BOM＝S△BOC1， 故答案为：1． 16．（3分）如图，已知AB＝10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是　5　． 【分析】分别延长AC、BD交于点H，过G作MN∥AB，分别交AH于M，BH于N，易证四边形CPDH为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹△HAB的中位线MN，运用中位线的性质求出MN的长度即可． 【解答】解：如图，分别延长AC、BD交于点H，过G作MN∥AB，分别交AH于M，BH于N， ∵△APC和△BPD是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°， ∴△AHB是等边三角形， ∵∠A＝∠DPB＝60°， ∴AH∥PD， ∵∠B＝∠CPA＝60°， ∴BH∥PC， ∴四边形CPDH为平行四边形， ∴CD与HP互相平分． ∵G为CD的中点， ∴G正好为PH中点， ∵△ABH是等边三角形， ∴在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN． ∴MNAB＝5，即G的移动路径长为5． 故答案为：5． 17．（3分）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边CD上，DE＝1，作EF∥BC，分别与边AB、AC交于点F、G，点M，N分别是AG，BE的中点，则∠FMA＝ 　90　°，△MNC的面积是 　　． 【分析】先证明ADEF、BCEF是矩形，即可得到N是FC的中点，然后根据等腰直角三角形的三线合一得到∠AFE＝90°，，然后求出CG长，即可得到CM长，再根据解题即可． 【解答】解：连接FC， 由条件可知∠D＝90°，∠BAC＝∠DAC＝45°，AF∥CD， ∴ADEF、BCEF是矩形， ∴AF＝DE＝1，BF＝3，∠AFE＝90°， 又∵N是BE的中点， ∴F、C、N共线，且N是FC的中点， 由条件可知FA＝FC＝1， ∴， 又∵点M是AG的中点， ∴∠AMF＝90°，， 又∵， ∴， ∴， 又∵N是FC的中点， ∴， 故答案为：90，． 18．（3分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是　1　． 【分析】根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可． 【解答】解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时， 过点M作MF⊥DC于点F， ∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点， ∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°， ∴∠FMD＝30°， ∴FDMD， ∴FM＝DM×cos30°， ∴MC， ∴A′C＝MC﹣MA′1． 故答案为：1． 三．解答题（共7小题，满分66分） 19．（8分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB＝5，AC＝6，求▱ABCD的面积． 【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB＝AD即可解决问题； （2）连接BD交AC于O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题； 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， ∵BE＝DF， ∴△AEB≌△AFD ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形． （2）连接BD交AC于O． ∵四边形ABCD是菱形，AC＝6， ∴AC⊥BD， AO＝OCAC6＝3， ∵AB＝5，AO＝3， ∴BO4， ∴BD＝2BO＝8， ∴S平行四边形ABCDAC×BD＝24． 20．（6分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A1B1C1； （2）若将△ABC绕点P旋转得到△A2B2C2，则点P的坐标为 　C　． A．（0，1） B．（1，2） C．（1，1） D．（1，0） 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可． （2）连接AA2，BB2，分别作线段AA2，BB2的垂直平分线，相交于点P，则将△ABC绕点P逆时针旋转90°得到△A2B2C2，即可得出答案． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）连接AA2，BB2，分别作线段AA2，BB2的垂直平分线，相交于点P， 则将△ABC绕点P逆时针旋转90°得到△A2B2C2， 由图可得，点P的坐标为（1，1）． 故选：C． 21．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E为AB上一点． （1）如图①，只用无刻度直尺在CD上作出点F，使得四边形AECF为平行四边形； （2）如图②，用直尺和圆规作出矩形EFGH，使得点F、G、H分别在BC、CD、DA上．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【分析】（1）连接AC，BD交于点O，连接OE，延长EO交CD于点F，点F即为所求作． （2）连接AC，BD交于点O，连接OE，延长EO交CD于点G，以O为圆心OG为半径作弧交BC于点F，延长FO交AD于点H，连接EF，FG，GH，EH，四边形EFGH即为所求． 【解答】解：（1）如图1，点F，四边形AECF即为所求作． （2）如图2，四边形EFGH即为所求作． 理由：由△AOE≌△COF，可得OE＝OF， 由△AOH≌△COF．可得OH＝OF， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵OG＝OF， ∴FH＝EG， ∴四边形EFGH是矩形． 22．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF． （1）求证：BD＝DF； （2）求证：四边形BDFG为菱形； （3）若AG＝13，CF＝6，求四边形BDFG的周长． 【分析】（1）先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD＝FD； （2）由邻边相等可判断四边形BGFD是菱形； （3）设GF＝x，则AF＝13﹣x，AC＝2x，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值． 【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，BD为AC的中线， ∴BDAC， ∵AG∥BD，BD＝FG， ∴四边形BGFD是平行四边形， ∵CF⊥BD， ∴CF⊥AG， 又∵点D是AC中点， ∴DFAC， ∴BD＝DF； （2）证明：∵BD＝DF， ∴四边形BGFD是菱形， （3）解：设GF＝x，则AF＝13﹣x，AC＝2x， ∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°， ∴AF2+CF2＝AC2，即（13﹣x）2+62＝（2x）2， 解得：x＝5， ∴四边形BDFG的周长＝4GF＝20． 23．（12分）【模型呈现】在正方形学习过程中，我们发现下面的结论：如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N，则AP＝MN． （1）如图②，将边长为40的正方形ABCD折叠，使得点B落在CD上的点E处．若折痕FG＝41，则CE＝　9　． 【继续探索】 （2）如图③，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，BD， DC于点M，E，F，N．求证：EF＝ME+FN． （3）如图④，在正方形ABCD中，E、F分别为AD，BC上的点，作DM⊥EF于M，在MF上截取MN＝DM， 连接BN，G为BN中点，连接CG，CM．请依题意补全图形，若CG＝2，则CM＝　2　． 【分析】（1）利用ASA证明△FPG≌△DCE，得DE＝FP＝41，再利用勾股定理可得答案． （2）证出FEAP，由【模型呈现】知，AP＝MN，则可得出结论； （3）连接MG并延长使得MG＝GH，利用SAS可证△BGH≌△NGM，再结合全等三角形的性质和正方形的性质证明△CBH≌△CDM（SAS），进而可证明△MCH，△CGM是等腰直角三角形，即可得出答案． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，AB＝CB， 作FP⊥CB于P，连接BE， 则四边形AFPB是矩形， ∴∠BCE＝∠FPG＝90°， 由翻折知，GF⊥BE， ∴∠PFG＝∠CBE， ∵AB＝CB＝FP， ∴△FPG≌△BCE（ASA）， ∴BE＝FG＝41， 在Rt△CBE中，由勾股定理得CE9， 故答案为：9； （2）证明：如图2，连接FA，FP，FC， ∵正方形ABCD是轴对称图形，F为对角线BD上一点， ∴FA＝FC， 又∵FE垂直平分AP， ∴FA＝FP， ∴FP＝FC， ∴∠FPC＝∠FCP， ∵∠FAB＝∠FCP， ∴∠FAB＝∠FPC， ∴∠FAB+∠FPB＝180°， ∴∠ABC+∠AFP＝180°， ∴∠AFP＝90°， ∴FEAP， 由【模型呈现】知，AP＝MN， ∴MN＝ME+EF+FN＝AP＝2EF， ∴EF＝ME+FN； （3）解：根据题意补全图形如图所示： 连接MG并延长使得MG＝GH， ∵点G为BN的中点， ∴BG＝NG， 又∵∠BGH＝∠NGM， ∴△BGH≌△NGM（SAS）， ∴HG＝MG，BH＝NM，∠BHG＝∠NMG，则BH∥NM， ∴∠CBH＝∠BFE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，∠ADC＝90°， ∴∠BFE＝∠DEM，∠CDM+∠EDM＝90°， 又∵DM⊥EF， ∴∠DEM+∠EDM＝90°， ∴∠CDM＝∠DEM， ∴∠CDM＝∠BFE， ∴∠CBH＝∠CDM， ∵MN＝DM， ∴BH＝DM， 由正方形的性质可知，CB＝CD， ∴△CBH≌△CDM（SAS）， ∴CH＝CM，∠BCH＝∠DCM，∠BCD＝90°， 则∠BCH+∠BCM＝∠DCM+∠BCM＝∠BCD＝90°， ∴△MCH是等腰直角三角形， ∵HG＝MG， ∴CG⊥MH，则△CGM也是等腰直角三角形，则CG＝MG， ∴CMCG＝2． 故答案为：2． 24．（12分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为（6，8），点D为对角线OB的中点．点P是OC边上一动点，直线PD交AB边于点E． （1）求证：四边形OPBE为平行四边形； （2）若△ODP的面积与四边形OAED的面积之比为1：3，求点P的坐标； （3）设点Q是x轴上方平面内的一点，以点O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，直接写出点Q的坐标． 【分析】（1）证明△OPD≌△BED（AAS），得出OP＝BE，由平行四边形的判定可得出结论； （2）设P（0，t），求出S四边形OAED＝S△AED+S△ODA24．根据面积关系可得出答案； （3）分三种情况，由菱形的性质可得出答案． 【解答】（1）证明：∵四边形形OABC是矩形， ∴OC∥AB， ∴∠COB＝∠OBA，∠OPE＝∠PEB， ∵D为OB中点， ∴OD＝BD， ∴△OPD≌△BED（AAS）， ∴OP＝BE， 又∵OC∥AB，即OP∥BE， ∴四边形OPBE为平行四边形； （2）解：∵O（0，0），B（6，8）， ∴OB中点D坐标为（3，4）， 设P（0，t），则OP＝t， ∴S△OPDt•3， 设PD的直线表达式为y＝kx+t， ∵D在PD上， ∴4＝3k+t， ∴k， ∴PD：y． 令x＝6，则y＝﹣t+8， ∴E（6，8﹣t）． ∴S四边形OAED＝S△AED+S△ODA（8﹣t）+1224． ∵S△OPD：S四边形OAED＝1：3， ∴24＝3， 解得：t＝4， ∴P（0，4）． （3）解：Q的坐标为（3，9）或（﹣3，4）或（3，）． 如图，以OD为边，四边形ODQP为菱形， ∵D（3，4）， ∴OD5， ∴Q（3，9）； 如图，以OD为边，四边形ODPQ为菱形， ∴点D与点Q关于y轴对称， ∴Q（﹣3，4）； 如图，以OD为对角线，四边形OQDP为菱形，延长DQ交x轴于点H，则QH⊥x轴， 设OQ＝DQ＝m，则QH＝4﹣m， ∴32+（4﹣m）2＝m2， ∴m， ∴DQ， ∴QH＝4， ∴Q（3，）． 综上所述，Q的坐标为（3，9）或（﹣3，4）或（3，）． 25．（12分）平面直角坐标系不仅可以研究函数，还可以研究并解决很多图形以及图形变换问题． （1）如图①，在菱形OABC中，若点A（3，4），则点B坐标为 　（8，4）　； （2）如图②，线段AB、CD关于点P对称，若点A（3，3）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为 　（﹣1，﹣3）　； （3）如图③，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣1，2）、（﹣5，1），点M、N分别是x轴、y轴上的点，若以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则点M的横坐标为 　﹣4或4或﹣6　； （4）如图④，已知正方形ABCD的边长为5，E、F分别是边CD、AD上的点，BE、CF交于点P，CE＝DF＝2，写出求AP长的解题思路． 【分析】（1）求出AO＝5，由菱形的性质得出AO＝AB＝5，AB∥OC，则可得出答案； （2）由点B、C关于点P对称，先求出P点的坐标，再根据关于某点对称的点的特点，求出点C的坐标； （3）分三种情况，由平行的四边形的性质得出答案； （4）①以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系；②求点P的坐标；③由勾股定理可求AP的长． 【解答】解：（1）∵A（3，4）， ∴AO5， ∵四边形AOBC为菱形， ∴AO＝AB＝5，AB∥OC， ∴点B坐标为（8，4）， 故答案为：（8，4）； （2）∵B（5，1）、D（﹣3，﹣1）关于点P对称， 1，0， ∴点P的坐标为（1，0）． 设点C（x，y）， ∵A（3，3）， ∴1，0， ∴x＝﹣1，y＝﹣3． ∴C（﹣1，﹣3）． 故答案为：（﹣1，﹣3）； （3）当AB平行且等于NM时，四边形ABMN是平行四边形， ∵A（﹣1，2），N在y轴上， ∴M的横坐标为﹣5+1＝﹣4； 当AB平行且等于NM时，四边形ABNM是平行四边形， ∵B（﹣5，1），N在y轴上， ∴M的横坐标为﹣1+5＝4； 当AB为对角线时，四边形ANBM是平行四边形， ∵A（﹣1，2），B（﹣5，1）， ∴M的横坐标为﹣1﹣5＝﹣6； 故符合题意的有3个点，点M的横坐标分别为﹣4，4，﹣6． 故答案为：﹣4或4或﹣6； （4）解题思路是： ①以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系； ②求点P的坐标； ③由勾股定理可求AP的长． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/2/25 12:04:01；用户：19902929970；邮箱：19902929970；学号：3735747 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$