6 重难突破3 三角形中的最值、范围问题（Word讲义）-【金版新学案】2025年高考数学大二轮专题复习与测试

重难突破3　三角形中的最值、范围问题 　　解三角形问题中的最值、范围问题是每年高考的热点,既有小题也有解答题.常用的方法主要有:函数的性质(如有界性、单调性)、基本不等式、数形结合等. 类型一　与角度(三角函数式)有关的最值、范围问题 (2024·北京石景山一模)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2bsin A－=0. (1)求角B的大小; (2)求cos A+cos C的取值范围. 解:(1)因为2bsin A－=0,由正弦定理得: 2sin Bsin A－ A=0, 所以 A=0, 由于在△ABC中,sin A≠0,所以2sin B－=0, 即sin B=,又0<B<,所以B=. (2)由(1)可知B=,所以A+C=, 所以cos A+cos C=cos A+cos =cos A+cos A+sin A=cos A－ A+ A= A+ A=sin . 由于在锐角△ABC中,所以<A<,所以<A+, 所以sin <sin ≤sin , 即<sin ≤1, 所以cos A+cos C的取值范围为. 与角度(三角函数式)有关的最值、范围问题的常用解法 1.转化为Asin(ωx+φ)或Acos(ωx+φ)的形式,借助三角函数的性质求解. 2.转化为关于边的代数式,利用基本不等式或函数求解. 对点练1.(2024·安徽合肥一模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a=1,cos A=. (1)求角B的大小; (2)如图,D为△ABC外一点,AB=BD,∠ABC=∠ABD,求的最大值. 解:(1)因为a=1,所以cos A=, 由正弦定理,可得cos A=, 整理可得2sin Bcos A=2sin C－sin A, 又因为sin C=sin =sin Acos B+sin Bcos A, 化简可得sin A=2sin Acos B, 而sin A≠0,则cos B=,又B∈,则B=. (2)在△BCD中,由可得sin ∠CDB=, 在△ABC中,由可得sin ∠CAB=, 所以, 设AB=BD=,由余弦定理CD2=BD2+BC2－2BD·BC·cos ∠CBD, AC2=AB2+BC2－2AB·BC·cos ∠CBA, 可得CD2=t2+1+t,AC2=t2+1－t, 因此=1+=1+≤1+=3, 当且仅当t=,即t=1时等号成立, 所以的最大值为,此时AB=BD=1. 类型二　与周长(边长)有关的最值、范围问题 (2024·陕西宝鸡模拟)在△ABC中,D为BC边的中点,AD=1. (1)若△ABC的面积为2,且∠ADC=,求sin C的值; (2)若AB2+AC2=10,求△ABC的周长的最大值. 解:(1)设BC=a,由 ∠ADC×AD×=2, 即×1×a=2,解得a=8; 在△ADC中,DC=4,由余弦定理得,AC2=AD2+DC2－2AD×DC×cos ∠ADC, 即AC2=1+16－2×1×4×=21, 解得AC=; 由正弦定理得,,即,解得sin C=. (2)设∠ADC=θ,θ∈, 则在△ADB中,AB2=BD2+1－2·BD·1·cos (π－θ)=BD2+1+2BDcos θ, 在△ADC中,AC2=CD2+1－2·CD·1·cos θ=CD2+1－2CDcos θ, 因为AB2+AC2=10,BD=CD,所以BD=2,即BC=4; 由AB2+AC2=10得≤2(AB2+AC2)=20, 当且仅当AB=AC=时取得等号; 所以AB+AC≤2,当且仅当AB=AC=时取得等号, 即△ABC的周长的最大值为4+2. 学生用书⬇第24页 周长的范围(最值)问题的常用解法 1.无约束条件的三角形:利用基本不等式(当且仅当a=b时等号成立),再结合余弦定理求周长取值范围. 2.有约束条件的三角形:利用正弦定理a=2Rsin A,b=2Rsin B,代入周长(边长)公式,再结合辅助角公式,根据角的取值范围,求周长(边长)的取值范围. 对点练2.(2024·河北衡水一模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,三角形面积为S,若D为AC边上一点,满足AB⊥BD,BD=2,且a2=－+abcos C. (1)求角B; (2)求的取值范围. 解:(1)因为a2=－+abcos C, 所以a2=－ C+abcos C,即a=－ C+bcos C, 由正弦定理得,sin A=－ Bsin C+sin Bcos C, 所以si=－ Bsin C+sin Bcos C, 所以cos Bsin C=－ Bsin C, 因为sin C≠0,所以tan B=－, 由0<B<π,得B=. (2)由(1)知,B=,因为AB⊥BD, 所以∠ABD=,∠DBC=, 在△BCD中,由正弦定理得, 即CD=,在Rt△ABD中,AD=, 所以=sin A+sin C, 因为∠ABC=,所以A+C=, 所以=sin A+sin C=sin +sin C=sin C－cos C+sin C=sin , 因为0<C<,所以C+∈, 所以sin ∈, 所以的取值范围为. 类型三　与面积有关的最值、范围问题 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知点F为线段AC上的一点,且AF=2CF,BF=2,asin A+csin C－bsin B= C. (1)求cos ∠ABC的值; (2)求△ABC面积的最大值. 解:(1)因为=2R, asin A+csin C－bsin B= C, 则a·+c·－b··,化简得a2+c2－b2=, 由余弦定理得,cos ∠ABC=. (2)在△ABC中,cos ∠ABC=,∠ABC∈, 则sin ∠ABC=, 由AF=2CF,得=, 即,所以2+2+2×=4. 由基本不等式,得2+2+2×=4≥2×, 即ac≤,当且仅当c=2a,即a=,c=时等号成立, 所以△ABC的面积S= ∠ABC≤, 故△ABC面积的最大值为. 面积的范围(最值)问题的常用解法 1.利用基本不等式ab≤2≤,再代入面积公式. 2.利用正弦定理a=2Rsin A,b=2Rsin B,代入面积公式,再结合辅助角公式,根据角的取值范围,求面积的取值范围. 对点练3.(2024·四川德阳二模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin B=22. (1)求B; (2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围. 解:(1)因为△ABC中,sin B=22, 即2sin =2 2=22, 而0<B<π,所以sin >0,故cos , 故tan ,又0<B<π,所以0<, 则,所以B=. (2)由(1)以及题设可得S△ABC= B=; 由正弦定理得a= = =, 因为△ABC为锐角三角形,0<A<,0<C<, 则0<－C<,所以<C<, 则tan C>, 所以0<,则<2, 即<a<2,则<S△ABC<, 即△ABC面积的取值范围为. 专题集训(四)　三角形中的最值、范围问题(重难突破) (时间:40分钟　满分:56分) (本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!) 1.(13分)(一题多解)在△ABC中,AB=2BC. (1)若cos B=,求tan A;(5分) (2)若AC=2,求△ABC面积的最大值.(8分) 解:(1)法一:因为cos B=, 所以sin B=. 在△ABC中,由正弦定理得=2, 所以sin A= C= Bcos A+ Bsin A= A+ A, 所以7sin A=4cos A,则tan A=. 法二:设AB=2a,则BC=a, 在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2－2AB·BCcos B=4a2+a2－2=2, 所以AC=, 所以cos A=, 所以sin A=,所以tan A=. (2)由(1)中法二可知BC=a,AB=2a, 在△ABC中,由余弦定理得cos B=, 所以S△ABC=·BCsin B=a2 ,当a=时取等号, 故△ABC面积的最大值为. 2.(13分)(2024·辽宁沈阳一模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足=c2. (1)求证:C=2B;(5分) (2)若△ABC为锐角三角形,求2sin C+cos B－sin B的最大值.(8分) 解:(1)证明:因为=c2,即c2=b2+ab,由余弦定理c2=b2+a2－2abcos C, 得到ab=a2－2abcos C,即b=a－2bcos C, 所以sin B=sin A－2sin Bcos C, 又sin A=sin (π－B－C)=sin (B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C, 所以sin B=sin Bcos C+cos Bsin C－2sin Bcos C=cos Bsin C－sin Bcos C=sin (C－B), 又B,C∈(0,π),所以B=C－B或B+C－B=π(舍去),所以C=2B. (2)由(1)知C=2B,所以2sin C+cos B－sin B=2sin 2B+cos B－sin B, 令t=cos B－sin B=, 又因为△ABC为锐角三角形, 所以 得到<B<, 所以－B∈,又sin =sin=sin －cos , 所以t∈, 又sin 2B=1－(cos B－sin B)2=1－t2, 所以2sin C+cos B－sin B=2(1－t2)+t =－2t2+t+2=－2, 所以当t=时,2sin C+cos B－sin B取到最大值为. 3.(15分)(2024·贵州遵义一模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知－asin C= C. (1)求A;(6分) (2)若△ABC为锐角三角形,c=2,求b的取值范围.(9分) 解:(1)在△ABC中,由－asin C= C及正弦定理, 得 B－sin Asin C= Acos C, 则 Acos C+sin Asin C= (A+C) = Acos C+ Asin C, 即sin Asin C= Asin C,而sin C>0, 于是tan A=, 又0<A<π,所以A=. (2)由(1)知,A=,由正弦定理得b=+1, 由△ABC为锐角三角形,得 解得<C<, 则tan C>,所以0<,则1<b<4, 所以b的取值范围是(1,4). 4.(15分)(2024·陕西汉中二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,请从下列条件中选择一个条件作答:(注:如果选择条件①和条件②分别作答,按第一个解答计分.) ①记△ABC的面积为S,且·=2S; ②已知asin B=bcos . (1)求角A的大小;(6分) (2)若△ABC为锐角三角形,且a=,求△ABC周长的取值范围.(9分) 解:(1)选条件①,由·=2S,得 A=2× A,整理得tan A=, 而0<A<π,所以A=. 选条件②,由asin B=bcos 及正弦定理, 得sin Asin B=sin Bcos , 而sin B>0,则sin A=cos = A+ A, 整理得tan A=, 而0<A<π,所以A=. (2)由(1)知A=,由正弦定理得=2, 因此b+c=2 B+2 C=2 =2=2 . 由△ABC为锐角三角形,得 解得<B<,因此<B+, 则<sin ≤1,于是3<b+c≤2, 3<a+b+c≤3, 所以△ABC周长的取值范围是(3,3]. 学生用书⬇第25页 学科网（北京）股份有限公司 $$