精品解析：安徽省安庆市第一中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

安庆一中2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设直线l的倾斜角为，先求出直线的斜率，再由，即可得出答案. 【详解】设直线l的倾斜角为，， 直线l经过点，，则直线l的斜率为：， 所以，所以. 故选：D. 2. 已知向量，向量，向量，若三个向量共面，则实数等于（ ） A. 17 B. 19 C. 21 D. 23 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知存在，使得，结合向量的坐标运算列式求解即可. 【详解】因为向量，向量，向量，且，，三向量共面， 可知存在，使得，即， 则，解得，所以. 故选：D. 3. 定义，已知数列为等比数列，且，，则（ ） A. 3 B. ±3 C. 9 D. ±9 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据行列式的定义计算出关于等比数列项的等式，再利用等比数列的性质求出的值. 【详解】根据行列式的定义，对于，可得，即. 因为数列是等比数列，根据等比数列的性质：所以. 由，可得，则. 又因为，等比数列奇数项符号相同，所以. 故选：C. 4. 已知是直线 上一动点，过点作圆 的两条切线，切点分别为 ，则四边形周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离转化求四边形周长的最小值. 【详解】圆，即， 由对称性可知，四边形的周长为， 而，的最小值为点到直线的距离为， 所以的最小值为，则四边形的周长的最小值为. 故选：B 5. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与圆相切于点N，交双曲线的右支于点M，且点N是线段的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，连接，，由双曲线的定义和中位线的性质分析可得，，进而可得， 变形可得，由此可得，由双曲线的离心率公式计算可得答案． 【详解】根据题意，如图，连接，， 因过点的直线与圆相切于点N，则， 又由，，则， 因点分别为线段和的中点，则， ，， 由双曲线的定义，，即，变形可得， 则， 故该双曲线的离心率 故选：C. 6. 在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得的取值范围，由此求得，即可得解. 【详解】以D为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示 则，，，，， 设，则， 设平面的法向量为 则，令，得 所以， 由于，，， ，，， 由于，所以 故选：D 7. 已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为，，的平分线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则面积为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】作出辅助线，由三线合一得到，为的中位线，，设，由椭圆定义得到，根据得到方程，求出，由余弦定理得到，进而得到其正弦值，利用三角形面积公式得到答案. 【详解】如图所示，延长，交的延长线于点， 因为为的平分线，⊥，由三线合一得为等腰三角形， 即，为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线， 故，设， 由椭圆定义知，， 由得，解得， 故，， 在中，由余弦定理得 ， 故， 故. 故选：C 8. 已知正项数列的前项积为，满足，则时的的最小值为（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023 【答案】B 【解析】 【分析】先令求出，当时，利用和两式相除，经过适当的变形得出数列是公差为的等差数列，进而求出，最后解不等式即可得出答案. 【详解】由题意，当时，则， 当时，①可得②，①②得：， 所以数列是公差为的等差数列，故， 令，又，所以的最小值为. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 圆锥曲线过焦点的弦称为焦点弦，垂直于椭圆的长轴（双曲线的实轴，抛物线的对称轴）的焦点弦称为通径．若点是椭圆，抛物线和双曲线的焦点，且椭圆，抛物线和双曲线的通径长恰好成等差数列，则（ ） A. B. 可以是直角三角形三条边的长 C. 双曲线的离心率 D. 点到双曲线渐近线的距离为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意可得，，，由恰好成等差数列可得，可判断AB；再由，又因为求出可判断C；由点到双曲线渐近线的距离为可判断D. 【详解】对于A，由点是椭圆的焦点，所以， 又因为抛物线和双曲线的焦点， 所以，，故A正确； 对于B，令可得，所以， 所以椭圆的通径为，所以， 令可得，则， 所以，所以， 因为，所以，令，可得，所以， 因为椭圆，抛物线和双曲线的通径长恰好成等差数列， 所以，所以，即，， 因为所以可以是直角三角形三条边的长，故B正确； 对于C，因为，又因为， 所以，因为，解得：， ，故C正确； 对于D，点到双曲线渐近线的距离为， 又因为，， 所以，故D错误. 故选：ABC. 10. 如图，正方体边长为1，是线段的中点，是线段上的动点，下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由空间向量的线性运算可判断A；利用锥体的体积公式可判断B；建立空间直角坐标系，利用向量法可判断C,D. 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B，连接，因为且，故四边形为平行四边形， 所以，，平面，平面，平面， ，所以点到平面的距离等于点到平面的距离即， ， 三棱锥的体积为，故B错误； 对于C，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示， ,， 设，则， 设平面的法向量为， ，， 所以，即， 令，则，则， ，设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为，故C正确； 对于D，， 设直线与直线所成角为， 因为，所以当时，， 当时，， 故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 11. 在平面直角坐标系内，定义任意两点“新距离”为：，在此距离定义下，点到直线的“新距离”就是点与直线上所有点的“新距离”的最小值，记作符号.已知点，，直线.（ ） A. B. 到点C“新距离”等于1的点所围成的图形的面积为4 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由新距离定义求解判断A；由新距离定义，分类讨论求出点P的轨迹判断B；设M为直线上的动点，由新距离定义，分情况讨论判断C；由新距离定义，结合绝对值的几何意义推理判断D. 【详解】对于A，，，则，A正确； 对于B，，即， 当且时，有，即； 当目时，有，即； 当且时，有，即； 当目时，有，即； 因此点P的轨迹围成的图形是以为顶点的正方形， 边长为，面积为，B错误； 对于C，令M为直线上的动点，设， 则与点的“新距离”， 当时，， 当时，， 当时，， 因此点 D到直线的“新距离”，C正确； 对于D，由绝对值的几何意义得，， 则，， 将两式相加得：， 即，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：涉及新定义的理解和运用问题，解题的关键是正确理解新定义，注意与的区别. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若圆上恰有两个点到直线：的距离为1，则正实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离大于且小于，利用点到直线的距离公式得到不等式，解得即可. 【详解】圆，圆心为，半径为， 圆上恰有两个点到直线的距离为， 则使得圆心到直线的距离大于且小于，即， 解得或， 又，所以， 即正实数的取值范围为. 故答案为： 13. 已知直线，若为抛物线上的动点，则点到直线的距离最小时点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先设，根据点到直线距离公式得到到的距离，再结合二次函数的性质可求出结果. 【详解】因为为抛物线上的动点， 所以可设，则到的距离为： ， 则时，，此时， 故答案为：. 14. 数列的前项和为，__________ 【答案】2600 【解析】 【详解】 , , ， ， ， ， ， ， …………………….， . 【点睛】提供一个数列，有时提供通项公式，有时提供递推公式，有通项公式求数列的和可根据通项公式采用相应的方法求和，求和方法主要有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等，当有提供递推公式时，一般化为特殊数列（等差或等比）后再求和，也有时时根据数列的递推公式，借助前2项的值，推出后面的项的值，求数列的和时要观察数列各项的值的性，有时具有周期性，有时奇数项、偶数项分别具有一定的规律，然后再求和. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知空间直角坐标系中的三点，，． （1）若，且∥，求向量的坐标； （2）已知向量与互相垂直，求k的值； （3）求点B到直线AC的距离． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线，即可根据模长公式求解； （2）根据向量垂直的坐标运算即可求解； （3）利用向量法的点到线的距离公式即可求解. 【小问1详解】 ，因为， 所以，然后根据， 可得，所以或； 【小问2详解】 由于, 所以， 故，得； 【小问3详解】 由于，， 设在上的投影向量的模长，则所求距离． 16. 已知直线，圆 （1）若，求直线l截圆M所得的弦长; （2）已知直线l过定点若过点P作圆M的切线，求点P的坐标及该切线方程. 【答案】（1）4 （2），或 【解析】 【分析】（1）根据点到直线的距离公式可求圆心到直线l的距离，再利用圆的弦长公式即可求解； （2）根据直线方程可得定点坐标，设切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列方程，即可解k，从而得切线方程. 【小问1详解】 当时，直线， 圆M的圆心为，半径为3， 则圆心M到直线l的距离为， 则直线l截圆M所得的弦长为； 【小问2详解】 由得，所以定点， 由题意得切线的斜率存在， 则设切线的方程为，即， 所以， 解得， 故所求切线方程为，即或 17. 如图，已知在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，其中是等腰直角三角形，，点在棱上，且三棱锥的体积为，点是棱的中点． （1）判断是否为棱的中点，并说明理由； （2）求平面与底面所成角的余弦值． 【答案】（1）为棱的中点，理由如下： 取的中点，连接， 因为，，所以，，. 又因为是菱形，，所以，， 因为，所以，平面， 所以平面， 因为，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC， 所以. 因为， 所以点M到平面PBC的距离是点D到平面PBC的距离的， 所以，所以为棱的中点. （2） 【解析】 【分析】（1）由题意平面PBC，求得体积关系：，即可得出答案； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量和底面的法向量，利用二面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面ABCD， 所以，，又， 如图，以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，， 底面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即， 取，，得. 设平面与底面所成角为， 所以， 平面与底面所成角的余弦值为. 18. 已知等差数列是数列的前项和，满足；数列各项都是正数，且满足，，． （1）求数列和的通项公式； （2）记，数列的前项和为； （3）在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，求的前项和． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算确定其首项与公差，可得数列的通项公式；先根据等比中项的概念判断数列为等比数列，再求首项与公比，可确定数列的通项公式； （2）分别求前项中奇数项的和与偶数项的和，再相加即可.其中奇数项的和的求法为裂项相加求和法； （3）弄清楚数列的前项的组成，利用分组求和法求其和. 【小问1详解】 等差数列，是数列的前项和，设公差为，由，， 可得，，解得，， 所以； 数列各项都是正数，且满足， ，． 可得数列为等比数列， 所以，解得或舍去， 所以. 【小问2详解】 因为， 设的前项和中，奇数项的和为，偶数项的和为， 所以，， 当为奇数时，， ， 当为偶数时，， 所以， . 【小问3详解】 ：，，，，，，，，，，， 从到共有项， 所以，当时，， 故 ． 【点睛】易错点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 19. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，其斜率分别为，交点为． （1）当直线过焦点时，证明：互相垂直． （2）当时，设弦的中点为． ①点是否在一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． ②求的最大值． 【答案】（1） 由题意知，直线的斜率存在，设直线与抛物线交于不同的两点，， 由于焦点，设直线的方程为， 联立，消去得，，且， 则 设，，则过点的切线方程为， 联立方程组，得。 则，解得，同理， ，所以互相垂直． （2）①是，；② 【解析】 【分析】（1）联立方程组，利用分别用点的横坐标表示，，联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理，可得结果； （2）①联立两切线方程可得交点坐标，利用韦达定理化简可得点在定直线上； ②由中点坐标公式可得点坐标，从而得到，再由弦长公式可得，再求取值范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①当时，设直线的方程为， 联立，消去得，，且， 则 直线与交于点，设， 抛物线在点A处的切线方程为，即， 同理，在点B处的切线方程为. 联立，解得， 将式代入化简得， 则点在定直线上. ②线段AB的中点为， 由（1）可得，，， 则. ， 又 将式代入得，， 则， 由，则. 的最大值为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安庆一中2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，向量，向量，若三个向量共面，则实数等于（ ） A. 17 B. 19 C. 21 D. 23 3. 定义，已知数列为等比数列，且，，则（ ） A. 3 B. ±3 C. 9 D. ±9 4. 已知是直线 上一动点，过点作圆 的两条切线，切点分别为 ，则四边形周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 8 5. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与圆相切于点N，交双曲线的右支于点M，且点N是线段的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 5 6. 在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为，，的平分线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则面积为（ ） A. B. C. D. 3 8. 已知正项数列的前项积为，满足，则时的的最小值为（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 圆锥曲线过焦点的弦称为焦点弦，垂直于椭圆的长轴（双曲线的实轴，抛物线的对称轴）的焦点弦称为通径．若点是椭圆，抛物线和双曲线的焦点，且椭圆，抛物线和双曲线的通径长恰好成等差数列，则（ ） A. B. 可以是直角三角形三条边的长 C. 双曲线的离心率 D. 点到双曲线渐近线的距离为 10. 如图，正方体边长为1，是线段的中点，是线段上的动点，下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 11. 在平面直角坐标系内，定义任意两点“新距离”为：，在此距离定义下，点到直线的“新距离”就是点与直线上所有点的“新距离”的最小值，记作符号.已知点，，直线.（ ） A. B. 到点C“新距离”等于1的点所围成的图形的面积为4 C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若圆上恰有两个点到直线：的距离为1，则正实数的取值范围为______. 13. 已知直线，若为抛物线上的动点，则点到直线的距离最小时点的坐标为__________． 14. 数列的前项和为，__________ 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知空间直角坐标系中的三点，，． （1）若，且∥，求向量的坐标； （2）已知向量与互相垂直，求k的值； （3）求点B到直线AC的距离． 16. 已知直线，圆 （1）若，求直线l截圆M所得的弦长; （2）已知直线l过定点若过点P作圆M的切线，求点P的坐标及该切线方程. 17. 如图，已知在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，其中是等腰直角三角形，，点在棱上，且三棱锥的体积为，点是棱的中点． （1）判断是否为棱的中点，并说明理由； （2）求平面与底面所成角的余弦值． 18. 已知等差数列是数列的前项和，满足；数列各项都是正数，且满足，，． （1）求数列和的通项公式； （2）记，数列的前项和为； （3）在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，求的前项和． 19. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，其斜率分别为，交点为． （1）当直线过焦点时，证明：互相垂直． （2）当时，设弦的中点为． ①点是否在一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． ②求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $