2 引领二 悟思想 润素养（Word讲义）-【金版新学案】2025年高考数学大二轮专题复习与测试

一、函数与方程思想 　　函数思想是指用函数的观点、方法去分析问题、转化问题和解决问题.求数列中的项或最值、求不等式中的参数、求立体几何中面积或体积的最值及求解析几何中距离或面积的最值等相关的非函数问题,往往都可利用函数思想转化为函数问题. 方程思想是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为方程或方程组去分析问题和解决问题.如变量的取值范围、直线与圆锥曲线的位置关系、数列中的基本量、二项式系数等问题. 函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性质,解决有关求值、解(证明)不等式、解方程以及讨论参数的取值等问题;二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易、化繁为简的目的. 应用一　借助函数关系解决问题 　　在方程、不等式、三角函数、平面向量、数列、圆锥曲线等数学问题中,将原有隐含的函数关系凸显出来,从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解. (2024·陕西商洛模拟)记椭圆C:=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,上顶点为B(0,1),直线BA1,BA2的斜率满足·=－. (1)求椭圆C的方程; (2)已知椭圆C:=1(a>b>0)上点处的切线方程是=1.若点P为直线l:x=上的动点,过点P作椭圆C的切线PM,PN,切点分别为M,N,求△PMN面积的最小值. 解:(1)由椭圆=1(a>b>0)上顶点为B(0,1),可得b=1, 因为·=－,A1(－a,0),A2(a,0), 所以·=－, 所以a2=4,所以椭圆C的方程为+y2=1. (2)设M(x1,y1),N(x2,y2),, 则椭圆C在点M,N处的切线方程分别为+y1y=1,+y2y=1, 又P在两条切线上,则+ny1=1,+ny2=1, 则直线MN的方程为+ny=1, 由整理得2－6ny－1=0, 则y1+y2=,y1y2=, 则 = , 又点P到直线MN的距离d=, 则△PMN的面积为S△PMN=·d=·, 令m=,m≥1,则S△PMN=··,m≥1, 又y=上单调递减,则S△PMN=·上单调递增, 所以S△PMN≥·,当且仅当n=0,即点P坐标为时等号成立,则△PMN面积的最小值为. 　　解析几何中的最值是高考的热点,在圆锥曲线的综合问题中经常出现,求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中,抓住函数关系,将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数,然后借助于函数最值的求法来求解,这是求面积、线段长、最值(范围)问题的基本方法. 学生用书⬇第6页 应用二　转换函数关系解决问题 　　在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中,经常需要求参数的取值范围,如果按照原有的函数关系很难奏效时,不妨转换思维角度,放弃题设的主参限制,挑选合适的主变元,揭示它与其他变元的函数关系,切入问题本质,从而使原问题获解. 若函数f(x)=ln x与g(x)=ax－1的图象有且仅有一个交点,则关于x的不等式<a－3x－4的解集为 (　　) A. B. C. D. 答案:C 解析:f(x)与g(x)只有1个交点等价于函数h(x)=ln x－ax+1 只有1个零点,即a=只有1个解,令p(x)=,则p'(x)=,p'=0,当0<x<1时,p'(x)>0,p(x)单调递增,当x>1时,p'(x)<0,p(x)单调递减,并且p(x)>0,所以p(x)max==1,<0,函数p(x)的大致图象如图.因为a>0,所以a=1,即原不等式为ln <1－3x－4,即ln +3x－4－1<0,令k(x)=ln +3x－4－1,显然k(x)在x>3时是增函数,又=0,所以k(x)<0的解集是3<x<4,即x∈(3,4).故选C. 　　挖掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系,反客为主,主客换位,创设新的函数,并利用新函数的性质创造性地使原问题获解,是解题人思维灵活的表现.本题主客换位后,利用新建函数y=的单调性巧妙地求出实数a的取值范围.此法也叫主元法. 应用三　构造函数关系解决问题 　　在一些数学问题的研究中,可以通过建立函数关系式,把要研究的问题转化为可利用的函数性质问题,达到化繁为简、化难为易的效果. (1)已知x>0,y>0,且e2x－ey>sin 2x－sin y,则 (　　) A.2x<y B.2x>y C.x>y D.x<y (2)(2024·河南郑州三模)设x1,x2∈,且+ln x2=1,则 (　　) A.若x1=x2,则x1∈ B.若x1x2=1,则x1存在且不唯一 C.x1+x2>1 D.x1+ln x2>0 答案:(1)B　(2)C 解析:(1)设f(t)=et－sin t,t>0,则f'(t)=et－cos t,当t>0时,f'(t)>0恒成立,所以f(t)在(0,+∞)上单调递增,原不等式变形为e2x－sin 2x>ey－sin y,即f(2x)>f(y),所以2x>y.故选B. (2)对于A,当x1=x2时,则+ln x1=1,记+ln x1－1,由于,y=ln x1－1均为单调递增函数,故+ln x1－1为单调递增函数,由于+ln －1=－ln 2－1<－0.69－1<0,故零点大于,故A错误;对于B,若x1x2=1,由+ln x2=1得－ln x1－1=0,记g(x)=ex－ln x－1,则g'(x)=ex－,由于y=ex,y=－均为上的单调递增函数,故g'(x)=ex－上单调递增,且当x>1时,g'(x)>0, g'=－2<0,故存在唯一的x0∈,使得g'(x0)=0,即,且x∈,g'(x)<0时,g(x)在x∈上单调递减,当x∈时,g'(x)>0,g(x)在x∈上单调递增,故g(x)min=－ln x0－1=－ln x0－1,又⇒x0=－ln x0,故g(x)min=+x0－1>2－1=1,故g(x)=ex－ln x－1无零点,故不存在x,使得ex－ln x－1=0,故B错误;对于C, 先证ex≥x+1,记n(x)=ex－x－1,n'(x)=ex－1,当x>0时,n'(x)>0,n(x)单调递增,当x<0时,n'(x)<0,n(x)单调递减,所以n(x)≥n(0)=0,故ex≥x+1,设－1=－ln x2=k,由于x1>0,所以k>0,故x2=e－k,x1=ln ,设=e－k+ln (k>0),h',由于ek≥k+1,所以h'>0,故在k>0单调递增,故=1,故x1+x2=e－k+ln =h(k)>1,故C正确;对于D,设=ln (k+1)－,M'－1=<0,所以在k>0单调递减,故=0,则x1+ln x2=ln (k+1)－k=M(k)<0,故D错误.故选C. 1.对于结构相同(相似)的不等式,通常考虑变形,构造函数,再通过函数的单调性进行求解. 2.在构造函数求解数学问题的过程中,要确定合适的两个变量,揭示函数关系使问题明晰化. 应用四　建立方程(组)形式解决问题 　　分析题目中的未知量,根据条件分别列出关于未知数的方程(组),使原问题得到解决,这就是构造方程法,是应用方程思想解决非方程问题的极富创造力的一个方法. 已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线的左、右两支分别相交于M,N两点,直线NF2与双曲线的另一交点为P,若△NPF1为等腰三角形,且△NF1F2的面积是△PF1F2的面积的3倍,则双曲线C的离心率为　　　　.  答案:2或 解析:设|NF2|=m,|PF2|=n,由双曲线的定义可得|NF1|=2a+m,|PF1|=2a+n,由△NF1F2的面积是△PF1F2的面积的3倍,可得m=3n,又△NPF1为等腰三角形,可得|NP|=|NF1|,或|NP|=|PF1|,或.若,则只能N,P关于x轴对称,此时与m=3n矛盾,不符合题意;若|NP|=|NF1|,即m+n=2a+m,可得n=2a,m=6a,|NF1|=8a, |PF1|=4a,在△NPF1中,cos ∠F1NP=,在△NF1F2中,cos ∠F1NF2=,化简得c2=4a2,即e==2;若|NP|=|PF1|,即m+n=2a+n,可得m=2a,n=,|NF1|=4a,|PF1|=,在△NPF1中,cos ∠F1NP=,在△NF1F2中,cos ∠F1NF2=,化简得c2=2a2,即e=.综上所述,离心率为2或. 　　此题是一道典型的求离心率的题目,一般需要通过a,b,c之间的关系或由圆锥曲线的性质,得出关于a,c的方程,经过恒等变形就可以求出离心率. 学生用书⬇第7页 二、数形结合思想 　　数形结合思想,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面: 以形 助数 借助形的直观性来阐明数之间的联系.以形助数常用的有:借助数轴,借助函数图象,借助单位圆,借助数式的结构特征,借助于解析几何方法 以数 助形 借助于数的精确性来阐明形的某些属性.以数助形常用的有:借助于几何轨迹所遵循的数量关系,借助于运算结果与几何定理的结合 由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化． 应用一　利用数形结合求解函数与方程、不等式问题 　　利用函数图象可直观研究函数的性质,求解与函数有关的方程、不等式问题. (2024·湖南长沙三模)已知函数f(x)=2sin x+2,若f(x)=λ在[0,2π]上有且仅有四个不相等的实数根,则λ的取值范围为 (　　) A.(2,4) B. C. D.∪ 答案:D 解析:f(x)=2sin x+2= 作出f(x)的图象,如图所示,结合图象可知,若f(x)=λ在[0,2π]上有且仅有4个不相等的实数根,则2<λ<4且λ≠2,即λ的取值范围为(2,2)∪(2,4).故选D. 　　方程的根可通过构造函数,转化为两函数的交点横坐标;不等式f(x)<g(x)可转化为函数y=f(x)与y=g(x)图象的位置关系. 应用二　利用数学概念、表达式的几何意义求解最值、范围问题 　　向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义,可利用图形观察求解有关问题;注意灵活应用一些几何结构的代数形式,如斜率、距离公式等. (多选)(2024·湖北武汉模拟)已知复数z1,z2满足:z1为纯虚数,=2,则下列结论正确的是 (　　) A.=－ B.37 C.的最小值为3 D.的最小值为3 答案:ABD 解析:对于A,因为z1为纯虚数,所以可设z1=b,所以=－b2=－,故A正确;对于B,设Z2=m+n,因为=2,则+n2=4(m－4)2+4n2,即(m－5)2+n2=4,则z2所对应点的轨迹是以为圆心,以2为半径的圆,所以37,故B正确;对于C,因为z1为纯虚数,所以z1对应点在虚轴上(除去原点),z2所对应点的轨迹是以为圆心,以2为半径的圆,所以的取值范围为,所以无最小值,故C错误;对于D,因为,表示点到以为圆心,以2为半径的圆上的点的距离,因为为纯虚数或0,在虚轴上(除去点),所以当b=－3时取得最小值3,故D正确.故选ABD. 　　应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式,主要有: 1.比值——可考虑直线的斜率. 2.二元一次式——可考虑直线的截距. 3.根式分式——可考虑点到直线的距离. 4.根式——可考虑两点间的距离. 应用三　几何动态问题中的数形结合 　　对一些几何动态中的代数求解问题,可以结合各个变量的形成过程,找出其中的相互关系求解. (2024·安徽合肥模拟)已知点P在圆x2+y2=1上运动,点F,A为椭圆=1的右焦点与上顶点,则∠PFA的最小值为 (　　) A.15° B.30° C.45° D.75° 答案:A 解析:由题意知,F(2,0),A(0,2),且圆在椭圆内,当FP与圆相切(P在第一象限)时,∠PFA取得最小值,此时∠OFP=30°,∠OFA=45°,所以∠PFA=∠OFA－∠OFP=45°－30°=15°,所以∠PFA的最小值为15°.故选A. 　　与几何图形有关的最值问题,通常是利用函数的观点,建立函数表达式求解,但一味地强调函数观点,有时会使思维陷入僵局,此时若能合理利用圆锥曲线的定义,以形助数,会使问题变得特别简单. 学生用书⬇第8页 三、分类与整合思想 　　分类与整合思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个简单的基础问题,通过对基础问题的解答,从而解决原问题的思维策略.实质上就是“化整为零,各个击破,再积零为整”的策略,使用分类与整合思想应明白这样几点:一是引起分类整合的原因;二是分类中整合的原则,不重不漏,分类标准统一;三是明确分类整合的步骤;四是将各类情况总结归纳. 　　常见的分类整合问题有以下几种:1.由概念引起的分类整合.2.由性质、定理、公式的限制条件引起的分类整合.3.由数学运算引起的分类整合.4.由图形的不确定性引起的分类整合.5.由参数的变化引起的分类整合. 应用一　由概念、公式、法则、计算性质引起的讨论 　　概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类,如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列的前n项和公式等,然后分别对每类问题进行解决. (1)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,则数列的公比q是(　　 ) A.－ B. C.－ D. (2)(2024·江苏徐州模拟)若函数f(x)=有两个零点,则实数a的取值范围为　　　　　.  答案:(1)C　(2) ∪ 解析:(1)若q=1,则有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1,但a1≠0,即得S3+S6≠2S9,与题设矛盾,故q≠1.又S3+S6=2S9,即=2·,所以1－q3+1－q6=2(1－q9),即2q6－q3－1=0,所以q3=－(q3=1舍去),所以q=－.故选C. (2) 当a=0时,f(x)=函数f(x)的图象如图①所示,由于x0时0<ex1,x>0时x－1>－1, 此时f(x)只有一个零点,所以a=0不符合题意; 当a<0时,f(x)=函数f(x)的图象如图②所示, 由于x0时,ex+(－a)>0,x>0时,x+－1≥2－1=2－1,当且仅当x=,即x=时取等号,此时在上有f(x)min=2－1,要使f(x)有两个零点,只需f(x)min=2－1<0,即－<a<0; 当a>0时,f(x)=函数f(x)的图象如图③所示,由于函数y=x－－1在上是增函数,x→0时,f(x)→－∞,x→+∞时,f(x)→+∞,故与x轴有且只有一个交点,要使f(x)有两个零点,只需函数y=ex－a(x0)有一个零点即可,当0<a1时,y=ex－a(x0)恰好只有一个零点.综上所述,实数a的取值范围是∪. 　　解题时应准确把握数学概念的本质,根据需要对所有情形分类.本题中,等比数列求和公式的两种情形、分段函数中参数的不同范围均构成分类的标准. 应用二　由图形位置或形状引起的讨论 　　图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论,这种方法适用于对几何图形中点、线、面的位置关系以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系的研究. 设F1,F2为椭圆=1的两个焦点,点P为椭圆上一点,已知点P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,则=　.  答案:或2 解析:若∠PF2F1=90°,则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,又|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2,解得|PF1|=,|PF2|=,所以.若∠F1PF2=90°,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,所以|PF1|2+(6－|PF1|)2=20,又|PF1|>|PF2|,所以|PF1|=4,|PF2|=2,所以=2.综上知,或2. 　　圆锥曲线的形状、焦点位置不确定时要分类讨论;立体几何中点、线、面的位置变化,三角形和平行四边形的不确定性都要进行分类讨论. 应用三　由参数变化引起的分类讨论 　　某些含有参数的问题,由于参数的取值不同会导致所得的结果不同,需对参数进行讨论,如含参数的方程、不等式、函数等.解决这类问题要根据需要合理确定分类标准,讨论中做到不重不漏,结论整合要周全. (2024·福建福州模拟)已知函数f(x)=ex,g(x)=sin x+cos x,其中e为自然对数的底数. (1)证明:x≥0时,ex－1≥x≥sin x; (2)求函数h(x)=f(x)－g(x)在内的零点个数; (3)若f(x)+g(x)≥ax+2,求a的取值范围. 解:(1)证明:令f1(x)=ex－1－x,x≥0,则f'1(x)=ex－1≥0, 所以f1(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f1(x)≥f1=0, 所以x≥0时,ex－1≥x; 再令f2(x)=x－sin x,则f'2(x)=1－cos x≥0, 所以f2(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f2(x)≥f2=0,所以x≥0时,x≥sin x. 综上所述,x≥0时,ex－1≥x≥sin x. (2)h(x)=f(x)－g(x)=ex－sin x－cos x=ex－,h'(x)=ex－cos x+sin x, ①x>0时,由(1)知,h(x)=ex－sin x－cos x>x+1－sin x－cos x=(x－sin x)+(1－cos x)≥0,故h(x)在(0,+∞)内没有零点; ②x=0时,h(0)=0,所以x=0是函数h(x)的零点; ③当x∈时,h'(x)=ex－cos x+sin x,h'=0, 令m(x)=ex－cos x+sin x, 则m'(x)=ex+sin x+cos x=ex+ >0, 则函数h'(x)在上单调递增,则h'(x)<h'(0)=0, 则函数h(x)在上单调递减, 则h(x)>h(0)=0,h(x)在内没有零点; ④当x∈时,h(x)=ex－ >0,没有零点. 综上所述,当x∈时,函数h(x)的零点个数为1. (3)由(2)知,当x>－时,h(x)=ex－sin x－cos x≥0,令φ(x)=f(x)+g(x)－ax－2, φ(x)=f(x)+g(x)－ax－2=ex+sin x+cos x－ax－2, 则φ'(x)=ex+cos x－sin x－a,令n(x)=ex+cos x－sin x－a, n'(x)=ex－sin x－cos x≥0,故φ'(x)单调递增. ①当a>2时,φ'=2－a<0, φ'=2－>0, 所以∃x1∈使得φ'=0, 当0<x<x1时,φ'<0,φ(x)单调递减, φ(x)<φ(0)=0,不符合题意; ②当a<2时,φ'>0,若x∈时, 总有φ'(x)≥0(不恒为零), 则φ(x)在上为增函数, 但φ(0)=0,故当x∈时,φ(x)<0,不符合题意. 故在x∈上,φ'(x)<0有解, 故∃x2∈, 使得φ'=0, 又φ'(x)在x∈时单调递增, 所以当x2<x<0时, φ'(x)>0,φ(x)单调递增, 故当x∈时,φ(x)<φ(0)=0,不符合题意,故a<2不符合题意; ③当a=2时,φ'(x)=ex+cos x－sin x－2, 由于φ'(x)单调递增,φ'=0, 故－<x<0时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减; x>0时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增, 此时φ(x)≥φ(0)=0; 当x－时,φ(x)=ex+sin x+cos x－2x－2≥0－－2>0. 综上可得,a=2. 　　若遇到题目中含有参数的问题,常常结合参数的意义和对结果的影响进行分类讨论,此类题目为含参型,应全面分析参数变化引起的结论的变化情况,在分类讨论时要遵循分类的原则:一是分类的标准要一致,二是分类时要做到不重不漏,三是能不分类的要尽量避免分类,绝不无原则的分类讨论. 学生用书⬇第9页 四、转化与化归思想 　　转化与化归思想是指在研究解决数学问题时,采用某种手段将问题通过转化,使问题得以解决的一种思维策略,其核心是把复杂的问题化归为简单的问题,将较难的问题化归为较容易求解的问题,将未能解决的问题化归为已经解决的问题. 　　常见的转化与化归思想应用具体表现在:将抽象函数问题转化为具体函数问题,立体几何和解析几何中一般性点或图形问题转化为特殊点或特殊图形问题,以及"至少"或"是否存在"等正向思维受阻问题转化为逆向思维问题,空间与平面的转化,相等问题与不等问题的转化等. 应用一　特殊与一般的转化 　　一般问题特殊化,使问题处理变得直接、简单,也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路;特殊问题一般化,可以使我们从宏观整体的角度把握问题的一般规律,从而达到成批处理问题的效果. (1)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理,该定理的内容为:椭圆上两条互相垂直的切线的交点的轨迹是一个与椭圆同心的圆,该圆称为原椭圆的蒙日圆,若椭圆C:=1(a>0)的离心率为,则椭圆C的蒙日圆的方程为 (　　 ) A.x2+y2=9 B.x2+y2=7 C.x2+y2=5 D.x2+y2=4 (2)在平行四边形ABCD中,||=12,||=8,若点M,N满足=3=2,则·等于 (　　 ) A.20 B.15 C.36 D.6 答案:(1)B　(2)C 解析:(1)因为椭圆C:=1(a>0)的离心率为,所以,解得a=3,所以椭圆C的方程为=1,所以椭圆的上顶点为A(0,),右顶点为B(2,0),所以经过A,B两点的切线方程分别为y=,x=2,所以两条切线的交点坐标为(2,),又过A,B的切线互相垂直,由题意知交点必在一个与椭圆C同心的圆上,可得圆的半径r=,所以椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=7.故选B. (2)假设四边形ABCD为矩形,如图建立平面直角坐标系,则A(0,0),M(12,6),N(8,8),所以=(12,6),=(4,－2),所以·=12×4+6×(－2)=36.故选C. 　　对于客观题,当题设条件提供的信息在普通条件下都成立或暗示答案是一个定值时,可以把题中变化的量用特殊值代替,可以快捷地得到答案. 应用二　命题的等价转化 　　将题目已知条件或结论进行等价转化,可以使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化,让题目得以解决.一般包括数与形的转化、正与反的转化、常量与变量的转化、图形形体及位置的转化. (1)由命题“存在x∈R，使e|x－1|－m0”是假命题,得m的取值范围是(－∞,a),则实数a的值是 (　　 ) A.－1 B.－2 C.1 D.2 (2)已知在三棱锥P-ABC中,PA=BC=2,PB=AC=10,PC=AB=2,则三棱锥P-ABC的体积为(　　 ) A.40 B.80 C.160 D.240 答案:(1)C　(2)C 解析：(1)由命题“存在x∈R，使e|x－1|－m0”是假命题，可知它的否定形式“任意x∈R，e|x－1|－m>0”是真命题，可得m的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间，故a＝1.故选C. (2)因为三棱锥P-ABC的三组对边两两相等,所以可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示),把三棱锥P-ABC补成一个长方体AEBG－FPDC. 易知三棱锥P-ABC的各棱分别是此长方体的面对角线.不妨令PE=x,EB=y,EA=z,则由已知,可得⇒从而知VP-ABC=VAEBG－FPDC－VP-AEB－VC－ABG－VB－PDC－VA－FPC=VAEBG－FPDC－4VP-AEB=6×8×10－4××6×8×10=160.故选C. 　　根据命题的等价性对题目条件进行明晰化是解题常见思路;对复杂问题可采用正难则反策略,也称为“补集法”;含两个变量的问题可以变换主元. 应用三　函数、方程、不等式之间的转化 　　函数与方程、不等式紧密联系,通过研究函数y=f(x)的图象性质可以确定方程f(x)=0,不等式f(x)>0和f(x)<0的解集. (2024·福建泉州模拟)(1)已知x∈,求f(x)=的最大值与最小值; (2)若关于x的不等式ln x>ax2－1存在唯一的整数解,求实数a的取值范围. 解:(1)因为x∈,f(x)=, 所以f'(x)=, 令f'(x)=0,解得x=,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示. x 1 f'(x) + 0 － f(x) 4－4ln 2 单调递增 单调递减 1 所以,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减. 当x=时,f(x)有极大值,也是f(x)的最大值. 又因为=4－4ln 2,=1,而－1=3－4ln 2=ln e3－ln 16>0, 所以,所以=1为f(x)的最小值. (2)因为x>0,所以不等式ln x>ax2－1可化为a<f(x)=, 由(1)可知f(x)=在区间上单调递增, 在区间上单调递减. 因此f(x)的最大值为,又=1,=0<,f(2)=<1<2, 所以∀x∈N*,x=1时,f(x)最大,所以不等式ln x>ax2－1, 即a<f(x)存在唯一的整数解只能为1, 所以所以a<1. 所以实数a的取值范围为[,1). 　　借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简,一般可将不等关系转化为最值(值域)问题,从而求出参变量的范围. 学生用书⬇第10页 五、客观题的解法 数学客观题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，解答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断．其中选择题要充分利用题干和选项两方面提供的信息，尽量缩短解题时间，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫．常用的方法有巧取特例、数形结合、构造法、巧用“端点效应”、妙用二级结论等. 技法一　巧取特例　实现秒杀 从题干出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或特殊图形或特殊位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可以使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等． 已知数列{an}的前n项和为Sn，则“{an}为递增数列”是“{Sn}为递增数列”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:D 　一方面，若{an}为递增数列，则an＋1>an对任意的n∈N*都成立，但an＋1的符号不能确定，又Sn＋1－Sn＝an＋1，所以Sn＋1－Sn>0，Sn＋1－Sn＝0，Sn＋1－Sn<0均有可能，所以不能确定{Sn}为递增数列，所以“{an}为递增数列”不是“{Sn}为递增数列”的充分条件．另一方面，若{Sn}为递增数列，则Sn＋1>Sn>Sn－1对任意的n∈N*，n>1都成立，但Sn＋1＋Sn－1－2Sn的符号不确定，又an＋1－an＝Sn＋1－Sn－Sn＋Sn－1＝Sn＋1＋Sn－1－2Sn，所以an＋1－an的符号也不确定，所以“{an}为递增数列”不是“{Sn}为递增数列”的必要条件．故选D. 　利用特例:对于递增数列{an},如－1,0,1,2,…,显然S1=S2=－1,即{Sn}不为递增数列;对于通项公式为Sn=n的递增数列{Sn},其对应的{an}为常数列1,1,1,1,…,显然{an}不是递增数列.从而选D. 技法二　数形结合　天堑变通途 数形结合包括两方面，一是“以形助数”，根据函数图象挖掘其几何意义，利用图象的直观性求解与数有关的问题(如函数的零点问题，取值范围问题等)；二是“以数辅形”，对平面向量、解析几何、立体几何等问题，用建系法、向量法等辅以计算，从而求解问题． 已知圆M:(x－x0)2+(y－y0)2=8,点T(－3,4),从坐标原点O向圆M引两条切线,切点分别为P,Q,若切线OP,OQ的斜率分别为k1,k2,且k1k2=－1,则|TM|的取值范围为　　　　.  答案:[1,9] 　由已知得M(x0,y0),原点O在圆M外,所以>8.由题意知,过原点O的圆的切线的斜率存在,设其方程为y=kx,则=2,即(－8)k2－2x0y0k+－8=0,则k1k2==－1,所以=16.所以点M在以原点为圆心、4为半径的圆上,易知T到原点O的距离为5,因而由数形结合知,|TM|∈[1,9]. 　由题知切线OP,OQ互相垂直,连接MQ,MP,则四边形OPMQ为正方形,如图所示.连接MO,由于圆M的半径为|PM|=|QM|=2,所以|MO|=4,所以点M在以原点为圆心、4为半径的圆上,易知T到原点O的距离为5,因而由数形结合知,|TM|∈[1,9]. 技法三　 构造法　蹊径可现 　　用构造法解客观题的关键是利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型,它需要对基础知识和基本方法有一定的积累,需要从一般的方法原理中进行提炼概括,积极联想,横向类比,从曾经遇到的类似问题中寻找灵感,构造出相应的具体数学模型,使问题简化. 设实数a=,b=ln ,c=,那么a,b,c的大小关系为 (　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 答案:A 　a=,b= 2,c=,由函数y= x在(0,+∞)上单调递增,将原问题转化为比较,2,的大小.因为>e>2,所以a>b.因为>21.6=25>24=3,所以2>,所以b>c.从而a>b>c.故选A. 　对于a与b,由于>1>ln 2,所以 2=ln ,即a>b.对于a与c,由于>2>ln 3,所以,即a>c.对于b与c,b= 2,c=>21.6=25>24=3,即b>c.从而a>b>c.故选A. 　由a=,b=,c=,构造函数f(x)=,则当x∈(0,e)时有f'(x)=>0,易知函数f(x)在(0,e)上单调递增,因为<2<e,所以f(e)>f(2)>f(),即>b>c,而,从而a>b>c.故选A. 技法四　巧用“端点效应”　见微知著 　　根据演绎推理的原理知,一般性结论成立,特殊的结论必然成立,因此优先考虑区间端点,尤其是当难以确定端点处是否成立时,可直接取端点进行检验,以避免考虑不周全而导致的错误. (2a－1)x2+2ln x－4ax<0对x∈(1,+∞)恒成立,则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案:A 　设f(x)=(2a－1)x2+2ln x－4ax, 则f'(x)=2(2a－1)x+－4a=2×(x－1)[(2a－1)x－1]. ①当a>时,当x→+∞时,f(x)>0,不符合题意. ②当a时,2a－10,故当x∈(1,+∞)时,恒有f'(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)<f(1)=－2a－10,即a≥－,所以－a,即a∈.故选A. 　(端点效应)由题意知f(1)=2a－1－4a0,即a≥－,当x→+∞时,要使f(x)<0,只需2a－10,即a,所以－a,即a∈,当a=时,不等式为2ln x－2x<0在x∈(1,+∞)显然恒成立,结合选项知选A. 技法五　妙用二级结论　速算秒解 (1)在圆(x－3)2+(y－4)2=r2(r>0)上总存在点P,使得过点P能作椭圆+y2=1的两条相互垂直的切线,则r的取值范围是 (　　) A.(3,7) B.[3,7] C.(1,9) D.[1,9] (2)等边△ABC的外接圆半径为2,点P是该圆上的动点,则·· 的最大值为 (　　) A.4 B.7 C.8 D.11 答案:(1)B　(2)C 解析:(1)　设P(m,n),当过P与椭圆相切的直线的斜率存在且不为0时,设其方程为y－n=k(x－m),即y=kx－km+n,此时m≠±,n≠±1,将其代入椭圆方程+y2=1,化简得 x2+2k(n－km)x+(n－km)2－1=0,所以Δ=4k2(n－km)2－4 [(n－km)2－1]=0,即k2(n2－2kmn+k2m2)－(n2－2kmn+k2m2－1)－k2(n2－2kmn+k2m2)+k2=0,所以3k2－n2+2kmn－k2m2+1=0,即(3－m2)k2+2kmn+1－n2=0.设k1,k2是方程(3－m2)k2+2kmn+1－n2=0的两根,因为两切线互相垂直,所以k1k2=－1,即k1k2==－1,所以m2+n2=4(m≠±,n≠±1).当切线斜率不存在或斜率为0时,易知P(,1)或P(－,1)或P(,－1)或P(－,－1)也满足m2+n2=4.综上,点P在圆x2+y2=4上,圆心为(0,0),半径为2.又P在圆(x－3)2+(y－4)2=r2(r>0)上,且其圆心为(3,4),所以|2－r| 2+r,即|2－r|52+r,所以r∈[3,7].故选B. 　根据蒙日圆定理:椭圆=1上两条互相垂直的切线的交点的轨迹是一个与椭圆同心的圆,且半径为.由已知得点P的轨迹方程为圆x2+y2=4,该轨迹与圆(x－3)2+(y－4)2=r2(r>0)有公共点,易知两圆圆心距为5,从而|r－2|5r+2,即3r7,所以r∈[3,7].故选B. (2)以△ABC的中心O为坐标原点,以过点O且与AC平行的直线为x轴,AC边上的中线BD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系, 如图所示,则A(,－1),B(0,2),C(－,－1),由△ABC的外接圆半径为2,得外接圆的方程为x2+y2=4,设P(2cos θ,2sin θ),则·=(－2cos θ,－1－2sin θ)·(－2cos θ,2－2sin θ)=2－2sin θ－2 θ,·=(－2cos θ,2－2sin θ)·(－－2cos θ,－1－2sin θ)=2－2sin θ+2 θ.所以··=4－4sin θ,当sin θ=－1时,待求式取得最大值为8.故选C. 　如图,取AC的中点D,连接BD,PD,取BD的中点E,连接PE.由△ABC的外接圆半径R为2,得其边长为a=2,又E为BD的中点,所以|BE|=|BD|=,则···()=·2=2()·()=2()=2||2－,当P在BD的延长线与外接圆的交点(异于点B)处时,|PE|最大,为2R－|BE|=4－,可得··的最大值为8.故选C. 学生用书⬇第11页 学科网（北京）股份有限公司 $$