精品解析：辽宁省丹东市凤城市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2024～2025学年度上学期期末测试九年级数学试卷 （本试卷共23道题，满分120分，考试时间120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一个几何体如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，晚上小明在路灯下沿路从处径直走到处，这一过程中他在地上的影子（    ） A. 一直都在变短 B. 先变短后变长 C. 一直都在变长 D. 先变长后变短 3. 下列命题正确的是（ ） A. 顺次连接矩形四边的中点得到菱形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 两边成比例及一角相等的两个三角形相似 D. 若点P是线段的黄金分割点，则 4. 平地上立有三根等高的木杆，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是（　　） A B. C. D. 5. 在正方形网格中，的位置如图所示，点、、均在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 现有两道数学选择题，他们都是单选题，并且都含有A、B、C、D四个选项，瞎猜这两道题，这两道题恰好全部猜对的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（ ） A. B. C D. 8. 把矩形对折，折痕为，如果矩形和矩形相似，则矩形和矩形它们的相似比为（ ） A. B. C. 2 D. 9. 如图，已知点P是菱形的对角线延长线一点，过点P分别作、延长线的垂线，垂足分别为点E、F．若，，则的值为（ ） A B. C. D. 2 10. 如图，已知E是正方形ABCD中AB边延长线上一点，且AB=BE，连接CE、DE，DE与BC交于点N，F是CE的中点，连接AF交BC于点M，连接BF．有如下结论：①DN=EN；②△ABF～△ECD；③tan∠CED=；④，其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④ 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分） 11. 将方程化成（m，n为常数）的形式，则_____． 12. 如图，在平面直角坐标系中，和是以坐标原点为位似中心的位似图形，点、的对应点分别为点，点的坐标分别为，若点的坐标为，则点的坐标为__________． 13. 如图，在平行四边形中，，，以点C为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点E，F，再分别以E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P，连接并延长交于点Q，连接．若时，则与的周长之差为______． 14. 如图，已知是一块含有角的直角三角板，点A是函数的图象上一点，点B是函数的图象上一点，则k的值_____． 15. 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝_____． 三、解答题（本题8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算：． 17. 为庆祝建党100周年，某校开展“唱爱国歌曲，扬红船精神”大合唱活动．规律是：将编号为A，B，C的3张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其他完全相同）背面朝上洗匀后放在桌面上，参加活动的班级从中随机抽取1张，按照卡片上的曲目演唱． （1）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，抽到C卡片的概率为 　　； （2）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，记下曲目后放回洗匀，七年二班再从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率． 18. 【综合与实践】现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．已知榕树，和灯柱如图所示，在灯柱上有一盏路灯，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下： ①根据光源确定榕树在地面上的影子； ②测量出相关数据，如高度，影长等； ③利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据． 根据上述内容，解答下列问题： （1）已知榕树在路灯下的影子为，请画出榕树在路灯下的影子 （2）如图，若榕树的高度为米，其离路灯的距离为6米，两棵榕树的影长、均为4米，两棵树之间的距离为6米，求榕树的高度； 19. 水果批发商进口一种高档水果，售出水果每千克盈利毛利润元，每天可售出千克，经市场调查后发现，在进价不变的情况下，若每千克售价降低1元，每天多售出100千克． （1）若以每千克盈利元的价钱出售，能卖出多少千克？ （2）若以每千克盈利元的价钱出售，此时能盈利多少元？ （3）若水果店要保证每天销售这种水果的毛利润为元，同时又要使顾客觉得价不太贵，则每千克水果应降价多少元？ 20. 九年级某数学兴趣小组研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： （1）绘制函数图象，如图1． 列表：如表是x与y的几组对应值，其中______； x … 1 2 3 … y … 1 2 4 4 2 m … 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整； （2）通过观察图1，写出该函数的两条性质： ①______； ②______； （3）观察发现：如图2，若直线（直线是过点且平行于x轴的一条直线）交函数的图象于A，B两点，连接OA，OB，则______； （4）知识迁移：当时，函数的图象与函数的图象交于点C、D，直接写出______． 21. 我国无人机在全球范围内处于领先地位，一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物的顶端A的俯角为，面向方向继续飞行5米到达Q点，测得该建筑物底端B的俯角为，已知建筑物的高为3米，求无人机飞行的高度（结果保留根号形式）． 22. 如图，一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像交于和两点，与x轴交于点C， （1）求反比例函数关系式； （2）根据图像，当时x的取值范围为：______； （3）若点P在x轴上，且，求点P的坐标； （4）若点P在y轴上，Q在双曲线上，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出Q点的坐标：______． 23. 如图，在正方形中，是对角线上的一个动点，连接，过点作交于点． （1）如图①，求证：； （2）如图②，连接为的中点，的延长线交边于点，当时，求和的长； （3）如图③，过点作于，当时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年度上学期期末测试九年级数学试卷 （本试卷共23道题，满分120分，考试时间120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一个几何体如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据左视图的定义即可求解． 【详解】由图可知左视图是 故选B． 【点睛】此题主要考查三视图判断，解题的关键是熟知左视图的定义． 2. 如图，晚上小明在路灯下沿路从处径直走到处，这一过程中他在地上的影子（    ） A. 一直都在变短 B. 先变短后变长 C. 一直都在变长 D. 先变长后变短 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出光线形成的投影叫做中心投影．根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长． 【详解】解：在小亮从处径直走到路灯下时，他在地上的影子逐渐变短；当他走到路灯下，再走到处时，他在地上的影子逐渐变长， ∴小亮在地上的影子先变短后边长， 故选：B． 3. 下列命题正确的是（ ） A. 顺次连接矩形四边的中点得到菱形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 两边成比例及一角相等的两个三角形相似 D. 若点P是线段的黄金分割点，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的判定定理、矩形的判定定理、相似三角形的判定定理、黄金分割的定义，对选项一一进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A．顺次连接矩形四边的中点得到菱形，故该命题正确，符合题意； B．对角线相等的平行四边形是矩形，故该命题错误，不符合题意； C．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故该命题错误，不符合题意； D．若点P是线段的黄金分割点，则或，故该命题错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理，涉及菱形的判定定理、矩形的判定定理、相似三角形的判定定理、黄金分割的定义，解本题的关键在熟练掌握相关的定理、定义． 4. 平地上立有三根等高的木杆，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行投影，解题的关键是理解平行投影的定义，属于中考常考题型； 根据平行投影的定义判断即可； 【详解】解：根据平行投影的定义可知，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是： 故选：D． 5. 在正方形网格中，的位置如图所示，点、、均在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，解题的关键在于根据根据题意构造直角三角形求解．过点作垂直的延长线于点，得出为等腰直角三角形，再根据角的余弦值即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过点作垂直的延长线于点， ，， 等腰直角三角形， ， ， 故选：B． 6. 现有两道数学选择题，他们都是单选题，并且都含有A、B、C、D四个选项，瞎猜这两道题，这两道题恰好全部猜对的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件． 用列表法表示所有可能出现的结果情况，从而求出这两道题恰好全部猜对的概率． 【详解】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 第一题 第二题 共有16种等可能出现的结果情况，其中两道题恰好全部猜对的只有1种， 所以，两道题恰好全部猜对的概率为． 故选：D． 7. 《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【点睛】此题考查一元二次方程和勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理． 设竿的长度为x尺，则门高为尺，门宽为尺，根据勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设竿的长度为x尺，则门高为尺，门宽为尺，门对角线长为x尺． 根据勾股定理得． 故选B． 8. 把矩形对折，折痕为，如果矩形和矩形相似，则矩形和矩形它们的相似比为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形面积的比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵把矩形对折，折痕为， ∴矩形和矩形面积的比等于， ∴矩形和矩形它们的相似比为． 故选A． 9. 如图，已知点P是菱形的对角线延长线一点，过点P分别作、延长线的垂线，垂足分别为点E、F．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识点，求出、将转换为是解题的关键． 如图：连接交于O，由菱形的性质与勾股定理得到，则，再由，，则即可解答． 【详解】解：如图：连接交于O， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ． 故选C． 10. 如图，已知E是正方形ABCD中AB边延长线上一点，且AB=BE，连接CE、DE，DE与BC交于点N，F是CE的中点，连接AF交BC于点M，连接BF．有如下结论：①DN=EN；②△ABF～△ECD；③tan∠CED=；④，其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】证明△NCD∽△NBE，根据相似三角形的性质列出比例式，得到DN＝EN，判断①；根据两边对应成比例、夹角相等的两个三角形相似判断②；FG⊥AE于G，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义求出tan∠FAG，根据相似三角形的性质判断③；根据三角形的面积公式计算，判断④． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，AB＝BE， ∴AB＝CD＝BE，ABCD， ∴△NCD∽△NBE， ∴， ∴DN＝EN，故①结论正确； ∵∠CBE＝90°，BC＝BE，F是CE的中点， ∴∠BCE＝45°，BF=CE=BE，FB＝FE，BF⊥EC， ∴∠DCE＝90°+45°＝135°，∠FBE＝45°， ∴∠ABF＝135°， ∴∠ABF＝∠ECD， ∵ ，， ∴， ∴△ABF∽△ECD，故②结论正确； 作FG⊥AE于G，则FG＝BG＝GE， ∴ ， ∴tan∠FAG=， ∵△ABF∽△ECD， ∴∠CED＝∠FAG， ∴tan∠CED，故③结论正确； ∵tan∠FAG=， ∴， ∴， ∴S△FBM=S△FCM， ∵F是CE的中点， ∴S△FBC＝S△FBE， ∴S四边形BEFM＝2S△CMF，故④结论正确， 故选：A． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，正方形的性质，解直角三角形，三角形的面积计算，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理和性质定理、三角形的面积公式． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分） 11. 将方程化成（m，n为常数）的形式，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了配方法应用，熟练掌握配方法是解题的关键． 通过配方法将原方程变形为，于是得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，和是以坐标原点为位似中心的位似图形，点、的对应点分别为点，点的坐标分别为，若点的坐标为，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似比等于相似比，原点O为位似中心，利用B、的横纵坐标之比等于、的坐标之比即可求得答案． 【详解】点B、的坐标分别为，若点A的坐标为， 设点的坐标为， 则， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似比等于相似比，求位似图形对应的坐标，理解位似比等于相似比是解题的关键． 13. 如图，在平行四边形中，，，以点C为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点E，F，再分别以E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P，连接并延长交于点Q，连接．若时，则与的周长之差为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，角平分线的尺规作图，角平分线的定义等等，先由平行四边形的性质得到，则由作图方法可知平分，则，可得，再根据三角形周长公式进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由作图方法可知平分， ∴， ∴， ∴， ∴与的周长之差为， 故答案为：5． 14. 如图，已知是一块含有角的直角三角板，点A是函数的图象上一点，点B是函数的图象上一点，则k的值_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键． 由是一块含有角的直角三角板可得，如图：过点A作轴于C，过点B作轴于D，证明可得，设，则；根据反比例函数图象上点的坐标特征得，据此求解即可． 【详解】解：∵是一块含有角的直角三角板， ∴， ∴， 如图：过点A作轴于C，过点B作轴于D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵点A是函数的图象上一点，点B是函数的图象上一点， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果． 【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2， EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9， 由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF， ∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°， ∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°， ∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173， ∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125， ∴2x2﹣20x+173＝125， 解得，x＝4或6， 当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去， ∴CE＝C′E＝4， ∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2， ∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8， ∴tan∠B'AC′＝=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键． 三、解答题（本题8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，再根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 17. 为庆祝建党100周年，某校开展“唱爱国歌曲，扬红船精神”大合唱活动．规律是：将编号为A，B，C的3张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其他完全相同）背面朝上洗匀后放在桌面上，参加活动的班级从中随机抽取1张，按照卡片上的曲目演唱． （1）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，抽到C卡片的概率为 　　； （2）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，记下曲目后放回洗匀，七年二班再从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率． 【答案】（1）；（2）图表见解析， 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，根据概率公式求解可得． 【详解】解：（1）小明随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为C的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有9种等可能的结果数，其中两个班恰好选择一首歌曲的有3种结果， 所以两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率为＝． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概率的求解方法，解题的关键是理解列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件． 18. 【综合与实践】现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．已知榕树，和灯柱如图所示，在灯柱上有一盏路灯，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下： ①根据光源确定榕树在地面上的影子； ②测量出相关数据，如高度，影长等； ③利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据． 根据上述内容，解答下列问题： （1）已知榕树在路灯下的影子为，请画出榕树在路灯下的影子 （2）如图，若榕树的高度为米，其离路灯的距离为6米，两棵榕树的影长、均为4米，两棵树之间的距离为6米，求榕树的高度； 【答案】（1）图见解析； （2）米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据题意找到路灯的位置，连接并延长与水平线的交点即为所求； （2）分别证、根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可 【小问1详解】 解：如图所示即为所求， 延长于点，找到路灯的位置，连接并延长，交射线于点，即为榕树在路灯下的影子 【小问2详解】 ， ， ，， 即， 解得：， ， ∴，即， 解得： ， 答：榕树的高度为米． 19. 水果批发商进口一种高档水果，售出水果每千克盈利毛利润元，每天可售出千克，经市场调查后发现，在进价不变的情况下，若每千克售价降低1元，每天多售出100千克． （1）若以每千克盈利元的价钱出售，能卖出多少千克？ （2）若以每千克盈利元的价钱出售，此时能盈利多少元？ （3）若水果店要保证每天销售这种水果的毛利润为元，同时又要使顾客觉得价不太贵，则每千克水果应降价多少元？ 【答案】（1）千克 （2）元 （3）元 【解析】 【分析】（1）根据每千克售价降低元，每天多售出千克列出算式，即可求解； （2）根据总利润每斤利润销售数量代入数值计算即可求得利润； （3）根据总利润每斤利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【小问1详解】 解：依题意，若以每千克盈利元的价钱出售，能卖出千克； 答：以每千克盈利元的价钱出售，能卖出千克； 【小问2详解】 解：依题意，元； 答：若以每千克盈利元的价钱出售，此时能盈利元 【小问3详解】 设每千克水果应降价元， 根据题意得＝， 整理得：， 解得：， 使顾客觉得价不太贵， （舍）， 答：每千克水果应降价元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20. 九年级某数学兴趣小组研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： （1）绘制函数图象，如图1． 列表：如表是x与y的几组对应值，其中______； x … 1 2 3 … y … 1 2 4 4 2 m … 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整； （2）通过观察图1，写出该函数的两条性质： ①______； ②______； （3）观察发现：如图2，若直线（直线是过点且平行于x轴的一条直线）交函数的图象于A，B两点，连接OA，OB，则______； （4）知识迁移：当时，函数的图象与函数的图象交于点C、D，直接写出______． 【答案】（1）1，图见解析 （2）①函数的图象关于轴对称；②当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； （3）2 （4） 【解析】 【分析】本题考查反比例的图象和性质． （1）把代入得，，即可得到m的值，根据表格中的数据补全函数图象即可； （2）根据函数图象，从对称性、增减性等方面写出该函数的两条性质； （3）当时，即，解得，得到点A、B的坐标分别为、，则，即可得到答案； （4）联立求得点C、D的坐标，求得直线与交于点E的坐标，根据求解即可． 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴， 补全图象如图所示： 故答案为：1； 【小问2详解】 解：由图象可知：①函数的图象关于轴对称； ②当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案不唯一）； 故答案为：①函数的图象关于轴对称；②当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；（答案不唯一） 【小问3详解】 解：当时，即，解得， 故点A、B的坐标分别为、，则， 则； 故答案为：1； 【小问4详解】 解：当时，联立得， 整理得， 解得或， 当时，；当时，； 如图，设直线与交于点E， 则、，， ∴， 故答案为：． 21. 我国无人机在全球范围内处于领先地位，一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物的顶端A的俯角为，面向方向继续飞行5米到达Q点，测得该建筑物底端B的俯角为，已知建筑物的高为3米，求无人机飞行的高度（结果保留根号形式）． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题），熟练掌握俯角的定义和锐角三角函数的定义，并正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 延长，，相交于点，由题意可得，则，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，设，则，，由可得，解方程即可求出的值，进而求得无人机飞行的高度． 【详解】解：如图，延长，，相交于点， 由题意可得：，则， 又， ， ， ， 设， ，， ，， ， ， ， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 无人机飞行高度为米． 22. 如图，一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像交于和两点，与x轴交于点C， （1）求反比例函数的关系式； （2）根据图像，当时x的取值范围为：______； （3）若点P在x轴上，且，求点P的坐标； （4）若点P在y轴上，Q在双曲线上，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出Q点的坐标：______． 【答案】（1） （2）或 （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）先把点代入中求出a得到，然后把A点坐标代入中求出k，即可得到反比例函数的表达式； （2）根据图象得出取值范围即可； （3）连接，，设直线与x轴交于点C，由，又，得，设，则，所以，求解即可． （4）分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：把点代入，得， ∴， 把代入反比例函数， ∴； ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：把代入，得， ∴ 由（1）知，， 根据图象可知，当时，或， ∴当时，x的取值范围为或； 【小问3详解】 解：连接，，设直线与x轴交于点C，如图， ∵， 又∵， ∴ 设，则， ∴ 解得：或， ∴或． 【小问4详解】 解：设， 当时，如图， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴，此时与点A重合，不是平行四边形，故舍去； 当时，连接交于D，如图， ∵ ∴点D是与的中点， ∴ 解得：， ∴， 当时，过Q作于N，过点B作于D，过点A作于S，如图， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ 解得：，（不符合题意，舍去） ∴ 综上，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时， Q点的坐标为或． 【点睛】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象性质，一次函数与反比例函数交点问题，直线与坐标围成的三角形面积问题，平行四边形的性质，此题属反比例一次函数、几何图形综合题目，综合性较强，熟练掌握反比例函数图象性质、一次函数图象性质，平行四边形性质是解题的关键． 23. 如图，在正方形中，是对角线上的一个动点，连接，过点作交于点． （1）如图①，求证：； （2）如图②，连接为的中点，的延长线交边于点，当时，求和的长； （3）如图③，过点作于，当时，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；；（3）面积为. 【解析】 【分析】（1）过点M作MF⊥AB于F，作MG⊥BC于G，由正方形的性质得出∠ABD=∠DBC=45°，由角平分线的性质得出MF=MG，证得四边形FBGM是正方形，得出∠FMG=90°，证出∠AMF=∠NMG，证明△AMF≌△NMG，即可得出结论； （2）证明Rt△AMN∽Rt△BCD，得出，求出AN=2，由勾股定理得出BN==4，由直角三角形的性质得出OM=OA=ON=AN=，OM⊥AN，证明△PAO∽△NAB，得出，求出OP=，即可得出结果； （3）过点A作AF⊥BD于F，证明△AFM≌△MHN得出AF=MH，求出AF=BD=×6=3，得出MH=3，MN=2，由勾股定理得出HN=，由三角形面积公式即可得出结果． 【详解】（1）证明：过点作于，作于，如图①所示： ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：在中，由（1）知：， ， ， ， ， 在中，， ， ， 解得：， 在中，， 在中，是的中点， ， ， ， ， ， ，即： ， 解得：， ； （3）解：过点作于，如图③所示： ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 在等腰直角中，， ， ， ， ， 的面积为． 【点睛】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似和三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$