第16章 相交线与平行线【单元卷·考点卷】（18大核心考点）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（沪教版2024）

第16章 相交线与平行线【单元卷·考点卷】（18大核心考点） 考点一 相交线（共5题） 1．同一平面内有三条直线，如果只有两条平行，那么它们交点的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意先画出图形即可得到答案． 【详解】解：根据题意，第三条直线与这两条平行直线各有一个交点．如图，    故选：C． 【点睛】本题考查的是平面内，直线的位置关系的理解，相交线的交点的含义，利用数形结合的方法解题是关键． 2．观察如图图形，并阅读图形下面的相关文字．像这样的十条直线相交最多的交点个数有 ． 【答案】45 【分析】根据直线两两相交且不交于同一点，可得答案． 【详解】解：每条直线都与其他九条直线有一个交点，即9个交点，十条直线一共有9×10 =90个交点，因为每个交点都重复了一次，所以十条直线相交最多的交点个数有90÷2=45， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了相交线，n条直线与其它每条直线都有一个交点，可有（n−1）个交点，n条直线有n（n−1）个交点，每个交点都重复了一次，n条直线最多有 个交点． 3．某城市新区规划建设10条主干道（道路近似于直线），为有效引导车流，交通运输局计划每条主干道交汇点处设置一组交通信号灯，则交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为 ． 【答案】45 【分析】此题考查平面内不重合直线的位置关系，是寻找规律的题型，找到n条直线相交，最多有个交点是解题的关键；要探求相交直线的交点的最多个数，则应尽量让每两条直线产生不同的交点．根据两条直线相交有一个交点，然后可画出图形找出规律即可求解． 【详解】解：如图， ∵两条直线相交，最多有1个交点， 三条直线相交，最多有个交点， 四条直线相交，最多有个交点． 五条直线相交，最多有个交点； …..； ∴n条直线相交，最多有个交点； ∴10条直线相交，最多有个交点； 即交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为45； 故答案为45． 4．平面内有n条直线，这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是直线的交点问题，解答此题的关键是找出规律，需注意的是条直线相交时最少有一个交点． 分别求出2条直线、3条直线、4条直线、5条直线的交点个数，找出规律即可解答． 【详解】解：2条直线相交最多可以有1个交点，最少有1个交点； 3条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 4条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 5条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 6条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 所以，而， ． 故选：D． 5．在同一平面内有条直线，设它们的交点个数为． 例如：当时，或（如图所示）． (1)当时，可以取哪些不同的值？请画图说明； (2)当时，的最大值为多少？请画图说明； (3)的最大值为__________（用含的式子表示） (4)当时，的最大值为多少？请画图说明． 【答案】(1)0,1,2,3； (2)6 (3) (4)7 【分析】本题主要考查了直线的交点、图形规律等知识点，根据题意画出图形、归纳规律并应用规律是解题的关键． （1）画出3条直线交点的所有情况即可解答； （2）画出4条直线交点的所有情况即可解答； （3）根据、3、4归纳出规律即可解答； （4）根据题意画出图形即可解答． 【详解】（1）解：如图：当时，的值可以有：0，1，2，3． （2）解：如图：当时，m的最大值为6．    （3）解：由题意可知： 当时，m的最大值为， 当时，m的最大值为， 当时，m的最大值为， …… 当时，m的最大值为，则m的最大值为． 故答案为：． （4）解：如图：当时，的最大值为7．    考点二 对顶角（共5题） 6．如图，直线相交于点．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是考查关于角度运算问题．熟练掌握角的和差关系，平角性质，对顶角性质，是解题的关键． 运用平角求出的度数；即可得到的度数． 【详解】解: ∵， ∴， ∴． 故选：B． 7．如图，，，三条直线相交于点O，且，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂直的定义，角平分线的定义，对顶角性质，结合图形，根据垂直的定义得到、利用角平分线的定义得到，最后利用对顶角的性质，即可解题． 【详解】解：， ， 平分． ， ， ， 故选：B． 8．如图，直线，相交于点，，，射线平分，则的度数为 ． 【答案】/26 度 【分析】本题考查求角度，涉及对顶角定义、角平分线定义、互余求角度等知识，先由对顶角得到，再由角平分线定义得到，最后由互余求角即可得到答案，数形结合表示各个角度关系是解决问题的关键． 【详解】解：与是对顶角， ， 射线平分， ， ， ， 故答案为：． 9．如图，直线、交于点O，，是的平分线，是的平分线，，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等，角度的和差计算，垂直等定义，角平分线的定义，数形结合是解题的关键． 根据邻补角求得，根据，求得，进而求得，根据对顶角求得，根据角平分线的定义求得，根据即可求解． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∵是的平分线，是的平分线， ， 又， ， 故答案为：． 10．如图，直线，交于点， (1)过点画的垂线，其中点位于上方，点位于下方； (2)画的平分线； (3)当时，求． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3) 【分析】本题考查的是画垂线，画角平分线，角的和差运算，熟练的画图是解本题的关键． （1）利用三角尺过点画即可； （2）利用量角器画即可； （3）由对顶角的性质可得，证明，可得，结合平分，可得，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； ． （2）解：如图，即为所求； ． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 考点三 垂线（共5题） 11．如图，直线相交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的意义，对等角相等，角的和计算，根据得，结合，得，根据计算即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选B． 12．如图，点A在的一边上．请按要求完成画图：    (1)过点A画直线的另一边相交于点； (2)过点A画的垂线段，垂足为点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了垂线的定义，掌握垂线的定义是解题的关键． （1）根据垂线的定义作图即可解答； （2）根据垂线段的定义作图即可解答． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求．    （2）解：如图，垂线段即为所求．    13．按下列要求画图并填空： 如图，直线与相交于点是上的一点， (1)过点画出的垂线，交直线于点． (2)过点画出，垂足为点． (3)点到直线的距离是线段______的长． (4)点到直线的距离为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)0 【分析】本题考查作图-复杂作图，垂线，到直线的距离等知识： （1）（2）根据垂线的定义画出图形即可； （3）（4）根据点到直线的距离的定义，判断即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：点O到直线的距离是线段的长． 故答案为：； （4）解：点P到直线的距离为0， 故答案为：0． 14．如图，在方格纸内将三角形水平向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到三角形． (1)画出平移后的三角形； (2)过作线段的垂线直线，垂足为； (3)图中与的关系是：______； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)平行且相等 【分析】本题考查了平移的性质： （1）根据平移的方式得到平移后点的坐标，连接即可； （2）先根据线段的特征得到过点B垂线，再平移过点C，交直线于点D； （3）根据平移的性质可得到结果； 掌握平移的性质定理是解题的关键． 【详解】（1）解：先根据平移的方式得到点，依次连接即可，如图所示： ； （2）解：过点B画边所在直线上的垂线，再平移过点C，交直线于点D，如图所示： ； （3）解：由平移的性质：经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等， 则与的关系是平行且相等， 故答案为：平行且相等． 15．如图，网格线的交点叫格点，A、B、C都在格点上，请在方格纸上画图并回答下列问题： (1)过点A画的垂线，垂足为G；过点A作直线，垂足为A，直线交于点H； (2)线段的长度是点A到______的距离，线段______的长度是点H到直线的距离，所以线段的大小关系是______（用“”号连接），理由是______． 【答案】(1)见解析 (2)；；；垂线段最短 【分析】本题主要考查了画垂线，点到直线的距离，垂线段最短等等： （1）根据网格的特点，分别取格点G、H，连接，则即为所求； （2）根据点到直线的距离的定义和垂线段最短进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，分别取格点G、H，连接，则即为所求； （2）解：∵， ∴线段的长度是点A到的距离，线段的长度是点H到直线的距离， 由垂线段最短可知， 故答案为：；；；垂线段最短． 考点四 平行公理及其推论（共5题） 16．下列说法正确的有（    ） ①两点之间的所有连线中，线段最短； ②相等的角叫对顶角； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤两点之间的距离是两点间的线段； ⑥在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有两种：平行或垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据题意，对各题进行依次分析、进而得出结论．此题涉及的知识点较多，主要考查了直线、线段和射线的认识；角的概念和表示；垂直与平行的特征及性质 【详解】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，正确； ②相等的角叫对顶角，说法错误，顶点公共，而且相等的角叫对顶角，对顶角相等，但相等的不一定是对顶角，也可能是内错角，同位角等； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，前提是“过直线外一点”所以本选项说法错误； ④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以本选项说法正确； ⑤两点之间的距离是两点间的线段，说法错误；因为两点之间的距离是两点间的长度； ⑥在同一平面内的两直线位置关系只有两种：平行或相交，所以原说法是错误的； 故选：B 17．下列说法： ①已知直线a，b，c，若a与c相交，则a与b相交； ②若直线，直线，那么直线； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种． 其中错误的有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、相交线等知识点．掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键． 利用同一个平面内，两条直线的位置关系解答即可． 【详解】解：①已知直线a，b，c，若a与c相交，则a与b不一定相交，故原说法错误； ②若直线，直线，那么直线，故原说法正确； ③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故原说法错误； ④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交两种，故原说法错误． 错误的有3个， 故选：A． 18．图2是某兴趣小组利用几何画版画出图1所示螳螂的简笔画，且， 过C作，则，其理由是 ；若，，则 ． 【答案】 平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】本题考查了平行线的性质及平行公理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据平行公理即可得出理由，根据平行线的性质及平行公理即可得出答案． 【详解】，过C作，则，其理由是：平行于同一条直线的两条直线平行； ，， ，， ，， 故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行，． 19．如图，、、、是公园里绕湖的四段路，经测量，，若使，与拐弯处的度数是 ． 【答案】/130度 【分析】本题主要考查可平行线的性质以及平行线公理，过点E，作，由平行线的性质可得出，即可求出，由平行线的公理可得出，进而根据平行线的性质可得出． 【详解】解：过点E，作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 20．如图所示，字母“”是运用画“平行线段”这种基本作图方法书写的艺术字． (1)请在正面，上面，右面上各找出一组平行线段，并用字母表示出来； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)正面：；上面：；右面：．（答案不唯一） (2)．理由见解析 【分析】本题考查了平行线的定义，平行公理． （1）根据平行线的定义解答即可； （2）根据平行于同一条直线的两直线平行解答即可． 【详解】（1）解：正面：；上面：；右面：．（答案不唯一）； （2）解：．理由如下： ， ． 考点五 同位角、内错角、同旁内角（共5题） 21．下列说法不正确的是（　　） A．和是同旁内角 B．和是内错角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 【答案】D 【分析】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角的定义，熟练掌握同位角，内错角，同旁内角的定义是解题的关键．根据同位角，内错角，同旁内角的定义逐一判断即可． 【详解】解：A. 和是同旁内角，说法正确，选项不符合题意； B. 和是内错角，说法正确，选项不符合题意； C. 和是同位角，说法正确，选项不符合题意； D. 和互为补角，说法错误，选项符合题意； 故选：D． 22．科技是国家强盛之基，创新是民族进步之魂．近些年来，我国的航空事业不断发展，在如左图所示的飞机中抽象出右图的数学图形，在右图中，与 构成同旁内角的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查同旁内角，根据同旁内角的定义即可作答． 【详解】解：根据同旁内角的定义可知， 与是一对同旁内角． 故选：C． 23．如图，直线上有一点和是直线被直线 所截形成的 角；和是直线和被直线 所截形成的 角；和是直线 和 被直线 所截形成的 角． 【答案】 同位 内错 同旁内 【分析】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．根据同位角、内错角、同旁内角的定义解答即可． 【详解】解：直线上有一点和是直线被直线所截形成的同位角；和是直线和被直线所截形成的内错角；和是直线和被直线所截形成的同旁内角． 故答案为：，同位；，内错；，，，同旁内． 24．如图，从已经标出的五个角中， （1）直线，被直线所截，与 是同位角； （2）直线，被直线所截，与 是内错角； （3）直线，被直线所截，与 是同旁内角． 【答案】 【分析】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成F形，内错角的边构成Z形，同旁内角的边构成U形．根据两条直线被第三条直线所截，所形成的角中，两角在两条直线的中间，第三条直线的两旁，可得内错角，两角在两直线的中间，第三条直线的同侧，可得同旁内角，两角在两条直线的同侧，第三条直线的同侧，可得同位角． 【详解】解：（1）直线，被直线所截，与是同位角； （2）直线，被直线所截，与是内错角； （3）直线，被直线所截，与是同旁内角． 故答案为：，， 25．如图，已知直线，直线分别交于点G，平分平分． (1)图中的与是同位角吗？ (2)与有怎样的数量关系？为什么？ (3)与有怎样的位置关系？为什么？ 【答案】(1)与不是同位角 (2)，见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，同位角、内错角、同旁内角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据同位角的特征，即可求解； （2）先利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可得：，然后利用等量代换可得，即可解答； （3）先利用角平分线的定义可得：，再利用等量代换可得：，然后利用同位角相等，两直线平行可得：，即可解答． 【详解】（1）解：与不是同位角； （2）解：， 理由：∵， ∴， ∵平分平分， ∴ ∴； （3）解： 理由：∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∴ 考点六 邻补角（共5题） 26．如图，已知直线相交于点O，平分，若，求的大小． 【答案】 【分析】本题考查邻补角的性质，角平分线的定义．解题的关键是熟练掌握邻补角性质：邻补角互补，即和为． 首先根据邻补角求得的度数，再根据角平分线的定义可得的度数，然后根据邻补角求得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故的大小为． 27．如图，已知点A、O、B在同一条直线上，点C、O、D在同一条直线上，，， (1)求的度数； (2)小汐认为，在这个图形中，平分，小汐的看法正确吗？请说明理由； 【答案】(1) (2)小汐看法正确，理由见解析 【分析】（1） 根据对顶角相等可得的度数， 根据平角等于可以求出的度数， 然后即可求出； （2） 再求出的度数， 然后根据角平分线的定义即可得证 ． 本题考查了对顶角相等的性质， 角平分线的定义， 读懂图形并根据图形进行计算即可， 是基础题， 比较简单 ． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ； （2）解：小汐的看法正确，理由如下： ， ， ， 平分． 28．如图，直线，相交于点，平分，． (1)若，求的度数； (2)猜想与之间的位置关系，并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查对顶角、邻补角以及角平分线，掌握对顶角、邻补角以及角平分线的定义是解题的关键． （1）根据平角的定义以及角平分线的定义即可得出答案； （2）根据平角的定义，角平分线的定义以及对顶角，设未知数表示图形中的各个角，再根据角之间的和差关系得出结论． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， 即； （2）解：，证明如下： 设，则， ， ， 又平分， ， 又， ， ， 即． 29．如图，直线相交于点，，平分． (1)填空：__________（填“>”“=”“<”），数学依据是 __________． (2)若，求的度数． 【答案】(1)，对顶角相等 (2) 【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线，邻补角等知识．熟练掌握对顶角相等，角平分线，邻补角是解题的关键． （1）由对顶角相等判断作答即可； （2）由，可得，则，由平分，可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，数学依据是对顶角相等， 故答案为：，对顶角相等； （2）解：解：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． ∴的度数为． 30．如图，直线与相交于点，． (1)若，求的度数； (2)从点出发在的内部引射线，若与互补，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)垂直；理由见解析 【分析】本题考查了对顶角相等，邻补角等知识．确定角度之间的数量关系是解题的关键． （1）由，可得，即，由，，可得，计算求解即可； （2）由与互补，可得，则，即，则，进而可得． 【详解】（1）解：∵， ∴，即． 又∵，， ∴， ∴， ∴的度数为． （2）解：（或垂直），理由如下； ∵与互补， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 考点七 平行线的性质（共5题） 31．如图，直线，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的性质．先根据平行线的性质得出的度数，再由平角的定义即可得出结论． 【详解】解：，， ． ， ． 故选：C． 32．如图，直线，直角三角形的角的顶点在直线b上，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．先求出，再根据两直线平行，同位角相等求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴． 故选B． 33．如图，直线，直线与直线相交于点A，与直线相交于点，且，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等求得结果，掌握平行线的性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：35． 34．将一条长方形纸带的一端沿折叠成图1，．    （1）若，则的度数为 ． （2）将图1的另一端先沿折叠成图2，再沿折叠成图3，若，则的度数为 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质和翻折的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）延长至M，先根据翻折的性质得出，即可求得，再根据两直线平行，内错角相等求解即可； （2）延长到点N，先根据翻折的性质得出，即可求得，再根据两直线平行，同位角相等得出，即可求得，最后根据两直线平行，内错角相等，求解即可． 【详解】（1）延长至M，    由翻折可得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）延长到点N，    由翻折可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 35．【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过做一条直线的平行线进行转化． 例如：如图，直线，求证： （1）阅读下面的解答过程，并填上适当的理由． 解：过点作直线， （ ） （已知），， （ ） （ ） ， （ ） （2）如图2，直线，若，，则 ； 【方法运用】 （3）如图，直线，点在的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由； 【联想拓展】 （4）如图4，已知，的平分线和的平分线交于点，请你用含有的式子表示的度数，直接写出结果． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；等量代换（2）（3），理由见详解（4） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的判定与性质求解即可； （2）根据平行线的判定与性质求解即可； （3）根据平行线的判定与性质求解即可； （4）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可． 【详解】（1）解：过点作直线， （两直线平行，内错角相等） （已知），， （两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） （两直线平行，内错角相等） ， （等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；等量代换 （2）如图，过点作， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为： （3）， 理由如下：如图，过点作， ， ，， ， ， ； （4）如图所示， 由（2）知，， ， ， 的平分线和的平分线交于点， ，， ， 由（1）知：； 考点八 垂直于同一直线的两直线平行（共5题） 36．下列说法中，正确的个数为（    ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②在同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们就平行；③如果，，那么；④如果直线，，那么直线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查平行线的定义，平行公理，和平行线的判定，掌握平行线的定义，平行公理，和平行线的判定是解题的关键． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； ②在同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们就平行，说法正确； ③同一平面内，如果，，那么，原说法错误； ④如果直线，，那么直线，说法正确； 故选：B． 37．设a、b、c为同一平面内的三条直线，下列判断不正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】此题考查垂线，平行线的判定；根据平行线的判断定理和垂线的定义逐一分析每个选项，再做出判断即可． 【详解】解：∵a、b、c为同一平面内的三条直线， 若，，则，正确，故A不符合题意； 若，，则，正确，故B不符合题意； 若，，则，正确，故C不符合题意； 若，，则，故D符合题意； 故选D 38．在同一平面内，如果，，则a c． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解决本题的关键．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行即可解答． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 39．设a，b，l为平面内三条不同直线．①若，，则l与b的位置关系是 ；②若，，则a与b的位置关系是 ；③若，，则l与b的位置关系是 ． 【答案】 垂直 平行 平行 【分析】本题考查平行线的判定．利用平行线的性质，可求解①；在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行可求解②；由平行于同一条直线的两条直线互相平行，可求解③． 【详解】解：①如图，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴l与b的位置关系是垂直； ②若，，则a与b的位置关系是平行； ③若，，则l与b的位置关系是平行． 故答案为：垂直；平行；平行． 40．探索与发现： (1)若直线，，则直线与的位置关系是 ，请说明理由． (2)若直线，，，则直线与的位置关系是 （直接填结论，不需要说明理由） (3)现在有2014条直线，且有，，，…，请你探索直线与的位置关系． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)a1⊥a2014 【分析】本题主要考查直线之间的位置关系和规律探索，利用平行的判定和垂直的定义做判断， （1）根据两直线平行，同位角相等，结合垂直的定义判定为直角； （2）根据（1）的结论，再结合垂直的定义即可判断出其为平行线； （3）根据前两问方法判断出直线与的关系，发现以四次为一周期进行循环，利用余数即可判断出与的关系； 【详解】（1）解：如图1，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）如图2，    同（1）得， ∵， ∴； 故答案为：； （3）∵，，，…， ∴以四次为一个循环，分别为：， 则规律：下标除以4余数为2或3垂直，下标除以4余数为0或1平行， ∵的余数为2， ∴． 考点九 平行线的判定（共5题） 41．如图，下列给出的条件，能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键．根据平行线的判定逐项判断即可得． 【详解】解：A、∵， ∴（内错角相等，两直线平行），不能判定，则此项不符合题意； B、∵， ∴（内错角相等，两直线平行），则此项符合题意； C、不能判定，则此项不符合题意； D、∵， ∴（内错角相等，两直线平行），不能判定，则此项不符合题意； 故选：B． 42．如图，点在的延长线上，点在的延长线上，下列条件：①，②，③，其中能判断的是（   ） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：， ， 故①符合题意； ， ， 故②不符合题意； ， ， 故③符合题意； 能判断的是①③, 故选：B． 43．如图，点是四边形边延长线上一点，连接，要使，则可添加的条件为 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平行线的判定即可解答． 【详解】解：由题意得，要使，则可添加的条件为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 44．如图，直线，被直线，所截，在下列条件中：；；；，能得到直线的是__________．（请填写序号） 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，熟练掌握内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行是解题的关键． 根据平行线的判定逐一判断． 【详解】解： ，（内错角相等两直线平行）； ，和是不相关的一组角，不能判断； ，（同旁内角互补两直线平行）； ，（同旁内角互补两直线平行）； 故答案为：． 45．如下图，已知分别是射线上的点．连接平分平分． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键： （1）根据角平分线平分角，得到，进而得到，根据内错角相等，两直线平行，即可得出结论； （2）根据角平分线的定义结合角的和差关系，进行求解即可． 【详解】（1）解：因为平分， 所以． 因为， 所以， 所以． （2）解：因为， 所以． 因为平分， 所以． 因为， 所以， 解得， 所以的度数为． 考点十 根据平行线的性质探究角的关系（共5题） 46．如图，在长方形纸片中，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠，点B和点C恰好都落在点P处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，根据平行线的性质得出，，根据折叠的性质可得出∶，，进而得到，，即可解答． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴，， 根据折叠的性质可得出：，， ∴． ， ∴ ． 故选：A 47．如图，，，，，分别平分和，则，满足的数量关系为： ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，涉及到的是知识点有内错角和角平分线的定义，解题过程中是否能熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题重点，能否画对辅助线是解题的关键． 根据拐角和的特性，作，，根据两直线平行内错角相等分别推出四个角对应的相等角，再根据平角的定义和角平分线的定义推出，两者的数量关系． 【详解】解：过点作，过点作 ， ，分别平分和 故答案为： 48．如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和交射线于点E，F． (1)求的度数，若，请直接用含的式子表示； (2)随着点的运动，设，，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由； (3)当时，请直接写出的度数． 【答案】(1)， (2)不改变，恒为，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义的运用等知识点，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得出，再根据分别平分和，即可得出的度数；同理：当，用含的式子表示即可； （2）根据平行线的性质得出，再根据平分，即可得到进而得出，进而完成解答； （3）根据，得出，进而得，根据，进而求得的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴ ∴； 若， ∵，． ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∴； （2）解：不变．恒为，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，， 当时，则有， ∴， ∴， ∴． 49．探究：在平面内，直线，为平面内一点，连接、，根据点的位置探究、和的数量关系： (1)当点在如图①的位置时，写出、和的数量关系，并说明理由． (2)当点分别在图②、图③所示的位置时，请分别写出图形中相应的、和的数量关系：（直接写出答案，不要求说明理由） 图②________________________________________________． 图③________________________________________________． (3)运用上面结论解决问题：如图④，，平分，平分，，求的度数． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线构造平行线是解题的关键． （1）如图，过点E作，由平行线的性质得出，，可得； （2）图②中， 过点E作，由平行线的性质得出，，可得；图③中， 过点E作，由平行线的性质得出，，可得； （3）由（2）中图②的结论可得，在图④中，，结合角平分线的定义，四边形内角和为360度，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． （2）解：图②中， 过点E作，    ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 图③中， 过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 故答案为：；． （3）解：由（2）中图②的结论可得，在图④中，， ∴， 又∵平分，平分， ∴， ∴四边形中，． 50．如图，，点E为两直线之间的一点． (1)如图1，若，，则_______； (2)如图2，试说明，； (3)如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，理由见解析． 【分析】本题考查平行线的判定及性质，解题的关键是掌握平行线的性质，利用平行线的性质探索角之间的关系． （1）过点E作直线，利用平行线的性质证明，，即可得到； （2）过点E作，利用平行线的性质证明，，即可证明，即； （3）由（1）可得，再证明，由（2）可知，，即可证明． 【详解】（1）解：过点E作直线， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． （2）解：如图所示，过点E作， ， ， ，， ， 即． （3）解：①，理由如下： 由（1）可得， 平分，平分， ，， ， 由（2）可知，， ． 考点十一 根据平行线的性质求角的度数（共5题） 51．如图，已知，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质得到角的关系是解题的关键． 如图所示，分别过点作，，得到，，，由，即可求解． 【详解】解：如图所示，分别过点作，， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 52．如图，在中，，点在边上，交于点，，求的度数．    【答案】的度数为． 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，由平行线的性质和等腰三角形的性质求出，则，从而求解，掌握平行线的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 53．如图，点C，D在直线上，，． (1)求证：； (2)的角平分线交于点G，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)108° 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定和性质，角平分线的定义，是解题的关键． （1）根据，，得，即得； （2）根据，得，根据角平分线性质得， ，即得 ． 【详解】（1），且， ， ； （2），， ， 又为的角平分线， ， ， （方法不唯一）． 54．将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点按如图方式叠放在一起，友情提示：，，． (1)①若，则的度数为________． ②若，则的度数为________． (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由． (3)若且点在直线的上方，当这两块直角三角板有一组边互相平行时，请直接写出角度所有可能的值（不必说明理由）． 【答案】(1)①；② (2)．理由见解析 (3)可能为或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，以及直角三角形的性质． （1）①根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数； ②根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数； （2）根据以及，进行计算即可得出结论； （3）分2种情况进行讨论：当时，当时，分别求得角度即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②因为，， 所以， 所以， 故答案为：； （2）解：猜想：．理由如下： 因为，， 所以， 即； （3）解：可能为或． 当时， 所以， 因为， 所以； 当时， ． 55．如图①，直线，点在两平行线之间，点在上，点在上，连接．    (1)若，，则的度数为 ． (2)如图②，若点在直线与之间，，，，则的度数为 ． (3)如图③，在图①基础上，作平分，平分，若设，，则 ． 如图④，若平分，平分，可得，平分，平分，可得，，依次平分下去，则 ．（用含的式子表示） (4)在一次综合实践活动课上，张开同学制作了一个如图⑤所示的“回旋镖”，经测量发现，，他很想知道与的数量关系，你能告诉他吗？请你写出求解过程． 【答案】(1) (2) (3)； (4)，求解过程见解析 【分析】（）过点作，可得，进而得，，再根据角的和差关系即可求解； （）过点作，过点作，可得，同理（）解答即可求解； （）过点作，可得，得到，进而根据角平分线的定义可得，同理可得； （）过点作，过点作，得，同理（）解答即可求解； 本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作，如图所示，    ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：过点作，过点作，如图所示，    ∵， ∴， ∴，，， ∵，，，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （3）解：与（1）同理可得：，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 按照上述方法可知， ∵，平分，平分，， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：，； （4）解：过点作，过点作，如图所示，则，    ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 考点十二 平行线的性质在生活中的应用（共5题） 56．如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学平面图形，已知，若，，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，延长到点C，根据求出，得到，再根据得到． 【详解】解：如图：延长到点C，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 57．阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律． （1）在图1中，证明； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，． （2）请问和有什么关系？并说明理由； （3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）调整平面镜，使得两面镜子达到平行（合理即可） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． （1）根据等角的余角相等解答即可； （2）根据平行线的性质求解即可； （3）根据潜望镜的原理，平行线的性质进行分析即可． 【详解】（1）证明：， ，， ； （2），理由如下： ，，， ， ， ； （3）因为潜望镜它是根据光的折射，而潜望镜是要改变光的传播方向的，光线无法顺利通过，说明没有与光线平行，需要调整平面镜，的位置，使得两面镜子，达到平行（合理即可）． 58．如图是一种躺椅及其侧面简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当时，人躺着最舒服，求此时和的度数．请补充求解过程，并在括号内添上相应的理由． 解：因为扶手与底座都平行于地面，即， 因为（已知）． 所以（     ）． 因为______（平角的定义）， 又因为（已知）， 所以______（等式的基本性质）． 因为（已知）， 所以______（     ）． 所以______（平角的定义）． 【答案】两直线平行，同位角相等；；；；两直线平行，同位角相等； 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质完成证明过程，即可求解． 【详解】解：因为扶手与底座都平行于地面，即， 因为（已知）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 因为（平角的定义）， 又因为（已知）， 所以（等式的基本性质）． 因为（已知）， 所以（两直线平行，同位角相等）． 所以（平角的定义）． 故答案为：两直线平行，同位角相等；；；；两直线平行，同位角相等；． 59．已知：如图1，．求证：． 老师要求学生在完成这道题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？ (1)小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是 ； (2)接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线，，然后在平行线间画了一点，连接，后，用鼠标拖动点，分别得到了图，，，小颖发现图正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图和图中的，与之间也可能存在着某种数量关系．于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系． 请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题： ①猜想图中，与之间的数量关系并加以证明； ②利用图③探究，在拖动点至上方或的下方时，，与之间还存在其他数量关系，请直接写出、与之间的数量关系 （写出一种即可）； (3)一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于点．平行于地面，若，则的度数为 ． 【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补 (2)①，证明见解析；②或（写出一种即可）； (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质， （1）根据平行线的性质进行填空即可； （2）①过D作，进而根据平行线的性质进行角度的计算即可；②在拖动点至的上方或的下方两种情况下，分别过点D作，进而根据平行线的性质进行角度的计算即可； （3）过点B作，进而根据平行线的性质进行角度的计算即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∵ ∴（两直线平行，同旁内角互补） 故答案为：两直线平行，同旁内角互补． （2）① 证明：如下图，过D作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； ②当拖动点至的上方时，如下图，过点D作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴； 当拖动点至的下方时，如下图，过点D作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴； 故答案为：或（写出一种即可）． （3） 过点B作 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 60．“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：_______； (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？ 【答案】(1) (2)30或110秒 【分析】本题主要考查了平行线的性质与角的和差关系的运用、一元一次方程的几何应用， （1）根据两角之和为以及两角之比为即可求解； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分为两种情况得到关于t的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵且， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）设灯A转t秒时，两灯的光束互相平行， 或， 所以或． 答：灯A转动30或110秒，两灯的光束互相平行． 考点十三 平行模型（共5题） 61．（1）如图①，已知：，请说明． （2）如图②，已知：，于点M，交于点．若，则的度数为多少？ 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】此题考查了平行线的性质、垂直的定义． （1）过点P作，则，得到，即可得到结论； （2）过点F作，由垂直定义得到，证明，则，利用角的和差即可得到答案． 【详解】解：过点P作，如图， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）过点F作，如图， ∵于点M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 62．已知，直线，点P为平面上一点，连接与． (1)如图1，点P在直线，之间，当，时，求的度数． (2)如图2，点P在直线，之间，与的角平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点P落在外． ①直接写出、、的数量关系为______． ②与的角平分线相交于点K，请直接写出与的数量关系为______． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用： （1）先过P作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可； （2）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到； （3）①过P作，根据，可得，，进而得到； ②过K作，根据，可得，，进而得到，由①，再根据角平分线的定义，得出，进而得到． 【详解】（1）解：如图1，过P作， ， ， ，， ； （2）解：，理由如下： 如图2，过作， ， ， ，， ， 过P作， 同理可得，， 与的角平分线相交于点K， ， ； （3）解：①如图3，过P作， ， ， ，， ， 故答案为：； ②如图3，过K作， ， ， ，， ， 由①知，， 与的角平分线相交于点K， ， ． 63．如图，直线，点P为平面内一点（不在两条直线上）． (1)如图①，若点P在直线与之间，且，，求的度数； (2)如图②，若点P在直线上方，且，． ①求的度数； ②如图③，的平分线和的平分线交于点G，求的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点P作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即得答案； （2）①过点P作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即可求得答案； ②过点G作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即可求得答案． 【详解】（1）解：过点P作， ， ， ， ， ， ， ； （2）解:①过点P作， ， ， ， ， ； ②过点G作， 是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， ， ， ． 64．【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由． (3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明） 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)等于 【分析】本题考查了平行线的性质，利用“猪蹄模型”是解题关键． （1）如图，过作．得，故，，因此． （2）过作．由（1）①．再得出②，由①②得，即，再求解即可． （3）由角平分线得，，由“猪蹄模型”得，再利用平行线和三角形内角和计算即可． 【详解】（1）证明：如图，过作． ， ， ，， ． （2）解：、、三者之间的数量关系：． 理由如下： 如图：过作． 由（1）①． ， ， ②， ①②得， 即， ， ， ． 答：、、三者之间的数量关系：． （3）证明：、分别平分和， ，， 由（1）结论得：， ， ． ， ， ， 由三角形内角和得： ． 答：等于． 65．【探究】 （1）如图1，已知直线，点A在上，点C在上，点E在两平行线之间，则 ； 【应用】如图2，已知直线，点A、 B在上，点C、D在上，连接，，其中，分别是，的平分线，，． （2）求的度数： （3）将线段沿方向平移，如图3所示，其他条件不变，求的度数． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了平移的性质以及角平分线的定义、平行线的性质等知识，正确应用平行线的性质得出各角之间关系是解题关键． （1）如图1中，作，利用平行线的性质求解即可． （2）利用平行线的定义结合角平分线的定义得出以及的度数即可得出答案； （3）利用平行线的性质结合角平分线的定义得出以及的度数即可得出答案． 【详解】解∶（1）如图1中，作， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为∶，； （2）如下图2，过点E作． ∵， ∴． ∵， ∴，． ∵是的平分线，是的平分线， ∴，． ∵，， ∴，， ∴； （3）如下图3，过点E作， ∵， ∴． ∵， ∴，． ∵是的平分线，是的平分线， ∴，． ∵，， ∴，， ∴． 考点十四 平行线中的动点问题（共5题） 66．如图，已知直线，点、分别在直线和直线上的点，点在直线与直线之间（其中和均为钝角）． (1)求证：． 小明同学做法如下，请同学们帮助小明同学将以下①②③处补充完整 证明：如图，过点作直线， （① ） ② （平行于同一条直线的两条直线平行） ③ 又 (2)若，请直接写出与的数量关系： ． (3)若的度数为，且，则与的数量关系为 （用含的式子表示）． (4)如图，若，点为平面内一动点，点为射线上一动点，连接，的长为定值，，当的值最小时，请直接写出的度数． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；； (2) (3) (4) 【分析】此题考查平行线的判定和性质，关键是添加辅助线得出平行线解答． （1）根据平行线的性质和判定，两直线平行，内错角相等解答即可； （2）根据平行线的性质和判定，两直线平行，同旁内角互补解答即可； （3）根据平行线的性质和判定，两直线平行，同旁内角互补解答即可； （4）当时，的值最小，进而利用结论解答即可． 【详解】（1）证明：如图，过点作直线， ， 两直线平行，内错角相等， ， 平行于同一条直线的两条直线平行， ， 又， ； 故答案为：两直线平行，内错角相等；；； （2）如图，过点作直线， ， 两直线平行，同旁内角互补， ， 平行于同一条直线的两条直线平行， ， 又， ， ； 故答案为：； （3）如图，过点作直线， ， 两直线平行，同旁内角互补， ， 平行于同一条直线的两条直线平行， ， 又， ， ； 故答案为：； （4）当时，的值最小， ，， ， ， ， ． 67．如图，直线、被所截，，，点E是直线上的动点（点E与点D不重合），连结，作的角平分线交直线于点． (1)如图1，点E在点D左侧，若，求的度数； (2)射线平分． ①如图2，点E在点D左侧，求的度数． ②若是反向延长线上的一点，请直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)①；②或． 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义以角的计算，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义以及角的和差倍分的计算是解决本题的关键． （1）首先推导出，进而得到．由平分，得到； （2）①由平分，得．由平分，得，进而求得； ②分两种情况讨论：当点位于点左侧时，当点位于点右侧时，分别解答即可． 【详解】（1）解： ，， ， ， ， 又平分， ； （2）解：①由（1）知：， ， 又平分， ， 平分， ， ； ②当点位于点左侧时，如图2． 由①得：， ， 当点位于点右侧时，如图3， 由题意可得，， 又平分，平分， ，， ， 综上，为或． 68．如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），射线和射线分别平分和，分别交射线于点，． (1)求的度数． (2)当点运动到使时，求的度数． (3)作射线关于对称的射线，射线关于对称的射线，如果和始终在的内部，请直接写出的范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了轴对称的性质、平行线的性质，分类讨论是解答本题的关键． （1）利用平行线性质得到，利用角平分线得到； （2）根据，，得出，进而得到，根据，，可求得的度数； （3）分两种情况讨论①当位于上时，②如图2，当位于射线上时，分别画出图形进行计算推导即可． 【详解】（1），， ， 平分，平分， ； （2）， ， 又， ， ， 由（1）可得，，， ; （3）根据题意，分两种情况讨论： 当位于上时，如图1， 为的角平分线， ， 又与关于对称， ， ，， ， ， ， ， 又， ； ②如图2，当位于射线上时， 同①可得：， ， ， 又， ， 综上分析，． 69．已知，分别与，交于E，F，点M是上的定点，点N是直线上一动点（点N不与点F重合）， (1)如图1，若，，求的度数； (2)点N在运动的过程中，探究，和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在点的左边时，；点在点的右边时， 【分析】本题主要考查平行线的判定及性质，图形结合，理解动点的运算规律，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）如图所示，过点作，可得，根据平行线的性质即可求解； （2）分类讨论，如图所示，点在点的左边时；点在点的右边时；根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． （2）解：①如图所示，点在点的左边时， 由（1）的证明可知，过点作，得， ∴，且，， ∴； ②如图所示，点在点的右边时，过点作，得， ∴， ∵（对顶角相等）， ∴， ∵，， ∴； 综上所示，点在点的左边时，；点在点的右边时，． 70．如图，直线l分别与直线、相交于点E、F，．点P是射线上的一个动点，点P、E不共点，连结．点N与点E关于直线对称．    (1)当直线l与直线所夹的角时． ①当的角平分线恰好是时，请求出的度数； ②若点N恰好落在直线上，试求出的度数； (2)当时，试求出的度数． 【答案】(1)①，② (2)的度数是或 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的性质以及对称的性质，解题的关键是熟悉应用对称的性质和分类讨论思想， ①根据题意可得，结合角平分线的性质得； ②当点N落在上时，连结，由对称可得，则，，即可得，利用平行线的性质得，求得，即可得； 设，则，分两种情况：①当点N在平行线，之间时，，，则，，由对称可得，利用平行线的性质得，列方程求解即可；②当点N在的下方时，，由对称可得，结合平行线的性质得，即可求得； 【详解】（1）解：①∵，， ∴ ∵平分， ∴； ②当点N落在上时，连结，如图，    ∵点N与点E关于直线对称， ∴直线是对称轴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，分两种情况： ∵， ∴， ①当点N在平行线，之间时， ∵，， ∴，， 由对称可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，      ②当点N在的下方时， 由对称可得， ∵， ∴， ∴， ∴，； 综上所述，的度数是或． 考点十五 平行线中的旋转、翻折问题 （共5题） 71．如图1，为直线上一点，过点在直线的上方作射线，使．将一块直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中，． (1)将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第______s时，边恰好与射线平行；第______时，直线恰好平分锐角； (3)将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)9或27，12或30； (3)，见解析． 【分析】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，平行线的性质， （1）根据邻补角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据解答即可； （2）分别分情况根据平行线的性质和旋转的性质求出旋转角，然后除以旋转速度即可得解； （3）用和表示出，然后列出方程整理即可得解； 读懂题目信息并熟练掌握各性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 又， ， ； （2）解：， ，， 当在直线上时，，此时旋转角为或， 每秒顺时针旋转， 时间为或， 当直线恰好平分锐角时，旋转角为或， ∵每秒顺时针旋转， ∴时间为或， 故答案为：9或27；或； （3）解：，理由如下： ∵在的内部， ∴，， ∴， ∴． 72．将一副直角三角板如图1，摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转． (1)如图2，当为的角平分线时，求此时的值； (2)当旋转至的外部时，求与的数量关系； (3)在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，求此时等于______（直接写出答案即可）． 【答案】(1)3秒 (2)当旋转角大于且不大于时，；当旋转角大于且不大于时，； (3)15或24或27或33 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是典型的实际操作问题，将两个三角板按照题意进行摆放，旋转，清楚每一时刻各个角的度数是多少和各角之间的关系． （1）先计算的度数，再根据角平分线的定义和旋转的速度可得的值； （2）分别表示与的度数，相减可得数量关系； （3）分四种情况讨论：分别和三边平行，还有，计算旋转角并根据速度列方程可得结论． 【详解】（1）解：如图，，， ， 平分， ， ， 答：此时的值是3秒； （2）解：当旋转至的内部时， 当旋转角大于且不大于时，如图， ∵， ∴； 当旋转角大于且不大于时，如图， ∵， ∴； 综上，当旋转角大于且不大于时，；当旋转角大于且不大于时，； （3）解：分四种情况： ①当时，如图，， ； ②当时，如图，则， ， ； ③当时，如图，则，此时，， ， ； ④当时，如图，则， ， ； 综上，的值是15秒或24秒或27秒或33秒． 故答案为：15或24或27或33． 73．将一副三角板按如图1所示放置在直线上，，，．若三角板固定不动，三角板绕点C以每秒顺时针旋转一周，旋转时间为． (1)当面积最大时，求t的值． (2)如图2，是的平分线，当t的值为____________时，． (3)若在三角板旋转的同时，三角板也绕点C以每秒顺时针旋转，平分，平分，在旋转的过程中，的度数是否为定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)35或95 (3)的度数为定值， 【分析】本题考查了直角三角形的性质，旋转的性质，角平分线的定义，平行线的性质，三角形的面积，熟练掌握它们的性质，能进行分类讨论是解题的关键． （1）根据当，此时的边上的高最大，最大值为的长，用旋转度数除以旋转速度即可； （2）根据平分求出和的度数，当时，分旋转度数小于和大于两种情况讨论； （3）用含t的代数式分别表示出旋转后，，，的度数，再根据平分，平分，求出，，，，再求出的度数，即可求出的度数为定值． 【详解】（1）解：如图1，当绕点C顺时针旋转时，，此时的边上的高最大，最大值为的长， 所以，此时面积最大． 因为，， 所以，当面积最大时，． （2）如图， ∵在中，，，平分， ∴， ∴． 当时，设交直线于点G， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， 解得． 如图： 当时，设交直线于点G， ∴． ， ∴， ∴， ∴绕点C再旋转， ∴． 综上所述，当t的值为35或95时，． 故答案为：35或95； （3）的度数为定值，．理由如下： 如图3，由题意，可知旋转后，，，． ∵平分，平分， ∴， ∴． ∵， ∴． 74．如图，点A、B分别在直线上，，，平分，将射线绕点B以每秒的速度顺时针方向旋转，射线绕点A以每秒的速度顺时针方向应转，设旋转时间为，当与平行时，求旋转时间t的值． 【答案】5或35 【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的性质、解一元一次方程，分类讨论：当时，当时，当时，根据平行线的性质列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 当时，，如图， 此时，，， ∵， ∴，即， 解得； 当时，，如图， 此时，，， ∵， ∴，即， 解得（舍）， 当时，，如图， 此时，，， ∵， ∴，即， 解得， 故当与平行时，旋转时间t的值为5或35． 75．在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板的顶点G放置在直线上，旋转三角板． (1)如图1，在边上任取一点P（不同于点G，E），过点P作，若，求的度数 (2)如图2，过点E作，若平分，平分，求的度数； (3)将三角板绕顶点G转动，过点E作，并保持点E在直线的上方．在旋转过程中，探索与之间的数量关系（请直接写出你探索的结论）． 【答案】(1) (2) (3)①当点F在直线的上方时，；②当点F在直线与直线之间时，；③当点F在直线的下方时，． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义： （1）根据平行线的性质可知，结合平角的定义及，可求出的度数； （2）过点F作，得到，通过平行线的性质把和转化到得到，再由角平分线的定义得到，则； （3）分三种情形：①当点F在直线的上方时，②当点F在直线与直线之间时,③当点F在直线的下方时，分别利用平行线的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴； （2）解：如图，过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， 同理可得； （3）解：①如图，当点F在直线的上方时，过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； ②当点F在直线与直线之间时，过点F作，如下图： 由（2）可知：； ③当点F在直线的下方时，过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 综上所述，①当点F在直线的上方时，； ②当点F在直线与直线之间时，； ③当点F在直线的下方时，． 考点十六 平行线中与角平分线有关问题（共5题） 76．已知，与的角平分线相交于点F． (1)如图①，若分别是和的角平分线，且，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)若，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的计算，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质． （1）首先作，，，利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义得到，从而得到的度数，再根据角平分线的定义可求的度数； （2）先由已知得到，，由（1）得，，等量代换即可求解； （3）由（2）的方法可得到． 【详解】（1）解：作，，，如图所示． ， ， ， ， ． ， ． 和的角平分线相交于点F， ， ． 分别是和的角平分线， ，， ， ． （2），， ，． 与两个角的角平分线相交于点F， ，， ． ， ， ． （3）． 由（2）结论可得， ， 则． 77．已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过F点作交延长线于点，作、的角平分线交于点，交于点，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义： （1）由平行线的性质得，再由内错角相等得出； （2）过点作，则，由平行线的性质得到，， 设，，由角平分线的定义得到，，再由平行线的性质得到；证明得到，则，可得，则． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ； （2）解；如图，过点作， ∵， ， ，， 设，， 、分别平分、， ，， 又， ， 又，， ∴ ， ， ， ． 78．如图，直线，A、N为直线上的点，过点A的直线交于点B，C在线段的延长线上．D，E为直线上的两个动点，D在B的右侧，E在D的右侧，连接，，满足．点M在上，且在点B的左侧． (1)如图1，若，，则的度数为__________； (2)如图2，射线为的角平分线． ①用等式表示与之间的数量关系，并给出证明； ②当时，的度数为__________． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；②或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，角的等量代换等，灵活运用平行线的性质和角平分线定义等量代换出角的关系是解题的关键． （1）由平行线的性质得到，，再利用角的等量代换换算即可； （2）①设，，利用角平分线的定义和角的等量代换表示出对比即可；②分“当点在点右侧时”、“当点在点左侧，点在点右侧时”、“当点和点在点左侧时”，三种情况分类讨论，运用角的等量代换换算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①． 证明如下：如图，设在上有一点在点的右侧，设，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②如图，当点在点右侧时， 由①得：， 又∵， ∴， 又∵， ∴； 如图，当点在点左侧，点在点右侧时， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图，当点和点在点左侧时，设在上有一点在点的右侧， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 79．如图，过点P作直线分别与直线，相交于E、F两点，的角平分线交直线于点M，射线交直线于点N，，． (1)求证：； (2)过点P作直线分别交直线于点Q，交直线于点R，且Q不与M、E重合，R不与N、F重合，作的角平分线交线段于点S，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，邻补角的性质，过拐点作平行线，恰当进行角的运算是解题的关键． （1）作，根据平行线的性质求，证可得，结论可得； （2）作，根据平行线的判定和性质可得，，再根据角平分线的定义，邻补角的性质求解即可． 【详解】（1）证明：作，如图所示， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）作，如图所示， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 同理可得：， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴． 80．如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是1°/秒．    (1)射线顺时针旋转______秒，射线第一次成为的角平分线； (2)若射线、射线同时旋转秒，此时射线、射线有怎样的位置关系？请说明理由． (3)若射线绕点顺时针先转动15秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线到达之前，问射线再转动______秒时，射线、射线互相平行． 【答案】(1)25 (2)，见解析 (3)或18 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）先求出，射线顺时针旋转到时，第一次成为的角平分线，由角平分线的定义得出，求出旋转角度，结合射线转动的速度是秒，计算即可得解； （2）利用旋转的性质、平行线的性质结合三角形内角和定理，计算即可得出答案； （3）分两种情况：当时，，；当时，，，利用平行线的判定列出一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 如图，射线顺时针旋转到时，第一次成为的角平分线，    则， ， 射线转动的速度是秒， 旋转时间为：（秒）， 射线顺时针旋转秒，射线第一次成为的角平分线， 故答案为：； （2）解：如图，射线、射线同时旋转秒，分别到达、的位置，令、相交于，    则，， ， ， ， ， ， 射线、射线同时旋转秒，此时； （3）解：如图，射线绕点顺时针先转动15秒后，转动至的位置，， 设射线再转动秒时，射线、射线互相平行， 当时，，， 则， ， ， ， ， 当时，， ， 解得：； 当时，，， ，， 当时，， ， 解得：； 综上所述，射线再转动或秒时，射线、射线互相平行， 故答案为：或． 考点十七 平行线中多结论问题 （共5题） 81．如图，已知，，垂足为，、分别是和的平分线，则下列五种说法：①；②；③；④；⑤．其中一定正确的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了垂线的定义，角平分线的定义，平行线的判定及性质，熟练掌握各个性质是关键． 根据已知条件及角平分线性质、平行线的判定及性质逐项判断即可． 【详解】， ，故①正确； 平分，， ． 又， ∴， ，故②正确； ， ，故④正确； 、分别平分、，， ， ∴，即，故③正确； 无法证明，故无法证明，故⑤错误 故正确的个数为4个． 故选C． 82．小方、小辉、小明、小杰一起研究一道数学题．如图所示，已知，，是边上一点（不与，重合）． 小方说：“如果还知道，则能得到”； 小辉说：“把小方的已知和结论倒过来，即由，可得到”； 小明说：“一定大于”； 小杰说：“如果连接，则一定平行于”． 他们四人中，有几个人的说法是正确的？（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，准确分析判断是解题的关键． 由，，知，得到，然后根据平行线的性质和判定即可得出答案． 【详解】已知，， ∴， ∴， 小方：若， ∴， ∴， ∴，故小方的说法是正确的； 小辉：若， ∴， ∴， ∵， ∴，故小辉的说法是正确的； 小明：不一定大于，故小明的说法是不正确的； 小杰：如果连接，则不一定平行于，故小杰的说法是不正确的； 综上所述，正确的说法有2个． 故选B． 83．如图，直线，含角的直角三角尺按如图所示的方式放置．若，求的度数．为解决此问题，小芸和小楠提出了两种不同的思路： 如图，直线，含角的直角三角尺按如图所示的方式放置． 若，求的度数．为解决此问题，小芸和小楠提出了两种不同的思路： 小芸：如图，过点作的平行线， ， ． ， （两直线平行，内错角相等） ， ． ， ， ． 小楠：如图，过点作的平行线， ， ， ． ， ， ． 阅读以下解题过程，下列说法： ①中应填：； ②中应填：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； ③中应填：两直线平行，同位角相等； ④中应填：． 其中正确的是（    ） A．①②③④ B．②③ C．②④ D．①②④ 【答案】D 【分析】此题考查的是平行线的判定与性质、平行公理及推论； ①根据平行线的性质可得答案；②根据平行公理可得答案；③根据两直线平行，内错角相等即可判断；④根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：小芸：如图，过点作的平行线， ，， ． ，故①正确； （两直线平行，内错角相等） ， ． ， ， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），故②正确； ． 小楠：如图，过点作的平行线， （两直线平行，内错角相等），故③不正确； ， ，故④正确； ，， ， ． 故选：D． 84．如图，，点、点在上，点、点在上，，点在与之间，连接、，与交于点，且．是内部的一条射线，满足，已知，平分．下列说法错误的有（    ）个． ；；； A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质逐一判断即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴，故错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴，因缺少条件，无法证明的结论，故错误； ∴错误，共个， 故选：． 85．已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点，则： ①； ②； ③若，则； ④若，则； 以上说法正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，辅助线的应用是解题关键．由平行线的性质可判断①正确，同样根据平行线的性质可判断②正确，根据平行的性质已知可求出的度数不等于，故③不正确，根据和的关系及，可判断④正确． 【详解】解：如图，作， ， ， ，， ，即，故①正确； 如图，作， ， ， ，， ， 即，故②正确； 若，则， 平分，平分， ， ，故③不正确； 同理可证：， 若， 则， ，， ， ， ， ，故④正确； 故答案为：①②④． 考点十八 命题与证明 （共5题） 86．下列命题中：①点到直线的距离是指这点到直线的垂线段； ②两直线被第三条直线所截，同位角相等； ③平移时，连接对应点的线段平行且相等； ④在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤对顶角相等； ⑥过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中真命题的个数为（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平移性质、平行线的判定、点到直线的距离及平行线的性质，难度不大． 利用平移性质、平行线的判定、点到直线的距离及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度，故①错误； ②两平行线被第三条直线所截，同位角相等，故②错误； ③根据平移的特性，可知③正确； ④在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④错误； ⑤对顶角相等，故正确； ⑥在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故⑥错误． 故选：B． 87．下列命题中，①同位角相等；②如果，那么；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角；④若，则．其中真命题的有 个． 【答案】1 【分析】根据平行线的判定、补角的定义、绝对值的意义、乘方的运算进行判断即可． 【详解】解：①两条直线平行，同位角相等，故原命题是假命题； ②如果，那么或，故原命题是假命题； ③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角，故原命题是真命题； ④例如，则，故原命题是假命题； 即真命题的有1个， 故答案为：1． 【点睛】本题考查命题与定理、平行线的判定、补角的定义、绝对值的意义、乘方的运算，熟练掌握相关知识是解题的关键． 88．如图，在三角形中，，是上的点，是上一点，，是上的点，．连接，，．有下列三个条件：①；②；③． (1)请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论．写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题； (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质和判定，垂直的定义； （1）根据题意写出命题，并判断真假即可； （2）选择命题一：先根据垂直得到，即可得到，然后根据角的和差解题即可；选择命题二：延长、交于点，根据垂直可得，然后根据，得到，然后根据等量代换的到，即可得到，证明结论；选择命题三：延长、交于点，可以得到，即可得到，然后推导，即可得到平行． 【详解】（1）命题一：已知， 若，，则；真命题． 命题二：已知， 若，，则；真命题． 命题三：已知， 若，，则；真命题． （2）选择命题一． 证明：，， ， ， ． 又， ， ， ． 选择命题二：延长、交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择命题三：延长、交于点， ，， ， ， ∴， 又∵， ∴， ∴． 89．如图，点在同一条直线上，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个真命题．①；②，；③． (1)上述问题有哪几个真命题？ (2)选择（1）中的一个真命题加以证明． 【答案】(1)命题1：①②⇒③；命题2：②③⇒① (2)选择命题1：①②⇒③，证明见解析；选择命题2：②③⇒①，证明见解析 【分析】本题考查平行线的性质与判定，三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据三个条件写出真命题即可； （2）选取①②⇒③，然后根据平行线的性质和三角形的内角和定理得到，即可得到，进而求出即可解题．选取命题2：②③⇒①，先根据垂直和平角的定义得到，进而得到,然后根据三角形的内角和定理得到即可证明结论． 【详解】（1）解：上述问题有两个真命题，分别是： 命题1：①②⇒③；命题2：②③⇒①． （2）选择命题1：①②⇒③． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 选取命题2：②③⇒①． 证明: ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 90．已知命题“两条直线被第三条直线所截，如果一对内错角的平分线互相平行，那么这两条直线互相平行”． (1)如图为符合该命题的示意图，请你把该命题用几何符号语言补充完整． 已知：直线l分别与，交于点，，，分别平分______和______，且______． 求证：______； (2)判断这个命题的真假，并证明． 【答案】(1)，；； (2)该命题为真命题，详见解析 【分析】本题主要考查了命题的真假判断、平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识点， （1）根据题意、结合图形写出已知和求证； （2）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据平行线的判定定理证明即可； 熟练掌握命题的真假判断、平行线的判定和性质是解决此题的关键． 【详解】（1）由图和题意知，，分别平分和，且， 求证：， 故答案为：；；；； （2）该命题是真命题，理由如下： ∵， ∴， ∵，分别平分和，， ∴，， ∴， ∴． 1 / 110 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16章 相交线与平行线【单元卷·考点卷】（18大核心考点） 考点一 相交线（共5题） 1．同一平面内有三条直线，如果只有两条平行，那么它们交点的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．观察如图图形，并阅读图形下面的相关文字．像这样的十条直线相交最多的交点个数有 ． 3．某城市新区规划建设10条主干道（道路近似于直线），为有效引导车流，交通运输局计划每条主干道交汇点处设置一组交通信号灯，则交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为 ． 4．平面内有n条直线，这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．在同一平面内有条直线，设它们的交点个数为． 例如：当时，或（如图所示）． (1)当时，可以取哪些不同的值？请画图说明； (2)当时，的最大值为多少？请画图说明； (3)的最大值为__________（用含的式子表示） (4)当时，的最大值为多少？请画图说明． 考点二 对顶角（共5题） 6．如图，直线相交于点．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，，，三条直线相交于点O，且，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，直线，相交于点，，，射线平分，则的度数为 ． 9．如图，直线、交于点O，，是的平分线，是的平分线，，则 ．    10．如图，直线，交于点， (1)过点画的垂线，其中点位于上方，点位于下方； (2)画的平分线； (3)当时，求． 考点三 垂线（共5题） 11．如图，直线相交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．如图，点A在的一边上．请按要求完成画图：    (1)过点A画直线的另一边相交于点； (2)过点A画的垂线段，垂足为点． 13．按下列要求画图并填空： 如图，直线与相交于点是上的一点， (1)过点画出的垂线，交直线于点． (2)过点画出，垂足为点． (3)点到直线的距离是线段______的长． (4)点到直线的距离为______． 14．如图，在方格纸内将三角形水平向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到三角形． (1)画出平移后的三角形； (2)过作线段的垂线直线，垂足为； (3)图中与的关系是：______； 15．如图，网格线的交点叫格点，A、B、C都在格点上，请在方格纸上画图并回答下列问题： (1)过点A画的垂线，垂足为G；过点A作直线，垂足为A，直线交于点H； (2)线段的长度是点A到______的距离，线段______的长度是点H到直线的距离，所以线段的大小关系是______（用“”号连接），理由是______． 考点四 平行公理及其推论（共5题） 16．下列说法正确的有（    ） ①两点之间的所有连线中，线段最短； ②相等的角叫对顶角； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤两点之间的距离是两点间的线段； ⑥在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有两种：平行或垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．下列说法： ①已知直线a，b，c，若a与c相交，则a与b相交； ②若直线，直线，那么直线； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种． 其中错误的有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 18．图2是某兴趣小组利用几何画版画出图1所示螳螂的简笔画，且， 过C作，则，其理由是 ；若，，则 ． 19．如图，、、、是公园里绕湖的四段路，经测量，，若使，与拐弯处的度数是 ． 20．如图所示，字母“”是运用画“平行线段”这种基本作图方法书写的艺术字． (1)请在正面，上面，右面上各找出一组平行线段，并用字母表示出来； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 考点五 同位角、内错角、同旁内角（共5题） 21．下列说法不正确的是（　　） A．和是同旁内角 B．和是内错角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 22．科技是国家强盛之基，创新是民族进步之魂．近些年来，我国的航空事业不断发展，在如左图所示的飞机中抽象出右图的数学图形，在右图中，与 构成同旁内角的是(   ) A． B． C． D． 23．如图，直线上有一点和是直线被直线 所截形成的 角；和是直线和被直线 所截形成的 角；和是直线 和 被直线 所截形成的 角． 24．如图，从已经标出的五个角中， （1）直线，被直线所截，与 是同位角； （2）直线，被直线所截，与 是内错角； （3）直线，被直线所截，与 是同旁内角． 25．如图，已知直线，直线分别交于点G，平分平分． (1)图中的与是同位角吗？ (2)与有怎样的数量关系？为什么？ (3)与有怎样的位置关系？为什么？ 考点六 邻补角（共5题） 26．如图，已知直线相交于点O，平分，若，求的大小． 27．如图，已知点A、O、B在同一条直线上，点C、O、D在同一条直线上，，， (1)求的度数； (2)小汐认为，在这个图形中，平分，小汐的看法正确吗？请说明理由； 28．如图，直线，相交于点，平分，． (1)若，求的度数； (2)猜想与之间的位置关系，并证明． 29．如图，直线相交于点，，平分． (1)填空：__________（填“>”“=”“<”），数学依据是 __________． (2)若，求的度数． 30．如图，直线与相交于点，． (1)若，求的度数； (2)从点出发在的内部引射线，若与互补，判断与的位置关系，并说明理由． 考点七 平行线的性质（共5题） 31．如图，直线，若，则为（   ） A． B． C． D． 32．如图，直线，直角三角形的角的顶点在直线b上，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 33．如图，直线，直线与直线相交于点A，与直线相交于点，且，若，则 ． 34．将一条长方形纸带的一端沿折叠成图1，．    （1）若，则的度数为 ． （2）将图1的另一端先沿折叠成图2，再沿折叠成图3，若，则的度数为 ．（用含的代数式表示） 35．【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过做一条直线的平行线进行转化． 例如：如图，直线，求证： （1）阅读下面的解答过程，并填上适当的理由． 解：过点作直线， （ ） （已知），， （ ） （ ） ， （ ） （2）如图2，直线，若，，则 ； 【方法运用】 （3）如图，直线，点在的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由； 【联想拓展】 （4）如图4，已知，的平分线和的平分线交于点，请你用含有的式子表示的度数，直接写出结果． 考点八 垂直于同一直线的两直线平行（共5题） 36．下列说法中，正确的个数为（    ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②在同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们就平行；③如果，，那么；④如果直线，，那么直线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 37．设a、b、c为同一平面内的三条直线，下列判断不正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 38．在同一平面内，如果，，则a c． 39．设a，b，l为平面内三条不同直线．①若，，则l与b的位置关系是 ；②若，，则a与b的位置关系是 ；③若，，则l与b的位置关系是 ． 40．探索与发现： (1)若直线，，则直线与的位置关系是 ，请说明理由． (2)若直线，，，则直线与的位置关系是 （直接填结论，不需要说明理由） (3)现在有2014条直线，且有，，，…，请你探索直线与的位置关系．       考点九 平行线的判定（共5题） 41．如图，下列给出的条件，能判断的是（   ） A． B． C． D． 42．如图，点在的延长线上，点在的延长线上，下列条件：①，②，③，其中能判断的是（   ） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 43．如图，点是四边形边延长线上一点，连接，要使，则可添加的条件为 ．（写出一个即可） 44．如图，直线，被直线，所截，在下列条件中：；；；，能得到直线的是__________．（请填写序号） 45．如下图，已知分别是射线上的点．连接平分平分． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 考点十 根据平行线的性质探究角的关系（共5题） 46．如图，在长方形纸片中，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠，点B和点C恰好都落在点P处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 47．如图，，，，，分别平分和，则，满足的数量关系为： ． 48．如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和交射线于点E，F． (1)求的度数，若，请直接用含的式子表示； (2)随着点的运动，设，，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由； (3)当时，请直接写出的度数． 49．探究：在平面内，直线，为平面内一点，连接、，根据点的位置探究、和的数量关系： (1)当点在如图①的位置时，写出、和的数量关系，并说明理由． (2)当点分别在图②、图③所示的位置时，请分别写出图形中相应的、和的数量关系：（直接写出答案，不要求说明理由） 图②________________________________________________． 图③________________________________________________． (3)运用上面结论解决问题：如图④，，平分，平分，，求的度数． 50．如图，，点E为两直线之间的一点． (1)如图1，若，，则_______； (2)如图2，试说明，； (3)如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由． 考点十一 根据平行线的性质求角的度数（共5题） 51．如图，已知，，，，求的度数． 52．如图，在中，，点在边上，交于点，，求的度数．    53．如图，点C，D在直线上，，． (1)求证：； (2)的角平分线交于点G，若，求的度数． 54．将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点按如图方式叠放在一起，友情提示：，，． (1)①若，则的度数为________． ②若，则的度数为________． (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由． (3)若且点在直线的上方，当这两块直角三角板有一组边互相平行时，请直接写出角度所有可能的值（不必说明理由）． 55．如图①，直线，点在两平行线之间，点在上，点在上，连接．    (1)若，，则的度数为 ． (2)如图②，若点在直线与之间，，，，则的度数为 ． (3)如图③，在图①基础上，作平分，平分，若设，，则 ． 如图④，若平分，平分，可得，平分，平分，可得，，依次平分下去，则 ．（用含的式子表示） (4)在一次综合实践活动课上，张开同学制作了一个如图⑤所示的“回旋镖”，经测量发现，，他很想知道与的数量关系，你能告诉他吗？请你写出求解过程． 考点十二 平行线的性质在生活中的应用（共5题） 56．如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学平面图形，已知，若，，求的度数．    57．阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律． （1）在图1中，证明； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，． （2）请问和有什么关系？并说明理由； （3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）． 58．如图是一种躺椅及其侧面简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当时，人躺着最舒服，求此时和的度数．请补充求解过程，并在括号内添上相应的理由． 解：因为扶手与底座都平行于地面，即， 因为（已知）． 所以（     ）． 因为______（平角的定义）， 又因为（已知）， 所以______（等式的基本性质）． 因为（已知）， 所以______（     ）． 所以______（平角的定义）． 59．已知：如图1，．求证：． 老师要求学生在完成这道题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？ (1)小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是 ； (2)接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线，，然后在平行线间画了一点，连接，后，用鼠标拖动点，分别得到了图，，，小颖发现图正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图和图中的，与之间也可能存在着某种数量关系．于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系． 请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题： ①猜想图中，与之间的数量关系并加以证明； ②利用图③探究，在拖动点至上方或的下方时，，与之间还存在其他数量关系，请直接写出、与之间的数量关系 （写出一种即可）； (3)一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于点．平行于地面，若，则的度数为 ． 60．“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：_______； (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？ 考点十三 平行模型（共5题） 61．（1）如图①，已知：，请说明． （2）如图②，已知：，于点M，交于点．若，则的度数为多少？ 62．已知，直线，点P为平面上一点，连接与． (1)如图1，点P在直线，之间，当，时，求的度数． (2)如图2，点P在直线，之间，与的角平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点P落在外． ①直接写出、、的数量关系为______． ②与的角平分线相交于点K，请直接写出与的数量关系为______． 63．如图，直线，点P为平面内一点（不在两条直线上）． (1)如图①，若点P在直线与之间，且，，求的度数； (2)如图②，若点P在直线上方，且，． ①求的度数； ②如图③，的平分线和的平分线交于点G，求的度数． 64．【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由． (3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明） 65．【探究】 （1）如图1，已知直线，点A在上，点C在上，点E在两平行线之间，则 ； 【应用】如图2，已知直线，点A、 B在上，点C、D在上，连接，，其中，分别是，的平分线，，． （2）求的度数： （3）将线段沿方向平移，如图3所示，其他条件不变，求的度数． 考点十四 平行线中的动点问题（共5题） 66．如图，已知直线，点、分别在直线和直线上的点，点在直线与直线之间（其中和均为钝角）． (1)求证：． 小明同学做法如下，请同学们帮助小明同学将以下①②③处补充完整 证明：如图，过点作直线， （① ） ② （平行于同一条直线的两条直线平行） ③ 又 (2)若，请直接写出与的数量关系： ． (3)若的度数为，且，则与的数量关系为 （用含的式子表示）． (4)如图，若，点为平面内一动点，点为射线上一动点，连接，的长为定值，，当的值最小时，请直接写出的度数． 67．如图，直线、被所截，，，点E是直线上的动点（点E与点D不重合），连结，作的角平分线交直线于点． (1)如图1，点E在点D左侧，若，求的度数； (2)射线平分． ①如图2，点E在点D左侧，求的度数． ②若是反向延长线上的一点，请直接写出的度数． 68．如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），射线和射线分别平分和，分别交射线于点，． (1)求的度数． (2)当点运动到使时，求的度数． (3)作射线关于对称的射线，射线关于对称的射线，如果和始终在的内部，请直接写出的范围． 69．已知，分别与，交于E，F，点M是上的定点，点N是直线上一动点（点N不与点F重合）， (1)如图1，若，，求的度数； (2)点N在运动的过程中，探究，和的数量关系，并说明理由． 70．如图，直线l分别与直线、相交于点E、F，．点P是射线上的一个动点，点P、E不共点，连结．点N与点E关于直线对称．    (1)当直线l与直线所夹的角时． ①当的角平分线恰好是时，请求出的度数； ②若点N恰好落在直线上，试求出的度数； (2)当时，试求出的度数． 考点十五 平行线中的旋转、翻折问题 （共5题） 71．如图1，为直线上一点，过点在直线的上方作射线，使．将一块直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中，． (1)将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第______s时，边恰好与射线平行；第______时，直线恰好平分锐角； (3)将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 72．将一副直角三角板如图1，摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转． (1)如图2，当为的角平分线时，求此时的值； (2)当旋转至的外部时，求与的数量关系； (3)在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，求此时等于______（直接写出答案即可）． 73．将一副三角板按如图1所示放置在直线上，，，．若三角板固定不动，三角板绕点C以每秒顺时针旋转一周，旋转时间为． (1)当面积最大时，求t的值． (2)如图2，是的平分线，当t的值为____________时，． (3)若在三角板旋转的同时，三角板也绕点C以每秒顺时针旋转，平分，平分，在旋转的过程中，的度数是否为定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由． 74．如图，点A、B分别在直线上，，，平分，将射线绕点B以每秒的速度顺时针方向旋转，射线绕点A以每秒的速度顺时针方向应转，设旋转时间为，当与平行时，求旋转时间t的值． 75．在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板的顶点G放置在直线上，旋转三角板． (1)如图1，在边上任取一点P（不同于点G，E），过点P作，若，求的度数 (2)如图2，过点E作，若平分，平分，求的度数； (3)将三角板绕顶点G转动，过点E作，并保持点E在直线的上方．在旋转过程中，探索与之间的数量关系（请直接写出你探索的结论）． 考点十六 平行线中与角平分线有关问题（共5题） 76．已知，与的角平分线相交于点F． (1)如图①，若分别是和的角平分线，且，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)若，请直接写出与之间的数量关系． 77．已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过F点作交延长线于点，作、的角平分线交于点，交于点，求的度数． 78．如图，直线，A、N为直线上的点，过点A的直线交于点B，C在线段的延长线上．D，E为直线上的两个动点，D在B的右侧，E在D的右侧，连接，，满足．点M在上，且在点B的左侧． (1)如图1，若，，则的度数为__________； (2)如图2，射线为的角平分线． ①用等式表示与之间的数量关系，并给出证明； ②当时，的度数为__________． 79．如图，过点P作直线分别与直线，相交于E、F两点，的角平分线交直线于点M，射线交直线于点N，，． (1)求证：； (2)过点P作直线分别交直线于点Q，交直线于点R，且Q不与M、E重合，R不与N、F重合，作的角平分线交线段于点S，直接写出与的数量关系． 80．如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是1°/秒．    (1)射线顺时针旋转______秒，射线第一次成为的角平分线； (2)若射线、射线同时旋转秒，此时射线、射线有怎样的位置关系？请说明理由． (3)若射线绕点顺时针先转动15秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线到达之前，问射线再转动______秒时，射线、射线互相平行． 考点十七 平行线中多结论问题 （共5题） 81．如图，已知，，垂足为，、分别是和的平分线，则下列五种说法：①；②；③；④；⑤．其中一定正确的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 82．小方、小辉、小明、小杰一起研究一道数学题．如图所示，已知，，是边上一点（不与，重合）． 小方说：“如果还知道，则能得到”； 小辉说：“把小方的已知和结论倒过来，即由，可得到”； 小明说：“一定大于”； 小杰说：“如果连接，则一定平行于”． 他们四人中，有几个人的说法是正确的？（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 83．如图，直线，含角的直角三角尺按如图所示的方式放置．若，求的度数．为解决此问题，小芸和小楠提出了两种不同的思路： 如图，直线，含角的直角三角尺按如图所示的方式放置． 若，求的度数．为解决此问题，小芸和小楠提出了两种不同的思路： 小芸：如图，过点作的平行线， ， ． ， （两直线平行，内错角相等） ， ． ， ， ． 小楠：如图，过点作的平行线， ， ， ． ， ， ． 阅读以下解题过程，下列说法： ①中应填：； ②中应填：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； ③中应填：两直线平行，同位角相等； ④中应填：． 其中正确的是（    ） A．①②③④ B．②③ C．②④ D．①②④ 84．如图，，点、点在上，点、点在上，，点在与之间，连接、，与交于点，且．是内部的一条射线，满足，已知，平分．下列说法错误的有（    ）个． ；；； A． B． C． D． 85．已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点，则： ①； ②； ③若，则； ④若，则； 以上说法正确的是 ． 考点十八 命题与证明 （共5题） 86．下列命题中：①点到直线的距离是指这点到直线的垂线段； ②两直线被第三条直线所截，同位角相等； ③平移时，连接对应点的线段平行且相等； ④在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤对顶角相等； ⑥过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中真命题的个数为（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 87．下列命题中，①同位角相等；②如果，那么；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角；④若，则．其中真命题的有 个． 88．如图，在三角形中，，是上的点，是上一点，，是上的点，．连接，，．有下列三个条件：①；②；③． (1)请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论．写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题； (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 89．如图，点在同一条直线上，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个真命题．①；②，；③． (1)上述问题有哪几个真命题？ (2)选择（1）中的一个真命题加以证明． 90．已知命题“两条直线被第三条直线所截，如果一对内错角的平分线互相平行，那么这两条直线互相平行”． (1)如图为符合该命题的示意图，请你把该命题用几何符号语言补充完整． 已知：直线l分别与，交于点，，，分别平分______和______，且______． 求证：______； (2)判断这个命题的真假，并证明． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$