精品解析：内蒙古自治区赤峰市翁牛特旗2024-2025学年七年级上学期1月期末数学试题

2024—2025学年度第一学期期末质量监测 八年级 数学 考试范围：八年级上册全册 温馨提示： 1．本次考试设置的分值为100分，考试时间90分钟． 2．答题时，请将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上． 3．答选择题时，须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．答非选择题时，须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 5．所有题目须在答题卡上作答． 一、选择题（每题只有一个正确答案，每小题3分，共30分） 1. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形是轴对称图形是（　　） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A B. C. D. 3. 如图，是的一个外角，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. “无风才到地，有风还满空.缘渠偏似雪，莫近鬓毛生”是唐朝诗人雍裕之描写每年四月许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞的诗句，柳絮带给人们春天的讯息外也让人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维的直径约为，该数值用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知a，b满足，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 12或15 7. 下列说法中，正确的是（ ） A. 分式是最简分式 B. 若分式的值为0，则 C. 将分式中的x，y都扩大到原来的3倍，分式的值不变 D. 若关于x的方程无解，则a的值是0 8. 如图，已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形和全等的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 9. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 10. 如图，在直线的同一侧分别作两个等边三角形和，连接，有以下结论①；②；③平分；④是等边三角形；以上结论正确有（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 二、填空题（本大题共8题，每小题3分，共24分） 11. 计算：_____． 12. 已知，则的值为_____． 13. 如图，在中，，（点D在边上），，则_____． 14. 学校在举办了“叩问苍穹，征途永志”主题活动后，邀请同学们参与设计航天纪念章．小明以正八边形为边框，设计了如图所示的作品，则此正八边形徽章一个内角的大小为________°． 15. 若，则的值为_____． 16. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是____． 17. 如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为______． 18. 如图，为的中线，为的中线．若的面积为30，，则中边上的高为________． AI 三、解答题（共46分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，点E，B，F，C同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 21. 如图，在规格为的边长为1个单位的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），的三个顶点都在格点上，且直线、互相垂直． （1）画出关于直线对称的； （2）在直线上作出点，使得的周长最小；（保留作图痕迹） （3）图中面积为________．（请直接写出结果） 22. 宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍． （1）求甲、乙两种点茶器具套装单价． （2）某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套，且经费预算不超过5000元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？ 23. 教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式最小值． 原式． ， 当时，有最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）求代数式的最小值； （3）当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由． 24. 在中，，为延长线上一点，E为线段的垂直平分线的交点，连接． （1）如图1，当时，求的度数． （2）当时， ①如图2，连接，按边分，是_______三角形． ②如图3，直线与交于点F，满足为直线上的一个动点．说明当点P在什么位置时，的值最大？并求出这个最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期末质量监测 八年级 数学 考试范围：八年级上册全册 温馨提示： 1．本次考试设置的分值为100分，考试时间90分钟． 2．答题时，请将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上． 3．答选择题时，须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．答非选择题时，须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 5．所有题目须在答题卡上作答． 一、选择题（每题只有一个正确答案，每小题3分，共30分） 1. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形是轴对称图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，符合题意； C、图形不是轴对称图形，不符合题意； D、图形不是轴对称图形，不符合题意， 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中关于对称轴对称点的特点，根据关于x轴的对称点的特征，横坐标不变，纵坐标变为相反数可得． 【详解】解：点关于x轴对称点的坐标是， 故选：C. 3. 如图，是的一个外角，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和进行求解即可． 【详解】解：∵是的一个外角，，， ∴； 故选A． 4. “无风才到地，有风还满空.缘渠偏似雪，莫近鬓毛生”是唐朝诗人雍裕之描写每年四月许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞的诗句，柳絮带给人们春天的讯息外也让人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维的直径约为，该数值用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义：把一个大于10(或者小于1)的数记为的形式(其中| 1| ≤|| ＜| 10|),这种记数法叫做科学记数法，即可得解. 【详解】由题意，得 故答案为C. 【点睛】此题主要考查科学记数法的运用,熟练掌握,即可解题. 5. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法，积的乘方和完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键； 根据同底数幂乘法计算法则即可判断A；根据同底数幂除法计算法则即可判断B；根据积的乘方计算法则即可判断C；根据完全平方公式即可判断D． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 6. 已知a，b满足，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 12或15 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性质，三角形三边关系，等腰三角形的定义，根据非负性质得出，，再根据三角形三边关系以及等腰三角形的定义求解即可． 【详解】解：∵ ∴，， 解得：，， 当等腰三角形的腰长为3时，此时，不满足三角形三边关系． 当等腰三角形的腰长为6时，满足三边关系，则等腰三角形的周长为， 故选：C． 7. 下列说法中，正确的是（ ） A. 分式是最简分式 B. 若分式的值为0，则 C. 将分式中的x，y都扩大到原来的3倍，分式的值不变 D. 若关于x的方程无解，则a的值是0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的值为零的条件，最简分式的定义，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据最简分式的定义对A进行判断；根据分式的值为0的条件对B进行判断；根据分式的基本性质对C进行判断；根据分式方程的解法对D进行判断． 【详解】解：A、分式是最简分式，故本选项正确； B、若分式的值为0，则，故本选项错误； C、将分式中的x，y都扩大到原来的3倍，分式的值扩大到原来的3倍，故本选项错误； D、若关于x的方程无解，则a的值是2，故本选项错误； 故选∶A． 8. 如图，已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形和全等的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 【答案】B 【解析】 【分析】本题重点考查了三角形全等的判定定理，关键是掌握：、、、、定理． 根据全等三角形的判定方法进行逐个验证，做题时要找准对应边，对应角． 【详解】解：∵甲图有两边相等，而夹角不一定相等，二者不一定全等； ∵乙图与三角形有两角及其夹边相等，二者全等． ∵丙图与三角形有两角及一边相等，二者全等． ∴乙与全等（）；丙与全等（）． 故选：B． 9. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图作角平分线，角平分线的性质. 过点G作于点H，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：过点G作于点H， 根据题意得，是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，在直线的同一侧分别作两个等边三角形和，连接，有以下结论①；②；③平分；④是等边三角形；以上结论正确有（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分线的判定等知识．利用等边三角形的性质得到，，，即可证明，即可判断①；证明，则，即可判断②；过点B作于M，于根据全等三角形的性质和三角形面积得到，即可判断③；根据，，即可证明④． 【详解】解：，都是等边三角形， ，，， ，， 在和中， ， ，故①正确， ， 在和中， ， ∴， ∴， 故②错误； 过点B作于M，于 ， ∴， ∵，， ∴， ， 平分，故③正确； ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形，故④正确； 综上可知，正确的是①③④， 故选：A 二、填空题（本大题共8题，每小题3分，共24分） 11. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂和零指数幂的运算，先计算负整数指数幂和零指数幂，再计算减法即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知，则的值为_____． 【答案】27 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法， 根据可得出，再根据同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：27． 13. 如图，在中，，（点D在边上），，则_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，证明是解题的关键．根据直角三角形两锐角互余求出，，进而可得，则，然后根据含30度角的直角三角形的性质求出即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 14. 学校在举办了“叩问苍穹，征途永志”主题活动后，邀请同学们参与设计航天纪念章．小明以正八边形为边框，设计了如图所示的作品，则此正八边形徽章一个内角的大小为________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角和以及内角与外角之间的关系，利用多边形的外角和求出一个外角的大小，然后再用度减去外角度数即可． 【详解】解：∵正八边形的外角和为， ∴每个外角为， ∴每个内角为， 故答案为：． 15. 若，则的值为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算、提公因式法因式分解、代数式的求值．把原式变形为，再整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：6 16. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是____． 【答案】且##且 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，首先对原分式方程变形，其次解出分式方程的解．再根据分式方程解是非负数，最简公分母不为0，列不等式，求出公共的解集即可． 【详解】解：原分式方程可化为： 去分母得： 解得 又分式方程的解是非负数 且 的取值范围是：且 17. 如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可，利用全等三角形的性质进行解答． 【详解】解：由题意得：，，，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； 由题意得：, ∴，答：两堵木墙之间的距离为. 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． 18. 如图，为的中线，为的中线．若的面积为30，，则中边上的高为________． AI 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查中线的性质，利用三角形中线性质和同底等高面积相等，有，过点E作，利用面积公式即可求得答案． 【详解】解：作， ∵为的中线，为的中线， ∴，， ∵的面积为30，， ∴， 解得， 故中边上的高为3． 故答案为：3． 三、解答题（共46分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，负整数指数幂，先将除法转化为乘法，同时将分子分母因式分解，进而根据分式的性质和运算法则化简，再将代入化简后的结果计算即可求值． 【详解】解：原式 ． ， 原式． 20. 如图，点E，B，F，C在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的性质，利用证明是解题的关键． （1）根据平行线的性质及线段的和差得出，，利用证明，即可得解； （2）全等三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 证明：，， ，， ， ， ， 在与中， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 21. 如图，在规格为的边长为1个单位的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），的三个顶点都在格点上，且直线、互相垂直． （1）画出关于直线对称的； （2）在直线上作出点，使得的周长最小；（保留作图痕迹） （3）图中的面积为________．（请直接写出结果） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查轴对称在最短路径问题中的应用，熟练掌握轴对称的性质和理解“将军饮马”的应用是解题的关键， （1）根据轴对称的性质，可作出关于直线的对角图形； （2）利用模型“将军饮马”作点的对称点，连接，交直线于点，即可得到答案； （3）利用切割法：的面积为各个顶点所在的四边形减去周围三个小三角形的面积即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示， ∴即为所求； 【小问2详解】 解：如上图所示，点即为所求； 【小问3详解】 解：由题可得：． 22. 宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍． （1）求甲、乙两种点茶器具套装的单价． （2）某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套，且经费预算不超过5000元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？ 【答案】（1）甲种点茶器具套装的单价是148元，乙种点茶器具套装的单价是178元； （2）学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是元，根据花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装套，根据经费预算不超过5000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种点茶器具套装单价是148元，乙种点茶器具套装的单价是178元； 【小问2详解】 解：设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装套， 根据题意得：， 解得：， ∴整数m的最大值为18， 答：学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套． 23. 教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式． ， 当时，有最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）求代数式的最小值； （3）当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由． 【答案】（1）； （2）3； （3）是等腰三角形，理由见解析； 【解析】 【分析】（1）先配出完全平方，再用平方差公式进行因式分解即可； （2）先配出完全平方，然后再根据完全平方的非负性即可求得最小值； （3）将等式的左边拆项后重新组合，配出三个完全平方，再根据“几个非负数和为0，则这几个非负数分别为0”求解出a、b、c的值，据此即可解答． 小问1详解】 解： ， ， ， ， ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：； 的最小值是3． 【小问3详解】 解：， ， ， 三个完全平方式子的和为0，所以三个完全平方式子分别等于0． ，，， 得，，，． 是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了配方法、用公式法进行因式分解、非负性的应用，熟练的掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 24. 在中，，为延长线上一点，E为线段的垂直平分线的交点，连接． （1）如图1，当时，求的度数． （2）当时， ①如图2，连接，按边分，是_______三角形． ②如图3，直线与交于点F，满足为直线上的一个动点．说明当点P在什么位置时，的值最大？并求出这个最大值． 【答案】（1） （2）①等边；②当点P在（点为点D关于直线的对称点）的延长线上时，的值最大，最大值为2 【解析】 【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可； （2）①等边三角形，证明，即可； ②结论：．如图3中，作点关于直线的对称点，连接，，．当点在的延长线上时，的值最大，此时，利用全等三角形的性质证明，可得结论． 【小问1详解】 解：如图1中， 点是线段，垂直平分线的交点， ， ，， ，， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：①如图2中， 点是线段，的垂直平分线的交点， ， ，， ，， ， ， ， ， 是等边三角形； ②如图3中，作点关于直线的对称点，连接，，． 当点在的延长线上时，的值最大，此时， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 时等边三角形， ，， ， ， ， ， ，， ， ． ∴点在的延长线上时，的值最大，最大值为2， 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $