精品解析：四川省眉山市东坡区2024—2025学年上学期九年级数学期末测试卷

2024—2025学年上期九年级期末质量监测 数学试卷 注意事项： 1.本试卷共6页，26个小题，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号准确填写在答题卡相应位置上. 3.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上；所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 4.不允许使用计算器进行运算，凡无精确度要求的题目，结果均保留准确值. 5.凡作图题或辅助线均用签字笔画图. 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑. 1. 化简的结果是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据，进行求解即可． 【详解】解：； 故选A． 2. 关于x的一元二次方程，若则方程必有一根为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据方程的解的定义进行判断即可． 【详解】解：∵，且， ∴方程必有一根为； 故选B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 4. 《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”．大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验.如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质的应用，“相似三角形对应高线的比等于相似比”，据此即可求解． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形的性质得， 解得． 即蜡烛火焰的高度是． 故选：A 5. 已知实数m，，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. ， B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，， ∴， 当，时，， 故选D． 6. 已知，在中，点，分别在边、上，那么下列各条件中，不一定能判定的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据相似三角形的性质与判定逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴，本选项不符合题意； B、∵， 又∵ ∴ ∴，本选项不符合题意； C、当时，不能判定，本选项符合题意； D、∵， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴，本选项不符合题意； 故选：C． 7. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 它的图象的对称轴为 B. 函数的最大值为 C. 它的图象的顶点坐标为 D. 函数的最小值为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，函数有最大值为； 故选项A，C，D错误，选项B正确； 故选B． 8. 在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意及相似三角形的判定定理可知，当是的垂线时，即时，，然后根据作图痕迹逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：当是的垂线时，即时，，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 根据作图痕迹可知： 选项中，是边的中线，不与垂直，故选项不符合题意； 选项中，是的垂线，故选项符合题意； 选项中，是的平分线，不与垂直，故选项不符合题意； 选项中，不与垂直，故选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等式的性质，相似三角形的判定，作垂线（尺规作图），作角平分线（尺规作图）等知识点，熟练掌握相似三角形的判定定理及尺规作图的方法是解题的关键． 9. 已知方程的两根分别为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根的定义及根与系数的关系由题意得，，将代数式变形后再代入求解即可． 【详解】解：∵方程的两根分别为、， ∴，，， ∴， ∴ ． 故选：A． 10. 如图，在菱形中，，，E为的中点，F是上一点，G为上一点，且，，交于点H，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，根据菱形的性质，推出为等边三角形，证明，求出的长，进而求出的长，证明，进行求解即可． 【详解】解：∵菱形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； 故选C． 11. 如图，将抛物线先向左平移1个单位长度，再把所得新图象位于直线上方的部分，以直线为对称轴作对称，得到如图所示的图象G．当直线与图象G只有四个交点时，m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出抛物线先向左平移1个单位长度，得到抛物线为，然后求出当直线位于时m的值，当直线位于时，此时与函数 的图象有一个公共点，然后与抛物线联立，得到，求出，进而结合图象即可求出当直线与图象G只有四个交点时，m的取值范围． 【详解】解：如图所示， 将抛物线先向左平移1个单位长度，得到抛物线为 令，则， 解得或， ， 平移直线知：直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点． 当直线位于时，此时过点， ，即； 当直线位于时，此时与函数 的图象有一个公共点， 方程， 即有两个相等实根， ， 即； 由知若直线与新图象只有四个交点，的取值范围为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、一次函数的性质、函数图象交点，解题的关键是正确分析图象． 12. 如图，在中，，，点E为边上一点，，点F是边上的动点，将沿直线折叠得到，点B的对应点为点G，连接，有下列4个结论：①；②；③当时，；④若点G恰好落在线段上时，则．其中正确的是（ ） A. ②③ B. ②④ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点，利用三线合一以及正切的定义，求出，即可判断①；过点作于点，利用勾股定理求出，判断②；过点作于点，证明为等腰直角三角形，设，三角函数求出的长，利用，求出的值，进而求出的长，判断③；证明，推出，根据折叠的性质，推出，利用平行线分线段成比例，即可得出结论，判断④． 【详解】解：①过点作于点，     ∵， ∴， ∴， ∴；故①错误； ②过点作于点，则：四边形为矩形，     ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故②正确； ③过点作于点，     ∵， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；故③错误； ④当点恰好落在线段上时，如图：设与交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴，故④正确， 综上：正确的是②④； 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的折叠问题，同时考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．本题的综合性强，难度较大，是中考常见的压轴题，熟练掌握相关性质，添加合适的辅助线，构造特殊图形，是解题的关键． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上. 13. 使二次根式有意义的x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为： 14. 一只不透明的袋子中装有3个红球和2个黄球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．先求出搅匀后从袋子中任意摸出1个球的所有等可能的结果，再找出摸出1个球是红球的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】解：由题意得：搅匀后从袋子中任意摸出1个球共有种等可能的结果，其中，摸出1个球是红球的结果有3种， 所以搅匀后从袋子中任意摸出1个球，摸到红球的概率是， 故答案为：． 15. 如果，且的三边长分别为6，12，15，的最短边长为2，那么的周长为________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，先找到两个相似三角形的对应边，再根据相似三角形的周长比等于相似比进行求解即可． 【详解】解：，且的三边长分别为6，12，15，的最短边长为2， 两个三角形的最短边为6，2， 的周长的周长， 的周长， 的周长， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，点是的重心，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的重心，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理及相似三角形的判定和性质，熟练运用相关性质是解题的关键．由重心的定义和等腰三角形三线合一的性质，得到，，，作，交于点G，由相似三角形的性质得，，然后利用利用勾股定理列式求出，进而求解即可． 【详解】解：，，点是的重心， ，，， 如图，作，交于点G， ，， ，， ， 在中，，由勾股定理得， ， ， ， ， 故答案为：． 17. 已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点．下列结论：①；②若点，是抛物线上的两点，则；③；④若，则.其中正确的结论序号为__________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，由对称轴为即可判断①；根据点，到对称轴的距离即可判断②；由抛物线经过点，得出，对称轴，得出，代入即可判断③；根据二次函数的性质以及抛物线的对称性即可判断④． 【详解】解：∵对称轴， ∴， ∴，①正确； ∵抛物线开口向上，点到对称轴的距离小于点的距离， ∴，故②正确； ∵经过点， ∴， ∵对称轴， ∴， ∴，即 ∴，故③错误； ∵对称轴， ∴点的对称点为， ∵开口向上， ∴时，．故④正确； 故答案为：①②④． 18. 已知，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于A、两点，且点的坐标为，连接，与轴相交于点，点在轴上，如果和相似，则点的坐标为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】先由一次函数的性质得；勾股定理得，，再设直线的解析式为，运用待定系数法解出直线的解析式为，证明，再进行分类讨论，依据两边成比例列式计算，即可作答． 【详解】解：∵直线与轴、轴相交于、两点， ∴当时，则； 当时，则； ∴； ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴设直线的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为； ∵连接，与轴相交于点， ∴当时，则； ∴， ∴，， 当点在轴正半轴上时， ∴设， ∵， ∴， ∴当时，如图： ∴， ∴ ， 解得 ， ∴， 当时， ∴， 则， ∴； 当点在轴负半轴上时， ，，而， ∴， ∴，不相似； 综上：点的坐标为或， 故答案为：故答案为：或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，相似三角形的判定与性质，一次函数的解析式与图象性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题：本大题共8个小题，共78分.请把解答过程写在答题卡相应的位置上. 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，按照立方根，二次根式的性质化简，特殊角的三角函数值以及化简绝对值，再进行加减运算即可． 【详解】解： 20. 解一元二次方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用公式法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，是一个格点三角形（把顶点都在“格点”上的三角形称为“格点三角形”），其中，，． （1）以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，放大后点A、B、C的对应点分别为D、E、F，且点D在第一象限，请你在所给的方格纸中作出． （2）计算：在中，__________，点D到直线的距离为__________． （3）若x轴下方存在格点M，使以点B、C、M为顶点的格点三角形与相似，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）， （3），， 【解析】 【分析】本题考查坐标与位似，求角的正弦值，相似三角形的性质： （1）根据位似图形的性质，画出即可； （2）证明是等腰直角三角形，得到，即可求出角的正弦值，利用三角函数求出点D到直线的距离即可； （3）根据相似三角形的性质，画出图形，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由勾股定理，得：， ∴，且， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点D到直线的距离为； 故答案为：，； 【小问3详解】 ∵为等腰直角三角形，且点B、C、M为顶点的格点三角形与相似， ∴为等腰直角三角形， ∴当为直角时， 当为直角时， 当为直角时，． 22. “二十四节气”是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是劳动人民长期经验的积累成果和智慧的结晶．小王同学收藏了“二十四节气”主题卡片，他将A（秋分），B（寒露），C（小雪），D（大雪）四张卡片（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀． （1）小王从中随机抽取一张卡片，求出抽中是A（秋分）的概率． （2）小王先从中随机抽取一张卡片，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张卡片．请用树状图或列表的办法求小王两次抽取的卡片中至少有一张是D（大雪）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率： （1）直接利用概率公式进行求解即可； （2）列出表格，利用概率公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：小王从中随机抽取一张卡片，共有4种等可能的结果，抽中A（秋分）的情况只有1种， ∴； 【小问2详解】 由题意，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共16种等可能的结果，其中两次抽取的卡片中至少有一张是D（大雪）的结果共有7张， ∴． 23. 图1是我国古代提水的器具桔槔(jié gāo)，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿的中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． （1）如图，求支点到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； （2）如图，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求水桶在竖直方向上升的距离（结果精确到0.1米）．(参考数据：，，) 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．正确构造直角三角形是解题的关键． （1）作于点，易得的长度和的度数，根据的长度和的余弦值可得的长度； （2）在（1）中求得的长，作于点，可得的长度，则水桶在竖直方向上升的距离为与的差． 【小问1详解】 解：如图，作于点，则， 由题意得：，， ， ， ， ， 米，为的中点， 米， （米； 【小问2详解】 解：在（1）中米， 如图，作于点，则， 同理可得，， ， 水桶在竖直方向上升的距离为米， 故水桶在竖直方向上升的距离约为米． 24. 眉山市为全面落实《推动大规模设备更新和消费品以旧换新行动方案》采取了系列措施．随着汽车换购补贴政策的实施，某汽车店统计了某品牌汽车在补贴政策实施后前几个月的换购销量．已知该品牌汽车在补贴政策实施第1个月换购销量为50辆，第3个月换购销量达到72辆，且每月换购销量的增长率相同． （1）求该品牌汽车换购销量的月平均增长率； （2）该品牌汽车进价为8万元/辆，在补贴政策下，售价为10万元/辆时，月销售量为120辆．由于补贴政策调整，若售价每提高1万元，月销售量将减少10辆．求该店销售此品牌汽车的售价为多少时月利润最大，最大利润为多少． 【答案】（1）该品牌汽车换购销量的月平均增长率为 （2）此品牌汽车的售价为万元时，月利润最大为万元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用： （1）设该品牌汽车换购销量的月平均增长率为，根据第1个月换购销量为50辆，第3个月换购销量达到72辆，列出方程进行求解即可； （2）设此品牌汽车的售价为万元，月利润为，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数进行求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌汽车换购销量的月平均增长率为，由题意，得： ， 解得：（舍去）； 答：该品牌汽车换购销量的月平均增长率为； 【小问2详解】 设此品牌汽车的售价为万元时，月利润最大，由题意，得： ， ∴当时，月利润最大，为：（万元）； 答：此品牌汽车的售价为万元时，月利润最大为万元． 25. 【基础巩固】（1）如图1，在中，，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，点D是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中，，，以A为直角顶点作等腰直角三角形（其中），点D在上，点E在上．若，求的长． 【答案】 （1）证明：，， ， ， ∴， ， ， ， ； （2）5 （3）10 【解析】 【分析】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三等角基本几何模型是解题的关键． （1）利用一线三等角模型，可说明，得； （2）如图2中，延长交的延长线于点．证明为等腰直角三角形，证明，推出，求出，进而求出，再利用勾股定理求解即可； （3）过点作与交于点，使，由（1）同理得，可知，再利用，求出的长，可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图2中，延长交的延长线于点． ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； （3）解：如图，过点作与交于点，使， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，（舍去） ． 26. 抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． （1）请求出抛物线解析式． （2）如图1，过点A作交抛物线于点E，连接，点P是x轴上点B右侧一动点，若与相似，求点P的坐标． （3）如图2，已知点，Q是抛物线上一动点，是否存在点Q使得．若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）列出两点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据平行线的性质，得到，分和两种情况进行讨论求解即可； （3）分点在上方和下方两种情况进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴设， 把代入函数解析式，得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∵， ∴，设直线为，把，代入，得：， ∴， 联立，解得：或， ∴， ∵，，， ∴， 设，则：， 当时，则：，即：， ∴， ∴； 当时，则：，即：， 解得：； ∴； 综上：或． 【小问3详解】 当点在上方时，取点，作射线，连接， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角线， ∴， ∵， ∴， ∴点在射线上， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得或， ∴； ②当点在下方时，同①可得：直线的解析式为， 在直线上取点，取点， 则：，，， ∴， ∴， ∴， 同理，点为射线与抛物线的交点， 同理可求直线的解析式为：， 联立，解得：或， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质，解直角三角形，勾股定理及其逆定理等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年上期九年级期末质量监测 数学试卷 注意事项： 1.本试卷共6页，26个小题，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号准确填写在答题卡相应位置上. 3.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上；所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 4.不允许使用计算器进行运算，凡无精确度要求的题目，结果均保留准确值. 5.凡作图题或辅助线均用签字笔画图. 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑. 1. 化简的结果是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2. 关于x的一元二次方程，若则方程必有一根为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”．大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验.如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数m，，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. ， B. C. D. 6. 已知，在中，点，分别在边、上，那么下列各条件中，不一定能判定的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 它的图象的对称轴为 B. 函数的最大值为 C. 它的图象的顶点坐标为 D. 函数的最小值为 8. 在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知方程的两根分别为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，，，E为的中点，F是上一点，G为上一点，且，，交于点H，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 11. 如图，将抛物线先向左平移1个单位长度，再把所得新图象位于直线上方的部分，以直线为对称轴作对称，得到如图所示的图象G．当直线与图象G只有四个交点时，m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，，点E为边上一点，，点F是边上的动点，将沿直线折叠得到，点B的对应点为点G，连接，有下列4个结论：①；②；③当时，；④若点G恰好落在线段上时，则．其中正确的是（ ） A. ②③ B. ②④ C. ②③④ D. ①②③ 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上. 13. 使二次根式有意义的x的取值范围是__________． 14. 一只不透明的袋子中装有3个红球和2个黄球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是__________ 15. 如果，且的三边长分别为6，12，15，的最短边长为2，那么的周长为________． 16. 如图，在中，，，点是的重心，，则的长为__________． 17. 已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点．下列结论：①；②若点，是抛物线上的两点，则；③；④若，则.其中正确的结论序号为__________． 18. 已知，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于A、两点，且点的坐标为，连接，与轴相交于点，点在轴上，如果和相似，则点的坐标为_____． 三、解答题：本大题共8个小题，共78分.请把解答过程写在答题卡相应的位置上. 19. 计算：． 20. 解一元二次方程：． 21. 如图，是一个格点三角形（把顶点都在“格点”上的三角形称为“格点三角形”），其中，，． （1）以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，放大后点A、B、C的对应点分别为D、E、F，且点D在第一象限，请你在所给的方格纸中作出． （2）计算：在中，__________，点D到直线的距离为__________． （3）若x轴下方存在格点M，使以点B、C、M为顶点的格点三角形与相似，请直接写出点M的坐标． 22. “二十四节气”是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是劳动人民长期经验的积累成果和智慧的结晶．小王同学收藏了“二十四节气”主题卡片，他将A（秋分），B（寒露），C（小雪），D（大雪）四张卡片（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀． （1）小王从中随机抽取一张卡片，求出抽中是A（秋分）的概率． （2）小王先从中随机抽取一张卡片，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张卡片．请用树状图或列表的办法求小王两次抽取的卡片中至少有一张是D（大雪）的概率． 23. 图1是我国古代提水的器具桔槔(jié gāo)，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿的中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． （1）如图，求支点到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； （2）如图，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求水桶在竖直方向上升的距离（结果精确到0.1米）．(参考数据：，，) 24. 眉山市为全面落实《推动大规模设备更新和消费品以旧换新行动方案》采取了系列措施．随着汽车换购补贴政策的实施，某汽车店统计了某品牌汽车在补贴政策实施后前几个月的换购销量．已知该品牌汽车在补贴政策实施第1个月换购销量为50辆，第3个月换购销量达到72辆，且每月换购销量的增长率相同． （1）求该品牌汽车换购销量的月平均增长率； （2）该品牌汽车进价为8万元/辆，在补贴政策下，售价为10万元/辆时，月销售量为120辆．由于补贴政策调整，若售价每提高1万元，月销售量将减少10辆．求该店销售此品牌汽车的售价为多少时月利润最大，最大利润为多少． 25. 【基础巩固】（1）如图1，在中，，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，点D是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中，，，以A为直角顶点作等腰直角三角形（其中），点D在上，点E在上．若，求的长． 26. 抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． （1）请求出抛物线解析式． （2）如图1，过点A作交抛物线于点E，连接，点P是x轴上点B右侧一动点，若与相似，求点P的坐标． （3）如图2，已知点，Q是抛物线上一动点，是否存在点Q使得．若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $