8 培优拓展1 极化恒等式与等和(高)线（Word讲义）-【金版新学案】2025年高考数学大二轮专题复习与测试

　1.极化恒等式与等和(高)线 一、极化恒等式及其应用 极化恒等式:a·b=[(a+b)2－(a－b)2]. (1)几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. (2)平行四边形模式:如图,平行四边形ABCD,O是对角线交点.则·(|AC|2－|BD|2). (3)三角形模式:如图,在△ABC中,设D为BC的中点,则·=|AD|2－|BD|2. 类型一　利用极化恒等式求值 (1)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点.·=4,·=－1,则·的值为　　　　.  (2)如图,在平行四边形ABCD中,AB=1,AD=2,点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD边上的中点,则··=　　　　.  答案:(1)　(2) 解析:(1)设BD=DC=m,AE=EF=FD=n,则AD=3n.根据极化恒等式,有··=9n2－m2=4,··=n2－m2=－1,联立解得n2=,m2=.因此·=4n2－m2=.即·. (2)连接EG,FH交于点O(图略),则·=1－2=·=1－2=,因此··. 在三角形中利用极化恒等式 求平面向量数量积的步骤 第一步:取第三边的中点,连接向量的起点与终点; 第二步:利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差; 第三步:求中线及第三边的长度,从而求出数量积的值. [提醒]　对于不共起点或不共终点的向量需通过平移转化为共起点(终点)的向量,再应用极化恒等式. 对点练1.如图,在△ABC中,已知AB=4,AC=6,∠BAC=60°,点D,E分别在边AB,AC上,且=2=3,若F为DE的中点,则·的值为　　　　.  答案:4 解析:取BD的中点N,连接NF,EB,因为AB=4,AE=2,∠BAC=60°,故BE⊥AE,所以BE=2.在△DEB中,FN綊,所以FN=,故·=2·=2=2×(3－1)=4. 类型二　利用极化恒等式求最值(范围)问题 (1)已知AB是圆O的直径,AB长为2,C是圆O上异于A,B的一点,P是圆O所在平面上任意一点,则()· 的最小值是　　　　.  (2)平面向量a,b满足|2a－b|≤3,则a·b的最小值为　　　　.  答案:(1)－　(2)－ 解析:(1)如图所示,取OC的中点D,连接PD,因为O为AB中点,所以()·=2·,由极化恒等式得· 2=,因此当P为OC的中点,即||=0时,()·取得最小值－. (2)由极化恒等式知a·b=≥=－,当且仅当|2a+b|=0,|2a－b|=3,即|a|=,|b|=,<a,b>=π时,a·b取最小值－. 　　利用极化恒等式求数量积的最值(范围)时,关键在于取第三边的中点,找到三角形的中线,再写出极化恒等式.难点在于求中线长的最值(范围),可通过观察图形或用点到直线的距离等求解. 对点练2.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦),P为正方体表面上的动点,当弦MN的长度最大时,·的取值范围是　　　　.  答案:[0,2] 解析:由正方体的棱长为2,得内切球的半径为1,正方体的体对角线长为2.当弦MN的长度最大时,MN为内切球的直径.设内切球的球心为O,则·－1.由于P为正方体表面上的动点,故OP∈[1, ],所以·∈[0,2]. 学生用书⬇第29页 二、等和(高)线及其应用 　　平面内一组基底及任一向量(λ,μ∈R),若点P'在直线AB上或在平行于AB的直线上,则λ+μ=k(定值);反之也成立,我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线. (1)当等和线恰为直线AB时,k=1;(2)当等和线在O点和直线AB之间时,k∈(0,1);(3)当直线AB在O点和等和线之间时,k∈(1,+∞);(4)当等和线过O点时,k=0. (1)(一题多解)在△ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM的中点,(λ,μ∈R),则λ+μ的值为 (　　) A. B. C. D.1 (2)如图,圆O是边长为2的等边△ABC的内切圆,其与BC边相切于点D,点M为圆上任意一点,(x,y∈R),则2x+y的最大值为 (　　) A. B. C.2 D.2 答案:(1)A　(2)C 解析:(1)法一(通法):设(0≤t≤1),则)=)=,所以λ=,μ=,所以λ+μ=.故选A. 法二(等和线法):如图,过N作BC的平行线,设λ+μ=k,则k=.由图易知,.故选A. (2)设圆O与AB边相切于点E,连接DE,连接BO并延长交AC与点N,交DE于点P,易知N为圆O与AC切点.令,所以DE是定值k为1的等和线.AC是过圆上的点最远的等和线,则=2x·=2,当M在N点所在的位置时,2x+y最大,设2x+y=k',则k'==2,所以2x+y的最大值为2.故选C. 利用等和线求系数和的值或最值(范围)的解题思路 　　一是确定值为1的等和线;二是平移该线,作出满足条件的等和线;三是从长度比或点的位置两个角度,计算满足条件的等和线的值. 对点练3.(一题多解)给定两个长度为1的平面向量,它们的夹角为,如图所示,点C在以O为圆心的上运动,若(x,y∈R),则x+y的最大值是　　　　.  答案:2 解析:法一:以O为坐标原点,所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图①所示,则A(1,0), B,设∠AOC=α ,则C(cos α,sin α).由,得所以x=cos α+ α,y= α,所以x+y=cos α+ α=2si,又α∈,所以当α=时,x+y取得最大值2. 法二:令x+y=k,在所有与直线AB平行的直线中,切线离圆心最远,如图②,切点为点D,即此时k取得最大值,结合角度,不难得到k==2. 专题集训(六)　三角函数与解三角形、平面向量(小题)(培优拓展) 一、极化恒等式与等和(高)线 (时间:20分钟　满分:40分) (本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!) (1－8每小题5分,共40分) 1.已知正方形ABCD的面积为2,点P在边AB上,则·的最大值是 (　　) A. B.2 C. D. 答案:B 解析:如图所示,取CD的中点E,连接PE,由极化恒等式可得·,所以当P与A(B)重合时,|PE|=最大,从而(·)max=2.故选B. 2.如图,在四边形MNPQ中,若,||=6,||=10,·=－28,则·等于(　　) A.64 B.42 C.36 D.28 答案:C 解析:由·=36－=－28,解得=64,所以=64,所以··=100－64=36.故选C. 3.若A,B为双曲线=1上经过原点的一条动弦,M为圆C:x2+(y－2)2=1上的一个动点,则·的最大值为 (　　) A. B.7 C.－7 D.－16 答案:C 解析:如图,O为AB的中点,·,|MO|max=|OC|+1=3, |AB|min=2a=8,所以(·)max=9－×64=－7.故选C. 4.如图,△BCD与△ABC的面积之比为2,点P是区域ABDC内任意一点(含边界),且,则λ+μ的取值范围为(　　) A.[0,1] B.[0,2] C.[0,3] D.[0,4] 答案:C 解析:如图,将图形特殊化,设AD垂直平分BC于O,则DO=2AO,当P位于点A时,λ=0,μ=0,所以λ+μ=0,(λ+μ)min=0;当P位于点D时,=3=3×,λ=,μ=,所以λ+μ=3,(λ+μ)max=3.故选C. 5.已知在△ABC中,P0是边AB上一定点,满足P0B=,且对于边AB上任一点P,恒有·≥·,则 (　　) A.∠ABC=90° B.∠BAC=90° C.AB=AC D.AC=BC 答案:D 解析:如图所示,取AB的中点E,连接CE,因为P0B=,所以P0为EB的中点,取BC的中点D,连接DP0,DP,则DP0为△CEB的中位线,DP0∥CE.根据向量的极化恒等式,有··.又·≥·,则||≥||恒成立,必有DP0⊥AB.因此CE⊥AB,又E为AB的中点,所以AC=BC.故选D. 6.已知等边△ABC内接于半径为2的圆O,点P是圆O上的一个动点,则·的取值范围是　　　　　.  答案:[－2,6] 解析:如图所示,取AB的中点D,连接CD,PD,因为△ABC为等边三角形,所以O为△ABC的重心,O在CD上,且OC=2OD=2,所以CD=3,AB=2.又由极化恒等式得·－3,因为P在圆O上,所以当P在点C处时,|PD|max=3,当P在CO的延长线与圆O的交点处时,|PD|min=1,所以·∈[－2,6]. 7.如图所示,正方形ABCD的边长为1,A,D分别在x轴、y轴的正半轴(含原点)上滑动,则·的最大值是　　　　.  答案:2 解析:如图,取BC的中点M,AD的中点N,连接MN,ON,OM,则·.因为OM≤ON+NM=+AB=,当且仅当O,N,M三点共线时取等号,所以·的最大值为2. 8.如图,已知点P为等边△ABC外接圆上一点,点Q是该三角形内切圆上的一点,若=x1+y1=x2+y2,则|(2x1－x2)+(2y1－y2)|的最大值为　　　　.  答案: 解析:由等和线定理知当点P,Q分别在如图所示的位置时,x1+y1取最大值,x2+y2取最小值,且x1+y1的最大值为,x2+y2的最小值为.故|(2x1－x2)+(2y1－y2)|=|2(x1+y1)－(x2+y2)|≤. 学科网（北京）股份有限公司 $$