7 重难突破4 三角形中的特殊线段问题（Word讲义）-【金版新学案】2025年高考数学大二轮专题复习与测试

重难突破4　三角形中的特殊线段问题 类型一　三角形中的等分线段问题 (2024·江西重点中学协作体第一次联考)在△ABC中,已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且△ABC的面积为,点D是线段BC上靠近点B的一个三等分点,AD=1. (1)若∠ADC=,求c; (2)若b2+4c2=11,求sin ∠BAC的值. 解:(1)由题意得,CD=2BD,故S△ACD=△ABC=, 又S△ACD=·CD·sin ∠ADC,即×1×CD×,所以CD=,即BD=. 在△ABD中,根据余弦定理得AB2=BD2+AD2－2BD·AD·cos∠ADB,即AB2=+1+2××1×, 所以AB=,即c=. (2)因为CD=2BD,所以, 所以·, 即1=·cos ∠BAC, 又b2+4c2=11,所以bc·cos ∠BAC=－　①, 又·sin ∠BAC=　②, 由①②得tan ∠BAC=－4, 所以sin ∠BAC=. 1.中线长定理:如图,在△ABC中,AD是边BC上的中线,则AB2+AC2=2(BD2+AD2). 2.向量法:(b2+c2+2bccos A). 对点练1.(2024·江西上饶一模)在△ABC中,内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且满足a+c=b( A+cos A). (1)求B; (2)若b=3,且△ABC的面积为,BD是△ABC的中线,求BD的长. 解:(1)因为a+c=b( A+cos A), 由正弦定理可得sin A+sin C=sin B( A+cos A), 即sin A+sin(A+B)=sin B( A+cos A), 即sin A+sin Acos B= Asin B, 又因为sin A>0,所以 B－cos B=1, 所以sin =. 又因为B∈(0,π),所以B－∈, 所以B－,所以B=. (2)因为S△ABC=,所以 B=得ac=4, 由余弦定理得:a2+c2=b2+2accos B=13. 又),所以||2=)2 =(c2+a2+2accos B)=,得||=,故BD的长为. 学生用书⬇第26页 类型二　三角形中的角平分线问题 (2024·湖南长沙模拟)已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a=4,4 C=－csin A. (1)求A; (2)已知直线AM为∠BAC的平分线,且与BC交于点M,若AM=,求△ABC的周长. 解:(1)根据题意可得 C+csin A=, 由正弦定理得 Acos C+sin Asin C= B, 又 B=(A+C)= Acos C+ Asin C, 故sin Asin C= Asin C, 又sin C≠0,所以sin A= A,则tan A=, 因为A∈(0,π),所以A=. (2)因为S△ABC=S△ABM+S△ACM,所以 ∠BAC=·c·sin ∠BAM+·b·sin∠CAM, 又AM平分∠BAC, 所以∠BAM=∠CAM=∠BAC=, 所以, 则(b+c),即bc=(b+c), 由余弦定理得a2=b2+c2－2bccos∠BAC, 即16=b2+c2－bc, 所以16=(b+c)2－3bc=(b+c)2－(b+c), 解得b+c=2(负值舍去), 故△ABC的周长为2+4. 　　如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 1.利用角度的倍数关系:∠BAC=2∠BAD=2∠CAD. 2.内角平分线定理:AD为△ABC的内角∠BAC的平分线,则. 3.角平分线长公式:AD=. [注意]　角平分线长公式可利用等面积法推导:由S△ABD+S△ACD=S△ABC,得·ADsin ·ADsin A,整理得AD=. 对点练2.(2024·湘豫名校联考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos 2B+cos 2C=2cos2A－2sin Bsin C. (1)求角A; (2)若∠BAC的平分线交BC于点D,b=3,c=4,求AD的长. 解:(1)因为cos 2B+cos 2C=2cos2A－2sin Bsin C, 所以1－2sin2B+1－2sin2C=2－2sin2A－2sin Bsin C, 即sin2A=sin2B+sin2C－sin Bsin C, 由正弦定理得a2=b2+c2－bc, 又由余弦定理a2=b2+c2－2bccos A, 可得cos A=, 因为A∈(0,π),所以A=. (2)在△ABC中,A=, 由等面积法得S△ABC=S△ABD+S△ACD, 即·AB·sin ∠BAC=·AD·si·AD·si, 即×3×4××4×AD××3×AD×, 所以AD=. 学生用书⬇第27页 类型三　三角形中的垂线问题 (一题多解)(2024·山东枣庄二调)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=sin Atan . (1)求C; (2)若a=8,b=5,CH是边AB上的高,且,求. 解:(1)由题意及正弦定理,得, 所以. 又因为A,C为△ABC的内角, 所以sin A≠0,cos ≠0. 所以sin 2,sin ,所以,C=. (2)法一:由题意知CH⊥AB,所以·=0, 所以·=0, 即·=0(*), 又a=8,b=5, 所以·=5×8×cos =20,=25,=64, 代入(*)式得20－25m+64n=0, 所以5m=44n,所以. 法二:△ABC中,由余弦定理得 c2=a2+b2－2abcos C=82+52－2×8×5×=49, 所以c=7. 又因为S△ABC= C=·CH, 所以CH=. 所以AH=. 所以. 由平面向量基本定理知,m=,n=, 所以. 1.若h1,h2,h3分别为△ABC的边a,b,c上的高,则h1∶h2∶h3=. 2.求高一般采用等面积法,即求某边上的高,需要求出面积和底边长度. 对点练3.(2024·河南南阳一模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3acos B=2c. (1)证明:tan A=2tan B. (2)过点C作CD⊥AB,垂足为D,且BD=CD,求cos ∠ACB的值. 解:(1)证明:因为3acos B=2c, 则由正弦定理得3sin Acos B=2sin C, 所以3sin Acos B=2sin(A+B)=2sin Acos B+2sin Bcos A, 整理得sin Acos B=2sin Bcos A, 所以tan A=2tan B. (2)如图所示,由题意知,在Rt△ADC中,tan A=,在Rt△BDC中,tan B=, 由(1)知,tan A=2tan B,所以, 即BD=2AD, 所以BD=,AD=,CD=BD=, 所以在Rt△BDC中,BC=, 在Rt△ADC中,AC=, 所以在△ABC中,由余弦定理得cos ∠ACB=,故cos ∠ACB的值为. 专题集训(五)　三角形中的特殊线段问题(重难突破) (时间:40分钟　满分:56分) (本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!) 1.(13分)(2024·山东潍坊一模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a(sin B+cos B)=c. (1)求A;(5分) (2)若c=,a=,D为BC的中点,求AD.(8分) 解:(1)因为a(sin B+cos B)=c, 由正弦定理得sin A(sin B+cos B)=sin C, 在△ABC中,sin C=sin (A+B), 则有sin A(sin B+cos B)=sin (A+B), 所以sin Asin B+sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B, 所以sin Asin B=cos Asin B,又B∈, 所以sin B>0, 所以sin A=cos A,所以tan A=1,又A∈, 所以A=. (2)根据余弦定理有a2=b2+c2－2bccos A, 则有5=b2+2－2b,解得b=3或b=－1(舍去), 因为D为BC的中点,则), 所以+2·)=×2+9+2××3×=,所以AD=. 2.(13分)(一题多解)(2024·江苏南京、盐城一模)在△ABC中,sin(B－A)+ A=sin C. (1)求B的大小;(5分) (2)延长BC至点M,使得2.若∠CAM=,求∠BAC的大小.(8分) 解:(1)在△ABC中,A+B+C=π, 所以sin C=sin(A+B). 因为sin(B－A)+ A=sin C,所以sin(B－A)+ A=sin(A+B), 即sin Bcos A－cos Bsin A+ A=sin Bcos A+cos Bsin A, 化简得 A=2cos Bsin A. 因为A∈(0,π),所以sin A≠0,cos B=. 因为0<B<π,所以B=. (2)法一:设BC=x,∠BAC=θ,则CM=2x. 由(1)知B=,又∠CAM=, 所以在△ABM中,∠M=－θ. 在△ABC中,由正弦定理得, 即　①. 在△ACM中,由正弦定理得, 即　②. ①÷②,得,即2sin θcos θ=, 所以sin 2θ=. 因为θ∈,2θ∈,所以2θ=, 故θ=,即∠BAC=. 法二:设BC=x,则CM=2x,BM=3x. 因为∠CAM==B,所以△ACM∽△BAM,因此, 所以AM2=BM·CM=6x2,AM=. 在△ABM中,由正弦定理得,即, 化简得sin∠BAM=. 因为∠BAM∈,所以∠BAM=, 由∠BAC=∠BAM－,故∠BAC=. 3.(15分)(2024·陕西西安三模)在△ABC中,角A,B,C的对边是a,b,c,已知b(1+cos A)=c(1－cos 2B). (1)证明:b=c;(6分) (2)若BC边上的高AD为2,AC边上的中线BE为2,求△ABC的面积.(9分) 解:(1)证明:因为b(1+cos A)=c(1－cos 2B), 则b(1+cos A)=c·2sin 2B, 由正弦定理得:sin =sin C·2sin 2B, 因为B∈,sin B≠0, 所以1+cos A=2sin Csin B, 又因为B+C+A=π, 所以1－cos(B+C)=2sin Csin B, 所以1－cos Bcos C+sin Csin B=2sin Csin B, 所以cos(B－C)=1, 因为B－C∈(－π,π), 所以B－C=0,所以B=C,故b=c. (2)因为BC边上的高AD为2,AC边上的中线BE为2, 所以AD⊥BC, 所以cos C=, 在△BEC中,由余弦定理得: BE2=BC2+EC2－2BC·ECcos C, 所以28=a2+－2a··,即 28=,且+4=b2, 解得a=4, b=c=4, 所以S△ABC=×AD=4. 4.(15分)(2024·四川遂宁二模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且tan B+tan C=. (1)求角C;(6分) (2)若CD是∠ACB的角平分线,CD=4,△ABC的面积为18,求c的值.(9分) 解:(1)由tan B+tan C=可得⇒⇒ ⇒,因为sin A≠0,cos B≠0,所以, 故sin C= C,进而tan C=, 由于C∈(0,π),所以C=. (2)由面积公式得S△ABC= C==18,解得ab=72, 因为S△ABC=S△BCD+S△ACD,所以18·CDsin ·CDsin , 即·(a+b)sin =18,所以a+b=18, 又因为ab=72,所以c2=a2+b2－2abcos C=a2+b2－ab=(a+b)2－3ab=182－3×72=108, 所以c=6. 学生用书⬇第28页 学科网（北京）股份有限公司 $$