第6章 圆与扇形易错训练与压轴训练（12易错+4压轴）-2024-2025学年六年级数学下册单元速记·巧练（沪教版2024）

第6章 圆与扇形易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　圆的周长计算 1 易错题型二　与圆相关的轴对称图形 3 易错题型三　组合图形的周长 5 易错题型四　求弧长 6 易错题型五　求圆心角 7 易错题型六　圆的面积计算 8 易错题型七　圆环面积的计算 10 易错题型八　扇形的周长和面积 11 易错题型九　画圆及扇形 13 易错题型十　含圆的组合图形的周长、面积计算 15 易错题型十一　阴影部分的周长和面积 17 易错题型十二　不规则图形的面积 19 压轴题型一　圆的周长压轴计算 22 压轴题型二　弧长压轴计算 24 压轴题型三　圆的面积压轴计算 26 压轴题型四　扇形面积压轴计算 29 02 易错题型 易错题型一　圆的周长计算 1．一只挂钟的分针长分米，经过分钟后，分针的尖端所走的路程是 分米． 【答案】 【分析】本题考查圆周长的计算，分针的尖端所走的路程是半径为分米的圆周长的一半，利用圆的周长的计算方法进行计算即可，熟记圆周长的计算公式是解题的关键． 【详解】解：经过分钟后，分针的尖端所走的路程是（分米）， 故答案为：． 2．如图，把一支铅笔垂直插入一个半径为的圆形硬纸板的圆心，然后绕一个直径为的半圆形硬纸片滚动，铅笔留下痕迹的长度是（    ）． A．31.4 B．18.84 C．9.14 D．6.28 【答案】B 【分析】本题考查了圆的周长公式的应用，先计算出铅笔留下痕迹的长度是半径为厘米的圆周长的一半，再根据圆的周长公式计算即可得解． 【详解】解：（厘米）， （厘米）， 即铅笔留下痕迹的长度是 故选：B． 3．看图回答问题（此题取） (1)这辆自行车轮子转一圈，可以走几米？ (2)茗菲家离学校，骑这辆自行车上学，轮子转800圈时她能到学校吗？ 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了圆的周长的计算； （1）根据圆的周长公式计算即可求解； （2）计算圈的周长，和比较即可求解． 【详解】（1）解：     答：这辆自行车轮子转一圈，可以走米 （2）解：     ． 答：轮子转800圈时她能到学校 易错题型二　与圆相关的轴对称图形 4．在一个长8分米，宽6分米的长方形中画一个最大的圆，圆的半径是（　　）分米． A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】D 【分析】当圆的直径等于长方形的宽6分米时，此时圆最大，否则，圆就会超出长方形的边界． 【详解】解：一个长8分米，宽6分米的长方形中画一个最大的圆，圆的半径是3分米， 故选：D． 【点睛】本题主要考查在长方形内画圆，在长方形中画一个最大的圆是以宽边作圆的直径． 5．按要求画图．在下面的正方形网格中，每个小正方形的边长为1． (1)在图中的圆内部画出面积最大的正方形，使所画正方形的顶点即在网格中小正方形顶点上，又在圆上． (2)在完成（1）中所作的图形后，共有 条对称轴． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（ 1 ）在圆内画两条互相垂直的直径（在网格线上），依次连结各直径的端点，所得到的四边形就是圆内最大的正方形，且正方形的顶点即在网格中小正方形顶点上，又在圆上； （2 ）圆有无数条对称轴，这个组台图形的轴对称轴的条数主要是由正方形决定的．根据轴对称图形的意义，它有4条对称轴，即过正方形对边中点的直线、两对角线所在的直线． 【详解】（1）解：如图所示． ， （2）解：如图所示，共有4条对称轴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查作图—轴对称变换和圆的有关性质，圆内最大的正方形的四个顶点就是圆两条互相垂直的直径的端点；圆有无数条对称轴，正方形有4条对称轴，圆与内接正方形或与外切正方形的对称轴是由正方形决定的． 6．下列轴对称图形中，对称轴最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项A图形有1条对称轴， 选项B图形有3条对称轴， 选项C图形有3条对称轴， 选项D图形有无数条对称轴， 所以对称轴最多的是选项D． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 易错题型三　组合图形的周长 7．一个半圆面，半径是r，它的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意：一个半圆面，半径是r，可先求出这个半圆面所在的整个圆的周长，再除以2加上它的直径即可． 【详解】解：已知半径是r， 半圆面的周长 ； 答：它的周长是． 故选：D． 【点睛】此题主要考查的是已知半圆的半径求半圆的周长的知识． 8．小明将一张半圆形纸片平均分成四份后，重新组合在一起（如下图），新组合的图形的周长是( )cm（π取3）．    【答案】 【分析】通过观察图形发现，新组合的图形的周长等于圆周长的一半加上2条半径（1条直径）的长．先根据圆的周长求出圆的周长，再用圆的周长÷2求出圆周长的一半；再加上1条直径的长． 【详解】解： ． 所以新组合的图形的周长是． 故答案为：． 【点睛】新组合图形的周长等于半圆的周长，它们的周长都等于圆周长的一半＋1条直径（2条半径）的长． 9．把边长为1厘米的正方形纸片按下面的规律拼成长方形． …… （1）用5个正方形拼成的长方形的周长是( )厘米． （2）用10个正方形拼成的长方形的周长是( )厘米． 【答案】 12 22 【分析】（1）根据题意，按规律拼成的长方形的长=正方形的个数×正方形的边长，长方形的宽还是原来正方形的边长，即1厘米．再根据长方形的周长公式计算即可； （2）根据题意，按规律拼成的长方形的长=正方形的个数×正方形的边长，长方形的宽还是原来正方形的边长，即1厘米．再根据长方形的周长公式计算即可． 【详解】解：（1）由题意得用5个正方形拼成的长方形的周长是厘米， 故答案为：12； （2）由题意得用5个正方形拼成的长方形的周长是厘米， 故答案为：22． 【点睛】本题主要考查了图形类的规律探索，正确找到图形之间的规律是解题的关键． 易错题型四　求弧长 10．一条弧所对的圆心角是144°，那么这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长公式以及圆的周长公式列式化简即可． 【详解】解：设这条弧所在圆的半径为， 则这条弧长为：，这条弧所在圆的周长为， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了弧长公式：（弧长为，圆心角度数为，圆的半径为），熟记公式是解题的关键． 11．在同一个圆中，100°的圆心角所对的弧的弧长与20°的圆心角所对的弧的弧长之比是 ． 【答案】 【分析】根据弧长公式进行计算再求比即可． 【详解】100°的圆心角所对的弧的弧长：， 20°的圆心角所对的弧的弧长：， ∴：=5：1． 故答案为：5：1． 【点睛】本题考查了弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 12．圆半径为，那么的圆心角所对的弧长 ． 【答案】6.28 【分析】根据弧长公式计算，即可得到答案． 【详解】的圆心角所对的弧长 故答案为：6.28． 【点睛】本题考查了弧长计算的知识；求解的关键是熟练掌握弧长计算的方法，从而完成求解． 易错题型五　求圆心角 13．若将一个圆分割成两个扇形，他们的圆心角度数之比为，则较大的圆心角度数为 ． 【答案】/240度 【分析】本题考查了认识平面图形－圆心角，列式计算，解答此题的关键是由题意得出三个圆心角的和为．根据它们的圆心角的度数和为周角，则利用它们所占的百分比计算它们的度数即可． 【详解】解：最大扇形的圆心角的度数． 故答案为：． 14．以圆为弧的扇形的圆心角（    ）度． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了圆周角和对圆的意义的灵活运用，因为圆周角是，求以圆为弧的扇形的圆心角就是把圆周角平均分成份，然后除以即可，解题的关键是圆的意义的理解和灵活运用． 【详解】解：∵以圆为弧的扇形的圆心角就是把圆周角平均分成份， ∴圆心角为， 故选：． 15．把一个圆分成三个扇形，其面积之比为，在这三个扇形中，最小的圆心角度数为 ． 【答案】 【分析】先求出总份数，再分别求出各扇形的圆心角度数各占周角度数的几分之几，周角是360°，然后根据求一个数的几分之几是多少，用乘法解答． 【详解】解： ∵ ∴最小的圆心角度数为 故答案为： 【点睛】此题考查的目的是理解掌握按比例分配的方法及应用，圆的面积公式、扇形面积公式的灵活运用，关键是求出每个扇形的圆心角度数占周角的几分之几． 易错题型六　圆的面积计算 16．用长3.14米的篱笆靠墙围一个半圆形鸡舍（如图），这个鸡舍的占地面积是( )平方米． 【答案】1.57 【分析】本题考查圆的周长和面积公式，熟练掌握公式是解题的关键． 根据半圆弧的周长公式：，据此把数代入公式即可求出鸡舍的半径，再根据半圆的面积：，把数代入公式即可求解． 【详解】解：（米）， （平方米）， 故答案为：1.57． 17．一个圆形花坛的周长是米，在花坛一周铺一条宽1米的碎石小路，小路的面积是( )平方米．（取） 【答案】 【分析】本题考查了圆的面积的计算．根据圆的面积公式计算即可． 【详解】解： ， ， （平方米）， 故答案为：． 18．（1）求阴影部分的周长（结果保留π）； （2）求阴影部分面积（结果保留π）。 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了圆的周长公式和面积公式，关键是列出正确的算式计算． （1）用半径为6的圆周长的一半加上半径为4的圆周长的周长的一半再加上半径为2的圆周长的周长的一半； （2）用边长为6的正方形减去半径为3的圆的面积． 【详解】（1） ； （2） ． 易错题型七　圆环面积的计算 19．在一个半径为3米的圆形花坛外，围绕一周修一条2米宽的小路，这条小路的面积是 平方米． 【答案】 【分析】本题考查认识平面图形，圆面积的计算方法．求出花坛半径以及小路外沿所在圆的半径，根据面积之间关系进行计算即可． 【详解】解：小路外沿所在圆的半径为（米）， 所以小路的面积为：（平方米）， 故答案为：． 20．大圆半径为，小圆半径为，两个同心圆构成一个环形.以圆心为顶点，半径为边长作一个正方形：再以为顶点，以为边长作一个小正方形.图中阴影部分的面积为50平方厘米，圆环面积为( )平方厘米．（圆周率取） 【答案】157 【分析】根据题意，得大正方形的面积为，小正方形的面积为，阴影面积等于平方厘米，根据圆环面积为，代入计算即可． 本题考查了正方形的面积，阴影面积，圆的面积，熟练掌握面积计算方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得大正方形的面积为，小正方形的面积为， 阴影面积等于平方厘米， 根据圆环面积为平方厘米， 故答案为：157． 21．图①的纸环是将一张长方形纸条一端旋转，再将两端粘上得到的，图②的纸环是将一张长方形纸条两端粘上得到的，． （1）图( )的纸环是莫比乌斯带． （2）两只蚂蚁分别沿两个纸环爬行，图①中的蚂蚁如果不爬过纸环的边缘，它( )到达纸环上的任意一点．图②中的蚂蚁如果不爬过纸环的边缘，它( )到达纸环上的任意一点．（填“能”或“不能”） 【答案】 ① 能 不能 【分析】本题考查了莫比乌斯带，掌握莫比乌斯带的特点是解题的关键． （1）将长方形纸条扭一下，再将两端粘合，得到的图形是莫比乌斯带．据此找出哪个图形是莫比乌斯带； （2）小蚂蚁沿着莫比乌斯带爬行，能够到达纸环上的任意一点．据此填空． 【详解】（1）根据莫比乌斯带的定义：只有一个面、一条封闭曲线作边界的纸圈可得，图①的纸环是莫比乌斯带， 故答案为：①； （2）两只蚂蚁分别沿两个纸环爬行，图①中的蚂蚁如果不爬过纸环的边缘，它能到达纸环上的任意一点．图②中的蚂蚁如果不爬过纸环的边缘，它不能到达纸环上的任意一点． 故答案为：能，不能． 易错题型八　扇形的周长和面积 22．把一个圆分成甲、乙、丙、丁四个扇形，它们的面积之比是，则最大扇形的圆心角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积．各扇形面积之比等于各扇形的圆心角之比，则最大扇形的圆心角． 【详解】解：∵扇形甲、乙、丙、丁的面积之比为，且， ∴对应扇形所占的圆心角之比也为， 最大扇形的圆心角． 故答案为：． 23．如图所示，为美化校园环境，学校计划在一个边长为4m的正方形内种植红和黄两种不同颜色的花朵，如图，扇形区种植红花，阴影处种植黄花． (1)求种植红色花朵的面积是多少（取3）？ (2)求黄花的种植面积比红花的种植面积少几分之几？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求扇形面积，分数的应用， （1）红花的种植面积为一个圆心角度数为90度的扇形面积，据此求解即可； （2）先求出黄花的种植面积，再用红花面积减去黄花面积，最后除以红花面积即可得到答案． 【详解】（1）解：， 答：种植红色花朵的面积是； （2）解：， 所以种植黄花的面积为， ， 答：黄花的种植面积比红花的种植面积少． 24．图形问题． (1)计算阴影部分的面积．（单位：厘米）    (2)如图，半圆的周长是，求这个半圆的面积．    【答案】(1)平方厘米； (2)． 【分析】（1）把弓形补到长方形内，则阴影部分组成一个梯形，然后利用梯形面积公式求解即可； （2）设这个半圆的半径为r，然后根据半圆的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：（平方厘米） （2）解： ． 【点睛】此题考查了圆的面积，利用图形变化，把不规则的图形转化成规则图形是解题的关键． 易错题型九　画圆及扇形 25．画一个半径是7厘米的圆，圆规两脚间的距离应取（    ）厘米． A．3.5 B．7 C．14 D．不确定 【答案】B 【分析】根据圆规两脚间的距离即半径，进行解答即可． 【详解】解：∵圆规两脚间的距离为圆的半径， ∴圆规两脚间的距离应取7厘米，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆作图问题，根据圆的半径等于圆规两脚间的距离，进行解答即可． 26．下列说法中：①除以一个数等于乘它的倒数；②如果圆的半径扩大到原来的倍，周长和面积也扩大到原来的倍；⑧因为米比米少，所以米比米多；④小亮的身高是米，爸爸的身高是厘米，小亮和爸爸的身高比是；⑤用个圆心角都是的扇形，一定可以拼成一个圆，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】分别根据除法法则、圆的周长和面积公式、分数的计算、比的定义、扇形与圆的定义判断即可． 【详解】解：①除以一个不等于的数等于乘它的倒数，故此选项不符合题意； ②如果圆的半径扩大到原来的倍，周长扩大到原来的倍，面积扩大到原来的倍，故此选项不符合题意； ③因为米比米少，所以米比米多，故此选项不符合题意； ④小亮的身高是米，爸爸的身高是厘米，小亮和爸爸的身高比是，故此选项符合题意； ⑤用个圆心角都是的扇形，一定可以拼成一个圆，不正确，当扇形的半径相等时才能拼成一个圆，故此选项不符合题意， ∴其中正确的有个． 故选：B． 【点睛】本题考查除法法则、圆的周长和面积公式、分数的计算、比的定义、扇形与圆的定义，解题的关键是熟练掌握这些定义和法则． 27．下列说法正确的个数有（    ） ①如果，就是的3倍； ②圆有无数条对称轴，每一条直径都是它的一条对称轴； ③用4个圆心角都是的扇形，一定可以拼成一个圆； ④小明与小红分别从家到学校，小明用8分钟，小红用10分钟，小明和小红的速度之比是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】①根据除法的意义判断即可；②根据轴对称图形的定义判断即可；③根据扇形的定义判断即可；④根据“速度=路程÷时间”判断即可． 【详解】解：①如果，则，即b就是a的3倍，说法正确； ②圆有无数条对称轴，每一条直径所在的直线都是它的一条对称轴，故原说法错误； ③用4个圆心角都是的扇形，一定可以拼成一个圆，说法错误，只有扇形的半径相同才能成立； ④小明与小红分别从家到学校，小明用8分钟，小红用10分钟，由于路程不确定，故不能确定小明和小红的速度之比，所以原说法错误． 所以正确的个数有1个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形以及扇形，掌握相关定义是解答本题的关键． 易错题型十　含圆的组合图形的周长、面积计算 28．长方形的宽是4厘米，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】阴影部分面积为平方厘米 【分析】本题考查了简单几何图形中求阴影部分的面积，解题的关键善于观察图形之间的关系． 观察图形发现，长方形被一条对角线平分成相等的两部分，矩形的宽等于圆的直径，矩形的长等于圆的直径的两倍，据此即可解题． 【详解】解：阴影部分的面积等于长方形的面积减去两个圆的面积，再除以2， ∴阴影部分面积(平方厘米） 29．求图中涂色部分的面积．(单位∶cm)    【答案】 【分析】本题主要考查分数的混合运算，组合图形的面积．阴影部分的面积等于长方形的面积圆的面积圆的面积三角形的面积，据此可求解． 【详解】解：由题意得： 阴影部分的面积为： ． 30．小明家的一扇窗要装上形状如图所示的装饰木条，其中上半部分为直径是的半圆（半圆内部有两条半径），下半部分为长方形．（取） (1)一共需要木条多少厘米？ (2)如果想买一些漂亮的粘贴膜装饰如图所示区域，已知每平方米粘贴膜费用是200元，需要多少费用？ 【答案】(1)一共需要木条 (2)需要124.26元的费用 【分析】本题考查半圆的周长及面积，长方形的周长及面积． （1）需要的木条的长度就等于圆的周长的一半，再加上长方形的周长再加上2条圆的半径； （2）围成的图形的面积等于半圆的面积加上长方形的面积，用围成的图形的面积乘以每平方米粘贴膜费用据此解答即可． 解答此题的关键是：弄清楚围成图形的线段或曲线有哪几部分，围成的图形由哪些图形组成，从而求出其周长和面积． 【详解】（1）解：半圆半径：， 半圆圆形部分周长：， 长方形周长：， 一共需要木条：， 答：一共需要木条． （2）， （平方米）， （元）， 答：需要元的费用． 易错题型十一　阴影部分的周长和面积 31．（1）求下列图形阴影部分的周长； （2）如图所示，已知四边形是正方形，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了求组合图形的周长与面积，利用割补思想是解题的关键； （1）由大圆的直径及圆环的宽度可求得小圆直径，而两个圆的周长和为阴影的周长； （2）连接，则阴影面积为，由此即可求解． 【详解】解：（1）小圆直径为， 则阴影部分周长为：； 答：阴影部分的周长为； （2）如图，连接， 则 ， 故． 32．求下面图形中阴影部分的面积和周长（单位：厘米） 【答案】面积为，周长为 【分析】本题主要考查了求阴影部分的面积和周长，阴影部分的面积等于长方形的面积减去半圆的面积，周长为半圆周长加上长方形的长，据此求解即可． 【详解】解：， ，， 所以面积为，周长为． 33．计算阴影部分的周长或面积． (1)计算阴影部分的周长 (2)计算阴影部分的周长 (3)计算阴影部分面积 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了扇形的弧长公式、圆的周长以及面积公式，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据扇形的弧长公式即可解答； （2）根据圆形的周长公式即可解答； （3）根据圆形的面积公式利用大圆面积减去小圆面积即可解答． 【详解】（1）解：阴影部分的周长为：； （2）解：阴影部分的周长为：； （3）解：阴影部分的面积为：． 易错题型十二　不规则图形的面积 34．求如图所示图形阴影部分的面积． (1) (2) 【答案】(1)平方厘米 (2)平方分米 【分析】本题考查求出阴影部分面积，关键是将阴影的面积转化为规则图形面积的和差． （1）阴影的面积等于大半圆面积减去小半圆面积； （2）阴影的面积等于梯形面积减去半圆面积 【详解】（1）解：∵阴影的面积=大半圆面积-小半圆面积， ∴阴影的面积（平方厘米）． （2）解：∵阴影的面积=梯形面积-半圆面积， ∴阴影的面积（平方分米）． 35．如图：两个半径相等的圆A和圆B相交，三角形是等腰直角三角形，面积是24平方厘米，是平行四边形，求图中阴影部分的面积（取3.14）． 【答案】阴影部分的面积是13.68平方厘米 【分析】本题考查圆的面积，三角形的面积，连接圆心和另一个两圆的交点，连接，得到阴影部分的面积为一个弓形的面积，根据平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，得到，，进而得到，根据弓形的面积扇形的面积三角形的面积，进行计算即可． 【详解】解：连接圆心和另一个两圆的交点，连接，如图： 则：阴影部分的面积是一个弓形的面积； 因为三角形是等腰直角三角形，面积是24平方厘米，是平行四边形， 所以三角形也是等腰直角三角形，它的面积也是24平方厘米， 所以圆的半径的平方就是（平方厘米）；， 所以； 所以三角形也是一个等腰直角三角形； 所以弓形的面积扇形的面积三角形的面积， （平方厘米）； 答：阴影部分的面积是13.68平方厘米． 36．求下面各图涂色部分的面积． 【答案】； 【分析】本题主要考查组合图形的面积， （1）用大正方形面积加上小正方形的面积，然后减去底为，高为的三角形的面积即可； （2）用上底为，下底为，高为梯形的面积减去半径为圆的，再减去底和高都为的三角形的面积即可求出涂色部分的面积． 【详解】 ； ． 03 压轴题型 压轴题型一　圆的周长压轴计算 37．生活中，经常把一些同样大小的圆柱管按下图的方式捆扎起来，如果每根圆柱管的直径是8cm，当圆柱管放置方式是“单层平放”时，捆扎一圈后的横截面如下图所示，那么当圆柱管有100个时，需要绳子( )cm．（取3）    【答案】1608 【分析】1个圆柱体时，绳子的长度就是底面圆的周长；2个圆柱体时，绳子的长度就是一个底面圆的周长加上圆的直径；3个圆柱体时，绳子的长度就是一个底面圆的周长加上圆的直径；那么100个圆柱体，绳子的长度就是一个底面圆的周长加上圆的直径；据此求解即可． 【详解】解：根据题意得： ， 圆柱管有100个时，需要绳子， 故答案为：1608． 【点睛】本题考查了利用圆的相关知识求解，根据题意得出那么100个圆柱体，绳子的长度就是一个底面圆的周长加上圆的直径是解题的关键． 38．一把直角三角尺的一边紧贴在直线上，，，，直角三角尺先绕点顺时针旋转，使落在直线上，然后绕点顺时针旋转，使落在直线上，再绕点顺时针旋转，使落在直线上，此时，三角形的放置方式与初始的放置方式一样，我们称这样的旋转为一个周期．请问，再经过几个周期，点走过的路程就会超过？（取3.14）      【答案】25 【分析】当三角形的放置方式与初始的放置方式一样时，旋转为一个周期．点走过的路程为以为半径和以为半径的两个扇形的弧长． 【详解】解：， ， 点走过的路程为以为半径，圆心角为的扇形的弧长和以为半径，圆心角为的扇形的弧长和， 三角形旋转一个周期．点走过的路程为： ， ， 答：从初始位置开始至少经过25个周期，点走过的路程会超过． 【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，掌握点经过的图形的形状是关键． 39．有一种用来画圆的工具板（如图所示），工具板长21cm，上面依次排列着大小不等的五个圆（孔），其中最大圆的直径为3cm，其余圆的直径从左到右依次递减0.2cm. 最大圆的左侧距工具板左侧边缘1.5cm，最小圆的右侧距工具板右侧边缘1.5cm，相邻两圆的间距d均相等． （1）直接写出其余四个圆的直径长； （2）求相邻两圆的间距． 【答案】解：（1）其余四个圆的直径依次为：2.8cm, 2.6cm, 2.4cm, 2.2cm （2）cm． 【分析】（1）通过总长21cm，右侧边缘1.5cm，左侧边缘1.5cm，大圆的直径为3cm，其余圆的直径从左到右依次递减0.2cm，即可求得其余四个圆的直径． （2）相邻两圆的间距d均相等即可求得． 【详解】解：（1）其余四个圆的直径依次为：2.8cm, 2.6cm, 2.4cm, 2.2cm （2）依题意得，， ∴， ∴ 答：相邻两圆的间距为cm.． 压轴题型二　弧长压轴计算 40．等边三角形的边长是3厘米，现将沿一条直线翻滚30次，如图所示，求点经过的路程的长． 【答案】125.6cm 【分析】翻转第一次转动，它走的路程是圆心角是的圆弧；翻转第二次转动，它走的路程是圆心角是的圆弧；第三次点是不动的，因此 每翻滚一次，就有一次固定不动，以此类推，根据圆的周长公式求出点经过的路程，由此求解． 【详解】A点运动一次走过的路程是圆心角为半径为3厘米的扇形的弧长，但连续运动两次之后，第三次A点是不动的， 因此每翻滚一次，就有一次固定不动， A点经过的路程的长为：． 【点睛】本题综合性较强，一方面要分清楚点的运动路径，另一方面要确定三角形在旋转时的旋转中心． 41．如图，将直角三角尺ABC（其中）绕点B顺时针旋转一个角度到的位置，使得点A，B，在同一条直线上，如果AB的长度为10，那么点A旋转到点走过的路程是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】根据三角尺的度数得出，然后根据平角等于求出，然后根据弧长公式列式进行计算即可得解． 【详解】解：∵△是旋转得到， ∴， 又∵点A，B，在同一条直线上， ， 的长度为10， 点转动到点走过的路程． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了弧长的计算，记住弧长的计算公式、明确三角尺的度数的常识是解题的关键． 42．某服装厂有形状为等腰三角形的边角布料，测的得，米，现要从此三角形中剪出若干扇形，以制作不同形状的玩具，要求扇形的两条半径恰好都在的边上，扇形的弧与的一边有一个公共点（或两边各有一个公共点）．如第一幅图所示的扇形符合题意．现请设计其他符合题意的一种方案，要求在第二幅图中画出图形，请直接写出半径并求扇形的周长（结果保留π），若想不出其他方案，可以直接根据第一幅图写出半径并求该扇形的周长（结果保留π），若还有更多方案，可以画在后面的图中．    【答案】（米）， （米）； （米），（米），图形见解析 【分析】第一幅图中的扇形半径等于等腰三角形腰的一半，用弧长公式求出弧长，再算扇形周长，第二幅图可以以B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点D，画出一个扇形，用同样的方法求出扇形周长． 【详解】解：方案一，如图，过点O作于点D，作于点E， O是AB的中点，四边形ODCE是正方形， （米），即半径（米）， 弧长（米）， 扇形周长（米）；      方案二，如图，以B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点D， 半径（米）， 弧长（米）， 周长（米），      综上：（米），（米）；（米），（米）． 【点睛】本题考查扇形的周长的求解，解题的关键是掌握扇形的周长的求解方法． 压轴题型三　圆的面积压轴计算 43．在桌面上放置个两两重叠、形状相同的圆形纸片．们的面积都是平方厘米，盖住桌面的总面积是平方厘米，张纸片共同重叠的面积是平方厘米．那么图中个阴影部分的面积的和多少是平方厘米？ 【答案】72平方厘米 【分析】本题考查了容斥定理以及求阴影部分的面积，根据三个圆叠起来的面积以及本身的面积可求得阴影部分的面积，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题可得三个圆的面积和为：平方厘米， 重合的面积为：（平方厘米）， ∵盖住桌面的总面积是（平方厘米）， ∴， ∴（平方厘米）． 44．如图，点P是正方形内部的一点，连接．将绕着点B顺时针旋转到的位置．设，，，求旋转到的过程中边所扫过的区域（图中阴影部分）的面积． 【答案】 【分析】本题考查了圆的面积公式，根据旋转的性质，三角形和三角形面积相等，阴影部分面积扇形面积三角形面积三角形面积扇形面积扇形面积扇形面积，根据扇形的面积公式代入计算即可，利用旋转后图形的大小和形状都不改变这个关键．再根据面积之间的关系求出阴影部分面积． 【详解】解： 答：扫过的区域的面积是。 45．小明用边长为3厘米的木条做了个正三角形框架，之后又用半径为1厘米的圆沿着这个架子的外围滚了一圈．       (1)求这个圆扫过的面积是 ． (2)小明又用同样长度的木条做了个正五边形（五条边相等，五个内角相等的图形）的框架，那么再用半径为1厘米的圆沿着这个架子的外围滚了一圈其扫过的面积又是 ． (3)当用同样长度的木条做正n边形（n条边相等，n个内角相等的图形）的框架，再用半径为1厘米的圆沿着这个架子的外围滚一圈．圆扫过的图形都是由扇形和长方形组成，现标记这个扇形的圆心角大小为，正n边形的内角大小为，请写出与之间的数量关系 ， 并用含n的式子表示的大小，则 ． 【答案】(1) (2) (3)；． 【分析】（1）根据题意，求得三个长方形和一个圆的面积即可求解； （2）根据（1）的方法，面积为五个长方形和一个圆的面积，即可求解； （3）根据，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，这个圆扫过的面积是， 故答案为：． （2）根据题意，这个圆扫过的面积是 故答案为：． （3）解：依题意，长方形的每个角为，根据题意，圆扫过的图形中扇形的圆心角之和为，则边形中，每一个扇形的角度 又∵ ∴ 故答案为：；． 【点睛】本题考查了求圆的面积，扇形的圆心角度数，理解题意是解题的关键． 压轴题型四　扇形面积压轴计算 46．如图，一只小羊被主人用绳子拴在长为5米，宽为4米的长方形水泥台的一个顶点上，水泥台的周围都是草地， (1)若绳子长为4米，求这只羊能吃到草的区域的最大面积（结果保留） (2)为了增加小羊吃草的范围，现决定把绳子的长度增加到6米，求这只羊现在能吃到草的区域的最大面积（结果保留） 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】（1）先根据题意画出图形，列出算式，再求出即可； （2）先根据题意画出图形，列出算式，再求出即可． 【详解】（1）解：假设羊绷着绳子跑，则羊能到达的区域就是最大区域的边界， 当绳子长为4米时，这只羊能吃到草的区域的最大区域为图中阴影部分， 则面积（平方米）， 答：这只羊能吃到草的区域的最大面积是平方米； （2）如图，当绳长为6米时，羊活动的最大区域为阴影部分， 其中分为扇形，扇形，扇形， ∵，，， ∴，， ∴阴影部分面积为． 【点睛】本题考查了扇形的面积计算，能根据题意画出图形，列出算式是解此题的关键． 47．（1）如图1，是等边三角形，曲线……叫做“等边三角形的渐开线”，曲线的各部分均为圆弧．设的边长为3厘米，求前5段弧长的和（即曲线的长）是多少厘米？ （2）如图2，有一只狗被拴在一建筑物的墙角上，这个建筑物是边长为400厘米的正方形，拴狗的绳子长18米．现狗从点A出发，将绳子拉紧按顺时针方向跑，可跑多少米？ 【答案】（1）厘米；（2）米． 【分析】（1）利用弧长公式计算．但要先确定弧所对的圆心角都是120度，半径却在不断的增大，第一次是3厘米，第二次是6厘米，第三次是9厘米，依此下去第五次是15厘米，总和就是把五段弧加起来； （2）分别以B为圆心，为半径跑到F点，以E为圆心，为半径跑到G点，此时跑的距离是，以D为圆心，为半径跑到H点，此时距离是，以C为圆心，为半径跑到K点，此时距离是，以B为圆心，为半径跑到点L，此时距离是，求出总距离即可． 【详解】（1）解：前5段弧长的和（即曲线的长）是： （厘米）． 故前5段弧长的和（即曲线的长）是厘米． （2）解：以B为圆心，为半径跑到F点，此时跑的距离是， ∵，， ∴， 以E为圆心，为半径跑到G点，此时跑的距离是， ∵，， ∴， 以D为圆心，为半径跑到H点，此时距离是 ， ∵，， ∴， 以C为圆心，为半径跑到K点，此时距离是， ∵，， ∴， 以B为圆心，为半径跑到点L，此时距离是， ∴， ∴将绳子拉紧按顺时针方向跑，可跑米． 【点睛】本题考查了圆的应用和弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），等边三角形和正方形的性质，确定每一段弧所在圆的半径是解题的关键． 48．中学原计划在一个直径为20米的圆形场地内修建圆形花坛（花坛指的是图中实线部分），为使花坛修得更加美观、有特色，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出三种方案： 方案A：如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛； 方案B：如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛； 方案C：如图3所示，先画一条直径，然后在直径上任意取四点，把直径分成5条线段，再分别以这5条线段为直径修5个圆形花坛． (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是______． (2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？ (3)如果按照方案C修，学校要求在8小时内完成，甲工人承包了此项工程，他做了4小时后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的效率是甲的，乙加入后，甲的效率也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲可以得到多少钱？（取3） 【答案】(1)20π (2)不省料，因为方案B与方案A的周长相等． (3)甲可以得到360元 【分析】（1）根据圆的周长公式：c=πd，把数据代入公式求此直径是10米的两个圆的周长即可． （2）首先根据圆的周长公式：c=πd，求出直径是8米、和12米的圆的周长和，然后与图1进行比较． （3）因为圆的周长和直径成正比例，所以5个小圆的周长和等于直径20米的圆的周长．设甲原来每小时的工作效率为每小时x米，则乙的工作效率为每小时x米，甲的速度提高后为每小时x米，据此列方程解答． 【详解】（1）π×10×2=20π（米）， 答：修的花坛的周长是20π米． （2）2+3=5 20×=8（米） 20×=12（米）， 8π+12π=20π（米）， 答：不省料，因为方案B与方案A的周长相等． （3）综合前两问可得，花坛的总周长为20π，修完花坛共花费20π×10=200π=600元， 设甲原来每小时的工作效率为每小时x米，则乙的工作效率为每小时x米，甲的速度提高后为每小时x米， 4x+（x +x）×（8-4）=20π 解得x=4， （4×4+4××4）×10=360（元）， 答：甲可以得到360元． 【点睛】此题解答关键是明确：圆的周长和直径成正比例，（3）找出等量关系列方程解答． 2 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 圆与扇形易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　圆的周长计算 1 易错题型二　与圆相关的轴对称图形 3 易错题型三　组合图形的周长 5 易错题型四　求弧长 6 易错题型五　求圆心角 7 易错题型六　圆的面积计算 8 易错题型七　圆环面积的计算 10 易错题型八　扇形的周长和面积 11 易错题型九　画圆及扇形 13 易错题型十　含圆的组合图形的周长、面积计算 15 易错题型十一　阴影部分的周长和面积 17 易错题型十二　不规则图形的面积 19 压轴题型一　圆的周长压轴计算 22 压轴题型二　弧长压轴计算 24 压轴题型三　圆的面积压轴计算 26 压轴题型四　扇形面积压轴计算 29 02 易错题型 易错题型一　圆的周长计算 1．一只挂钟的分针长分米，经过分钟后，分针的尖端所走的路程是 分米． 2．如图，把一支铅笔垂直插入一个半径为的圆形硬纸板的圆心，然后绕一个直径为的半圆形硬纸片滚动，铅笔留下痕迹的长度是（    ）． A．31.4 B．18.84 C．9.14 D．6.28 3．看图回答问题（此题取） (1)这辆自行车轮子转一圈，可以走几米？ (2)茗菲家离学校，骑这辆自行车上学，轮子转800圈时她能到学校吗？ 易错题型二　与圆相关的轴对称图形 4．在一个长8分米，宽6分米的长方形中画一个最大的圆，圆的半径是（　　）分米． A．8 B．6 C．4 D．3 5．按要求画图．在下面的正方形网格中，每个小正方形的边长为1． (1)在图中的圆内部画出面积最大的正方形，使所画正方形的顶点即在网格中小正方形顶点上，又在圆上． (2)在完成（1）中所作的图形后，共有 条对称轴． 6．下列轴对称图形中，对称轴最多的是（    ） A． B． C． D． 易错题型三　组合图形的周长 7．一个半圆面，半径是r，它的周长是（    ） A． B． C． D． 8．小明将一张半圆形纸片平均分成四份后，重新组合在一起（如下图），新组合的图形的周长是( )cm（π取3）．    9．把边长为1厘米的正方形纸片按下面的规律拼成长方形． …… （1）用5个正方形拼成的长方形的周长是( )厘米． （2）用10个正方形拼成的长方形的周长是( )厘米． 易错题型四　求弧长 10．一条弧所对的圆心角是144°，那么这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为（    ） A． B． C． D． 11．在同一个圆中，100°的圆心角所对的弧的弧长与20°的圆心角所对的弧的弧长之比是 ． 12．圆半径为，那么的圆心角所对的弧长 ． 易错题型五　求圆心角 13．若将一个圆分割成两个扇形，他们的圆心角度数之比为，则较大的圆心角度数为 ． 14．以圆为弧的扇形的圆心角（    ）度． A． B． C． D． 15．把一个圆分成三个扇形，其面积之比为，在这三个扇形中，最小的圆心角度数为 ． 易错题型六　圆的面积计算 16．用长3.14米的篱笆靠墙围一个半圆形鸡舍（如图），这个鸡舍的占地面积是( )平方米． 17．一个圆形花坛的周长是米，在花坛一周铺一条宽1米的碎石小路，小路的面积是( )平方米．（取） 18．（1）求阴影部分的周长（结果保留π）； （2）求阴影部分面积（结果保留π）。 易错题型七　圆环面积的计算 19．在一个半径为3米的圆形花坛外，围绕一周修一条2米宽的小路，这条小路的面积是 平方米． 20．大圆半径为，小圆半径为，两个同心圆构成一个环形.以圆心为顶点，半径为边长作一个正方形：再以为顶点，以为边长作一个小正方形.图中阴影部分的面积为50平方厘米，圆环面积为( )平方厘米．（圆周率取） 21．图①的纸环是将一张长方形纸条一端旋转，再将两端粘上得到的，图②的纸环是将一张长方形纸条两端粘上得到的，． （1）图( )的纸环是莫比乌斯带． （2）两只蚂蚁分别沿两个纸环爬行，图①中的蚂蚁如果不爬过纸环的边缘，它( )到达纸环上的任意一点．图②中的蚂蚁如果不爬过纸环的边缘，它( )到达纸环上的任意一点．（填“能”或“不能”） 易错题型八　扇形的周长和面积 22．把一个圆分成甲、乙、丙、丁四个扇形，它们的面积之比是，则最大扇形的圆心角的度数是 ． 23．如图所示，为美化校园环境，学校计划在一个边长为4m的正方形内种植红和黄两种不同颜色的花朵，如图，扇形区种植红花，阴影处种植黄花． (1)求种植红色花朵的面积是多少（取3）？ (2)求黄花的种植面积比红花的种植面积少几分之几？ 24．图形问题． (1)计算阴影部分的面积．（单位：厘米）    (2)如图，半圆的周长是，求这个半圆的面积．    易错题型九　画圆及扇形 25．画一个半径是7厘米的圆，圆规两脚间的距离应取（    ）厘米． A．3.5 B．7 C．14 D．不确定 26．下列说法中：①除以一个数等于乘它的倒数；②如果圆的半径扩大到原来的倍，周长和面积也扩大到原来的倍；⑧因为米比米少，所以米比米多；④小亮的身高是米，爸爸的身高是厘米，小亮和爸爸的身高比是；⑤用个圆心角都是的扇形，一定可以拼成一个圆，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 27．下列说法正确的个数有（    ） ①如果，就是的3倍； ②圆有无数条对称轴，每一条直径都是它的一条对称轴； ③用4个圆心角都是的扇形，一定可以拼成一个圆； ④小明与小红分别从家到学校，小明用8分钟，小红用10分钟，小明和小红的速度之比是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错题型十　含圆的组合图形的周长、面积计算 28．长方形的宽是4厘米，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 29．求图中涂色部分的面积．(单位∶cm)    30．小明家的一扇窗要装上形状如图所示的装饰木条，其中上半部分为直径是的半圆（半圆内部有两条半径），下半部分为长方形．（取） (1)一共需要木条多少厘米？ (2)如果想买一些漂亮的粘贴膜装饰如图所示区域，已知每平方米粘贴膜费用是200元，需要多少费用？ 易错题型十一　阴影部分的周长和面积 31．（1）求下列图形阴影部分的周长； （2）如图所示，已知四边形是正方形，，求阴影部分的面积． 32．求下面图形中阴影部分的面积和周长（单位：厘米） 33．计算阴影部分的周长或面积． (1)计算阴影部分的周长 (2)计算阴影部分的周长 (3)计算阴影部分面积 易错题型十二　不规则图形的面积 34．求如图所示图形阴影部分的面积． (1) (2) 35．如图：两个半径相等的圆A和圆B相交，三角形是等腰直角三角形，面积是24平方厘米，是平行四边形，求图中阴影部分的面积（取3.14）． 36．求下面各图涂色部分的面积． 03 压轴题型 压轴题型一　圆的周长压轴计算 37．生活中，经常把一些同样大小的圆柱管按下图的方式捆扎起来，如果每根圆柱管的直径是8cm，当圆柱管放置方式是“单层平放”时，捆扎一圈后的横截面如下图所示，那么当圆柱管有100个时，需要绳子( )cm．（取3）    38．一把直角三角尺的一边紧贴在直线上，，，，直角三角尺先绕点顺时针旋转，使落在直线上，然后绕点顺时针旋转，使落在直线上，再绕点顺时针旋转，使落在直线上，此时，三角形的放置方式与初始的放置方式一样，我们称这样的旋转为一个周期．请问，再经过几个周期，点走过的路程就会超过？（取3.14）      39．有一种用来画圆的工具板（如图所示），工具板长21cm，上面依次排列着大小不等的五个圆（孔），其中最大圆的直径为3cm，其余圆的直径从左到右依次递减0.2cm. 最大圆的左侧距工具板左侧边缘1.5cm，最小圆的右侧距工具板右侧边缘1.5cm，相邻两圆的间距d均相等． （1）直接写出其余四个圆的直径长； （2）求相邻两圆的间距． 压轴题型二　弧长压轴计算 40．等边三角形的边长是3厘米，现将沿一条直线翻滚30次，如图所示，求点经过的路程的长． 41．如图，将直角三角尺ABC（其中）绕点B顺时针旋转一个角度到的位置，使得点A，B，在同一条直线上，如果AB的长度为10，那么点A旋转到点走过的路程是 ．（结果保留） 42．某服装厂有形状为等腰三角形的边角布料，测的得，米，现要从此三角形中剪出若干扇形，以制作不同形状的玩具，要求扇形的两条半径恰好都在的边上，扇形的弧与的一边有一个公共点（或两边各有一个公共点）．如第一幅图所示的扇形符合题意．现请设计其他符合题意的一种方案，要求在第二幅图中画出图形，请直接写出半径并求扇形的周长（结果保留π），若想不出其他方案，可以直接根据第一幅图写出半径并求该扇形的周长（结果保留π），若还有更多方案，可以画在后面的图中．    压轴题型三　圆的面积压轴计算 43．在桌面上放置个两两重叠、形状相同的圆形纸片．们的面积都是平方厘米，盖住桌面的总面积是平方厘米，张纸片共同重叠的面积是平方厘米．那么图中个阴影部分的面积的和多少是平方厘米？ 44．如图，点P是正方形内部的一点，连接．将绕着点B顺时针旋转到的位置．设，，，求旋转到的过程中边所扫过的区域（图中阴影部分）的面积． 45．小明用边长为3厘米的木条做了个正三角形框架，之后又用半径为1厘米的圆沿着这个架子的外围滚了一圈．       (1)求这个圆扫过的面积是 ． (2)小明又用同样长度的木条做了个正五边形（五条边相等，五个内角相等的图形）的框架，那么再用半径为1厘米的圆沿着这个架子的外围滚了一圈其扫过的面积又是 ． (3)当用同样长度的木条做正n边形（n条边相等，n个内角相等的图形）的框架，再用半径为1厘米的圆沿着这个架子的外围滚一圈．圆扫过的图形都是由扇形和长方形组成，现标记这个扇形的圆心角大小为，正n边形的内角大小为，请写出与之间的数量关系 ， 并用含n的式子表示的大小，则 ． 压轴题型四　扇形面积压轴计算 46．如图，一只小羊被主人用绳子拴在长为5米，宽为4米的长方形水泥台的一个顶点上，水泥台的周围都是草地， (1)若绳子长为4米，求这只羊能吃到草的区域的最大面积（结果保留） (2)为了增加小羊吃草的范围，现决定把绳子的长度增加到6米，求这只羊现在能吃到草的区域的最大面积（结果保留） 47．（1）如图1，是等边三角形，曲线……叫做“等边三角形的渐开线”，曲线的各部分均为圆弧．设的边长为3厘米，求前5段弧长的和（即曲线的长）是多少厘米？ （2）如图2，有一只狗被拴在一建筑物的墙角上，这个建筑物是边长为400厘米的正方形，拴狗的绳子长18米．现狗从点A出发，将绳子拉紧按顺时针方向跑，可跑多少米？ 48．中学原计划在一个直径为20米的圆形场地内修建圆形花坛（花坛指的是图中实线部分），为使花坛修得更加美观、有特色，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出三种方案： 方案A：如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛； 方案B：如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛； 方案C：如图3所示，先画一条直径，然后在直径上任意取四点，把直径分成5条线段，再分别以这5条线段为直径修5个圆形花坛． (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是______． (2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？ (3)如果按照方案C修，学校要求在8小时内完成，甲工人承包了此项工程，他做了4小时后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的效率是甲的，乙加入后，甲的效率也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲可以得到多少钱？（取3） 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$