第16章 相交线与平行线 知识归纳与题型突破（21类题型清单）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（沪教版2024）

第16章 相交线与平行线知识归纳与题型突破（21类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点一、相交线 1.邻补角（丁字型）：有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角。 2.对顶角（X型）：有一个公共顶点,且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线. 3.同位角（F型）：在截线的同旁, 又分别在直线的相同一侧的位置。 4.内错角（Z型）：在截线的两旁, 又分别在直线之间。 5.同旁内角（U型）：在截线的同旁, 又分别在直线之间。 6. 两条直线的夹角：两条直线相交形成四个小于平角的角，其中不大于直角的角叫做两条直线的夹角。 7.两条直线互相斜交：两条直线的夹角是锐角。 其中一条直线叫做另一条直线的斜线 。 8.两条直线互相垂直：两条直线的夹角是直角。其中一条直线叫做另一条直线的垂线 。它们的交点叫垂足。 9.垂线的性质 （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （2）联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单地说：垂线段最短。 10.垂直平分线：过线段中点且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。 11.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 知识点二、平行线 1.平行线概念：同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。如直线、是平行线，记作： 2.两条直线平行的判定 方法1 文字：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 图形：如下左图； 符号： 方法2 文字：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 图形： 如上中图； 符号： 方法3 文字：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 图形：如上右图； 符号： 3.平行线的性质 基本性质（1）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （2）平行的传递性：若两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 即：若，则a//c. 平行线的性质1：两直线平行，同位角相等. 图形：如下左图； 符号： 平行线的性质2：两直线平行，内错角相等. 图形：如上中图； 符号： 平行线的性质3：两直线平行，同旁内角互补。 图形：如上右图； 符号： 4.两平行线间的距离：两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离。 知识点三、命题 内容 定义 能判断一件事情的语句，叫做命题。 组成 命题由题设和结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出来的事项 表达形式 通常可以写成“如果......,那么......”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。 分类 题设成立，结论也成立，这样的命题叫做真命题 题设成立，结论不成立，这样的命题叫做假命题。 03 题型归纳 题型一　两点确定一条直线 例题：1．去年春季，某校组织学生参加春耕插秧活动．在插秧过程中，往往需要拉一条绳子插秧，这样做的原理可以用下列哪个基本事实来描述（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．经过一点有无数条直线 【答案】B 【分析】本题主要考查了考查了直线的性质，要想确定一条直线，至少要知道两点．由直线公理可直接得出答案． 【详解】解：在插秧过程中，往往需要拉一条绳子插秧，这样做的原理是：两点确定一条直线． 故选：B． 2．如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩．再拉一条直的参照线．就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点之间直线最短 C．两点确定一条直线 D．一点确定一条直线 【答案】C 【分析】本题主要考查直线的性质，要想确定一条直线，至少要知道两点，由此可得答案． 【详解】解：工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩．再拉一条直的参照线．就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是：两点确定一条直线， 故选C． 3．植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一条直线上，这样做蕴含的数学原理是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点有无数条线段 D．线段有两个端点 【答案】A 【分析】本题考查了两点确定一条直线，熟练掌握两点确定一条直线是解题关键．将两个树坑看作两个点，根据两点确定一条直线即可得． 【详解】解：将两个树坑看作两个点，所以植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一条直线上，这样做蕴含的数学原理是两点确定一条直线． 故选：A． 巩固训练 4．铺设地砖时，为了让砖缝对齐，通常会在铺设场地两端固定两点，然后拉一根笔直的参照线，这样操作的依据是 . 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查的是直线的性质，掌握直线的性质是解题的关键．由直线公理可直接得出答案． 【详解】这样做的依据是：两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 5．《荀子·劝学》有云，木受绳则直，金就砺则利．大意是说，木材经墨线比量后加工便可取直，刀剑等金属制品被磨刀石磨过就会锋利．如图，木匠师傅欲做一工件，于木板上确定两点A，B，依此弹出线段再加工，其依据为 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查了直线的性质，依据两点之间可以确定一条直线，据此解答即可． 【详解】解：木匠师傅欲做一工件，于木板上确定两点A，B，依此弹出线段再加工，其依据为两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 6．下列三个日常现象： 其中，可以用“两点确定一条直线”来解释的是 （填序号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线的性质，观察图示，根据“两点确定一条直线”可得答案． 【详解】解：图利用垂线段最短； 图利用两点之间线段最短； 图利用两点确定一条直线． 故答案为：． 题型二　平面内两直线的位置关系 例题：7．如图所示的是平面上五条直线，，，，相交的情形．根据图中标示的角度，下列叙述正确的是（   ） A．和平行，和平行 B．和平行，和不平行 C．和不平行，和平行 D．和不平行，和不平行 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，对顶角相等，解题时关键是掌握平行线判定定理，根据同旁内角不互补，可得两直线不平行；根据内错角相等，可得两直线平行． 【详解】解：， 和不平行， 对顶角相等， ，， ， 和平行， ， 和平行， 故选：C． 8．下列说法正确的是（   ） A．在同一平面内，没有公共点的两条线段是平行线 B．在同一平面内，不重合的两条直线是平行线 C．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线 D．不相交的两条直线是平行线 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的定义，熟记平行线的定义是解题的关键． 根据平行线的定义判断求解即可． 【详解】解：在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，故A错误，不符合题意； 同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故B错误，不符合题意； 同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，故C正确，符合题意； 同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故D错误，不符合题意； 故选：C． 9．有下列生活实例：①交通道路上的斑马线；②天上的彩虹；③百米跑道线；④一段平直的火车铁轨线．其中属于平行线的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．根据在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线即可确定． 【详解】解：根据平行线的定义可知①③④是平行线，②天上的彩虹不是直线，故不是平行线， 所以属于平行线的有3个， 故选D． 巩固训练 10．、、为同一平面内的三条直线，若与不平行，与不平行，那么与（   ） A．一定不平行 B．一定平行 C．一定互相垂直 D．可能相交或平行 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线的位置关系，在同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交． 根据关键语句“若与不平行， 与不平行，”画出图形，图形有两种情况，根据图形可得答案． 【详解】根据题意可得图形： 根据图形可知：若与不平行，与不平行，则与可能相交或平行， 故选：D． 11．如果ac，a与b相交，bd，那么d与c的关系为 ． 【答案】相交 【分析】根据题意画出草图，即可求解． 【详解】如图，ac，a与b相交，bd， d与c的关系为相交 故答案为：相交 【点睛】本题考查了两直线的位置关系，数形结合是解题的关键． 12．如图，在方格纸中给出了线段、、．根据你所学的知识和方法，写出它们之间的位置关系． 【答案】， 【分析】本题主要考查了平行线的判定，垂线的定义，根据网格的特点可得，，再证明即可得到答案． 【详解】解：延长，由网格的特点可知交于M，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 题型三　相交线 例题：13．若平面内两条直线，被第三条直线l3所截，则这三条直线把平面分成（   ）个部分． A．5或6 B．6 C．6或7 D．7或8 【答案】C 【分析】本题考查了直线定义，相交线，掌握直线的位置关系是解题的关键． 根据题意，画出图形，分两种情况：①，不平行；②，平行时，进行解答即可． 【详解】解：分两种情况： ①若，不平行，如图所示， 观察图形可知，这三条直线把平面分成7个部分． ②若，平行，如图所示， 观察图形可知，这三条直线把平面分成6个部分， 综上所述，这三条直线把平面分成6或7个部分． 故选：C． 14．平面上的三条直线最多可将平面分成（    ）部分 A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】题目主要考查相交线，理解题意，掌握相交线的性质是解题关键． 【详解】解：如图，三条直线两两相交时将平面分为7部分， 故选C． 15．五条直线两两相交于同一点时，对顶角有m对，交于不同五点时，对顶角有n对，则m与n的关系是（　　） A．m＝n B．m＞n C．m＜n D．m+n＝10 【答案】A 【分析】五条直线两两相交，每对相交的直线就会形成2对对顶角，这五条直线每两条都相交，相交直线的对数，与是否交于同一点无关，因而m＝n． 【详解】解：因为五条直线两两相交形成的对顶角的个数与是否交于同一点无关，所以m＝n， 故选：A． 【点睛】此题考查的是对顶角与邻补角，掌握直线相交形成的对顶角的对数，只与有多少对直线相交有关是解决此题关键． 巩固训练 16．在同一平面内，不重合的三条直线的交点有（    ）个． A．1或2 B．2或3 C．1或3 D．0或1或2或3 【答案】D 【分析】根据平面内相交线和平行线的特点分类讨论即可得出答案． 【详解】因为三条直线位置不明确，所以分情况讨论： ①三条直线互相平行，有0个交点； ②一条直线与两平行线相交，有2个交点；     ③三条直线都不平行，有1个或3个交点； 所以交点的个数可能为0个或1个或2个或3个． 故选：D． 【点睛】本题考查平面内直线的位置关系．掌握相交线和平行线的特点是解题的关键． 17．三条直线相交，最多可以组成 个直角． 【答案】12 【分析】本题考查了直线相交后角的个数问题，垂直定义．解题的关键是熟练掌握直角的定义．根据两条直线相交最多可以出现4个直角，得出三条直线相交，每两条直线都互相垂直时，最多出现的直角个数即可． 【详解】解：两条直线相交且互相垂直时，最多可以出现4个直角，先让两条直线互相垂直得到4个直角，在空间内，再让第三条直线与前面的两条直线都互相垂直，这样又可以得到个直角， ∴三条直线相交，最多可以组成个直角． 故答案为：12． 18．一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有 个交点；8条直线两两相交，最多有 个交点． 【答案】 【分析】由已知一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点总结出：在同一平面内，n条直线两两相交，则有  个交点，代入即可求解． 【详解】解：∵由已知总结出在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有 个交点， ∴8条直线两两相交，交点的个数最多为 ． 故答案为：． 【点睛】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法． 题型四　对顶角的概念和性质 例题：19．若两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则 ． 【答案】40或80/80或40 【分析】此题考查了两条直线相交所成角的关系，一元一次方程的应用，正确理解两条直线相交所成角的关系是解题的关键． 由两条直线相交所成的四个角中，有邻补角有对顶角，由此列方程解答． 【详解】解：当两个角是对顶角时，，解得； 当两个角是邻补角时，，解得， 故答案为：40或80． 20．如图，直线，，都过点，且，平分，，则 ． 【答案】/149度 【分析】此题考查了角平分线定义，垂直的定义，熟练掌握定义及性质是解本题的关键．根据对顶角相等得出，进而利用互余和角平分线的定义得出的度数，进而解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 21．如图，直线相交于点．若，则的度数为 ． 【答案】/130度 【分析】本题考查垂直的定义，角的和差计算，对顶角的定义．由可得，进而求出，再根据对顶角相等，可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 巩固训练 22．如图，两条直线， 交于点O，平分，若，则 ． 【答案】/23度 【分析】此题主要考查了角平分线的定义以及对顶角的性质．利用对顶角的定义得出，进而利用角平分线的性质得出的度数． 【详解】∵两条直线， 交于点O，， ∴， ∵平分， ∴； 故答案为： 23．如图，直线，相交于点，平分，．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，根据角平分线定义得出，根据，得出，然后求出，最后求出结果即可． 【详解】解：平分， ∴， ∵， ， ， 又， ． 24．如图，直线、相交于点，，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，对顶角相等，几何图形中角度的计算；根据对顶角相等，得出，根据角平分线的定义可得，根据垂直的定义得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：因为直线、相交于点，， 所以， 因为平分， 所以， 因为， 所以， 所以 题型五　邻补角的概念与性质 例题：25．如图，A，O，B三点在一条直线上，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求邻补角，由角的和差关系可得出，再根据邻补角的定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：C． 26．如图，直线交于点平分，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平角的定义，对顶角的定义及角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键，先由邻补角的定义得出，再根据角平分线的定义得出，最后对顶角的定义得到，由计算即可． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， 故选：C． 27．如下图，直线相交于点O．    (1)请写出图中的邻补角及对顶角； (2)若，求和的度数． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了对顶角的性质，邻补角的定义以及补角的定义等知识，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据邻补角及对顶角的定义求解即可； （2）根据邻补角的定义和对顶角的性质求解即可． 【详解】（1）解：的邻补角是和，对顶角是； （2）解：与互为对顶角， ． 与互为邻补角， ． 巩固训练 28．在直线上任取一点，过点作射线，，使．当时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角度的和差，邻补角，能根据题意进行分类讨论，并正确画图是解题的关键．分射线，在直线的同侧和两侧两种情况作出图形，在同一侧时，根据平角等于列式计算即可得解，在两侧时，先求出，再根据邻补角的定义列式计算即可得解． 【详解】解：当射线，在直线的同一侧时，如图， ∵，， ∴； 当射线，在直线的两侧时，如图， ∵，， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 29．如图，直线、交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了角平分线的概念，邻补角互补，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据角平分线的概念求解即可； （2）根据设，，然后根据邻补角互补得到，求出，然后根据角平分线的概念求解即可． 【详解】（1）平分， ； （2） 可设，， ， ， 解得． ． 30．如四，直线相交于点是直角． (1)若，则______． (2)若，求的度数． (3)若，求和的度数． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查了相交线成的角．熟练掌握邻补角，平角，余角，角的和与差倍分关系，是解题的关键． （1）根据，可得，再由，可得，结合，即可求解； （2）根据，可得， （3）由已知可得，得，得，即得． 【详解】（1）解：∵是直角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型六　点到直线的距离 例题：31．如图，点在直线上，点，分别在直线上，，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．点到直线的距离等于 B．点到直线的距离等于 C．点到直线的距离等于 D．点到直线的距离等于 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离．解决本题的关键是熟记点到直线的距离．点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，根据点到直线的距离的概念解答即可． 【详解】解：A、∵不垂直与，∴点B到直线 的距离不等于4，故本选项错误； B、∵，∴点C到直线的距离等于5，故本选项正确； C、∵，，∴点到直线的距离等于4，故本选项错误； D、点B到直线的距离等于，故本选项错误． 故选：B． 32．是直线外一点，分别是上三点，已知．若点到的距离是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，熟知直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短是解答本题的关键．根据“直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短”进行解答即可． 【详解】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴点P到直线l的距离，即． 故选：A． 33．如图，四点在直线上，点在直线外，，若，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短，结合条件进行解答即可，解题关键是熟练掌握点到直线的距离的定义和垂线的性质． 【详解】如图所示： ∵直线外一点到这条直线的垂线段最短，， ∴点M到直线l的距离是垂线段的长度，为， 故选：A． 巩固训练 34．如图，，那么点B到的距离是 ，点A到的距离是 ，点C到的距离是 ． 【答案】 8 6 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，垂线定义的理解，先根据点到直线的距离，垂线定义可得出点B到的距离即，点A到的距离是即，过点C作与点D，点C到的距离即，再根据等面积法即可得出的长． 【详解】解：∵ ∴那么点B到的距离即为，点A到的距离是即为， 过点C作与点D， ∴点C到的距离即， ∵， ∴； 故答案为：． 35．同一平面内，已知线段长为． （1）若点到直线的距离分别为和，则符合条件的直线共有 条； （2）若点到直线的距离分别为和，则符合条件的直线共有 条． 【答案】 3 4 【分析】本题考查了点到直线的距离，即直线外一点到这条直线的垂线段的长度，注意距离都是非负数． （1）根据点到直线的距离，即可求解． （2）根据点到直线的距离，即可求解． 【详解】解：（1）如图，在线段的两旁可分别画一条满足条件的直线； 如图，作线段的垂线，将线段分成为和两部分． 则符合条件的直线共有条， 故答案为：； （2）同理（1），如图，在线段的两旁可分别画一条满足条件的直线； 如图，与线段相交，分别画一条满足条件的直线； 故答案为：． 36．如图，在直角三角形中，，． (1)点B到的距离是_____________；点A到的距离是_____________． (2)画出表示点C到的距离的线段，并求出这个距离． 【答案】(1)8； 6 (2)图见解析；点C到的距离是 【分析】本题考查了点到直线的距离，熟练掌握点到直线的距离的概念及等面积法是解题的关键， （1）根据点到直线的距离的概念进行求解即可得到答案； （2）过点作，则线段表示点C到的距离，再利用等面积法即可求得线段的长． 【详解】（1）解：∵三角形为直角三角形，，， ∵， ∴点B到的距离是的长度为8， ∵ ∴点A到的距离是的长度为6． 故答案为：8；6． （2）解：过点作，如图，线段即为所求． ，即， ， ∴点C到的距离是． 题型七　垂线的定义与画法 例题：37．如图，在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是（　　） A．两点确定一条直线 B．已知直线的垂线只有一条 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查了垂线的定义，直接利用垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而判断得出答案，掌握垂线的定义是解题的关键． 【详解】解：在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：． 38．如图，过点P分别画出的垂线（保留画图痕迹，不写画法）． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了作垂线，理解垂线的定义是解题关键．分别过图①，图②，图③的点P作的垂线即可． 【详解】解：过点P分别画出的垂线如下： 39．如图，所有小正方形的边长都为1个单位，、、、均在格点上． (1)过点画线段的平行线； (2)过点画线段的垂线，垂足为； (3)在直线上找一点，使得的值最小； (4)连接，则三角形的面积是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)5 【分析】本题主要考查了利用格点作平行线、垂线、三角形的面积等知识点，理解相关性质成为解题的关键． （1）通过平移画出平行线即可解答； （2）根据网格的结构特点画出垂线即可； （3）根据两点之间，线段最短作图； （4）利用割补法解答即可． 【详解】（1）解：如图，取格点，连接，即为所求： （2）解：如图，取格点，连接交线段于点，即为所求： （3）解：连接，相交于点P，则点P即为所求： （4）解：如图： ， 故答案为：5． 巩固训练 40．如图，直线与直线相交于点O，则下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线，对顶角，解答本题的关键是通过条件计算出其中一个角为．根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可． 【详解】解：A、是对顶角，对顶角相等，不能判定垂直，故此选项不符合题意； B、和是邻补角，邻补角的和是，所以不能得到，不能判定垂直，故此选项不符合题意； C、和是邻补角，邻补角的和是，而，则，可以判定两直线垂直，故此选项符合题意； D、且无法判定两直线垂直，故此选项不符合题意； 故选：C． 41．如图，在中，于点D，点E在上．若，那么线段的长可以是 ．（写出一个即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了垂线段最短，根据垂线段最短即可求解． 【详解】解：根据垂线段最短可得，， ∵点E在上， ∴， ∴， 故答案为：3（答案不唯一） 42．如图，在边长为1的正方形网格中，三角形的三个顶点都在格点上．请按下列要求作图． (1)将三角形向右平移8个单位长度后得到三角形，请画出三角形，并求出其面积； (2)过点画的垂线，标出垂足； (3)过点画的平行线． 【答案】(1)作图见解析， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图平移变换、垂线、平行线的判定 （1）根据平移的性质作图即可；利用割补法求三角形的面积即可． （2）利用网格，根据垂线的定义画图即可． （3）利用网格，根据平行线的判定画图即可． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求． 三角形的面积为． （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图，即为所求． 题型八　用直尺、三角板画平行线 例题：43．如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 【答案】B 【分析】本题考查了画平行线，根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是④②③①， 故选：B． 44．如图，已知直线外一点，过点画直线，使，借助三角板有如下操作： ①固定直尺，并沿方向移动三角板，使斜边经过点； ②用三角板的斜边靠上直线； ③沿三角板斜边画直线； ④用直尺紧靠三角板的一条直角边． 正确的操作顺序是（    ） A．①②③④ B．②④③① C．②④①③ D．④③②① 【答案】C 【分析】利用基本作图方法得出作直线的步骤即可． 【详解】解：②用三角板的斜边靠上直线； ④用直尺紧靠三角板的一条直角边； ①固定直尺，并沿方向移动三角板，使斜边经过点； ③沿三角板斜边画直线； 故选：C． 【点睛】此题考查了作平行线以及平行线的判定，正确掌握基本作图方法是解题关键． 45．如下图，已知三角形，点P在边上． (1)过点P画的平行线交于点T； (2)过点C画； (3)直线_______（填位置关系）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要是考查的尺规作图及平行公理的运用，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）按照作平行线的方法画图即可； （2）按照作平行线的方法画图即可； （3）根据平行于同一条直线的两直线平行，即可解题． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，直线即为所求． （3）解：，， ， 故答案为：． 巩固训练 46．如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    【答案】④②①③ 【分析】本题考查的是画平行线，根据“用直尺和三角板过直线外一点画已知直线的平行线的操作步骤”即可作答； 【详解】解：正确的步骤是： ④用三角尺的一边贴住直线a； ②用直尺紧靠三角尺的另一边； ①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P； ③沿三角尺的边作出直线b； 故答案为：④②①③； 47．如图，请你用直尺和三角尺按下列要求作图（不写作法）． (1)在图①中，过点C作的垂线； (2)在图②中，过点作直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂线的作法和平行线的作法． （1）利用三角板的两条直角边作图即可； （2）根据平行线的作图方法作图即可． 【详解】（1）解：如图①，直线即为所求， （2）解：如图②，直线即为所求． 48．在如图所示的方格中，每个小正方形的顶点都叫做格点，的三个顶点均在格点处，请利用网格作图． (1)找一个格点， 画直线使；（标出点） (2)找一个格点， 画直线使， 垂足为；（标出点） (3)比较大小： 线段 线段（用“”“”“”号连接）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了画平行线，画垂线，点到直线的距离． （1）根据平行线的判定画出对应的平行线即可得到答案； （2）根据垂直的定义画出对应的图形即可； （3）根据点到直线的距离垂线段最短求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求 （2）解：如图，点，即为所求． （3）由垂线段最短可知，线段＞线段． 故答案为：． 题型九　平行公理及其推论 例题：49．有下列说法：①一条直线的垂线只有一条；②过一点与已知直线平行的直线只有一条；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．其中正确的有（    ） A．①② B．②④ C．③④ D．①③ 【答案】C 【分析】本题考查判断说法正确与否，平行定义等．根据题意逐一对序号进行判断即可得到本题答案． 【详解】解：∵一条直线的垂线有无数条，即①错误， ∵过直线外一点作一条直线的平行线只有一条，即②错误， ∵平行于同一条直线的两条直线互相平行，即③正确， ∵经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，即④正确， 故选：C． 50．在同一平面内有a，b，c三条直线，若，且a与c相交，那么b与c的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线与相交线，根据平行于同一条直线的两条直线平行，进行判断即可． 【详解】解：若，且a与c相交， ∴b与c相交， 故选：B． 51．工人师傅在铺设电缆时，为了检查三条电缆是否平行，只检查了其中两条电缆是否与第三条平行．你认为这种做法对吗？请给出合理解释． 【答案】这种做法是对的．理由如下：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【分析】本题考查的是平行线的判定，熟知平行于同一条直线的两条直线互相平行是解答此题的关键．根据平行线的判定定理即可得出结论． 【详解】解：这种做法是对的．理由如下： ∵平行于同一条直线的两条直线互相平行， ∴为了检验三条电线是否互相平行只检查了其中两条是否与第三条平行即可． 故答案为：这种做法是对的．理由如下：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 巩固训练 52．如图所示的是一个可折叠的衣架，是地平线，如果，那么就可确定点在同一条直线上．依据是______（填序号）． ①两点确定一条直线；②过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【答案】② 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可，熟练掌握平行线的判定，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， ∴点在同一条直线上， 故答案为：② 53．有下列说法：①两条不相交的直线是平行线；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行；④在同一平面内，不相交的两条射线必平行．其中，正确的有 个． 【答案】1 【分析】本题考查了平行线的定义和平行公理，根据平行线的定义、平行公理进行判断，即可得出结论，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，故原说法错误； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误； ③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行，故原说法正确； ④在同一平面内，不相交的两条射线不一定平行，故原说法错误； 综上所述，正确的为③，共个， 故答案为：． 54．【操作】在如图的方格纸中（网格线的交点叫格点），按要求画图、填空． (1)过点A作的垂线，垂足为点D，该垂线经过的一个格点记为点E． (2)过点E作的平行线，该平行线经过的一个格点记为F；过点B作的平行线，该平行线经过的一个格点记为G． 【发现】与的位置关系为___________． 【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：____________． 【发现】线段的长度是点A到直线_____的距离；线段的大小关系为_______（用“<”连接）． 【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：_______________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；平行；平行于同一条直线的两条直线平行；；；垂线段最短 【分析】本题考查了网格作图，涉及了平行线的 （1）作出的矩形的对角线即可； （2）根据平移特点即可完成作图； 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： ，故平行于同一条直线的两条直线平行； 线段的长度是点A到直线的距离； ，故垂线段最短 故答案为：平行；平行于同一条直线的两条直线平行；；；垂线段最短 题型十　同位角、内错角、同旁内角 例题：55．如图，直线和被所截，构成的同位角是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了同位角，熟知同位角的定义是解题的关键． 根据“两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角”解答即可． 【详解】解：直线和被所截，构成的同位角是与， 故选：C． 56．如图所示，下列说法：①与是内错角；②与是同位角；③与是同旁内角；④与是内错角，其中正确的有（   ） A．①②④ B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了三线八角，根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行分析即可． 【详解】解：①与是内错角，说法正确； ②与是同位角，说法正确； ③与是同旁内角，说法正确； ④与是内错角，说法正确； 故选：D． 57．如图，已知直线被直线所截，则和 是同位角，和 是内错角，和 是同旁内角． 【答案】 【分析】本题考查了三线八角的识别，理解并掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义，图形结合分析即可求解． 【详解】解：与是同位角，与是内错角，与是同旁内角， 故答案为：①；②；③ ． 巩固训练 58．如图， （1）和是由直线 与直线 被直线 所截形成的 角； （2）和是由直线 与直线 被直线 所截形成的 角； （3）和是由直线 与直线 被直线 所截形成的 角． 【答案】 内错 内错 同位 【分析】此题考查了同位角、内错角等知识． （1）根据角的位置关系进行解答即可； （2）根据角的位置关系进行解答即可； （3）根据角的位置关系进行解答即可． 【详解】（1）和是由直线与直线被直线所截形成的内错角； （2）和是由直线与直线被直线所截形成的内错角； （3）和是由直线与直线被直线所截形成的同位角． 故答案为：，，，内错，，，，内错，，，，同位 59．如图所示的是“自由式滑雪大跳台”项目图标的部分示意图，下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查对顶角（角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角）、内错角（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线两侧的两个角是内错角）、同旁内角（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线同一侧的两个角是同旁内角），根据对顶角、内错角、同旁内角的定义解决此题． 【详解】解：①与是对顶角，正确； ②与是同旁内角，正确； ③与不是同旁内角，原说法错误； ④与是内错角，正确． ∴其中正确的有①②④． 故答案为：①②④． 60．（1）如图①，两条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有_____________对，内错角有_____________对，同旁内角有_____________对； （2）如图②，三条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有_____________对，内错角有_____________对，同旁内角有_____________对； （3）根据以上结果，n（n为大于1的整数）条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角、内错角、同旁内角分别有多少对（用含n的式子表示）？ 【答案】（1）4，2，2；（2）12，6，6；（3）同位角有对，内错角有对，同旁内角有对． 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义． （1）根据同位角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，内错角是两个角都在截线的两侧，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，根据同旁内角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，可得答案． （2）（3）同上． 【详解】解：（1）如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有4对，内错角有 2对，同旁内角有 2对． 故答案为：4，2，2； （2）如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有 12对，内错角有 6对，同旁内角有 6对． 故答案为：12，6，6； （3）根据以上探究的结果，n（n为大于1的整数）条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有对，内错角有对，同旁内角有对， 故答案为： ，，． 题型十一　平行线的性质 例题：61．如图，将三角板与两边平行的直尺贴在一起，使三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质．根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”即可求得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 62．如图，绕点B逆时针旋转到，连接．若，，则的度数为 ° 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，平行线的性质，由旋转可得，，得到，由，得到，，最后根据计算即可． 【详解】解：∵绕点B逆时针旋转到， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 63．如图，已知，. (1)猜想与之间有怎样的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数. 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）由同旁内角互补两直线平行可得，由两直线平行同位角相等可得，结合已知条件可得，然后根据内错角相等两直线平行即可得出结论； （2）由两直线平行同旁内角互补可得，由等式的性质可得，由平分可得，然后由两直线平行内错角相等即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 平分， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，等式的性质，角平分线的有关计算等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 巩固训练 64．如图，点C在的边上，过点C的直线，平分，于点C． (1)若，求； (2)求证：平分； (3)当时，求的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的判定和性质、垂线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）根据，只要求出即可解决问题． （2）利用等角的余角相等证明即可． （3）设，则，根据平角的定义即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 平分， ， ； （2）解：， ， ， 又， ， ， ，即平分； （3）解：设，则， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 65．如图1，，直线与、相交于点E、F，平分，平分． (1)求证：； (2)如图2，N为、之间一点，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键： （1）根据平行线的性质，结合角平分线的定义，推出，即可得证； （2）过点N作，得到，根据平行线的性质，进行求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 平分，平分， ，， ， ． （2）解：如图2，过点N作， ∵， ∴， ， 又， ， ， ． 66．如图，平分，平分交于点F，且． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义， （1）根据角平分线的概念得到，，然后求出，即可证明出； （2）由，求出，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）∵平分，平分交于F， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴； （2）由（1）可得， 又∵ ∴解得， ∴ ∵ ∴． 题型十二　平行线的判定 例题：67．完成下面的证明过程，在括号内填根据． 如图，直线a，b，c被直线l所截，量的，试说明：． 解：∵， ∴ （等式的性质）， ∴ （ ）. 又∵， ∴ （ ）， ∴ （ ）， ∴（ ）. 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定， 先根据“同位角相等，两直线平行”证明，再根据“同旁内角互补，两直线平行”得，最后根据“平行于同一条直线的两条直线平行”得出答案． 【详解】解：∵， ∴（等式的性质）， ∴（同位角相等，两直线平行）． ∵， ∴（补角定义）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）． 故答案为：；；同位角相等，两直线平行；；补角定义；；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行． 68．如图，，直线与平行吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】先根据对顶角相等得到，再根据平角的定义得到，再由平行线的判定即可得出结论． 【详解】解：理由如下： ∵（已知），（对顶角相等）， ∴（等量代换）． ∵（已知），（平角定义）， ∴， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等、两直线平行）． 69．如图，，，平分，直线与直线平行吗？为什么？ 【答案】不平行，理由见详解 【分析】本题考查的是平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行是解题的关键． 先根据角平分线的定义得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：直线与直线不平行， 理由: ，平分， ， ， ， 直线与直线不平行． 巩固训练 70．【阅读•领会】在几何图形学习过程中，为了帮助解题，可在原图的基础上添加直线或线段，比如要证明直线、是否平行，可添加“第三条直线”（即图1中的截线），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线为“辅助线”． 【实践•体悟】如图2，已知，．求证：． (1)小明同学想到通过连接，作出平行线的截线，请你帮他完成下列证明过程： 证明：连接． 因为（已知）， 所以______（内错角相等，两直线平行） 所以______（两直线平行，内错角相等） 因为（已知）， 所以____________（等式性质）， 所以____________（等量代换）， 所以（______）． (2)请你试用其他方法进行推理，并书写证明过程． 【答案】(1)，内错角相等，两直线平行； (2)证明见解析过程． 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、相交线及平行线，熟知平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意，将小明的证明过程补充完整即可． （2）延长交直线于点M，再利用平行线的判定与性质进行证明即可． 【详解】（1）证明：连接， 因为（已知）， 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，内错角相等）， 因为（已知）， 所以（等式性质）， 所以（等量代换）， 所以（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：，内错角相等，两直线平行． （2）解：延长交直线于点M， ， ， ． ， ， ． 71．请将下列证明过程补充完整． 如图，已知，． 求证：． 证明：∵（ ）， ∴ （同旁内角互补，两直线平行）． ∴（ ）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（ ）． 【答案】已知；；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等． 【分析】本题主要考查了平行线的判定及性质，熟练掌握平行线的判定及性质是解题的关键，根据平行线的判定和性质及已知条件填空即可。 【详解】证明：∵（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 故答案为：已知；；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等． 72．如图， ，．试说明的理由．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，先根据“同旁内角互补，两直线平行”得出，得到，由得，可判断，进而得到． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型十三　根据平行线的性质探究角的关系 例题：73．如图，若，则、、之间的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，作，则，，从而得出，再结合即可得解，熟练掌握平行线的性质，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，作， ， 则，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 74．如图，，则，，，，满足的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，过，，的顶点，分别作的平行线，根据平行线的性质得出，，，，进而得出，，代入，即可求解． 【详解】解：如图所示，过，，的顶点，分别作的平行线， ∵， ∴， ∴； 同理可得， ∴，，， ∴， 则， ， 即 ∴； 故答案为：． 75．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，结合所给图形，探究这两个角之间的关系． (1)如图①，，则与的关系是_____； (2)如图②，，则与的关系是______； (3)由（1）（2）得出的结论是如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角______； (4)若两个角的两边分别平行，一个角比另一个角的3倍少，求这两个角的度数． 【答案】(1) (2) (3)相等或互补 (4)这两个角的度数分别是、或、 【分析】本题考查了平行线的知识； （1）根据两直线平行，内错角相等的性质，分别得、，再通过等量代换计算，即可得到答案； （2）根据两直线平行，内错角相等和同旁内角互补的性质，分别得、，从而完成求解； （3）根据（1）和（2）的结论分析，即可得到答案； （4）结合（3）的结论列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）根据（1）和（2）的结论，得:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 故答案为：相等或互补； （4）设一个角的度数是，则另一个角的度数是． 根据题意，得或， 解得或． 当时，； 当时，， ∴这两个角的度数分别是、或、． 巩固训练 76．如图，，，则，和的数量关系是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 分别过点C，D作，可得，根据平行线的性质可得，从而得到，，由，即可求解． 【详解】解：如图，分别过点C，D作，    ∵， ∴， ∴， ∴， ， 由①-②得：， ∵， ∴． 故答案为：． 77．如图所示，已知，E在上，点G在上，，如果，如果用含的代数式表示，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，过F作，推出得到，推出，得到． 【详解】解：过F作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 78．已知：如图，点是直线上一动点，连接，过点作交直线于点．(图2，图3为备用图) (1)如图1，当点在线段上时， ①依题意，在图1中补全图形； ②若，则__________(填度数)． (2)当点在线段的延长线上时，请写出的数量关系，并证明． (3)当点在直线上时，请直接写出的数量关系，不需要证明． 【答案】(1)①见解析；② (2) (3)当点D在上时，；当D点在的延长线上时，；当D点在的延长线上时， 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）①根据几何语言画出对应的几何图形； ②根据平行线的性质得到，，所以； （2）当D点在的延长线上时，；根据平行线的性质分别进行证明即可； （3）分三种情况进行讨论：当点D在线段上时，当点D在线段延长线上时，当点D在线段的延长线上，分别根据平行线的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：①补全图形如图1所示： ②∵， ∴，， ∴； （2）解：当D点在的延长线上时，如图2，； 理由如下： ∵， ∴，， ∴； （3）解：当点D在上时，； ∵， ∴，， ∴； 当D点在的延长线上时，根据解析（2）可知，； 当D点在的延长线上时，如图3，； 理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴． 题型十四　根据平行线的性质求角的度数 例题：79．三角板（，）与一组平行线和的位置如图所示，点在直线上，已知，将三角板绕点顺时针转动，若要使，则需转动的最小角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定即性质，熟悉掌握平行线的性质是解题的关键． 假设时，得到的度数，再对比原来的度数即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时，即， ∴此时， 又∵， ∴则需转动的最小角度为：， 故选：A． 80．如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即），根据光的反射可知，其原理如图2所示，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角的定义．由平角的定义求出，由平行线的性质推出，求出，即可得到的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 81．如图，已知，若，，则 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了平行线的性质．根据平行线的性质得到，，即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为： 巩固训练 82．如图，这是生活中常见的一种折叠拦道闸示意图，已知垂直于地面于点B，平行于地面，已知，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，先通过平行线的性质得到，再利用垂直即可得到． 【详解】过点作 垂直于地面于点 故答案为：． 83．如图，直线交于点，且． (1)试说明：； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)见详解； (2)过程见详解． 【分析】本题考查平行线的判定以及性质，角平分线的定义，余角和补角性质； （1）根据题意可已知条件并结合图形进行分析，内错角相等，即可得到答案． （2）根据题意利用平行线的性质角平分线的定义，余角和补角性质，即可得出答案． 【详解】（1）证明：因为， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以． （2）因为平分， 所以． 因为， 设，则． 因为， 所以， 解得， 所以． 又因为， 所以， 所以． 84．如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于E，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理，角平分线的定义，垂线的定义： （1）根据平行线的判定证明，根据平行线的性质得出，证明，最后根据平行线的判定得出结论； （2）根据垂线定义得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的性质得出，根据角平分线定义求出，再由平行线的性质即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 题型十五　平行线的性质在生活中的应用 例题：85．一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么这两次转弯的角度可以是（     ） A．先右转，再左转 B．先左转，再右转 C．先左转，再右转 D．先右转，再右转 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，根据题意画出图形是解答此题的关键． 根据题意画出图形，根据平行线的性质判定即可． 【详解】解：如图所示： A、 故本选项错误； B、 故本选项正确； C、 故本选项错误； D、 故本选项错误． 故选B． 86．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”即可得到结论． 【详解】解：水面和杯底互相平行， ， ∵， ． 水中的两条光线平行， ． 故选：B． 87．如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为 【答案】/50度 【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出，由反射定律得到，因此． 【详解】解：∵入射光线是平行光线， ∴， 由反射定律得：， ∴． 故答案为：． 巩固训练 88．如图，一个弯形管道的拐角，若工人师傅准备在点处对管道进行加工拐弯，要保证拐弯的部分与平行，则加工后拐角的度数是 度．    【答案】60°或120° 【分析】本题主要考查了平行线的性质，分两种情况：当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：当点在点的左侧时，如图所示：   ，， ； 当点在点的右侧时，如图所示：   ，， ； 综上分析可知：的度数为：或． 故答案为：或． 89．在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子．如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，即可求解． 【详解】解：如图所示，依题意，， ∴， ∵，， ∴ ∴．    故答案为：． 90．如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，求的度数． 【答案】 【分析】过点作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ． ， ． ． ． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 题型十六　根据平行线判定与性质求角度 例题：91．如图，已知，，求的大小． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据“同位角相等，两直线判断”证明，然后根据“两直线平行，同位角相等”求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 92．直线a，b，c，d的位置如图所示，如果，求． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，先根据同位角相等推出，然后根据平行线的性质判定，求出的度数后根据邻补角的定义即可求出的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 93．如图是一个“鱼”形图案，点B，C分别在的两边上．已知，求出的度数． 【答案】． 【分析】此题考查了平行线的性质和判定定理，根据平行线的性质和判定定理求解即可． 【详解】解：， ∴ ； ， ， ， ． 巩固训练 94．如图，已知，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)；理由见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，两直线平行的性质、判定，往往要相互转化，交替运用，注意在实际解题中多加体会． （1）根据对顶角相等及已知条件证得，即可得到结论； （2）根据对顶角相等和平行线的判定推出，得到，根据，求出，得到，再利用，得到． 【详解】（1）解：；理由如下： 因为与是对顶角， 所以， 又因为，， 所以， 所以； （2）解：因为与是对顶角， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以． 95．如图，直线交于点O，，且．    (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定以及性质，角平分线的定义，余角和补角性质； （1）根据题意可已知条件并结合图形进行分析，内错角相等，即可得到答案． （2）根据题意利用平行线得性质角平分线的定义，余角和补角性质，即可得出答案． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， 设， 则， 即，解得， ∴， 又∵， ∴， ∴． 96．如图，已知，．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定等知识． （1）先根据得到，结合证明，从而得到； （2）先求出，再证明，进而证明，即可求出． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ； （2）解：，， ， ， ， ，， ，即， ． 题型十七　根据平行线的判定与性质证明 例题：97．请把下面证明过程补充完整． 如图，已知于点，点在的延长线上，于点，交于点．      求证：平分． 证明：（已知）， （ ）． ∴（ ）． ∴ （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（ ）． ∴平分（ ）． 【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；；等量代换；角平分线定义 【分析】本题考查的是平行线的性质和判定和角平分线，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．结合图形利用平行线的判定和性质解答即可． 【详解】证明：∵，， ∴（垂直的定义）． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴平分（角平分线的定义）． 故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；；等量代换；角平分线定义． 98．完成下面说理过程： 如图，已知，，试说明：． 解：因为（已知）， （   ）， 所以（等量代换）， 所以（   ）， 所以_____（   ）． 因为（已知）， 所以_____（等量代换）， 所以（   ）． 【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定和性质．根据对顶角相等和等量代换得到，则，则，由等量代换得到，即可证明． 【详解】解：因为（已知）， （对顶角相等 ）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，同位角相等）． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行 99．如图，在四边形中，，且平分，与互余．若，求的度数．阅读并补全下面的解答过程，括号内为推理依据． 解：因为，与互余， 所以，， 所以， 所以（__________）． 因为（已知）， 所以， 所以__________°（__________）． 因为平分（已知）， 所以__________°（角平分线的定义）． 因为， 所以__________（两直线平行，同旁内角互补）， 所以__________°． 【答案】同旁内角互补，两直线平行；40；两直线平行，内错角相等；80；；100 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识，先根据“同旁内角互补，两直线平行”证明，然后根据“两直线平行，内错角相等”求出的度数，然后根据角平分线的定义求出的度数，然后根据“两直线平行，同旁内角互补”求出的度数即可． 【详解】解：因为，与互余， 所以，， 所以， 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 因为（已知）， 所以， 所以（两直线平行，内错角相等）． 因为平分（已知）， 所以（角平分线的定义）． 因为， 所以（两直线平行，同旁内角互补）， 所以． 故答案为∶同旁内角互补，两直线平行；40；两直线平行，内错角相等；80；；100． 巩固训练 100．如图，三点在一条直线上，．试说明：． 请将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 解：因为（______）， 所以（______）． 因为（______）， 所以（______）， 所以（平行于同一条直线的两条直线互相平行）， 所以，． 又因为（已知）， 所以（_______）． 【答案】已知；；内错角相等，两直线平行；已知；；同旁内角互补，两直线平行；； ；； ；等量代换 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，先判定，进而得到，即可得出，根据可得结论 【详解】解：因为（已知）， 所以（内错角相等，两直线平行）． 因为（已知）， 所以（同旁内角互补，两直线平行）， 所以（平行于同一条直线的两条直线互相平行）， 所以，． 又因为（已知）， 所以（等量代换）． 故答案为：已知；；内错角相等，两直线平行；已知；；同旁内角互补，两直线平行；； ；； ；等量代换 101．如图，已知，垂足分别为D、F，． 求证：． 证明：∵（已知） ∴（垂直的定义） ∴（                ）（同位角相等，两直线平行） ∴（                    ） ∵（                    ） ∴（                    ） ∴（                    ） ∴（                    ） 【答案】；两直线平行，同旁内角互补；已知；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【分析】本题主要考查了垂直的定义，平行线的性质与判定，同角的补角相等知识，根据平行线的性质与判定条件结合垂直的定义，同角的补角相等进行证明即可． 【详解】证明：∵（已知） ∴（垂直的定义） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知） ∴（同角的补角相等） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） 故答案为：；两直线平行，同旁内角互补；已知；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 102．如图，点E在直线上，点F在直线上，连接，，与的连线分别交于点M，N．已知，，试说明：．请补充下列说明过程，并在括号内写出相应的依据： 解：∵，， ∴________， ∴________（________________________）， ∴________． ∵， ∴________， ∴________（________________________）， ∴． 【答案】；；同位角相等，两直线平行；180；；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查了对顶角相等、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．先根据对顶角相等和等量代换可得，再根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定可得，最后根据平行线的性质即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴． ∵， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴． 故答案为：；；同位角相等，两直线平行；180；；；同旁内角互补，两直线平行． 题型十八　平行线的动点（角）问题 例题：103．（1）问题发现：如图①，已知点F，G分别在直线上，且，若，，则的度数为_____________； （2）拓展探究：如图①，已知点F，G分别在直线上，且，则之间有怎样的数量关系？写出结论并说明理由． 结论：_____________________________． 理由：如图②，过点E作， （                              ）， ， ∴（                                      ）， （                            ）， ， _______________________． 【答案】（1）；（2）；两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；． 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质； （1）如图，过E作，证明，可得，，再利用角的和差关系可得答案； （2）过点E作，证明，再根据题干信息逐步完善推理过程与推理依据即可． 【详解】解：（1）如图，过E作， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）结论：． 理由：如图②，过点E作， （ 两直线平行，内错角相等）， ， ∴（平行于同一条直线的两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， ， ． 104．如图，，连接，E是线段BD上一动点，，分别平分，，若∠AEC =46°，则∠AFC 的度数为（    ） A．20° B．23° C．30° D．45° 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，平行公理的应用，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题关键．过点作，过点作，根据，得出，根据平行线的性质和角平分线的定义求解即可． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ， ∴， ，， ∴， 、分别平分、， ，， ， ，， ， 故选：B． 105．如图，，点在和之间，，是上的动点，连接，当的长度最短时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，两点之间垂线段最短，解题的关键是掌握相关的知识．当时，的长度最短，作，得到，，进而得到，即可求解． 【详解】解：当时，即，的长度最短， 如图，作， ， ， ， ， ， 故选：A． 巩固训练 106．已知，直线，、分别是和上的动点，点P为直线、之间任一点，且．则与之间的数量关系为 ． 【答案】或或或． 【详解】本题考查了平行线的性质，分四种情况进行讨论，过点作，根据平行公理可得，再根据平行线的性质，即可得到与之间的数量关系，此类题目关键在于过拐点作平行线． 【点睛】解：分四种情况： 如图1，过点作， ， ， ，， ， ， ； 如图2，过点作， ， ， ，， ， ， ； 如图3，过点作， ， ， ，， 又， ， ， 即； 如图4，过点作， ， ， ，， 又， ， ， 即； 综上所述，与之间的数量关系为：或或或． 故答案为：或或或． 107．如图，直线，直线l与直线相交于点E，F，点P是射线上的一个动点（不包括端点E），将沿折叠，使顶点E落在点Q处．若，点Q恰好落在其中一条平行线上，则的度数为 ． （备用图） 【答案】或 【分析】本题考查了翻折变换，平行线的性质，分两种情况讨论是解题的关键．分两种情况：当点落在上时；当点落在上时；然后分别画出图形进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当点落在上时，如图： 由折叠得：， ， ， ， ； 当点落在上时，如图： ， ， ， 由折叠得：； 综上所述：的度数为：或， 故答案为：或． 108．如图，已知长方形纸片，点E和F分别在边和上，且，H和G分别是边和上的动点，现将点A，B，C，D分别沿，折叠至点N，M，P，K，若与分别在长方形的两侧，且，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查平行线的性质，图形的折叠； 分两种情况讨论：当在上方时，延长交于点Q，证明，则；当在下方时，延长交于点T，证明，则． 【详解】当在上方时，延长交于点Q，如图1， 由折叠可得：， ∵ ； 当在下方时，延长交于点T，如图1， 由折叠可得：， ∵ ∴ 故答案为：或． 题型十九　命题 例题：109．给出下列语句：①画一个角等于两个已知角的和；②钝角大于直角；③过点A画直线；④相等且互补的两个角都是直角．其中是命题的是（   ） A．①④ B．②④ C．①② D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查命题的定义可以判断真假的陈述句叫命题，根据命题的定义：可以判断真假的陈述句，结合题中语句逐项判断即可得到答案． 【详解】解：①不是判断一件事情的语句，不是命题； ②如果一个角是钝角，那么它就大于直角，是判断一件事情的语句，是命题； ③不是判断一件事情的语句，不是命题； ④如果两个角相等且互补，那么这两个角都是直角，是判断一件事情的语句，是命题； 是命题的是②④， 故选：B． 110．下列语句中是命题的有（　　） ①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ②你喜欢数学吗？ ③取线段的中点． ④角平分线上的点到角两边的距离相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题，命题有题设与结论两部分组成；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题． 根据命题的定义逐个进行判断即可． 【详解】解：①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，是命题； ②你喜欢数学吗？不是命题； ③取线段的中点，不是命题； ④角平分线上的点到角两边的距离相等，是命题； ∴①④是命题，共2个， 故选：B． 111．下列语句不是命题的有（   ） ①全等三角形对应边相等；②过一点画已知直线的平行线；③同角的余角相等；④内错角相等吗？ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查命题的定义：判断一件事情的语句称为命题，据此逐个判断即可解答． 【详解】解：①全等三角形对应边相等，是命题； ②过一点画已知直线的平行线，不是命题； ③同角的余角相等，是命题； ④内错角相等吗？不是命题． 综上，不是命题的是②④，共2个． 故选：B 巩固训练 112．下列语句中命题的个数为（   ） ①两直线相交，只有一个交点；②过点P画直线AB的垂线；③延长线段AB到C；④整数都能被2整除 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查命题的定义，命题是指判断一件事情的语句，根据命题的定义依次判断即可． 【详解】解：命题是指判断一件事情的语句， ∴①④是命题，②③不是命题， 故选：B． 113．有下列语句：①画线段；②两个负数的差一定是负数；③同角的余角相等；④如果直线a，b不相交，那么a与b平行吗？其中是命题的有 ，是真命题的有 ．（填序号） 【答案】 ②③ ③ 【分析】本题考查了命题的定义、判断命题真假，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据命题的定义，对语句逐一分析判断即可． 【详解】解：①画线段不是命题； ②两个负数的差一定是负数是命题，是假命题； ③同角的余角相等是命题，是真命题； ④如果直线a，b不相交，那么a与b平行吗？不是命题； 其中是命题的有②③，是真命题的有③． 故答案为：②③；③． 114．下列句子中哪些是命题？ （1）直角三角形的两个锐角互余． （2）正数都大于． （3）如果，那么与1互补． （4）太阳不是行星． （5）对顶角相等吗？ （6）作一个角等于已知角． 【答案】（1）（2）（3）（4）是命题 【分析】本题考查了判断是否是命题．根据判断一件事情的语句，叫做命题，命题是一个判断的语句，必须是一个完整的句子，据此逐一分析即可求解． 【详解】解：（1）（2）（3）是命题，它们都对事情作出了肯定的判断；（4）是命题，它对事情作出了否定的判断；（5）不是命题，只表示疑问，并未作出判断； （6）不是命题，只是描述了一个作图的过程，不含有判断的意思． ∴（1）（2）（3）（4）是命题，（5）（6）不是命题． 题型二十　判断命题的真假 例题：115．下列命题中，是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．两直线平行，内错角相等 D．相等的角是对顶角 【答案】C 【分析】本题主要考查判断真假命题、绝对值的含义，平行线的性质、对顶角的定义及不等式的性质，关键是熟记概念进行排除选项．根据平行线的性质、绝对值的性质及不等式的性质、对顶角的定义直接进行排除选项即可． 【详解】解：A、若，则，原命题是假命题，不符合题意； B、若，，则，原命题是假命题，不符合题意； C、两直线平行，内错角相等，真命题，符合题意； D、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意． 故选C． 116．下列命题中是假命题的是（   ） A．内错角相等，两直线平行 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．同角的补角相等 D．对顶角相等 【答案】B 【分析】本题考查了命题的真假判断，根据平行线的性质与判定，同角的补角相等，对顶角相等逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 内错角相等，两直线平行，是真命题，故该选项不符合题意；     B. 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题，故该选项符合题意； C. 同角的补角相等，是真命题，故该选项不符合题意；     D. 对顶角相等，是真命题，故该选项不符合题意； 故选：B． 117．有下列命题：①两点之间，直线最短；②对顶角相等；③内错角互补，两直线平行；④三角形的一个外角，等于任意两个内角之和．其中是真命题的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查判断命题的真假，涉及两点之间，线段最短、对顶角相等、内错角相等，两直线平行、三角形的外角性质，熟练掌握性质和判定定理是解题关键．根据两点之间，线段最短、对顶角相等、内错角相等，两直线平行、三角形的外角性质逐项判断即可得． 【详解】解：①两点之间，线段最短，则原命题是假命题； ②对顶角相等，则原命题是真命题； ③内错角相等，两直线平行，则原命题是假命题； ④三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，则原命题是假命题； 综上，真命题有1个， 故选：A． 巩固训练 118．下列命题是假命题的是 ．（填序号） ①一个角的余角大于这个角；②如果，那么与是对顶角；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角． 【答案】①② 【分析】本题考查的是真假命题的判断，余角的含义，对顶角的定义，补角的含义，根据余角补角的定义，对顶角的定义逐一判断即可． 【详解】解：一个角的余角不一定大于这个角，如的余角是，故①是假命题； 如果，那么与不一定是对顶角；故②是假命题； 如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角．故③是真命题； 故答案为：①② 119．有下列命题：①若，则且；②若，则；③若，则；④若或3，则；⑤在同一平面内，若直线， ，则．其中是真命题的是 （填序号）． 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查了判断真假命题，掌握相关定义定理是解题的关键．根据有理数乘法运算法则，绝对值的意义，代数式求值等知识逐个分析判断即可求解． 【详解】解：①若，则且，或且，故①为假命题． ②若，，则，故②为假命题， ③若，则，故③为真命题， ④若或3，则，故④为真命题， ⑤在同一平面内，若直线， ，则，故⑤为假命题， 综上：真命题的是③④， 故答案为：③④． 120．有下列命题：①两直线平行，同位角相等；②垂线段最短；③同角的余角相等；④同旁内角互补；⑤两点确定一条直线．其中真命题是 （填序号）． 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟记平行线的性质及判定方法、对顶角的定义、余角的性质、确定直线的条件等知识．利用平行线的性质及判定方法、对顶角的定义、余角的性质、确定直线的条件等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①两直线平行，同位角相等，正确，是真命题，符合题意； ②直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，简称“垂线段最短”，正确，是真命题，符合题意； ③同角的余角相等，正确，是真命题，符合题意； ④两直线平行，同旁内角互补，故错误，是假命题，不符合题意； ⑤两点确定一条直线，正确，是真命题，符合题意． 故答案为：①②③⑤ 题型二十一　逆命题 例题：121．命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是 ． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角． 【分析】本题考查了命题与逆命题，正确理解原命题与逆命题的关系是解题关键． 根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题解答即可． 【详解】解：命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角． 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角． 122．命题“互为相反数的两个数的和为0”的逆命题是 ，是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】 和为0的两个数互为相反数 真 【分析】本题考查了原命题与逆命题、判定命题真假等知识点，判断事物的语句叫命题；题设与结论互换的两个命题互为逆命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题． 交换原命题的题设与结论即可得出原命题的逆命题，进而利用真假命题判断即可． 【详解】解：命题“互为相反数的两个数的和为0”的题设是“两个数互为相反数”，结论是“和为0”，故其逆命题是：和为0的两个数互为相反数，逆命题是真命题； 故答案为：和为0的两个数互为相反数，真． 123．请写出命题“如果，那么．”的逆命题是 【答案】如果，那么 【分析】本题考查的是命题与定理，把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，从而求出答案． 【详解】解：命题“如果|，那么”的逆命题是：如果，那么． 故答案为：如果，那么． 巩固训练 124．阅读下面内容： “同位角相等，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等”两个命题中的题设，结论位置恰好对调，我们把其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 请你写出“两条直线被第三条直线所截，内错角相等，则同位角必相等”的逆命题，指出逆命题的题设与结论，判断它的真假并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了命题与逆命题，以及真假命题，平行线的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 将原命题的题设和结论互换，即可得到逆命题，即可写出题设和结论，根据平行线的判定即可判断真假． 【详解】解：逆命题：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，则内错角必相等． 题设：两条直线被第三条直线所截，同位角相等．结论：内错角相等．它是真命题． 理由：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，则两直线平行，所以内错角相等． 125．写出下列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假． (1)如果，那么； (2)两个锐角的和是钝角． 【答案】(1)逆命题：如果，那么．原命题为假命题，逆命题为真命题． (2)逆命题：如果两个角的和是钝角，那么这两个角都是锐角．原命题和逆命题都为假命题． 【分析】本题主要考查真假命题及逆命题，熟练掌握真假命题及逆命题是解题的关键； （1）根据逆命题的定义写出原命题的逆命题，然后判断真假即可； （2）先写出原命题的逆命题，然后再判断真假即可 【详解】（1）原命题的逆命题为如果，那么．原命题为假命题，逆命题为真命题． （2）原命题的逆命题：如果两个角的和是钝角，那么这两个角都是锐角．原命题和逆命题都为假命题． 3126．写出下列命题的逆命题，并判断真假． (1)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； (2)末位数是0或5的整数能被5整除． 【答案】(1)逆命题：在同一平面内，如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线是真命题． (2)逆命题：能被5整除的整数，其末位数是0或5是真命题 【分析】本题考查了真假命题及互逆命题的定义，解题的关键是理解命题、逆命题、否命题和逆否命题的定义及其性质； 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．判断事物的语句叫命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；先写个逆命题然后判断它的真假． 【详解】（1）逆命题：在同一平面内，如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线， 判断：根据平行线的性质，如果两条直线在同一平面内平行，那么它们与第三条直线的夹角是相等的．若这两条平行线都与第三条直线垂直，则它们与第三条直线的夹角都是，满足条件．因此，逆命题是真命题． （2）逆命题：能被5整除的整数，其末位数是0或5， 判断：根据整数的性质，一个整数如果能被5整除，那么它的末位数只能是0或5，因此逆命题是真命题． 试卷第42页，共43页 63 / 94 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16章 相交线与平行线知识归纳与题型突破（21类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点一、相交线 1.邻补角（丁字型）：有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角。 2.对顶角（X型）：有一个公共顶点,且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线. 3.同位角（F型）：在截线的同旁, 又分别在直线的相同一侧的位置。 4.内错角（Z型）：在截线的两旁, 又分别在直线之间。 5.同旁内角（U型）：在截线的同旁, 又分别在直线之间。 6. 两条直线的夹角：两条直线相交形成四个小于平角的角，其中不大于直角的角叫做两条直线的夹角。 7.两条直线互相斜交：两条直线的夹角是锐角。 其中一条直线叫做另一条直线的斜线 。 8.两条直线互相垂直：两条直线的夹角是直角。其中一条直线叫做另一条直线的垂线 。它们的交点叫垂足。 9.垂线的性质 （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （2）联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单地说：垂线段最短。 10.垂直平分线：过线段中点且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。 11.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 知识点二、平行线 1.平行线概念：同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。如直线、是平行线，记作： 2.两条直线平行的判定 方法1 文字：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 图形：如下左图； 符号： 方法2 文字：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 图形： 如上中图； 符号： 方法3 文字：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 图形：如上右图； 符号： 3.平行线的性质 基本性质（1）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （2）平行的传递性：若两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 即：若，则a//c. 平行线的性质1：两直线平行，同位角相等. 图形：如下左图； 符号： 平行线的性质2：两直线平行，内错角相等. 图形：如上中图； 符号： 平行线的性质3：两直线平行，同旁内角互补。 图形：如上右图； 符号： 4.两平行线间的距离：两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离。 知识点三、命题 内容 定义 能判断一件事情的语句，叫做命题。 组成 命题由题设和结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出来的事项 表达形式 通常可以写成“如果......,那么......”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。 分类 题设成立，结论也成立，这样的命题叫做真命题 题设成立，结论不成立，这样的命题叫做假命题。 03 题型归纳 题型一　两点确定一条直线 例题：1．去年春季，某校组织学生参加春耕插秧活动．在插秧过程中，往往需要拉一条绳子插秧，这样做的原理可以用下列哪个基本事实来描述（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．经过一点有无数条直线 2．如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩．再拉一条直的参照线．就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点之间直线最短 C．两点确定一条直线 D．一点确定一条直线 3．植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一条直线上，这样做蕴含的数学原理是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点有无数条线段 D．线段有两个端点 巩固训练 4．铺设地砖时，为了让砖缝对齐，通常会在铺设场地两端固定两点，然后拉一根笔直的参照线，这样操作的依据是 . 5．《荀子·劝学》有云，木受绳则直，金就砺则利．大意是说，木材经墨线比量后加工便可取直，刀剑等金属制品被磨刀石磨过就会锋利．如图，木匠师傅欲做一工件，于木板上确定两点A，B，依此弹出线段再加工，其依据为 ． 6．下列三个日常现象： 其中，可以用“两点确定一条直线”来解释的是 （填序号）． 题型二　平面内两直线的位置关系 例题：7．如图所示的是平面上五条直线，，，，相交的情形．根据图中标示的角度，下列叙述正确的是（   ） A．和平行，和平行 B．和平行，和不平行 C．和不平行，和平行 D．和不平行，和不平行 8．下列说法正确的是（   ） A．在同一平面内，没有公共点的两条线段是平行线 B．在同一平面内，不重合的两条直线是平行线 C．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线 D．不相交的两条直线是平行线 9．有下列生活实例：①交通道路上的斑马线；②天上的彩虹；③百米跑道线；④一段平直的火车铁轨线．其中属于平行线的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 巩固训练 10．、、为同一平面内的三条直线，若与不平行，与不平行，那么与（   ） A．一定不平行 B．一定平行 C．一定互相垂直 D．可能相交或平行 11．如果ac，a与b相交，bd，那么d与c的关系为 ． 12．如图，在方格纸中给出了线段、、．根据你所学的知识和方法，写出它们之间的位置关系． 题型三　相交线 例题：13．若平面内两条直线，被第三条直线l3所截，则这三条直线把平面分成（   ）个部分． A．5或6 B．6 C．6或7 D．7或8 14．平面上的三条直线最多可将平面分成（    ）部分 A．4 B．6 C．7 D．8 15．五条直线两两相交于同一点时，对顶角有m对，交于不同五点时，对顶角有n对，则m与n的关系是（　　） A．m＝n B．m＞n C．m＜n D．m+n＝10 巩固训练 16．在同一平面内，不重合的三条直线的交点有（    ）个． A．1或2 B．2或3 C．1或3 D．0或1或2或3 17．三条直线相交，最多可以组成 个直角． 18．一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有 个交点；8条直线两两相交，最多有 个交点． 题型四　对顶角的概念和性质 例题：19．若两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则 ． 20．如图，直线，，都过点，且，平分，，则 ． 21．如图，直线相交于点．若，则的度数为 ． 巩固训练 22．如图，两条直线， 交于点O，平分，若，则 ． 23．如图，直线，相交于点，平分，．若，求的度数． 24．如图，直线、相交于点，，平分，，求的度数． 题型五　邻补角的概念与性质 例题：25．如图，A，O，B三点在一条直线上，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 26．如图，直线交于点平分，若，则等于（　　） A． B． C． D． 27．如下图，直线相交于点O．    (1)请写出图中的邻补角及对顶角； (2)若，求和的度数． 巩固训练 28．在直线上任取一点，过点作射线，，使．当时，的度数为 ． 29．如图，直线、交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 30．如四，直线相交于点是直角． (1)若，则______． (2)若，求的度数． (3)若，求和的度数． 题型六　点到直线的距离 例题：31．如图，点在直线上，点，分别在直线上，，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．点到直线的距离等于 B．点到直线的距离等于 C．点到直线的距离等于 D．点到直线的距离等于 32．是直线外一点，分别是上三点，已知．若点到的距离是，则（   ） A． B． C． D． 33．如图，四点在直线上，点在直线外，，若，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 34．如图，，那么点B到的距离是 ，点A到的距离是 ，点C到的距离是 ． 35．同一平面内，已知线段长为． （1）若点到直线的距离分别为和，则符合条件的直线共有 条； （2）若点到直线的距离分别为和，则符合条件的直线共有 条． 36．如图，在直角三角形中，，． (1)点B到的距离是_____________；点A到的距离是_____________． (2)画出表示点C到的距离的线段，并求出这个距离． 题型七　垂线的定义与画法 例题：37．如图，在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是（　　） A．两点确定一条直线 B．已知直线的垂线只有一条 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 38．如图，过点P分别画出的垂线（保留画图痕迹，不写画法）． 39．如图，所有小正方形的边长都为1个单位，、、、均在格点上． (1)过点画线段的平行线； (2)过点画线段的垂线，垂足为； (3)在直线上找一点，使得的值最小； (4)连接，则三角形的面积是 ． 巩固训练 40．如图，直线与直线相交于点O，则下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D．且 41．如图，在中，于点D，点E在上．若，那么线段的长可以是 ．（写出一个即可） 42．如图，在边长为1的正方形网格中，三角形的三个顶点都在格点上．请按下列要求作图． (1)将三角形向右平移8个单位长度后得到三角形，请画出三角形，并求出其面积； (2)过点画的垂线，标出垂足； (3)过点画的平行线． 题型八　用直尺、三角板画平行线 例题：43．如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 44．如图，已知直线外一点，过点画直线，使，借助三角板有如下操作： ①固定直尺，并沿方向移动三角板，使斜边经过点； ②用三角板的斜边靠上直线； ③沿三角板斜边画直线； ④用直尺紧靠三角板的一条直角边． 正确的操作顺序是（    ） A．①②③④ B．②④③① C．②④①③ D．④③②① 45．如下图，已知三角形，点P在边上． (1)过点P画的平行线交于点T； (2)过点C画； (3)直线_______（填位置关系）． 巩固训练 46．如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    47．如图，请你用直尺和三角尺按下列要求作图（不写作法）． (1)在图①中，过点C作的垂线； (2)在图②中，过点作直线． 48．在如图所示的方格中，每个小正方形的顶点都叫做格点，的三个顶点均在格点处，请利用网格作图． (1)找一个格点， 画直线使；（标出点） (2)找一个格点， 画直线使， 垂足为；（标出点） (3)比较大小： 线段 线段（用“”“”“”号连接）． 题型九　平行公理及其推论 例题：49．有下列说法：①一条直线的垂线只有一条；②过一点与已知直线平行的直线只有一条；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．其中正确的有（    ） A．①② B．②④ C．③④ D．①③ 50．在同一平面内有a，b，c三条直线，若，且a与c相交，那么b与c的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．不能确定 51．工人师傅在铺设电缆时，为了检查三条电缆是否平行，只检查了其中两条电缆是否与第三条平行．你认为这种做法对吗？请给出合理解释． 巩固训练 52．如图所示的是一个可折叠的衣架，是地平线，如果，那么就可确定点在同一条直线上．依据是______（填序号）． ①两点确定一条直线；②过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 53．有下列说法：①两条不相交的直线是平行线；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行；④在同一平面内，不相交的两条射线必平行．其中，正确的有 个． 54．【操作】在如图的方格纸中（网格线的交点叫格点），按要求画图、填空． (1)过点A作的垂线，垂足为点D，该垂线经过的一个格点记为点E． (2)过点E作的平行线，该平行线经过的一个格点记为F；过点B作的平行线，该平行线经过的一个格点记为G． 【发现】与的位置关系为___________． 【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：____________． 【发现】线段的长度是点A到直线_____的距离；线段的大小关系为_______（用“<”连接）． 【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：_______________． 题型十　同位角、内错角、同旁内角 例题：55．如图，直线和被所截，构成的同位角是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 56．如图所示，下列说法：①与是内错角；②与是同位角；③与是同旁内角；④与是内错角，其中正确的有（   ） A．①②④ B．①② C．①②③ D．①②③④ 57．如图，已知直线被直线所截，则和 是同位角，和 是内错角，和 是同旁内角． 巩固训练 58．如图， （1）和是由直线 与直线 被直线 所截形成的 角； （2）和是由直线 与直线 被直线 所截形成的 角； （3）和是由直线 与直线 被直线 所截形成的 角． 59．如图所示的是“自由式滑雪大跳台”项目图标的部分示意图，下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是 （填序号）． 60．（1）如图①，两条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有_____________对，内错角有_____________对，同旁内角有_____________对； （2）如图②，三条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有_____________对，内错角有_____________对，同旁内角有_____________对； （3）根据以上结果，n（n为大于1的整数）条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角、内错角、同旁内角分别有多少对（用含n的式子表示）？ 题型十一　平行线的性质 例题：61．如图，将三角板与两边平行的直尺贴在一起，使三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 62．如图，绕点B逆时针旋转到，连接．若，，则的度数为 ° 63．如图，已知，. (1)猜想与之间有怎样的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数. 巩固训练 64．如图，点C在的边上，过点C的直线，平分，于点C． (1)若，求； (2)求证：平分； (3)当时，求的度数． 65．如图1，，直线与、相交于点E、F，平分，平分． (1)求证：； (2)如图2，N为、之间一点，若，求的度数． 66．如图，平分，平分交于点F，且． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 题型十二　平行线的判定 例题：67．完成下面的证明过程，在括号内填根据． 如图，直线a，b，c被直线l所截，量的，试说明：． 解：∵， ∴ （等式的性质）， ∴ （ ）. 又∵， ∴ （ ）， ∴ （ ）， ∴（ ）. 68．如图，，直线与平行吗？为什么？ 69．如图，，，平分，直线与直线平行吗？为什么？ 巩固训练 70．【阅读•领会】在几何图形学习过程中，为了帮助解题，可在原图的基础上添加直线或线段，比如要证明直线、是否平行，可添加“第三条直线”（即图1中的截线），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线为“辅助线”． 【实践•体悟】如图2，已知，．求证：． (1)小明同学想到通过连接，作出平行线的截线，请你帮他完成下列证明过程： 证明：连接． 因为（已知）， 所以______（内错角相等，两直线平行） 所以______（两直线平行，内错角相等） 因为（已知）， 所以____________（等式性质）， 所以____________（等量代换）， 所以（______）． (2)请你试用其他方法进行推理，并书写证明过程． 71．请将下列证明过程补充完整． 如图，已知，． 求证：． 证明：∵（ ）， ∴ （同旁内角互补，两直线平行）． ∴（ ）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（ ）． 72．如图， ，．试说明的理由．    题型十三　根据平行线的性质探究角的关系 例题：73．如图，若，则、、之间的关系为（　　） A． B． C． D． 74．如图，，则，，，，满足的数量关系是 ． 75．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，结合所给图形，探究这两个角之间的关系． (1)如图①，，则与的关系是_____； (2)如图②，，则与的关系是______； (3)由（1）（2）得出的结论是如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角______； (4)若两个角的两边分别平行，一个角比另一个角的3倍少，求这两个角的度数． 巩固训练 76．如图，，，则，和的数量关系是 ．    77．如图所示，已知，E在上，点G在上，，如果，如果用含的代数式表示，那么 ． 78．已知：如图，点是直线上一动点，连接，过点作交直线于点．(图2，图3为备用图) (1)如图1，当点在线段上时， ①依题意，在图1中补全图形； ②若，则__________(填度数)． (2)当点在线段的延长线上时，请写出的数量关系，并证明． (3)当点在直线上时，请直接写出的数量关系，不需要证明． 题型十四　根据平行线的性质求角的度数 例题：79．三角板（，）与一组平行线和的位置如图所示，点在直线上，已知，将三角板绕点顺时针转动，若要使，则需转动的最小角度为（    ） A． B． C． D． 80．如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即），根据光的反射可知，其原理如图2所示，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 81．如图，已知，若，，则 ． 巩固训练 82．如图，这是生活中常见的一种折叠拦道闸示意图，已知垂直于地面于点B，平行于地面，已知，则的度数为 ． 83．如图，直线交于点，且． (1)试说明：； (2)若平分，求的度数． 84．如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于E，，求的度数． 题型十五　平行线的性质在生活中的应用 例题：85．一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么这两次转弯的角度可以是（     ） A．先右转，再左转 B．先左转，再右转 C．先左转，再右转 D．先右转，再右转 86．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 87．如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为 巩固训练 88．如图，一个弯形管道的拐角，若工人师傅准备在点处对管道进行加工拐弯，要保证拐弯的部分与平行，则加工后拐角的度数是 度．    89．在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子．如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为 ．    90．如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，求的度数． 题型十六　根据平行线判定与性质求角度 例题：91．如图，已知，，求的大小． 92．直线a，b，c，d的位置如图所示，如果，求． 93．如图是一个“鱼”形图案，点B，C分别在的两边上．已知，求出的度数． 巩固训练 94．如图，已知，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，且，求的度数． 95．如图，直线交于点O，，且．    (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 96．如图，已知，．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 题型十七　根据平行线的判定与性质证明 例题：97．请把下面证明过程补充完整． 如图，已知于点，点在的延长线上，于点，交于点．      求证：平分． 证明：（已知）， （ ）． ∴（ ）． ∴ （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（ ）． ∴平分（ ）． 98．完成下面说理过程： 如图，已知，，试说明：． 解：因为（已知）， （   ）， 所以（等量代换）， 所以（   ）， 所以_____（   ）． 因为（已知）， 所以_____（等量代换）， 所以（   ）． 99．如图，在四边形中，，且平分，与互余．若，求的度数．阅读并补全下面的解答过程，括号内为推理依据． 解：因为，与互余， 所以，， 所以， 所以（__________）． 因为（已知）， 所以， 所以__________°（__________）． 因为平分（已知）， 所以__________°（角平分线的定义）． 因为， 所以__________（两直线平行，同旁内角互补）， 所以__________°． 巩固训练 100．如图，三点在一条直线上，．试说明：． 请将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 解：因为（______）， 所以（______）． 因为（______）， 所以（______）， 所以（平行于同一条直线的两条直线互相平行）， 所以，． 又因为（已知）， 所以（_______）． 101．如图，已知，垂足分别为D、F，． 求证：． 证明：∵（已知） ∴（垂直的定义） ∴（                ）（同位角相等，两直线平行） ∴（                    ） ∵（                    ） ∴（                    ） ∴（                    ） ∴（                    ） 102．如图，点E在直线上，点F在直线上，连接，，与的连线分别交于点M，N．已知，，试说明：．请补充下列说明过程，并在括号内写出相应的依据： 解：∵，， ∴________， ∴________（________________________）， ∴________． ∵， ∴________， ∴________（________________________）， ∴． 题型十八　平行线的动点（角）问题 例题：103．（1）问题发现：如图①，已知点F，G分别在直线上，且，若，，则的度数为_____________； （2）拓展探究：如图①，已知点F，G分别在直线上，且，则之间有怎样的数量关系？写出结论并说明理由． 结论：_____________________________． 理由：如图②，过点E作， （                              ）， ， ∴（                                      ）， （                            ）， ， _______________________． 104．如图，，连接，E是线段BD上一动点，，分别平分，，若∠AEC =46°，则∠AFC 的度数为（    ） A．20° B．23° C．30° D．45° 105．如图，，点在和之间，，是上的动点，连接，当的长度最短时，的度数是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 106．已知，直线，、分别是和上的动点，点P为直线、之间任一点，且．则与之间的数量关系为 ． 107．如图，直线，直线l与直线相交于点E，F，点P是射线上的一个动点（不包括端点E），将沿折叠，使顶点E落在点Q处．若，点Q恰好落在其中一条平行线上，则的度数为 ． （备用图） 108．如图，已知长方形纸片，点E和F分别在边和上，且，H和G分别是边和上的动点，现将点A，B，C，D分别沿，折叠至点N，M，P，K，若与分别在长方形的两侧，且，则的度数为 ． 题型十九　命题 例题：109．给出下列语句：①画一个角等于两个已知角的和；②钝角大于直角；③过点A画直线；④相等且互补的两个角都是直角．其中是命题的是（   ） A．①④ B．②④ C．①② D．②③ 110．下列语句中是命题的有（　　） ①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ②你喜欢数学吗？ ③取线段的中点． ④角平分线上的点到角两边的距离相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 111．下列语句不是命题的有（   ） ①全等三角形对应边相等；②过一点画已知直线的平行线；③同角的余角相等；④内错角相等吗？ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 巩固训练 112．下列语句中命题的个数为（   ） ①两直线相交，只有一个交点；②过点P画直线AB的垂线；③延长线段AB到C；④整数都能被2整除 A．1 B．2 C．3 D．4 113．有下列语句：①画线段；②两个负数的差一定是负数；③同角的余角相等；④如果直线a，b不相交，那么a与b平行吗？其中是命题的有 ，是真命题的有 ．（填序号） 114．下列句子中哪些是命题？ （1）直角三角形的两个锐角互余． （2）正数都大于． （3）如果，那么与1互补． （4）太阳不是行星． （5）对顶角相等吗？ （6）作一个角等于已知角． 题型二十　判断命题的真假 例题：115．下列命题中，是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．两直线平行，内错角相等 D．相等的角是对顶角 116．下列命题中是假命题的是（   ） A．内错角相等，两直线平行 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．同角的补角相等 D．对顶角相等 117．有下列命题：①两点之间，直线最短；②对顶角相等；③内错角互补，两直线平行；④三角形的一个外角，等于任意两个内角之和．其中是真命题的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 巩固训练 118．下列命题是假命题的是 ．（填序号） ①一个角的余角大于这个角；②如果，那么与是对顶角；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角． 119．有下列命题：①若，则且；②若，则；③若，则；④若或3，则；⑤在同一平面内，若直线， ，则．其中是真命题的是 （填序号）． 120．有下列命题：①两直线平行，同位角相等；②垂线段最短；③同角的余角相等；④同旁内角互补；⑤两点确定一条直线．其中真命题是 （填序号）． 题型二十一　逆命题 例题：121．命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是 ． 122．命题“互为相反数的两个数的和为0”的逆命题是 ，是 命题（填“真”或“假”）． 123．请写出命题“如果，那么．”的逆命题是 巩固训练 124．阅读下面内容： “同位角相等，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等”两个命题中的题设，结论位置恰好对调，我们把其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 请你写出“两条直线被第三条直线所截，内错角相等，则同位角必相等”的逆命题，指出逆命题的题设与结论，判断它的真假并说明理由． 125．写出下列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假． (1)如果，那么； (2)两个锐角的和是钝角． 3126．写出下列命题的逆命题，并判断真假． (1)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； (2)末位数是0或5的整数能被5整除． 试卷第42页，共43页 19 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $$