1 第一讲 三角函数的图象与性质（Word讲义）-【金版新学案】2025年高考数学大二轮专题复习与测试

学生用书⬇第12页 第一讲　三角函数的图象与性质 1.(2023·全国乙卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条相邻对称轴,则= (　　) A.－ B.－ C. D. 答案:D 解析:因为f(x)=sin(ωx+φ)在区间单调递增,且x=和x=为函数图象的两条相邻对称轴,所以,则T=π,ω==2,当x=时,f(x)取得最小值,则2·+φ=2kπ－,k∈Z,则φ=2kπ－,k∈Z,不妨取k=0,则f(x)=si,则=si.故选D. 2. (多选)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin,下列说法中正确的有(　　) A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 答案:BC 解析:对于A,令f(x)=0,则x=,k∈Z,又≠0,故A错误;对于B,f(x)与g(x)的最大值都为1,故B正确;对于C,f(x)与g(x)的最小正周期都为π,故C正确;对于D,f(x)图象的对称轴方程为2x=+kπ,k∈Z,即x=,k∈Z,g(x)图象的对称轴方程为2x－+kπ,k∈Z,即x=,k∈Z,故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同,故D错误.故选BC. 3.(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称,则 (　　) A.f(x)在区间单调递减 B.f(x)在区间有两个极值点 C.直线x=是曲线y=f(x)的对称轴 D.直线y=－x是曲线y=f(x)的切线 答案:AD 解析:由题意得f=sin =0,所以+φ=kπ,k∈Z,即φ=－+kπ,k∈Z,又0<φ<π,所以k=2时,φ=,故f(x)=sin.对于A,当x∈时,2x+∈,由正弦函数y=sin u图象知y=f(x)在单调递减,故A正确;对于B,当x∈时,2x+∈,由正弦函数y=sin u图象知y=f(x)只有1个极值点,由2x+,解得x=,即x=为函数的唯一极值点,故B错误;对于C,当x=时,2x+=3π,f=0,直线x=不是对称轴,故C错误;对于D,由y'=2cos=－1得:cos=－,解得2x++2kπ或2x++2kπ,k∈Z,从而得:x=kπ或x=+kπ,k∈Z,所以函数y=f(x)在点处的切线斜率为k=－1,切线方程为y－=－(x－0),即y=－x.故D正确.故选AD. 4.(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=cos ωx－1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是　　　　.  答案:[2,3) 解析:因为 0≤x≤2π,所以0≤ωx≤2ωπ,令f(x)=cos ωx－1=0,则cos ωx=1有3个根, 令t=ωx,则cos t=1有3个根,其中t∈[0,2ωπ], 结合余弦函数y=cos t的图象性质可得 4π≤2ωπ<6π,故2≤ω<3. 5.(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,则f(π)=　　　　.  答案:－ 解析:设,由|AB|=可得x2－x1=,由sin x=,可知x=+2kπ或x=+2kπ,k∈Z,由题图可知,ωx2+φ－(ωx1+φ)=,即ω(x2－x1)=,所以ω=4.因为=si=0,结合“五点”作图法可知+φ=2kπ,即φ=－+2kπ,k∈Z.所以f(x)=si,所以f(π)=si=－. 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查： 1．三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查． 2．利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以客观题或解答题其中一问的形式考查． 1．正弦、余弦、正切函数的单调性、对称性及最值 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象的对称性 对称中心 (kπ，0)，k∈Z (kπ＋，0)，k∈Z (，0)，k∈Z 对称轴 直线x＝kπ＋，k∈Z 直线x＝kπ，k∈Z 无对称轴 单调性 单调递增区间：[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z； 单调递减区间：[2kπ＋，2kπ＋]，k∈Z 单调递增区间：[2kπ－π，2kπ]，k∈Z； 单调递减区间：[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z 单调递增区间：(kπ－，kπ＋)，k∈Z；无单调递减区间 学生用书第13页 最值 当x＝2kπ－，k∈Z时，y取最小值－1； 当x＝2kπ＋，k∈Z时，y取最大值1 当x＝2kπ＋π，k∈Z时，y取最小值－1；当x＝2kπ，k∈Z时，y取最大值1 无最值 2．三角函数图象的两种常见变换 (1)y＝sin xy＝sin (x＋φ)y＝sin (ωx＋φ)y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0). (2)y＝sin xy＝sin ωxy＝sin (ωx＋φ)y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0). 3.与三角函数的奇偶性相关的结论 (1)若y=Asin(ωx+φ)为偶函数,则有φ=kπ+(k∈Z);若为奇函数,则有φ=kπ(k∈Z). (2)若y=Acos(ωx+φ)为偶函数,则有φ=kπ(k∈Z);若为奇函数,则有φ=kπ+(k∈Z). (3)若y=Atan(ωx+φ)为奇函数,则有φ=(k∈Z). [易错提醒]　(1)y＝tan x在整个定义域内不单调．(2)求函数y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时要注意A和ω的符号，尽量化成ω>0的形式，避免出现增、减区间的混淆．(3)三角函数图象变换的注意点：无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化． 核心考点一　三角函数图象与解析式　[基础性考法] (1)(多选)如图是三角函数=Asin(ωx+φ)或=Acos 的部分图象,则该三角函数的解析式可能是 (　　) A.=2si B.=－2si C.=2co D.=－2co (2)(2024·湖北武汉二调)如图,在函数=sin(ωx+φ)的部分图象中,若,则点A的纵坐标为 (　　) A. B. C. D.2－ 答案:(1)AC　(2)B 解析:(1)法一:由题图可知,A=±2,对于A,令+2kπ,k∈Z,则x=+6k,k∈Z,所以函数在x=处取得最大值.令+2kπ<+2kπ,k∈Z,得+6k<x<+6k,k∈Z,故函数图象在区间上单调递减,与题图相符,故A正确;对于B,=－2sin =2sin =2sin ,令+2kπ,k∈Z,则x=+6k,k∈Z,所以函数在x=处取得最大值,与题图不相符,故B错误;对于C,令=2kπ,k∈Z,则x=+6k,k∈Z,所以函数在x=处取得最大值,令2kπ<<π+2kπ,k∈Z,得+6k<x<+6k,k∈Z,故函数图象在区间上单调递减,与题图相符,故C正确;对于D,=－2cos =2cos =2cos ,令=2kπ,k∈Z,则x=+6k,k∈Z,所以函数f(x)在x=处取得最大值,与题图不相符,故D错误.故选AC. 法二:由题图可知,A=±2,T==4×=6,则ω=,所以=±2sin 或=±2cos ,又=2,所以=±2sin =2或=±2cos=2,即sin =±1或cos=±1,所以+φ=+kπ,k∈Z或+φ=kπ,k∈Z,所以φ=+kπ,k∈Z或φ=－+kπ,k∈Z.结合选项可知,=2sin或=2cos .故选AC. (2)由题意ωx+φ=,则x=,所以T,设A(x1,y1),,因为,所以解得所以2y1=y2==sin =cos(2ωx1+2φ)=1－2sin2=1－2,所以2+2y1－1=0,又由图可知y1>0,所以y1=.故选B. 1.三角函数图象的考查角度 (1)由三角函数的图象特征求解析式. (2)三角函数的图象变换. 2.由三角函数的图象求解析式y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)中参数值的方法 (1)最值定A,B:根据给定的函数图象确定最值,设最大值为M,最小值为m,则M=A+B,m=－A+B,解得B=,A=. 学生用书⬇第14页 (2)T定ω:由周期的求解公式T=,可得ω=. (3)特殊点定φ:代入特殊点求φ,一般代最高点或最低点,代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势. 对点练1.(1)(2024·北京丰台二模)已知函数=sin(ωx+φ)(ω>0,－<φ<)的导函数是f',如果函数y=f(x)－f'的图象如图所示,那么ω,φ的值分别为 (　　) A.1,0 B.1,－ C.1, D.2,－ (2)函数f(x)=tan(ωx+φ)经过点(,－1),图象如图所示,图中阴影部分的面积为6π,则=　　　.  答案:(1)A　(2) 解析:(1)因为=sin(ωx+φ) ,则f'=ωco,则y=－f'=si－ωcos(ωx+φ)=,其中tan θ==ω,由图象可知,函数的最大值为,即,且ω>0,所以ω=1,θ=,即y=,又函数过点,将点代入可得－1=,即φ=+2kπ,k∈Z,或φ=2kπ,k∈Z,又－<φ<,则φ=0,所以ω=1,φ=0.故选A. (2)由题图可知T×3=6π,即×3=6π,ω=,则=tan ,依题意,f=tan=－1,由于－<φ<,－+φ<,所以+φ=－,φ=－,所以=tan .则=tan =tan =tan=tan . 核心考点二　三角函数的性质　[综合性考法] (1)(多选)(2024·山东济宁一模)已知函数=sin ,则下列说法中正确的是 (　　) A.若x=－和x=为函数图象的两条相邻的对称轴,则ω=2 B.若ω=,则函数上的值域为 C.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象,若为奇函数,则ω的最小值为5 D.若函数在(0,π)上恰有一个零点,则<ω≤ (2)(多选)已知函数f(x)= 2x,则 (　　) A.函数为奇函数 B.曲线y=f(x)的对称轴为x=,k∈Z C.f(x)在上单调递增 D.f(x)在x=处取得极小值－ 答案:(1)ACD　(2)AB 解析:(1)对于A,若x=－和x=为函数图象的两条相邻的对称轴,则函数的最小正周期为T=2×=π,则ω==2,所以=sin ,此时,=sin =1,符合题意,故A正确;对于B,若ω=,则=sin ,当0<x<π时,则,所以=sin ∈,故B错误;对于C,将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象,则=sin =sin 为奇函数,所以=k,解得ω=6k－1,因为ω>0,所以当k=1时,ω取最小值5,故C正确;对于D,因为ω>0,当0<x<π时,<ωx+<πω+,因为函数上恰有一个零点,则π<πω+≤2π,解得<ω≤,故D正确.故选ACD. (2)由题意可得f(x)= 2x+ 2x=.对于A,因为= 2x为奇函数,故A正确;对于B,令2x++kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z,所以曲线y=f(x)的对称轴为x=,k∈Z,故B正确;对于C,令t=2x+,因为x∈,则t=2x+∈,而y= t在上单调递减,所以函数f(x)在上单调递减,故C错误;对于D,因为=－,所以f(x)在x=处取得极小值－,故D错误.故选AB. 解与三角函数性质有关问题的注意点 　　三角函数的性质主要是指单调性、周期性、奇偶性和最值,解题时要注意以下两点:一是应用三角函数的性质时,首先要将函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再对比y=sin x的性质,即把ωx+φ看成一个整体处理,但是一定要保证ω>0,否则易出错;二是要结合图象进行分析. [提醒]　解决此类问题时,要注意数形结合思想及整体统一思想的应用. 对点练2.(2024·江苏南京、盐城一模)关于函数=Asin(ωx+φ) ,有下列四个说法: ①的最大值为3 ②的图象可由y=3sin x的图象平移得到 ③的图象上相邻两个对称中心间的距离为 ④的图象关于直线x=对称 若有且仅有一个说法是错误的,则= (　　) A.－ B.－ C. D. 答案:D 解析:由说法②可得ω=1,由说法③可得,则T=π=,则ω=2,②和③相互矛盾;当①②④成立时,由题意A=3,ω=1,+φ=kπ+,k∈Z.因为φ∈,故k=0,φ=,即=3sin ,;说法①③④成立时,由题意A=3,ω=2,+φ=kπ+,k∈Z,φ=kπ－∉,故不符合题意.故选D. 专题集训(一)　三角函数的图象与性质 (时间:40分钟　满分:73分) (本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!) 一、单项选择题(1－8每小题5分,共40分) 1.(2024·四川攀枝花三模)将函数y=sin 2x－cos 2x的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到的图象与y=sin 2x的图象关于原点对称,则m的最小值是 (　　) A. B. C. D. 答案:B 解析:令=sin2x－cos2x,则有=－cos 2x,设向右平移m(m>0)个单位长度后得到的函数为,则有=－cos 2(x－m)=－cos(2x－2m),根据已知条件的图象与y=sin 2x的图象关于原点对称,则有=－sin =sin 2x,即－cos =sin 2x,所以－2m=+2k,解得m=－－k,又因为m>0,所以当k=－1时,m取最小值为.故选B. 2.已知直线x=,x=是函数=Asin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,且=－4,则= (　　) A.－ B. C.－1 D.1 答案:D 解析:由题意可知,所以T=.由T=,得,所以ω=4,因为=－4,且直线x=,x=是函数图象的两条相邻的对称轴,所以A==2,所以=2si,由=2sin =2,得4×+φ=+2kπ,k∈Z,所以φ=+2kπ,k∈Z,又,所以φ=,所以=2sin,则=2sin =2sin =1.故选D. 3.(2024·湖北黄石三模)已知函数=2cos2ωx+ 2ωx－1(ω<0)的最小正周期为π,则(　　) A.其图象关于点对称 B.函数上为增函数 C.函数在区间上单调 D.其图象关于直线x=对称 答案:C 解析:由题意,=2cos 2ωx+ 2ωx－1=cos 2ωx+ 2ωx=2sin,因为最小正周期为π,ω<0,所以T=π,ω=－=－1,=2sin=－2sin.对于A,当x=时,=－2sin=－2≠0,故A错误;对于B,当2kπ－≤2x－≤2kπ+,即kπ－≤x≤kπ+时函数单调递减,同理,当kπ+≤x≤kπ+时函数单调递增,所以函数在上为减函数,在上为增函数,故B错误;对于C,函数在上单调递减,故在区间上单调,故C正确;对于D,函数的对称轴为2x－=kπ+,即x=,所以x=不是函数的对称轴,故D错误.故选C. 4.(2024·江西南昌一模)函数=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,△ABC是等腰直角三角形,其中A,B两点为图象与x轴的交点,C为图象的最高点,且=3,则=(　　) A.－ B.－ C. D. 答案:D 解析:如图,过C作CE⊥x轴于E,则CE=1,又△ABC是等腰直角三角形,所以=2,故=2,ω=,又=3,所以,|OA|=,则A,B,所以C,所以+φ=+2kπ,k∈Z,φ=+2kπ,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=,所以=sin ,则=sin =sin=sin .故选D. 5.(2024·湖南长沙模拟)已知函数的最小正周期为2π,直线x=图象的一条对称轴,则的单调递减区间为(　　) A. B. C. D. 答案:B 解析:由于=|ta| 的图象是将y=ta的图象在x轴下方部分翻折到x轴上方,且y=tan(ωx+φ)仅有单调递增区间,故和y=ta的最小正周期相同,均为2π,则=2π,所以ω=,即,又直线x=图象的一条对称轴,则+φ=,k∈Z,即φ=,k∈Z,结合0<φ<,得φ=,故,令kπ－≤kπ,k∈Z,则2kπ－<x≤2kπ－,k∈Z,即的单调递减区间为.故选B. 6.(2024·河南济洛平许第三次质量检测)函数f(x)=Asin (ωx+φ) 的部分图象如图所示,图象与x轴的交点为M,与y轴的交点为N,最高点P(1,A),且满足NM⊥NP.则下列说法正确的是 (　　) A.f(π)>f(5) B.函数f(x)在(4,7)上单调递减 C.若f(x1)=f(x2)=(x1≠x2),则|x1－x2|的最小值是1 D.把y=Asin ωx的图象向左平移1个单位长度,得到y=f(x)的图象 答案:C 解析:函数f(x)的周期T=4=6,即=6,解得ω=,由f(1)=A,得+φ=+2kπ,k∈Z,而|φ|<,则k=0,φ=,f(x)=Asin,则点N ,由NM⊥NP,得NP2+MN2=MP2,即1+2+2=+A2,解得A=,因此f(x)=.对于A,由f(4)=－,得函数f(x)的图象关于x=4对称,则f(5)=f(3),由图象知,函数f(x)在[1,4]上单调递减,则f(3)>f(π),因此f(π)<f(5),故A错误;对于B,由于函数f(x)的图象关于x=4对称,且在[1,4]上单调递减,则f(x)在(4,7)上单调递增,故B错误;对于C,由f(x)=,得sin=,则由题意可令1++2k1π,k1∈Z,2++2k2π,k2∈Z,两式相减得(x2－x1)=+2(k2－k1)π,k1,k2∈Z,即x2－x1=1+6(k2－k1),k1,k2∈Z,所以|x1－x2|min=1,故C正确;对于D,把y=的图象向左平移1个单位长度,得y=(x+1)=≠f(x),故D错误.故选C. 7.(2024·河南三门峡模拟预测)已知函数=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,<π)的部分图象如图所示,将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象,若在区间上的值域为,则t的取值范围为 (　　) A. B. C. D. 答案:C 解析:设的最小正周期为T,由图象可知A=2,,所以T=π,则ω=2,故=2sin(2x+φ),又的图象过点,所以2×+φ=+2kπ,k∈Z,所以φ=－+2kπ,k∈Z,又<π,所以φ=－,则f(x)=2sin ,则=f =2sin =2si.当x∈时,2x－∈,此时g(x)的值域为[－,2],则≤2t－,所以≤t≤,即t的取值范围为.故选C. 8.(2024·湘豫名校联考)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1的图象过原点,且关于点对称,若函数f(x)在上单调,则f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为(　　) A. B. C. D. 答案:D 解析:因为f(0)=2sin φ+1=0,所以φ=2kπ－或φ=2kπ－,k∈Z.又－π<φ<－,所以φ=－,所以f(x)=2sin +1.因为f(x)的图象关于点对称,所以=kπ,k∈Z,所以ω=+6,k∈Z.当x∈,ω>0时,ωx－∈,又函数f(x)在上单调,所以⇒0<ω≤6.因为ω=+6,k∈Z,ω∈N*,所以k=0,ω=6.因为f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为半个周期,所以.故选D. 二、多项选择题(9－11每小题6分,共18分.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.(2024·湘豫名校联考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) 的部分图象如图所示.则下列结论正确的是(　　) A.f(x)在[0,π]上有两个极值点 B.=1 C.函数y=的图象关于y轴对称 D.若=4,则的最小值为π 答案:AC 解析:由题图知A=2,⇒T=π,所以ω==2,所以=2si,由图象可知f(x)在x=时取得极大值,则在x=时取得极小值,所以上有两个极值点,故A正确;又=2sin =2,所以+φ=2kπ+,k∈Z,所以φ=2kπ－,k∈Z.因为|φ|<,所以k=0,即φ=－.所以f(x)=2sin .所以=2sin =,故B错误;y==2sin =－2cos 2x,易知函数y=f 为偶函数,所以函数y=的图象关于y轴对称,故C正确;若=4,则的最小值为,故D错误.故选AC. 10.(2024·河南郑州名校联盟模拟预测)已知 x+sin 2x,则(　　) A.的图象关于点对称 B.的值域为 C.在区间上有33个零点 D.若方程(t>0)有4个不同的解xi(i=1,2,3,4),其中xi<xi+1(i=1,2,3),则x1+x2+x3+x4+t的取值范围是 答案:AB 解析:=|sin(π－x)|cos(π－x)+sin(2π－2x)=|sin x|(－cos x)－sin 2x=－,故A正确;f(x)=|sin x|cos x+sin 2x=易知,f(x)∈,故B正确;令=0得sin 2x=0,x=(k∈Z),<50,>50,所以上有31个零点,故C错误;是以2π为周期的周期函数,当x∈ 2x,上有2个实根x1,x2,且x1+x2=,x1=,x2=;当x∈ 2x,上没有实根, 2x,f(x)=上有2个实根x3,x4,且x3+x4=,x3=2π+,x4=2π+,同理f(x)=在(4π,5π]上有两个实根x5,x6,且x5=4π+,所以<t≤,x1+x2+x3+x4=5π,所以x1+x2+x3+x4+t的取值范围是,故D错误.故选AB. 11.(2024·山东聊城二模)已知函数=sin ,=cos,则下列结论正确的是 (　　) A.若动直线y=m与的图象的交点分别为A,B,则的长可为 B.若动直线y=m与的图象的交点分别为A,B,则的长恒为 C.若动直线y=±m与的图象能围成封闭图形,则该图形面积的最大值为 D.若,则 答案:BCD 解析:由≤x≤,可得≤2x+,所以在区间上单调递减,且=sin =1,≥=sin =－1,所以－1≤≤1,由－≤x≤,可得0≤2x+≤π,所以函数在区间上单调递减,且=cos 0=1,≥=cos π=－1,所以－1≤≤1,由已知－1≤m≤1,所以直线y=m与函数y=,y=都只有一个交点,设点A,B的坐标分别为,如图①所示,则sin =cos =sin ≤2x1+≤2x2+,因为函数y=sin x在上单调递减,所以2x1++2x2,所以x1－x2=,所以,故A错误,B正确; 设直线y=－m与函数y=,y=的交点为C,D,如图②所示,则,又AB∥CD,所以四边形ABDC为平行四边形,其面积S=×2,故C正确;对于D,因为,所以sin ,又因为≤2m0+,所以cos =－,所以≤2m0+≤π,即≤m0≤,又cos 2m0=cos =coscos +sin ·sin ,所以cos 2m0=, 所以2cos2m0－1=,又≤m0≤,所以cos m0=,所以g=cos m0=,故D正确.故选BCD. 三、填空题(12－14每小题5分,共15分) 12.已知函数=asin πx+bcos π的图象关于点对称,若||=|f(x3)－|==4b(0<x1<x2<x3<x4<x5<x6),则的最小值为　　　.  答案:19 解析:由的图象关于点对称可得=0,得=0,即a=－,所以=－ πx+bcos πx=2bcos ,且b>0,所以的最大值为2b,最小值为－2b.如图所示,作出的大致图象,令πx+=kπ,k∈Z,则的对称轴方程为x=k－,k∈Z,则由||=|f(x3)－f(x4)|=|f(x5)－f(x6)|=4b可得,当最小时,=－2b,=2b,且xi是在y轴右侧连续的最值点,故的最小值为=19. 13.(2024·烟台、德州一模)若函数f(x)=sin ωx+ ωx－1在上恰有5个零点,且在上单调递增,则正实数ω的取值范围为　　　　.  答案: 解析:依题意,函数f(x)=2sin －1,由f(x)=0,得sin=,则ωx+=2kπ+或ωx+=2kπ+,k∈Z,由x∈[0,2π],得ωx+∈,由f(x)在[0,2π]上恰有5个零点,得≤2πω+,解得≤ω<,由－+2kπ≤ωx++2kπ,k∈Z,得－≤x≤,k∈Z,即函数f(x)在(k∈Z)上单调递增,因此⊆,即－≤－,且≥,解得ω≤,所以正实数ω的取值范围为. 14. (2024·江西南昌一模) “南昌之星”摩天轮半径为80米,建成时为世界第一高摩天轮,成为南昌地标建筑之一.已知摩天轮转一圈的时间为30分钟,甲乙两人相差10分钟坐上摩天轮,那么在摩天轮上,他们离地面高度差的绝对值的取值范围是　　　　　　.  答案: 解析:设甲乙两人坐上摩天轮的时间分别为t,t+10,则甲乙两人坐上摩天轮转过的角度分别为,则甲距离地面的高度为h1=80－80cos ,乙距离地面的高度为h2=80－80cos,则== =80 =80=80·=80,因为0≤t≤30,所以,所以0≤≤1,即∈. 学生用书⬇第15页 学科网（北京）股份有限公司 $$