四川省成都市高新区2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年四川省成都市高新区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（4分）下列各数中，大于3的数是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）下列计算中正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）如图，AB∥CD，若∠1＝52°，∠2＝120°，则∠3的度数为（　　） A．68° B．60° C．52° D．48° 4．（4分）在平面直角坐标系中，若A（2，4）先向右平移4个单位，再向下平移6个单位后得到点B，则点B的坐标是（　　） A．（8，8） B．（6，10） C．（6，﹣2） D．（﹣2，﹣2） 5．（4分）如表为六种运动耗氧情况，其中耗氧量的中位数是（　　） 打羽毛球 爬楼梯 跳绳 游泳 慢跑 骑车 75L/h 102L/h 90L/h 110L/h 106L/h 88L/h A．90L/h B．96L/h C．100L/h D．106L/h 6．（4分）已知一次函数y＝kx+3（k＜0），则下列各点中可能在这个函数图象上的是（　　） A．（﹣1，2） B．（﹣5，0） C．（3，﹣3） D．（﹣3，﹣2） 7．（4分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（　　） A． B． C．2.2 D．3 8．（4分）我国古代经典数学著作《孙子算经》中记载着这样一个题目：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可以列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．（4分）是方程ax+y＝1的解，则a＝ 　 　． 10．（4分）一个正方体，它的体积是棱长为3cm的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是 　 　． 11．（4分）在平面直角坐标系中，点P（2a﹣1，5）与点Q（3，b）关于x轴对称，则a+b＝ 　 　． 12．（4分）如图，一次函数y＝ax+b与y＝x+1的图象交于点P（2，m），则关于x，y的方程组的解为 　 　． 13．（4分）如图．一台笔记本电脑平放在桌上，屏幕宽BC为25cm，当电脑张角为∠ABC时，顶部边缘C处离桌面的距离CE为20cm，调整电脑的张角，当张角为∠ABD（点C与点D为笔记本顶部边缘同一点）时，顶部边缘D处到桌面的距离DF为15cm，则E处与F处之间的距离EF长为 　 　cm． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．（12分）（1）计算：； （2）解方程组：． 15．（8分）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣5，﹣1），C（﹣1，﹣3）． （1）请在图中画出平面直角坐标系； （2）画出与△ABC关于y轴对称的△A′B′C′； （3）判断△ABC的形状，并说明理由． 16．（8分）为了解学生的安全知识掌握情况，某校七、八年级举办了安全知识竞赛．所有学生的成绩分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，将优秀、良好、及格、不及格分别记为20分，16分，12分和8分．现分别从七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行统计，根据统计结果绘制成如下统计图： 两组样本数据的平均数、中位数、众数及优秀率如表所示： 年级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 优秀率 七年级 14.4 16 b 20% 八年级 a 12 12 30% 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中a＝ 　 　，b＝ 　 　； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩更好？并说明理由； （3）若该校七年级共有学生420人，请估计该校七年级成绩不低于16分的学生人数． 17．（10分）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升．王师傅驾驶一辆纯电动汽车从一高速公路入口A驶入时，该车的剩余电量是100千瓦时，行驶了360千米后，从另一高速公路出口B驶出．已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量y（千瓦时）与行驶路程x（千米）之间的关系如图所示． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）若这辆车从高速路入口A驶入时，剩余电量为78千瓦时，请问王师傅能在不充电的情况下行驶360千米路程到达高速公路出口B吗？并说明理由． 18．（10分）在长方形ABCD中，AB＝2，BC＞AB，P，Q分别是边AD，BC上的点，将四边形APQB沿PQ翻折，A，B两点的对应点分别为F，E． （1）如图1，当点E落在AD上，求证：PE＝QE； （2）如图2，若BC＝3，点E与点D重合，求线段AP的长； （3）如图3，若，点E恰好落在CD的中点，求线段BC的长． 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．（4分）若与互为相反数，则ab＝ 　 　． 20．（4分）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为，乙把字母b看错了得到方程组的解为，则a+b＝ 　 　． 21．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝．在AB的上方分别以AB、BC、AC为直径作三个半圆，则图中阴影部分的面积之和为 　 　． 22．（4分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC（不含A，C两点）上，连BD，以DB为直角边向右侧作邻腰直角△BDE，∠BDE＝90°，连接CE．若AD＝2，CE＝，则线段BE的长为 　 　． 23．（4分）在平面直角坐标系xO中，已知△ABC顶点坐标分别为点A（1，0）、B（5，0），C（3，4），l1是过点M（2，0）与x轴垂直的直线．若直线上存在点Q，使点Q关于直线l1的对称点在△ABC的内部或边上，则b的取值范围是 　 　． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．（8分）某水果店准备购进A，B两种水果进行销售，若购进A种水果和B种水果各5千克共需花费140元，购进A种水果3千克和B种水果7千克共雷花费156元． （1）求购进A种水果和B种水果的单价； （2）若该水果店购进了A，B两种水果共100千克，其中A种水果售价为15元/千克，B种水果售价为25元/千克，A种水果运输和仓储过程中质量损失4%．设购进A种水果m千克，A，B两种水果全部销售获得总利润为w元，求w关于m的函数表达式． 25．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D是线段AC上的一动点（不含点C），连接BD，将△BCD沿BD翻折．点C的对应点为E． （1）如图1．当点E在边AB上时，求线段AE的长； （2）在BC右侧取点F，使BD＝BF，且∠DBF＝90°，连接EF，交BC于点H． （i）如图2，当EF∥AC时，求证：BE＝HF； （ii）当△BCF为等腰三角形时，求线段EF的长． 26．（12分）如图．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+b与x轴，y轴分别交于A（﹣4，0），B两点，与直线l2：y＝5x交于点C，点C的横坐标为1，点D（m，n）为直线l1上一动点． （1）求直线l1的函数表达式； （2）若△COD的面积为6，求线段AD的长； （3）直线l3：y＝mx+2n﹣2与x轴交于点E，当点B到直线l3距离最大时，求点D到BE的距离． 2024-2025学年四川省成都市高新区八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C． D A C B C B D 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（4分）下列各数中，大于3的数是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．＜3，故不符合题意； B．＜3，故不符合题意； C．＞3，故符合题意； D．＜3，故不符合题意； 故选：C． 2．（4分）下列计算中正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、±＝±2，故该项不正确，不符合题意； B、≠3，故该项不正确，不符合题意； C、＝2，故该项不正确，不符合题意； D、＝3，故该项正确，符合题意； 故选：D． 3．（4分）如图，AB∥CD，若∠1＝52°，∠2＝120°，则∠3的度数为（　　） A．68° B．60° C．52° D．48° 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠2+∠DAB＝180°， ∵∠2＝120°， ∴∠DAB＝60°， ∵∠1＝52°， ∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠DAB＝180°﹣52°﹣60°＝68°， 故选：A． 4．（4分）在平面直角坐标系中，若A（2，4）先向右平移4个单位，再向下平移6个单位后得到点B，则点B的坐标是（　　） A．（8，8） B．（6，10） C．（6，﹣2） D．（﹣2，﹣2） 【解答】解：∵A（2，4）先向右平移4个单位，再向下平移6个单位后得到点B， ∴点B的横坐标为2+4＝6，纵坐标为4﹣6＝﹣2， ∴点B的坐标为（6，﹣2）． 故选：C． 5．（4分）如表为六种运动耗氧情况，其中耗氧量的中位数是（　　） 打羽毛球 爬楼梯 跳绳 游泳 慢跑 骑车 75L/h 102L/h 90L/h 110L/h 106L/h 88L/h A．90L/h B．96L/h C．100L/h D．106L/h 【解答】解：由小到大排序：75，88，90，102，106，110， 最中间的两个数为90和102， ∴中位数为＝96（L/h）． 故选：B． 6．（4分）已知一次函数y＝kx+3（k＜0），则下列各点中可能在这个函数图象上的是（　　） A．（﹣1，2） B．（﹣5，0） C．（3，﹣3） D．（﹣3，﹣2） 【解答】解：∵一次函数y＝kx+3，过（0，3）且k＜0， A、当x＝﹣1时，y＞3，故点（﹣1，2）不可能在直线上，不符合题意； B、当x＝﹣5，y＞3，故点（﹣5，0）不可能在直线上，不符合题意； C、当x＝3，y＜0，故点（3，﹣2）可能在直线上，符合题意； D、当x＝﹣3，y＞3在直线上时，故点（﹣3，﹣2）不可能在直线上，不符合题意； 故选：C． 7．（4分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（　　） A． B． C．2.2 D．3 【解答】解：连接AD， 由题意知：AD＝AB＝3， 在Rt△ACD中，由勾股定理得： CD＝， 故选：B． 8．（4分）我国古代经典数学著作《孙子算经》中记载着这样一个题目：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可以列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设木长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为：． 故选：D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．（4分）是方程ax+y＝1的解，则a＝ 　2　． 【解答】解：把代入方程ax+y＝1中，得2a﹣3＝1， 解得a＝2， 故答案为：2． 10．（4分）一个正方体，它的体积是棱长为3cm的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是 　6cm　． 【解答】解：根据题意得：＝6（cm）， 故答案为：6cm 11．（4分）在平面直角坐标系中，点P（2a﹣1，5）与点Q（3，b）关于x轴对称，则a+b＝ 　﹣3　． 【解答】解：∵点P（2a﹣1，5）与点Q（3，b）关于x轴对称， ∴2a﹣1＝3，b＝﹣5， ∴a＝2． ∴a+b＝2﹣5＝﹣3． 故答案为：﹣3． 12．（4分）如图，一次函数y＝ax+b与y＝x+1的图象交于点P（2，m），则关于x，y的方程组的解为 　　． 【解答】解：∵一次函数y＝ax+b与y＝x+1的图象交于点P（2，m）， ∴m＝2+1＝3， ∴一次函数y＝ax+b与y＝x+1的图象交于点P（2，3）， 则关于x，y的方程组的解为． 故答案为：． 13．（4分）如图．一台笔记本电脑平放在桌上，屏幕宽BC为25cm，当电脑张角为∠ABC时，顶部边缘C处离桌面的距离CE为20cm，调整电脑的张角，当张角为∠ABD（点C与点D为笔记本顶部边缘同一点）时，顶部边缘D处到桌面的距离DF为15cm，则E处与F处之间的距离EF长为 　5　cm． 【解答】解：由题意得：BC＝BD＝25cm，CE＝20cm，DF＝15cm，∠BEC＝∠BFD＝90°， 在Rt△BEC中，由勾股定理得：BE＝＝＝15（cm）， 在Rt△BFD中，由勾股定理得：BF＝＝＝20（cm）， ∴EF＝BF﹣BE＝20﹣15＝5（cm）， 故答案为：5． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．（12分）（1）计算：； （2）解方程组：． 【解答】解：（1）： ＝1+﹣2﹣1× ＝1+﹣2﹣3 ＝﹣2﹣1； （2）方程组整理得，②+①×2得：11x＝33， 解得：x＝3， 把x＝3代入①得：12+y＝18， 解得：y＝6， 则方程组的解为． 15．（8分）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣5，﹣1），C（﹣1，﹣3）． （1）请在图中画出平面直角坐标系； （2）画出与△ABC关于y轴对称的△A′B′C′； （3）判断△ABC的形状，并说明理由． 【解答】解：（1）如图，平面直角坐标系即为所求； （2）如图，△A′B′C′即为所求； （3）结论：△ABC是直角三角形． 理由：∵AB＝＝，BC＝＝2，AC＝＝5， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴∠ABC＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 16．（8分）为了解学生的安全知识掌握情况，某校七、八年级举办了安全知识竞赛．所有学生的成绩分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，将优秀、良好、及格、不及格分别记为20分，16分，12分和8分．现分别从七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行统计，根据统计结果绘制成如下统计图： 两组样本数据的平均数、中位数、众数及优秀率如表所示： 年级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 优秀率 七年级 14.4 16 b 20% 八年级 a 12 12 30% 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中a＝ 　14.4　，b＝ 　16　； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩更好？并说明理由； （3）若该校七年级共有学生420人，请估计该校七年级成绩不低于16分的学生人数． 【解答】解：（1）由扇形统计图可得a＝8×10%+12×50%+16×10%+20×30%＝14.4（分）， 由条形统计图知16分出现的次数最多， ∴b＝16． 故答案为：14.4，16； （2）可以推断出七年级学生的安全知识竞赛成绩更好， 理由：因为两班平均数相同，而七年级的中位数以及众数均高于八年级， 所以七年级学生的安全知识竞赛成绩更好． （3）420×＝231（人）， 答：估计该校七年级成绩不低于16分的学生人数为231人． 17．（10分）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升．王师傅驾驶一辆纯电动汽车从一高速公路入口A驶入时，该车的剩余电量是100千瓦时，行驶了360千米后，从另一高速公路出口B驶出．已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量y（千瓦时）与行驶路程x（千米）之间的关系如图所示． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）若这辆车从高速路入口A驶入时，剩余电量为78千瓦时，请问王师傅能在不充电的情况下行驶360千米路程到达高速公路出口B吗？并说明理由． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）． 将坐标（0，100）和（150，70）分别代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣x+100． （2）王师傅能在不充电的情况下行驶360千米路程到达高速公路出口B．理由如下： 该电动汽车每千米消耗的电量为（100﹣70）÷150＝（千瓦）， 该电动汽车从高速路入口A行驶360千米消耗的电量为×360＝72（千瓦）， 78＞72， ∴王师傅能在不充电的情况下行驶360千米路程到达高速公路出口B． 18．（10分）在长方形ABCD中，AB＝2，BC＞AB，P，Q分别是边AD，BC上的点，将四边形APQB沿PQ翻折，A，B两点的对应点分别为F，E． （1）如图1，当点E落在AD上，求证：PE＝QE； （2）如图2，若BC＝3，点E与点D重合，求线段AP的长； （3）如图3，若，点E恰好落在CD的中点，求线段BC的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠EPQ＝∠BQP， ∵将四边形APQB沿PQ翻折， ∴∠PQE＝∠BQP， ∴∠EPQ＝∠PQE， ∴PE＝QE； （2）解：设AP＝x，则PD＝3﹣x， ∴PD＝DQ＝BQ＝3﹣x， ∴CQ＝x， ∵QC2+DC2＝DQ2， ∴x2+22＝（3﹣x）2， ∴x＝， ∴AP＝； （3）解：延长QE交AD的延长线于点M， ∵AD∥BC， ∴∠M＝∠CQE，∠EDM＝∠C， ∵E为CD的中点， ∴CE＝DE， ∴△CQE≌△DME（AAS）， ∴QC＝DM，QE＝EM， 设AP＝3y，BQ＝4y， 由折叠知QE＝4y， ∴EM＝4y， ∴QM＝8y， 由（1）知PM＝QM＝8y， ∴AM＝11y， ∵AD＝BC， ∴4y+CQ＝11y﹣CQ， ∴CQ＝， ∵CQ2+CE2＝QE2， ∴， ∴y＝， ∴BC＝4y+． 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．（4分）若与互为相反数，则ab＝ 　　． 【解答】解：∵和互为相反数， ∴+＝0， ∴a+2＝0，＝0， ∴a＝﹣2，b＝， ∴ab＝． 故答案为：． 20．（4分）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为，乙把字母b看错了得到方程组的解为，则a+b＝ 　3　． 【解答】解：把代入方程bx﹣4y＝4中，得4b﹣4×1＝4， 解得b＝2， 把代入方程ax+3y＝9中，得3a+3×2＝9， 解得a＝1， ∴a+b＝1+2＝3， 故答案为：3． 21．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝．在AB的上方分别以AB、BC、AC为直径作三个半圆，则图中阴影部分的面积之和为 　　． 【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， S阴影＝直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC﹣直径为AB的半圆的面积 ＝π（）2+π（）2+AC•BC﹣π（）2 ＝π（AC2+BC2﹣AB2）+AC•BC ＝AC•BC ＝×× ＝， 故答案为：． 22．（4分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC（不含A，C两点）上，连BD，以DB为直角边向右侧作邻腰直角△BDE，∠BDE＝90°，连接CE．若AD＝2，CE＝，则线段BE的长为 　　． 【解答】解：过点E作EF⊥AC，交AC的延长线于点F，如图所示： ∴∠F＝90°， 设DC＝a， ∵AD＝2， ∴AC＝AD+DC＝2+a， ∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°， ∴BC＝AC＝2+a， ∴∠BCD＝∠F＝90°，∠DBC+∠BDC＝90°， ∵△BDE是等腰直角三角形，∠BDE＝90°， ∴BD＝DE，∠EDF+∠BDC＝90°， ∴∠DBC＝∠EDF， 在△BDC和△DEF中， ， ∴△BDC≌△DEF（AAS）， ∴DC＝EF＝a，BC＝DF＝2+a， ∴CF＝DF﹣DC＝2+a﹣a＝2， 在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF＝＝1， 即a＝1， ∴BC＝2+a＝3， 在Rt△BDC中，由勾股定理得：BD＝＝， ∴BD＝DE＝， 在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE＝＝． 故答案为：． 23．（4分）在平面直角坐标系xO中，已知△ABC顶点坐标分别为点A（1，0）、B（5，0），C（3，4），l1是过点M（2，0）与x轴垂直的直线．若直线上存在点Q，使点Q关于直线l1的对称点在△ABC的内部或边上，则b的取值范围是 　﹣　． 【解答】解：∵点A（1，0）、B（5，0），C（3，4），l1是过点M（2，0）， ∴B（5，0）关于直线l1的对称点B′为（﹣1，0），C（3，4）关于直线l1的对称点C′为（1，4）， 如图，当经过点B′时，则，解得b＝﹣， 当直线经过点C′时，则﹣＝4，解得b＝， 故由图形可知，若直线上存在点Q，使点Q关于直线l1的对称点在△ABC的内部或边上，则b的取值范围是﹣． 故答案为：﹣． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．（8分）某水果店准备购进A，B两种水果进行销售，若购进A种水果和B种水果各5千克共需花费140元，购进A种水果3千克和B种水果7千克共雷花费156元． （1）求购进A种水果和B种水果的单价； （2）若该水果店购进了A，B两种水果共100千克，其中A种水果售价为15元/千克，B种水果售价为25元/千克，A种水果运输和仓储过程中质量损失4%．设购进A种水果m千克，A，B两种水果全部销售获得总利润为w元，求w关于m的函数表达式． 【解答】解：（1）设A种水果的单价是a元/千克，B种水果的单价是b元/千克． 根据题意，得， 解得． 答：A种水果的单价是10元/千克，B种水果的单价是18元/千克． （2）根据题意，得w＝15×（1﹣4%）m+25（100﹣m）﹣10m﹣18（100﹣m）＝﹣2.6m+700． 答：w关于m的函数表达式为w＝﹣2.6m+700． 25．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D是线段AC上的一动点（不含点C），连接BD，将△BCD沿BD翻折．点C的对应点为E． （1）如图1．当点E在边AB上时，求线段AE的长； （2）在BC右侧取点F，使BD＝BF，且∠DBF＝90°，连接EF，交BC于点H． （i）如图2，当EF∥AC时，求证：BE＝HF； （ii）当△BCF为等腰三角形时，求线段EF的长． 【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2， ∴AB＝2，∠BAC＝∠ABC＝45°， ∵将△BCD沿BD翻折，点C的对应点E落在边AB上，如图1， ∴BE＝BC＝2， ∴AE＝AB﹣BE＝2﹣2； （2）（i）证明：∵将△BCD沿BD翻折，点C的对应点E落在边AB上，如图2， ∴BE＝BC， ∵EF∥AC， ∴∠BHE＝∠ACB＝90°， ∴∠FHB＝180°﹣90°＝90°， 又∵∠DBF＝∠BCD＝90°， ∴∠BCD＝∠FHB， ∵∠HBF+∠DBC＝∠HBF+∠BFH＝90°， ∴∠DBC＝∠BFH， 在△BDC和△FBH中， ， ∴△BDC≌△FBH（AAS）， ∴BC＝FH， ∴BE＝HF； （ii）解：∵点D是线段AC上的一动点（不含点C）， ∴BD＞BC， 由题意知：BD＝BF， ∴BF＞BC， 当CF＝BF时，过点F作FG⊥BC于点G，过点E作EK⊥BC于点K，过点F作FM⊥EK于点M，连接CE，交BD于点L，如图3， 由（i）知：△BDC≌△FBG， ∴FG＝BC＝2，BG＝CD， ∵CF＝BF，FG⊥BC， ∴BG＝CG＝BC＝1， ∴CD＝1， ∴BD＝， 由翻折知：BD垂直平分CE，BE＝BC＝2， ∴CL＝EL，∵BD•CL＝BC•CD， ∴CL＝＝＝， ∴CE＝2CL＝， ∵CE2﹣CK2＝BE2﹣（BC﹣CK）2，即（）2﹣CK2＝22﹣（2﹣CK）2， ∴CK＝， ∴GK＝BC﹣BG﹣CK＝2﹣1﹣＝， 在Rt△CEK中，EK＝＝＝， ∵∠FGK＝∠M＝∠GKM＝90°， ∴四边形FGKM是矩形， ∴FM＝GK＝，MK＝FG＝2， ∴EM＝EK+MK＝+2＝， 在Rt△EFM中，EF＝＝＝； 当CF＝BC时，如图4，此时点D与点A重合， 由翻折得∠BAE＝∠BAC＝45°，AE＝AC＝2， ∴∠EAF＝∠BAE+∠BAC＝90°， ∵∠DBF＝90°，即∠ABF＝90°， ∴∠CBF＝∠ABF﹣∠ABC＝45°， ∵CF＝CB， ∴∠CFB＝∠CBF＝45°， ∴∠BCF＝90°， ∴∠ACB+∠BCF＝180°，即A、C、F在同一条直线上， ∴AF＝AC+CF＝4， ∴EF＝＝＝2； 综上所述，当△BCF为等腰三角形时，线段EF的长为或2． 26．（12分）如图．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+b与x轴，y轴分别交于A（﹣4，0），B两点，与直线l2：y＝5x交于点C，点C的横坐标为1，点D（m，n）为直线l1上一动点． （1）求直线l1的函数表达式； （2）若△COD的面积为6，求线段AD的长； （3）直线l3：y＝mx+2n﹣2与x轴交于点E，当点B到直线l3距离最大时，求点D到BE的距离． 【解答】解：（1）∵点C在直线l2：y＝5x上， ∴点C（1，5）， 将A（﹣4，0）和C（1，5）代入直线l1：y＝kx+b， 得：， 解得， ∴直线l1的函数表达式为：y＝x+4； （2）∵A（﹣4，0）和C（1，5）， ∴， ∴点D在线段AB或者线段AB的延长线上， ①若点D在线段AB上， ∵S△COD＝6， ∴S△AOD＝10﹣6＝4， ∴， ∴yD＝2， ∴D（﹣2，2）， ∴； ②若点D线段AB的延长线上， ∵S△COD＝6， ∴S△AOD＝10+6＝16， ∴， ∴yD＝8， ∴D（4，8）， ∴； 综上所述，线段或； （3）∵点D（m，n）在直线l1：y＝x+4上， ∴m+4＝n， ∴直线l3：y＝mx+2m+6＝m（x+2）+6， ∴直线l3过定点H（﹣2，6）， 当点B到直线l3距离最大时，BH⊥l3，如图， ∵点B（0，4），点H（﹣2，6）， ∴过BH的直线表达式为：y＝﹣x+4， 设直线BH与x轴交于点F，则点F（4，0）， ∴OB＝OF＝4， ∴∠BFO＝45°， ∵BH⊥l3， ∴△EFH 为等腰直角三角形， ∵， ∴EF＝12， ∴E（﹣8，0）， ∵l3过点E（﹣8，0）和点H（﹣2，6）， ∴l3：y＝x+8， ∴m＝1，n＝5， ∴点D（1，5）， ∵l3：y＝x+8和l1：y＝x+4， ∴l3∥l1， ∴， ∵OB＝4，OE＝8， ∴， 设点D到直线BE的距离为h， ∴， ∴， 点D到直线BE的距离为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$