3.2 圆的对称性 同步训练 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

3.2 圆的对称性 一、选择题： 1.下列图形中，对称轴最多的图形是(    ) A. B. C. D. 2.在同圆或等圆中，下列说法错误的是(    ) A. 相等弦所对的弧相等 B. 相等弦所对的圆心角相等 C. 相等圆心角所对的弧相等 D. 相等圆心角所对的弦相等 3.小敏注意到中国文化遗产标志如图内的图案源自商周太阳神鸟金饰，图案分内外两层，内层等距分布着十二条弧形齿状芒饰，外层图案由四只等距分布作引颈飞翔状的鸟构成，整个图案仿佛四只神鸟裹着一只大火球顺时针滚转，暗示着太阳东升西落如图，内层每条弧形齿状芒饰可以绕圆心旋转得到，则图中角的度数为(    ) A. B. C. D. 4.如图，在中，弦，图中的线段、角、劣弧分别具有相等关系的量共有不包括． A. 组 B. 组 C. 组 D. 组 5.如图，，，，均为上的点，且，则下列说法不正确的是(    ) A. B. C. D. 6.如图，在中，若点是的中点，，则  (    ) A. B. C. D. 7.如图，圆心角，将旋转得到，则等于(    ) A. B. C. D. 8.如图，是半径为的圆的圆周，点是上的任意一点，是等边三角形，则四边形的周长的取值范围是    ． A. B. C. D. 二、填空题： 9.在半径为的中，弦的长为，则弦所对弧的度数          ． 10.请借助如图所示的图形，求证：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧． 11.将一个圆分割成三个扇形，使它们的圆心角的度数比是：：，则最小扇形的圆心角度数是_____________． 12.如图，已知是的直径，点是的中点，，则的度数为______． 13.传统服饰日益受到关注，如图为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图马面裙可以近似地看作扇环，其中长度为米，长度为米，圆心角，则裙长为______． 14.有一个半径为的扇形，将扇形围成一个底面半径为的圆锥，则该扇形的圆心角的度数为______． 15.如图，是的直径，点是半圆上的三等分点，是弧的中点，点为直线上的一个动点，当时，的最小值为______． 三、解答题： 16. 如图，、、是的三条半径，，、分别是、的中点，求证：． 17.利用一个圆及其若干条弦分别设计出符合下列条件的图案： 是轴对称图形但不是中心对称图形； 是中心对称图形但不是轴对称图形； 既是轴对称图形又是中心对称图形． 18.如图，，求证：． 19.如图，已知：是的两条弦，且，求证：． 20.如图，点，，，在上，求证：． 答案和解析 1.【答案】  2.【答案】  【解析】【分析】  此题考查了圆心角、弧、弦的关系定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．注意：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． 利用在同圆和等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，判断出、、三选项都正确；而同圆或等圆中，同一条弦不是直径对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，所以可判断出选项错误． 【解答】 解：相等弦所对的弧不一定同是优弧，或同是劣弧，故本选项错误； B.相等弦所对的圆心角相等，故本选项正确； C.相等圆心角所对的弧相等，故本选项正确； D.相等圆心角所对的弦相等，故本选项正确． 故选A． 3.【答案】  【解析】解：内层每条弧形齿状芒饰可以绕圆心旋转得到，则图中角的度数为． 故选：． 用除以即可得出答案． 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了同圆中相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，圆的半径都相等，先找到条半径，得到组相等的量；再运用“同圆中相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等”可得组相等的量． 【解答】 解：半径，，，每两条都相等，因而有对； ，，，，共组， 故选A． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查圆心角、弧、弦的关系，灵活应用是本题的关键，由，，，均为上的点，且，根据弦与圆心角的关系，即可得，继而可得，则可求得． 【解答】 解：， ，故A正确； ， ，故B正确； ，故 C正确； 不一定是等边三角形， 不一定等于，故D错误． 故选D． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了圆心角、弧的关系：在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，也考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理．根据已知条件判断出是等腰三角形，利用等边对等角得到，再利用三角形内角和定理求出的度数，又因为点是弧的中点，根据等弧对等角可得，进而求出结果即可． 【解答】 解：，， ， ， 点是的中点， ． 故选A． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是旋转变换的性质、圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 根据旋转的性质得到，根据圆心角、弧、弦的关系定理解答． 【解答】 解：将旋转得到， ， ， 故选：． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质，勾股定理，四边形的周长就是四边形的四边的和，四边中，，的长是长度确定，因而本题就是确定的范围，一定大于，且小于或等于，只要求出的长就可以． 【解答】 解：是等边三角形 ， ，得， 的最大值为当点与重合的时刻， ， ， 的取值范围是． 故选C． 9.【答案】或  【解析】本题考查了圆中弧、弦、圆心角的关系，由题意得是等边三角形，据此即可求解 【详解】解：如图所示： 由题意得：， 是等边三角形， 弦所对优弧的度数为，所对劣弧的度数为， 故答案为：或 10.【答案】已知：如图，为的直径，是的弦，，垂足为求证：，，证明：如图，连接，，是等腰三角形．，，，．   11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了角的计算．解答此题的关键是由题意得出三个圆心角的和为将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的和为，再由三个圆心角的度数比为：：，可求出最大的圆心角度数． 【解答】 解：由题意可得，三个圆心角的和为， 三个圆心角的度数比为：：， 最小的圆心角度数为：． 故答案为． 12.【答案】  【解析】解：点是的中点， ， ， ， ． 故答案为：． 根据圆心角、弧、弦的关系得，再由计算的度数即可． 本题考查圆心角、弧、弦的关系，掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 13.【答案】米  【解析】解：由题意知，，， 解得，， 米， 故答案为：米． 由题意知，，计算求解，的值，然后根据计算求解即可． 本题考查了扇形的弧长公式．解题的关键在于正确的计算． 14.【答案】  【解析】解：设该扇形的圆心角的度数为，根据扇形的弧长等于圆锥底面周长得： ， 解得， 故答案为：． 根据扇形的弧长等于圆锥底面周长列方程求解即可． 本题考查扇形的弧长和圆锥的底面周长，连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． 15.【答案】  【解析】解：作点关于的对称点，连接，交于点，则最小， 连接，． 点与关于对称，点是半圆上的一个三等分点， ，， 点是弧的中点， ， ， 又， ． ． 故答案为：． 本题是要在上找一点，使的值最小，设是关于的对称点，连接，与的交点即为点此时是最小值，可证是等腰直角三角形，从而得出结果． 此题主要考查了轴对称最短线段问题以及垂径定理和勾股定理等知识，正确确定点的位置是解题的关键，确定点的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要． 16.【答案】证明：，，是的半径，， ， 点，分别是，的中点，， ， 在和中， ， ≌， ．  【解析】由，，是的半径，，根据弧与圆心角的关系，可得，又由点，分别是，的中点，可得，继而可证得≌，则可得． 此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 17.【答案】【小题】 解：只要符合要求即可，答案不唯一． 如图所示，； 【小题】 如图所示，，，过圆心，； 【小题】 如图所示，，． 18.【答案】证明：，，即．  19.【答案】解： ， ， ， ． 【解析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．利用圆心角，弧，弦之间的关系解决问题即可． 20.【答案】证明：， ， ， ．  【解析】根据圆心角、弧及弦之间的关系即可解决问题． 本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，熟知圆心角、弧及弦之间的关系是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$