第16章 相交线与平行线易错训练与压轴训练（15易错+5压轴）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（沪教版2024）

第16章 相交线与平行线易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　平面内两直线的位置关系 1 易错题型二　对顶角的计算 3 易错题型三　邻补角的计算 5 易错题型四　垂线的画法与性质 5 易错题型五　平行公理及其推论 5 易错题型六　平行线的画法 5 易错题型七　反证法 5 易错题型八　同位角、内错角、同旁内角问题 5 易错题型九　垂直于同一直线的两直线平行 5 易错题型十　平行线的性质 5 易错题型十一　平行线的判定 8 易错题型十二　根据平行线的性质探究角的关系 9 易错题型十三　根据平行线的判定与性质证明 14 易错题型十四　平行模型 22 易错题型十五　命题与证明 28 压轴题型一　相交线压轴题 46 压轴题型二　平行线的判定与性质压轴 46 压轴题型三　平行线中旋转问题 46 压轴题型四　平行线中动点问题 36 压轴题型五　平行线综合 46 02 易错题型 易错题型一　平面内两直线的位置关系 1．如图所示的是平面上五条直线，，，，相交的情形．根据图中标示的角度，下列叙述正确的是（   ） A．和平行，和平行 B．和平行，和不平行 C．和不平行，和平行 D．和不平行，和不平行 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，对顶角相等，解题时关键是掌握平行线判定定理，根据同旁内角不互补，可得两直线不平行；根据内错角相等，可得两直线平行． 【详解】解：， 和不平行， 对顶角相等， ，， ， 和平行， ， 和平行， 故选：C． 2．下列说法正确的是（） A．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线 B．在同一平面内，两条线段不相交就平行 C．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线 D．不相交的两条直线是平行线 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的定义，熟记平行线的定义是解题的关键．根据平行线的定义判断求解即可． 【详解】解：在同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故A错误，不符合题意； 同一平面内，两条直线不相交就平行，故B错误，不符合题意； 同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，故C正确，符合题意； 同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故D错误，不符合题意； 故选：C． 3．在同一平面内，直线与满足下列条件，把它们的位置关系填在后面的横线上． （1）若与没有公共点，则与 ； （2）若与有且只有一个公共点，则与 ； （3）若与有两个公共点，则与 ． 【答案】 互相平行 相交 重合 易错题型二　对顶角的计算 4．知识之树常青，学习便是那不息之泉，滋养心灵，茁壮成长．小华在学习完相交线后，发现生活中有许多相交线．如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若，则 ． 【答案】/38度 【分析】本题考查了对顶角的性质，利用对顶角相等解答即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，直线相交于点O，射线平分，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，先根据对顶角相等得出，再根据角平分线的定义得出，再根据垂直的定义得出，最后根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵射线平分 ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图，已知直线相交于点，且平分． (1)与______互为邻补角； (2)与互为补角的是哪些角？请说明理由； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2)与互为补角的角是．理由见解析 (3) 【分析】本题考查了对顶角，邻补角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． （1）由邻补角的定义可直接得出； （2）由邻补角的定义和角平分线的定义可得出结论； （3）由的度数可得出的度数，再结合角平分线的性质可得出的度数． 【详解】（1）由图形可知， ∴与和互为邻补角， 故答案为：和． （2）和，理由如下： 由图形可知，， ∵平分， ， ， ∴的补角有和． （3））∵， 平分， 易错题型三　邻补角的计算 7．如图，为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数； (2)请通过计算说明：是否平分． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线，邻补角等知识，熟练掌握角平分线，邻补角是解题的关键 （1）由，平分，可得，根据，计算求解即可； （2）由，可得．由平分，可得．则，，进而可得是的平分线． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：平分．理由如下： ∵， ∴． 平分， ∴． ∴， ∴，即是的平分线． 8．如图，直线，，相交于点，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）由对顶角的性质可得，即得，进而得到； （）利用平角可得，进而得，再根据邻补角的性质即可求解； 本题考查了对顶角的性质，邻补角的性质，掌握了对顶角和邻补角的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵直线，相交于点， ∴与是对顶角， ∴， 即， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 9．如图，直线、相交于点O，平分，且． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平角的定义、邻补角的定义、对顶角相等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设，由角平分线的定义可得，从而得到，再由平角的定义进行计算即可得到答案； （2）由邻补角的定义可得，由角平分线的性质可得，由对顶角相等可得，从而即可得到的度数． 【详解】（1）解： 设， 平分， （角平分线定义）， ， （平角定义）， ， ， ； （2）解：， ， 平分， ， 又（对顶角相等）， ． 易错题型四　垂线的画法与性质 10．按下列要求画图并填空： 如图，直线和相交于点O，M是上的一点，    (1)过点M画出直线的垂线，交直线于点N； (2)过点M画出直线的垂线，垂足为点F； (3)点M到点N之间的距离是线段________的长； (4)点O到直线的距离是线段________的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查作图-复杂作图，垂线，到直线的距离，点到点的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂线的定义画出图形即可； （2）根据垂线的定义画出图形即可； （3）根据点到点的距离的定义，判断即可． （4）根据点到直线的距离的定义，判断即可． 【详解】（1）解：如图所示：直线即为所求：    （2）解：如上图所示，直线即为所求： （3）解：点M到点N之间的距离是线段的长 故答案为：， （4）解：点O到直线的距离是线段的长， 故答案为： 11．如图是一张长方形纸片，纸片的一边为，小亮在纸片内部任取一点，并通过折叠折出过点且与垂直的折痕，他发现这样的折痕只能折出一条，理由是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【答案】C 【分析】本题考查了垂线公理，熟知公理内容是解题的关键． 根据垂线公理即可解题． 【详解】解：由题意知，过点有且只有一条直线与垂直，即 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 故选：C ． 12．如图，点A，B，C在直线l上，点P在直线l外，于点A，，，，则点P到直线l的距离是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键． 根据“直线外一点到直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”进行解答． 【详解】解：垂线段最短，于点A，， 点到直线的距离是， 故答案为：4． 易错题型五　平行公理及其推论 13．如图，过三角形的边的中点画平行于的直线，这样的直线能画 条． 【答案】1 【分析】本题考查了平行公理的知识点，解题的关键是理解并运用平行公理． 根据平行公理，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，据此确定过中点作平行于的直线的条数． 【详解】解：设的中点为，因为点在直线外，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，所以过点画平行于的直线，这样的直线能画1条． 故答案为：1． 14．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 ． 【答案】/150度 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．过顶点O作直线，直线l将分成两个角即、，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过顶点O作直线，    ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 已知直线，P为平面内一点，连接，． （1）如图1，已知，则的度数为______； （2）如图2，设，猜想α，β，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，，，交于点O，，求的度数． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线定义理解．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用． （1）过点P作，根据平行线的公理得出，根据平行线的性质得出，，最后求出； （2）过点P作，则，根据平行线的性质得出，，求出，得出，得出，即可得出答案； （3）根据，得出，求出，得出，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：（1）过点P作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）过点P作， ， ， ，， ，， ， ． （3）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 易错题型六　平行线的画法 16．按要求完成作图．如图，在三角形中： (1)过点画的垂线，垂足为； (2)过点画的平行线，交于点． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析． 【分析】本题考查的知识点是作垂线、平行线，解题关键是熟练掌握垂线和平行线的作法． （1）利用三角板过点作于点即可； （2）利用三角板和直尺过点作，交于点即可． 【详解】（1）解：利用三角板过点作于点，即为所求，如下图： （2）解： 利用三角板和直尺过点作，交于点，即为所求，如下图： 17．如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，都在格点上． (1)利用网格作图： ①过点作直线的平行线； ②过点作直线的垂线，垂足为． (2)线段的长度是点___________到点__________的距离． (3)比较大小：_____________（填“”“”或“=”），理由：_____________． 【答案】(1)见解析 (2)C， (3)，垂线段最短 【分析】本题主要考查作图、平行线、垂线段最短、点到直线的距离等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． （1）①在A的右侧取格点D，满足，再画直线即可，②如图，取格点K，再画直线交于E即可； （2）根据点到直线的距离的定义即可解答； （3）根据垂线段最短即可解答． 【详解】（1）解：①如图，直线即为所求作； ②如图，直线即为所求作． （2）解：线段的长度是点C到直线的距离． 故答案为：C，． （3）解：．理由：垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 18．如图，点B是射线上一点，射线的端点A在直线上，按要求画图并填空：    (1)过点B作直线平行直线； (2)用量角器作的角平分线，交直线于点F； (3)作射线，交直线于点G； (4)若，则______（用含α的式子表示）； (5)请用等式写出的数量关系______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) (5) 【分析】本题考查画平行线、作角平分线和垂线，熟练掌握角平分线的定义、平行线的性质以及垂直定义是解答的关键． （1）利用直尺平移画平行线即可； （2）先量得的度数，再画出使的射线即可得到的角平分线； （3）利用直尺画出射线即可； （4）利用平行线的性质得到，，结合角平分线的定义可得结论； （5）利用垂直定义得到，再利用平角定义求解即可． 【详解】（1）解：如图，直线l即为所求： （2）解：如图，射线和点F即为所求： （3）解：如图，射线和点G即为所求：    （4）解：∵直线，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； （5）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 易错题型七　反证法 19．用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设（　　） A．有一个内角小于 B．每一个内角都小于 C．有一个内角大于 D．每一个内角都大于 【答案】D 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：第一步应假设结论不成立，即每一个内角都大于． 故选：D． 20．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①因此假设不成立． ②，这与三角形内角和为矛盾 ③假设在中， ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．①②③④ C．③④②① D．③④①② 【答案】C 【分析】本题考查的是反证法．根据反证法的一般步骤判断即可． 【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤， ③假设在中，， ④由，得，即， ②，这与三角形内角和为矛盾， ①因此假设不成立．， 综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④②①． 故选：C． 21．“求证：的两个锐角，中至少有一个不大于．”用反证法证明这个命题时，应先假设（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，，中至少有一个不大于的反面是，． 【详解】解：求证：的两个锐角，中至少有一个不大于， 用反证法证明这个命题时，应先假设，． 故选：A． 【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 易错题型八　同位角、内错角、同旁内角问题 22．如图，按各组角的位置，说法正确的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【答案】B 【分析】本题主要考查了同位角，内错角，对顶角，同旁内角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角,据此求解即可． 【详解】解：A、与不是同旁内角，原说法错误，不符合题意； B、与是内错角，原说法正确，符合题意； C、与不是同旁内角，原说法错误，不符合题意； D、与是内错角，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 23．如图，下列说法错误的是（    ）    A．和是同位角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是内错角 【答案】B 【分析】本题考查三线八角，根据同位角，同旁内角和内错角的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、和是同位角，正确，不符合题意； B、和是内错角，原说法错误，符合题意； C、和是同旁内角，正确，不符合题意； D、和是内错角，正确，不符合题意； 故选B． 24．如图所示， （1）和是 、 被 所截得的 角． （2）和∠ 是、被 所截得的内错角． （3） 和 是、被所截而成的同旁内角． （4） 和 是、被所截得的内错角． 【答案】 / 同位 / / 【分析】本题考查了同位角，内错角，同旁内角，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． （1）根据同位角的特征，即可解答； （2）根据内错角的特征，即可解答； （3）根据同旁内角的特征，即可解答； （4）根据内错角的特征，即可解答． 【详解】（1）解：和是、被所截得的同位角， 故答案为：；；；同位； （2）解：和是、被所截得的内错角， 故答案为：；； （3）解：和是、被所截而成的同旁内角， 故答案为：；； （4）解：和是、被所截得的内错角， 故答案为：；． 易错题型九　垂直于同一直线的两直线平行 25．在同一平面内，有三条直线a、b、c，如果，，则a c． 【答案】/平行于 【分析】本题考查的是同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，由平行线的判定方法可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： 26．已知a，b，c在同一平面内的三条直线，若，，则a c． 【答案】 【分析】根据同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟知在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键． 27．已知平面内2025条不同的直线、、，……，满足以下规律：，，，，，……，按此规律，则与，与的位置关系分别是 ， ． 【答案】 【分析】根据题意得到前面直线序号为偶数两直线垂直，奇数两直线平行，即可得到结果；判断与，，，，，的关系，即可得到规律：，，，，四个一循环，则刚好开始进入新的循环，即可求解 【详解】根据题意得：直线与直线的位置关系是垂直． ∵，，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴可得规律为：，，，，，，…… 所以可得到规律：，，，，四个一循环， 根据规律 ∴ ∵ ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，注意找到规律：⊥，⊥，，，四个一循环是解此题的关键． 易错题型十　平行线的性质 28．如图，为直线外一点，过点作两条射线，且．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质以及平角的定义，根据平行线的性质可得出，即点C、O、D三点共线，再根据平角定义可得答案． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即点C、O、D三点共线， ∵， ∴， ∴ ∴， 故选为：． 29．光在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射，如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，且，则 ． 【答案】/55度 【分析】此题考查了平行线的性质：两直线平行同位角相等，两直线平行同旁内角互补，根据平行线的性质求出，，即可求出，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴ 故答案为． 30．如图1，．    (1)如图1（1）所示，说明与的位置关系，并说明理由. (2)如图1（2）所示，作与的平分线交于点F，若的余角等于的补角，求的度数． (3)在前面的条件下，如图1（3）所示，若P是上一点，Q是上任一点，平分平分，下列结论：的度数不变；的度数不变，可以证明，只有一个结论是正确的，请你做出正确的选择并求出相应的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)的值随的变化而变化；的度数为不变 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，理清各角度之间的关系是解题的关键，也是本题的难点． （1）过B作，根据平行线的判定和性质定理即可得到结论； （2）首先设，过点B作，过点F作，根据平行线的性质，可得，又由的余角等于的补角，可得方程：，继而求得答案． （3）根据两直线平行，内错角相等可得，然后根据，列式表示出，从而判定②正确． 【详解】（1）解：， 理由：过B作，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：设， ∵与的平分线交于点F， ∴， 过点B作，过点F作，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的余角等于的补角， ∴， 解得：， ∴． （3）解：由（1）可知， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵点P是上一点， ∴， ∴； ∴的值随的变化而变化；的度数为不变． 易错题型十一　平行线的判定 31．推理填空：如图，直线，被直线所截，是的平分线，若，，求的度数． 解：因为AD是的平分线， 所以（____________________）． 因为， 所以__________（____________________） 所以__________ __________（____________________） 所以（____________________） 因为，所以． 【答案】角平分线的定义；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先利用角平分线的定义可得∠1=∠5，从而可得∠3=∠5，进而可得CD∥AB，然后利用平行线的性质可得∠4=∠2，即可解答．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵AD是的平分线， ∴（角平分线的定义）． ∵， ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） ∵， ∴． 故答案为：角平分线的定义；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 32．完成下面的证明． 已知：如图，平分平分．求证：． 证明：（已知）， （_______）． 又（已知）， _______． （已知）， ． 又平分（已知）， _______． 又平分（已知）， _______， （_______+_______）， ， ，即． 【答案】两直线平行，内错角相等；；；；；； 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的性质，能够熟练运用平行线的性质是解决本题的关键．根据平行线的性质，角平分线的性质，逐个进行分析填空即可． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）． 又（已知）， ， ． （已知）， ． 又平分（已知）， ． 又平分（已知）， ， ， ， ，即． 故答案为∶ 两直线平行，内错角相等；；；；；；． 33．阅读题目，完成下面推理过程． 问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图①是一个“互”字．如图②是由图①抽象的几何图形，其中，点在同一直线上，点在同一直线上，且． 求证：． 证明：如图（2），延长交于点． （已知）， （_______） 又（_______）， _______（等量代换）， （_______）， （_______）． 又（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， （_______）． 【答案】两直线平行，内错角相等；已知；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键． 平行线的性质：两直线平行，同位角相等； 两直线平行，同旁内角互补； 两直线平行，内错角相等； 平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系，应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． 【详解】证明：如图（2），延长交于点． （已知）， （两直线平行，内错角相等） 又（已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， （同角的补角相等）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；已知；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等． 易错题型十二　根据平行线的性质探究角的关系 34．如图①，将三角形平移，使点沿的延长线移至点得到三角形，连接，交于点，平分． (1)猜想与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，将三角形平移，使点沿移至点得到三角形．如果平分，那么平分吗？为什么？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)平分，理由见解析 【分析】本题主要考查平移的性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握并根据平移的性质得出对应角、对应边之间的关系是解题的关键． （1）由平移的性质，得，，根据角平分线，可知进而得出，进而得出答案； （2）由平移的性质，得，，从而知道，根据角平分线，可知，进而得出，即平分． 【详解】（1）解：．理由如下： 平分 由平移的性质，得， （2）解：平分．理由如下： 由平移的性质，得， 平分 ，即平分 35．如图，，点E为两直线之间的一点． (1)如图1，若，，则_______； (2)如图2，试说明，； (3)如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，理由见解析． 【分析】本题考查平行线的判定及性质，解题的关键是掌握平行线的性质，利用平行线的性质探索角之间的关系． （1）过点E作直线，利用平行线的性质证明，，即可得到； （2）过点E作，利用平行线的性质证明，，即可证明，即； （3）由（1）可得，再证明，由（2）可知，，即可证明． 【详解】（1）解：过点E作直线， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． （2）解：如图所示，过点E作， ， ， ，， ， 即． （3）解：①，理由如下： 由（1）可得， 平分，平分， ，， ， 由（2）可知，， ． 36．如图，，点，，，不在同一条直线上． (1)如图1，求证：； (2)如图2，直线，交于点，且，， ①试探究与的数量关系； ②如图3，延长交射线于点，若，，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，角的计算， （1）如图1，过作，根据平行线的性质即可得到结论； （2）①设，，，，由（1）知：，如图2，过作，根据平行线的性质即可得到结论； ②如图3，过作，根据平行线的性质即可得到结论； 熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图1，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∴， 即； （2）解：①∵，， ∴设，，，， 由（1）可知：， ∴， 如图2，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴与的数量关系为； ②如图3， ∵，， ∴， ∵， ∴， 由①知：， 过作， ∴，， ∴， ∴的度数为． 易错题型十三　根据平行线的判定与性质证明 37．如图，，． (1)试说明：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用，理解并掌握平行线的性质是解题关键． （1）由可得，由可得，然后由等量代换可证； （2）由，，可求出，由平分，可求，然后根据平行线的性质可求的值． 【详解】（1）证明：因为， 所以． 因为， 所以， 所以； （2）解：因为，， 所以． 因为平分， 所以． 因为， 所以． 38．综合与实践活动课上，老师让同学们以“平行线的等角转化功能”为主题开展数学活动，已知直线，点是和之间任意一点，连结、，完成下面任务． 【任务一】（1）如图1，已知，，过点作，求的度数； 【任务二】（2）如图2，，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）25°；（2）垂直，见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：①两直线平行，内错角相等，②两直线平行，同位角相等，③两直线平行，同旁内角互补． （1）先得出，根据平行线的性质得出，，进而得出，即可得出答案； （2）过点作，根据平行线的性质得出，进而得出，再推出，得出，证得结论； 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴；  （2）与的位置关系是垂直． 理由：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 39．如图，已知点E、F在直线上，点N在线段上，与交于点M，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据内错角相等两直线平行进行判断即可； （2）先求出的度数，根据对顶角相等得到的度数即可． 【详解】（1）证明：， ， ， 又， ， ． （2）解：，，，， ，， ， ． 易错题型十四　平行模型 40．据图解答下列各题． (1)如图1，已知，求证：； (2)如图2，已知，，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，然后根据两直线平行内错角相等的性质解此类题． （1）过E作，利用两直线平行，同旁内角互补和平行线的判定解答即可； （2）过G作，利用两直线平行，内错角相等解答即可． 【详解】（1）证明：过E作， ， ， ， ， ； （2） 解：过G作， ， ， ， ， ， ， ， 即， 41．问题情境：如图，，，，求度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为 度；（直接写出答案） (2)问题迁移：如图，，点在射线上运动，记，，当点在两点之间运动时，问与之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（）的条件下，如果点在两点外侧运动时（点与点三点不重合），请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)当在延长线上时，；当在延长线上时，． 【分析】（）过点作，由平行线性质求即可； （）过点作，交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （）分两种情况：在延长线上和在延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质解答即可求解； 本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：， 理由如下： 如图，过点作，交于， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）解：当在延长线上时，如图所示， 由（）可知，，， ∴； 当在延长线上时，如图所示， 由（）可知，，， ∴． 42．如图1，小明和小亮在研究一个数学问题： (1)已知：，和都不经过点P，直接写出与的关系 ； (2)在图2中，，若，则的度数为 ； (3)在图3中，，若，则的度数为 ； (4)在图4中，，探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)，见解析 【分析】（1）过作，因为，所以，可得，，所以； （2）过点作，因为，所以，可得，，已知，，可得的度数，即得的度数； （3）过点作，因为，所以，可得，，已知，，因为，可得的度数； （4）过点作，因为，所以，可得，，因为，可得． 本题考查了平行线的性质，平行公理，关键是掌握平行线的性质． 【详解】（1）解：过作， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：过点作， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （4）解：过点作， ，即， ， ， ，即， ， ． 易错题型十五　命题与证明 43．（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来． 【答案】（1）见解析；（2）同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断，则利用平行线的传递性得到，然后根据平行线的性质得到结论； （2）利用了平行线的判定与性质定理求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 44．探究：如图①，②，与，与交于点，这两个角的两边分别平行，即． (1)分别猜想图①，图②中与的大小关系，并给予证明； (2)一般地，本题“探究”的命题是真命题，请把这个命题写成“如果……，那么……”的形式． 【答案】(1)图①：，图②：，见解析 (2)如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补 【分析】本题主要考查平行线的性质、命题与证明，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）如图①根据平行线的性质得出，可得；如图②根据平行线的性质得出，可得； （2）根据（1）可推出，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补． 【详解】（1）关系是：图①：，图②：， 如图①∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 如图②∵， ∴ ∵， ∴ ∴． （2）命题：如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补． 45．（1）已知：如图①，，求证：．    （2）小明在探究时发现，该命题的逆命题也成立，直接写出逆命题为　　　　　 （3）小明发现当时，改变点P的位置（点P不在上），三个角的数量关系随之而变化，请利用下面的备用图进行探究，画出示意图，直接写出对应的三个角的数量关系（写两个即可）．    【答案】（1）见解析；（2）如果，那么；（3）或或，示意图见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，逆命题，准确作出辅助线是解答本题的关键． （1）根据平行线性质可证得，从而得出结论； （2）写出命题的逆命题即可； （3）分三种情况，分别作出示意图根据平行线的性质得出结论． 【详解】（1）证明：如图，过点P作，   ， 又， ， ， ； （2）如果，那么，的逆命题为：如果，那么， 故答案为：如果，那么； （3）①如图，，理由如下：过点P作，   ， ，， ， ， ， ； ②如图，，理由如下：过点P作，     ， ， ， ， ， ； ③如图，，理由如下：过点P作，   ， ，， ， ， ， ． 03 压轴题型 压轴题型一　相交线压轴题 46．观察系列图形，补全探究过程． 【规律探究】如图1，有2条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角；如图2，有3条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角；如图3，有4条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角． 【归纳总结】若有n条直线相交于一点，则可形成____________对对顶角． 【规律应用】若有40条直线相交于一点，则可形成几对对顶角． 【答案】规律探究：2；6；12；归纳总结：；规律应用：1560对 【分析】本题考查对顶角的概念以及多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律． （1）两条直线相交于一点，数一数即可得出成2对对顶角；三条直线相交于一点，数一数即可得出6对对顶角，4条直线相交于一点，数一数即可得出12对对顶角； （2）依次可找出规律，若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角． （3）根据归纳总结得出得结论代入求解即可． 【详解】解：（1）对图形进行点标注．    图①中对顶角有与，与，共2对； 图②中对顶角有与，与，与，与，与，与，共6对； 图③中对顶角有与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，共12对； 故答案为： 2；6；12； （2）①，②，③， 则可以推理得到条直线相交于一点共有对对顶角， 故答案为：． （3）由归纳总结可知条直线相交于一点共有对对顶角， 当时，共有条对顶角． 47．如图，直线与直线相交于点为射线，． (1)找出图中相等的锐角，并说明它们相等的理由； (2)试找出的补角． 【答案】(1)，理由是对顶角相等；，理由是同角的余角相等 (2) 【分析】本题考查的是对顶角的性质，补角的含义及性质，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据对顶角相等可得，由可得； （2）由，，，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵是对顶角，且是锐角， ∴，（对顶角相等） ∵， ∴， ∴， ∴（同角的余角相等）； （2）解：∵， ∴互为补角； ∵， ∴互为补角； ∵， ∴， ∴互为补角． 综上：的补角为：． 48．如四，直线相交于点是直角． (1)若，则______． (2)若，求的度数． (3)若，求和的度数． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查了相交线成的角．熟练掌握邻补角，平角，余角，角的和与差倍分关系，是解题的关键． （1）根据，可得，再由，可得，结合，即可求解； （2）根据，可得， （3）由已知可得，得，得，即得． 【详解】（1）解：∵是直角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 压轴题型二　平行线的判定与性质压轴 49．如图，已知，． (1)如图1，试说明：； (2)如图2，连接，若点在线段上，且满足平分，平分，，求的度数： (3)①如图2，在（2）中，若，其他条件不变，求的度数（直接写出答案，用含的代数式表示）； ②如图3，在（3）①的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当平分时，若，求的度数（直接写出答案，用含的代数式表示）； ③如图3，在（3）①的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当时，若，求的度数（直接写出答案，用含的代数式表示）； 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查了两直线平行的判定和性质，以及角的运算，解题的关键是弄清角与角之间的关系． （1）利用两直线平行的判断和性质进行证明； （2）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，，根据求出结果即可； （3）①根据解析（2）的方法求出结果即可； ②根据角平分线定义证明，求出，根据平行线的性质得出； ③根据平行线的性质证明，求出，根据平行线的性质得出，即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分   ∴， ∴ ． （3）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分   ∴， ∴ ． ②∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 50．如图 ① ，直线，直线EF和直线分别交于C、D两点，点A、B分别在直线上，点P在直线上，连接、．    (1)猜想：如图①，若点P在线段上，，，求的大小 (2)探究：如图 ① ，若点P在线段上，写出、、之间的数量关系并说明理由． (3)拓展：如图 ② ，若点P在射线上或在射线上时，写出、、之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握好平行线的性质是解本题的关键是． （1）根据平行线的性质和，即可得的大小． （2）过点P作，根据平行线的性质可得，，即可得出、、之间的数量关系． （3）如图②所示：分两种情况画出图形，当点P在延长线上时或当点P在延长线 【详解】（1）如图①所示：过点P作    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）猜想： 如图①所示：过点P作 ∵ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ； （3）①当点P在延长线上时，有．理由如下：    过点P作， ， ②当点P在延长线上时，有．理由如下：    过点P作， ， ，， ∴综上所述：当点P不在线段DC上时， 或． 51．【动手操作】 在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点画直线的平行线的方法，折纸过程如下：． 【问题初探】 （1）通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是________；如图④，________，则与的位置关系为________． 【问题二探】 （2）张华在（1）的条件下继续探究，他在两点处安装了绚丽的小射灯，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，若灯射线转动20秒后，灯射线开始转动，在灯射线第一次到达之前，当灯转动秒时，灯射线转动到如图⑤的位置． ①用含的式子表示_________；②当时，两条射线的夹角为_________． 【问题三探】 （3）在（2）的条件下，在灯射线第一次到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由． 【答案】（1）垂直；；平行；依据是内错角相等，两直线平行（或在同一平面内垂直于同一条直线的两直线平行）；（2）①；②；（3）当为10秒或85秒或130秒时，两灯的光束互相平行 【分析】本题考查垂直判定，平行线判定及性质，折叠性质等知识点，解题的关键是掌握相关知识点． （1）根据折叠性质及平行线判定即可得到本题答案； （2）①先求出灯转动20秒后度数为，继而得出本题答案；②算出当时，，，再根据，得出，即可求出两条射线的夹角． （3）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分情况讨论即可得到本题答案． 【详解】解：（1）如图， ∵折叠， ∴直线折叠重合为两个角，平角为， ∴，即， ∴与直线的位置关系是：垂直， 如图： ∵如图④所示：， ， 由折叠可知：， ， （内错角相等，两直线平行）， 故答案为：垂直；；平行； （2）①∵灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，灯射线转动20秒后，灯射线开始转动， ∴灯转动20秒后度数为， 又∵当灯转动秒时，灯射线转动到如图（5）的位置， ∴此时灯再次转动了， ， 故答案为：； ②当时，，， ∵， ∴， ∴两条射线的夹角为． （3）设灯转动秒，两灯的光束互相平行， ①当时，如图， ， ， ， ， ∴， 解得：； ②当时，如图， ， ， ， ， ∴， ∴， 解得：； ③当时，如图， ， ， ， ， ∴， ∴ ∴， 解得：， 综上所述：当为10秒或85秒或130秒时，两灯的光束互相平行． 压轴题型三　平行线中动点问题 52．“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图1所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒4度，灯B转动的速度是每秒2度，假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：___________； (2)若灯B射线先转动15秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前、若射出的光束交于点C，过C作交于点D、且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】(1)60 (2)，当秒或秒时，两灯的光束互相平行； (3)不会变化， 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）根据，，即可得到的度数； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况讨论：当时，根据，可得；当时，根据，可得； （3）设灯A射线转动时间为t秒，根据，，即可得出，据此可得和关系不会变化． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：60； （2）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， ①当时，如图1， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； ②当时，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行； （3）解：和关系不会变化，． 理由如下： 设灯A射线转动时间为t秒， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴和关系不会变化． 53．如图，直线//，点，，在上，点，在上，连接，交于点，和的角平分线交于点，直线分别交直线，于，两点． (1)如果，，求的度数； (2)请猜想和之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，当，时，将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，同时将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，当正好旋转一周时两者同时停止运动．设运动时间为（单位：秒），直接写出当，分别与的其中一条边平行时，运动时间的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点作直线根据平行线的性质得出，结合角平分线的定义得出，进而根据，即可求解； （2）猜想：，过点作，设，，进而分别表示出，即可求解； （3）根据垂直的定义，，得出，根据，得出，由（2）可得，则，进而分5种情况讨论，分别画出图形，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作直线， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：猜想：，理由如下， 过点作，如图所示， ∵， ∴， ∵和的角平分线交于点， ∴，， 设，，     ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由（2）可得， ∴， ∴； ∵将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，同时将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到， ∴； ①当时，如图所示， ∴， ∴， 解得：； ②如图所示，当时，延长交于点， ∵ ， ， ∵， ∴， ∴， 解得：； ③如图所示，当在上，则， ∴， 解得：， 此时， ∴， 而， ∴， ∴， ④当时， ∴， ∴， 解得：； ⑤当时， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，． 【点睛】本题考查了垂直的定义，平行线的性质与判定，角平分线的定义，旋转的性质；熟练掌握以上知识是解题的关键． 54．如图，直线一副三角板（）按如图①放置，其中点在直线上，点均在直线上，且平分．    (1)求的度数． (2)如图②，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转的对应点分别为，设旋转时间为． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在绕点旋转的同时，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转（的对应点为．当边与的一边互相平行时，请画出相应图形并写出对应的值． 【答案】(1) (2)①12.5秒  ②画图见解析； 【分析】题目主要考查角平分线及平行线的判定和性质，理解题意，作出相应图形及辅助线进行分类讨论是解题关键． （1）根据邻补角得出，再由角平分线确定，利用平行线的性质即可求解； （2）①根据题意得出，再由平行线的性质得出，即可求解； ②分三种情况：当时，当，当，作出相应图形，添加辅助线，根据平行线的判定和性质及三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴秒    ②当时，分别延长和，交于点I，交于点J，交于点O，如图所示：    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得： 延长，交于点O，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 解得：； 当，    同理得 当    同理得       同理得 综上可得：t的值为． 压轴题型四　平行线中动点问题 55．已知，直线，点为直线上一定点，直线交于点，平分，． (1)如图1，当时，________°； (2)点为射线上一点，点为直线上的一动点，连接，过点作交直线于点． ①如图，点在线段上，若点在点左侧，求与的数量关系； ②点在线段的延长线上，当点在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质、角平分线．熟练掌握平行线的判定与性质、角平分线，并分类讨论是解题的关键． （1）由平行线的性质得，由平角的定义得再由角平分线的定义求解即可； （2）①过点P作，则，根据平行线的性质和等量代换即可求解；②由题意知，分当时，当时，两种情况求解；当时，如图2，则，由平分，可得，由，可得；当时，如图3，作，则，同理可得，，，，由，可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：； （2）①解：过点P作，如图1，则，    ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ②解：由题意知，分当时，当时，两种情况求解； 当时，如图2，    ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 当时，如图3，作，则，    同理可得，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 56．如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系：________； (2)如图2，、的角平分线交于点，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 【答案】(1)①；② (2)不发生变化，的度数为 (3)或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①过点作，则有，然后得到，，然后计算解题； ②过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由②可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同②的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：①过点作， ， ， ，， 又， ， ； ②过点C作， ， ， ，， 又， ， ， 故答案为：； （2）不发生变化，，理由为： 由②可得，， 、的角平分线交于点， ， 过点作，则， ，， ； （3）由（2）得，，， ， ， 过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ， 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 的度数为或． 57．如图，已知．点G为之间一点． (1)如图1，当平分，平分，求证； (2)如图2，若 ，且的延长线交的角平分线于点M，的延长线交的角平分线于点N，求的度数； (3)如图3，若点 H 是射线上一动点，平分， 平分，过点G作于点Q，请猜想与的关系；并证明你的结论．（注：三角形内角和等于） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，根据题意，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据平行线的性质和角平分线的定义，得到，再利用三角形内角和定理，即可求出，即可得到答案； （2）过点作，过点作，利用平行线的性质和角平分线的定义，得到，，进而得到，，相加即可得到答案； （3）根据平行线的性质和角平分线的定义，得到，再利用垂线的定义和三角形内角和定理，得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 故答案为： （2）解：，证明如下： 如图，过点作，过点作， ， ， ，，，， ，平分，平分， ，， ，， ； （3）解：， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 压轴题型五　平行线综合 58．如图，已知直线，且和、分别交于A、B两点，点P在直线上． (1)试说明，，之间的关系式；（要求写出推理过程） (2)如果点P在A、B两点之间（点P和A、B不重合）运动时，试探究，，之间的关系是否发生变化？（只回答） (3)如果点P在A、B两点外侧（点P和A、B不重合）运动时，试探究，，之间的关系．（要求写出推理过程） 【答案】(1)，见解析 (2)不变化 (3)或，见解析 【分析】（1）过点P作，利用平行线的判定和性质，角的和解答即可． （2）过点P作，利用平行线的判定和性质，角的和解答即可． （3）利用分类思想，结合平行线的判定和性质解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，角的和，分类思想，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：； 理由：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解： ，不会变化，其证明与第一问相同． （3）证明：或； 理由：当点P在下侧时，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴． 当点P在上侧时，同理可得：． 59．已知直线，P为平面内一点，连接． (1)如图1，已知，求的度数； (2)如图2，判断之间的数量关系为 　　． (3)如图3，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先过点P作，则可得，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解； （2）作，可得，根据平行线的性质，即可证得； （3）先证明，利用（2）的结论即可求解． 【详解】（1）解：∵， 过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 如图，作， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴； ∴； （3）解：设交于O，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 60．对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的系补周角．如若，，则为的6系补周角． (1)若，则的4系补周角的度数为___________ (2)在平面内，点是平面内一点，连接，． ①如图1，，若是的3系补周角，求的度数． ②如图2，和均为钝角，点在点的右侧，且满足，（其中为常数且，点是角平分线上的一个动点，在点运动过程中，请你确定一个点的位置，使得是的系补周角，并直接写出此时的值（用含的式子表示）． 【答案】(1)60 (2)①，②见解析， 【分析】（1）设的4系补周角的度数为，根据新定义列出方程求解便可； （2）①过作，得，再由已知，是的3系补周角，列出的方程，求得便可； ②根据系补周角的定义先确定点的位置，再结合，求解与的关系即可求解． 【详解】（1）解：设的4系补周角的度数为，根据新定义得，， 解得，， 的4系补周角的度数为， 故答案为60； （2）解：①过作，如图1， ， ， ，， ， ， 即， 是的3系补周角， ， ， ； ②当上的动点为的角平分线与的交点时，满足是的系补周角，此时． 若是的k系补周角， 则， ∴， 过F作， 又， ，， ，即， ∴k， 又∵，， ∴， ∵平分，PD平分， ∴，， ∵， ∴ 又， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，理解题意，添加合适辅助线是解题的关键． 1 / 83 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16章 相交线与平行线易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　平面内两直线的位置关系 1 易错题型二　对顶角的计算 3 易错题型三　邻补角的计算 5 易错题型四　垂线的画法与性质 5 易错题型五　平行公理及其推论 5 易错题型六　平行线的画法 5 易错题型七　反证法 5 易错题型八　同位角、内错角、同旁内角问题 5 易错题型九　垂直于同一直线的两直线平行 5 易错题型十　平行线的性质 5 易错题型十一　平行线的判定 8 易错题型十二　根据平行线的性质探究角的关系 9 易错题型十三　根据平行线的判定与性质证明 14 易错题型十四　平行模型 22 易错题型十五　命题与证明 28 压轴题型一　相交线压轴题 46 压轴题型二　平行线的判定与性质压轴 46 压轴题型三　平行线中旋转问题 46 压轴题型四　平行线中动点问题 36 压轴题型五　平行线综合 46 02 易错题型 易错题型一　平面内两直线的位置关系 1．如图所示的是平面上五条直线，，，，相交的情形．根据图中标示的角度，下列叙述正确的是（   ） A．和平行，和平行 B．和平行，和不平行 C．和不平行，和平行 D．和不平行，和不平行 2．下列说法正确的是（） A．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线 B．在同一平面内，两条线段不相交就平行 C．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线 D．不相交的两条直线是平行线 3．在同一平面内，直线与满足下列条件，把它们的位置关系填在后面的横线上． （1）若与没有公共点，则与 ； （2）若与有且只有一个公共点，则与 ； （3）若与有两个公共点，则与 ． 易错题型二　对顶角的计算 4．知识之树常青，学习便是那不息之泉，滋养心灵，茁壮成长．小华在学习完相交线后，发现生活中有许多相交线．如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若，则 ． 5．如图，直线相交于点O，射线平分，则的度数为 ． 6．如图，已知直线相交于点，且平分． (1)与______互为邻补角； (2)与互为补角的是哪些角？请说明理由； (3)若，求的度数． 易错题型三　邻补角的计算 7．如图，为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数； (2)请通过计算说明：是否平分． 8．如图，直线，，相交于点，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 9．如图，直线、相交于点O，平分，且． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 易错题型四　垂线的画法与性质 10．按下列要求画图并填空： 如图，直线和相交于点O，M是上的一点，    (1)过点M画出直线的垂线，交直线于点N； (2)过点M画出直线的垂线，垂足为点F； (3)点M到点N之间的距离是线段________的长； (4)点O到直线的距离是线段________的长． 11．如图是一张长方形纸片，纸片的一边为，小亮在纸片内部任取一点，并通过折叠折出过点且与垂直的折痕，他发现这样的折痕只能折出一条，理由是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 12．如图，点A，B，C在直线l上，点P在直线l外，于点A，，，，则点P到直线l的距离是 ． 易错题型五　平行公理及其推论 13．如图，过三角形的边的中点画平行于的直线，这样的直线能画 条． 14．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 ． 15．【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 已知直线，P为平面内一点，连接，． （1）如图1，已知，则的度数为______； （2）如图2，设，猜想α，β，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，，，交于点O，，求的度数． 易错题型六　平行线的画法 16．按要求完成作图．如图，在三角形中： (1)过点画的垂线，垂足为； (2)过点画的平行线，交于点． 17．如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，都在格点上． (1)利用网格作图： ①过点作直线的平行线； ②过点作直线的垂线，垂足为． (2)线段的长度是点___________到点__________的距离． (3)比较大小：_____________（填“”“”或“=”），理由：_____________． 18．如图，点B是射线上一点，射线的端点A在直线上，按要求画图并填空：    (1)过点B作直线平行直线； (2)用量角器作的角平分线，交直线于点F； (3)作射线，交直线于点G； (4)若，则______（用含α的式子表示）； (5)请用等式写出的数量关系______． 易错题型七　反证法 19．用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设（　　） A．有一个内角小于 B．每一个内角都小于 C．有一个内角大于 D．每一个内角都大于 20．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①因此假设不成立． ②，这与三角形内角和为矛盾 ③假设在中， ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．①②③④ C．③④②① D．③④①② 21．“求证：的两个锐角，中至少有一个不大于．”用反证法证明这个命题时，应先假设（   ） A．， B．， C．， D．， 易错题型八　同位角、内错角、同旁内角问题 22．如图，按各组角的位置，说法正确的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 23．如图，下列说法错误的是（    ）    A．和是同位角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是内错角 24．如图所示， （1）和是 、 被 所截得的 角． （2）和∠ 是、被 所截得的内错角． （3） 和 是、被所截而成的同旁内角． （4） 和 是、被所截得的内错角． 易错题型九　垂直于同一直线的两直线平行 25．在同一平面内，有三条直线a、b、c，如果，，则a c． 26．已知a，b，c在同一平面内的三条直线，若，，则a c． 27．已知平面内2025条不同的直线、、，……，满足以下规律：，，，，，……，按此规律，则与，与的位置关系分别是 ， ． 易错题型十　平行线的性质 28．如图，为直线外一点，过点作两条射线，且．若，则的度数为 ． 29．光在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射，如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，且，则 ． 30．如图1，．    (1)如图1（1）所示，说明与的位置关系，并说明理由. (2)如图1（2）所示，作与的平分线交于点F，若的余角等于的补角，求的度数． (3)在前面的条件下，如图1（3）所示，若P是上一点，Q是上任一点，平分平分，下列结论：的度数不变；的度数不变，可以证明，只有一个结论是正确的，请你做出正确的选择并求出相应的值． 易错题型十一　平行线的判定 31．推理填空：如图，直线，被直线所截，是的平分线，若，，求的度数． 解：因为AD是的平分线， 所以（____________________）． 因为， 所以__________（____________________） 所以__________ __________（____________________） 所以（____________________） 因为，所以． 32．完成下面的证明． 已知：如图，平分平分．求证：． 证明：（已知）， （_______）． 又（已知）， _______． （已知）， ． 又平分（已知）， _______． 又平分（已知）， _______， （_______+_______）， ， ，即． 33．阅读题目，完成下面推理过程． 问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图①是一个“互”字．如图②是由图①抽象的几何图形，其中，点在同一直线上，点在同一直线上，且． 求证：． 证明：如图（2），延长交于点． （已知）， （_______） 又（_______）， _______（等量代换）， （_______）， （_______）． 又（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， （_______）． 易错题型十二　根据平行线的性质探究角的关系 34．如图①，将三角形平移，使点沿的延长线移至点得到三角形，连接，交于点，平分． (1)猜想与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，将三角形平移，使点沿移至点得到三角形．如果平分，那么平分吗？为什么？ 35．如图，，点E为两直线之间的一点． (1)如图1，若，，则_______； (2)如图2，试说明，； (3)如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由． 36．如图，，点，，，不在同一条直线上． (1)如图1，求证：； (2)如图2，直线，交于点，且，， ①试探究与的数量关系； ②如图3，延长交射线于点，若，，求的度数（用含的式子表示）． 易错题型十三　根据平行线的判定与性质证明 37．如图，，． (1)试说明：； (2)若平分，，求的度数． 38．综合与实践活动课上，老师让同学们以“平行线的等角转化功能”为主题开展数学活动，已知直线，点是和之间任意一点，连结、，完成下面任务． 【任务一】（1）如图1，已知，，过点作，求的度数； 【任务二】（2）如图2，，判断与的位置关系，并说明理由． 39．如图，已知点E、F在直线上，点N在线段上，与交于点M，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 易错题型十四　平行模型 40．据图解答下列各题． (1)如图1，已知，求证：； (2)如图2，已知，，若，求的值． 41．问题情境：如图，，，，求度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为 度；（直接写出答案） (2)问题迁移：如图，，点在射线上运动，记，，当点在两点之间运动时，问与之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（）的条件下，如果点在两点外侧运动时（点与点三点不重合），请直接写出与之间的数量关系． 42．如图1，小明和小亮在研究一个数学问题： (1)已知：，和都不经过点P，直接写出与的关系 ； (2)在图2中，，若，则的度数为 ； (3)在图3中，，若，则的度数为 ； (4)在图4中，，探索与的数量关系，并说明理由． 易错题型十五　命题与证明 43．（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来． 44．探究：如图①，②，与，与交于点，这两个角的两边分别平行，即． (1)分别猜想图①，图②中与的大小关系，并给予证明； (2)一般地，本题“探究”的命题是真命题，请把这个命题写成“如果……，那么……”的形式． 45．（1）已知：如图①，，求证：．    （2）小明在探究时发现，该命题的逆命题也成立，直接写出逆命题为　　　　　 （3）小明发现当时，改变点P的位置（点P不在上），三个角的数量关系随之而变化，请利用下面的备用图进行探究，画出示意图，直接写出对应的三个角的数量关系（写两个即可）．    03 压轴题型 压轴题型一　相交线压轴题 46．观察系列图形，补全探究过程． 【规律探究】如图1，有2条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角；如图2，有3条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角；如图3，有4条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角． 【归纳总结】若有n条直线相交于一点，则可形成____________对对顶角． 【规律应用】若有40条直线相交于一点，则可形成几对对顶角． 47．如图，直线与直线相交于点为射线，． (1)找出图中相等的锐角，并说明它们相等的理由； (2)试找出的补角． 48．如四，直线相交于点是直角． (1)若，则______． (2)若，求的度数． (3)若，求和的度数． 压轴题型二　平行线的判定与性质压轴 49．如图，已知，． (1)如图1，试说明：； (2)如图2，连接，若点在线段上，且满足平分，平分，，求的度数： (3)①如图2，在（2）中，若，其他条件不变，求的度数（直接写出答案，用含的代数式表示）； ②如图3，在（3）①的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当平分时，若，求的度数（直接写出答案，用含的代数式表示）； ③如图3，在（3）①的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当时，若，求的度数（直接写出答案，用含的代数式表示）； 50．如图 ① ，直线，直线EF和直线分别交于C、D两点，点A、B分别在直线上，点P在直线上，连接、．    (1)猜想：如图①，若点P在线段上，，，求的大小 (2)探究：如图 ① ，若点P在线段上，写出、、之间的数量关系并说明理由． (3)拓展：如图 ② ，若点P在射线上或在射线上时，写出、、之间的数量关系并说明理由． 51．【动手操作】 在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点画直线的平行线的方法，折纸过程如下：． 【问题初探】 （1）通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是________；如图④，________，则与的位置关系为________． 【问题二探】 （2）张华在（1）的条件下继续探究，他在两点处安装了绚丽的小射灯，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，若灯射线转动20秒后，灯射线开始转动，在灯射线第一次到达之前，当灯转动秒时，灯射线转动到如图⑤的位置． ①用含的式子表示_________；②当时，两条射线的夹角为_________． 【问题三探】 （3）在（2）的条件下，在灯射线第一次到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由． 压轴题型三　平行线中动点问题 52．“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图1所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒4度，灯B转动的速度是每秒2度，假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：___________； (2)若灯B射线先转动15秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前、若射出的光束交于点C，过C作交于点D、且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 53．如图，直线//，点，，在上，点，在上，连接，交于点，和的角平分线交于点，直线分别交直线，于，两点． (1)如果，，求的度数； (2)请猜想和之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，当，时，将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，同时将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，当正好旋转一周时两者同时停止运动．设运动时间为（单位：秒），直接写出当，分别与的其中一条边平行时，运动时间的值． 54．如图，直线一副三角板（）按如图①放置，其中点在直线上，点均在直线上，且平分．    (1)求的度数． (2)如图②，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转的对应点分别为，设旋转时间为． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在绕点旋转的同时，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转（的对应点为．当边与的一边互相平行时，请画出相应图形并写出对应的值． 压轴题型四　平行线中动点问题 55．已知，直线，点为直线上一定点，直线交于点，平分，． (1)如图1，当时，________°； (2)点为射线上一点，点为直线上的一动点，连接，过点作交直线于点． ①如图，点在线段上，若点在点左侧，求与的数量关系； ②点在线段的延长线上，当点在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含的式子表示）． 56．如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系：________； (2)如图2，、的角平分线交于点，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 57．如图，已知．点G为之间一点． (1)如图1，当平分，平分，求证； (2)如图2，若 ，且的延长线交的角平分线于点M，的延长线交的角平分线于点N，求的度数； (3)如图3，若点 H 是射线上一动点，平分， 平分，过点G作于点Q，请猜想与的关系；并证明你的结论．（注：三角形内角和等于） 压轴题型五　平行线综合 58．如图，已知直线，且和、分别交于A、B两点，点P在直线上． (1)试说明，，之间的关系式；（要求写出推理过程） (2)如果点P在A、B两点之间（点P和A、B不重合）运动时，试探究，，之间的关系是否发生变化？（只回答） (3)如果点P在A、B两点外侧（点P和A、B不重合）运动时，试探究，，之间的关系．（要求写出推理过程） 59．已知直线，P为平面内一点，连接． (1)如图1，已知，求的度数； (2)如图2，判断之间的数量关系为 　　． (3)如图3，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 60．对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的系补周角．如若，，则为的6系补周角． (1)若，则的4系补周角的度数为___________ (2)在平面内，点是平面内一点，连接，． ①如图1，，若是的3系补周角，求的度数． ②如图2，和均为钝角，点在点的右侧，且满足，（其中为常数且，点是角平分线上的一个动点，在点运动过程中，请你确定一个点的位置，使得是的系补周角，并直接写出此时的值（用含的式子表示）． 14 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$