第6章 圆与扇形知识归纳与题型突破（16类题型清单）-2024-2025学年六年级数学下册单元速记·巧练（沪教版2024）

第6章 圆与扇形知识归纳与题型突破（16类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点一、圆的周长 通过操作和计算，我们发现圆的周长都是直径的固定的倍数，我们把这个倍数叫做圆周率，用字母表示，读作“pai”；圆周率是个无限不循环小数，． 圆的周长直径 = 圆周率． 用字母C表示圆的周长，d表示直径，r表示半径，那么： 或 知识点二、圆的周长公式的应用 圆的周长的计算公式：如果用C表示圆的周长，那么C=πd或C=2πr。 圆的周长计算公式的应用：(1) 已知圆的半径，求圆的周长：C=2πr。(2) 已知圆的直径，求圆的周长：C=πd。(3) 已知圆的周长，求圆的半径：r=C÷π÷2.(4) 已知圆的周长，求圆的直径：d=C÷π。 知识点三、弧长 ①弧和圆心角的概念 如图，圆上A、B两点之间的部分就是弧，记作：，读作：弧AB；称为圆心角． ②弧长公式 设圆的半径长为r，n°圆心角所对的弧长是l，那么：． 知识点四、圆的面积 圆所占平面的大小叫做圆的面积． 设圆的半径长为r，面积为S，那么：圆的面积． 知识点五、扇形的面积 ①扇形的概念 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形． 如图，空白部分记作扇形AOB． ②扇形的面积 设组成扇形的半径为r，圆心角为n°，弧长为l，那么： ． 知识点六、重要公式 1.圆的周长： 2.半圆的周长： 3.弧长： 4.圆的面积： 知识点七、计算不规则图形的面积 一、转化法 通过变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成规则图形，然后求解。 二、和差法 一些图形较为复杂，通过观察，分析是由哪些规则图形组合成的，再求解。 03 题型归纳 题型一　圆的周长 例题：1．把一块直径是的圆形铁皮，剪成大小相等的两个半圆片，每个半圆片的周长是（    ） A． B． C． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆的周长计算．半圆周长为半圆弧长加直径，据此求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．如图，圆沿着直尺从点A开始向右滚动一周后到达点B，点B的位置大约在（   ） A．9到10之间 B．10到11之间 C．11到12之间 D．12到13之间 【答案】C 【分析】本题考查了圆周长的应用，熟练掌握圆周长的公式是解题的关键； 根据题意，圆心A在刻度5处，圆沿着直尺向右滚动一周圆心到达点B，点A移动的距离是圆的周长即可解答． 【详解】由图可得，圆的直径是2个刻度， 所以圆的周长是， ， ， 所以点B在11到12之间． 故选：C． 3．一个杂技独轮车的车轮直径是．如果这个车轮向前滚动10周，这个杂技独轮车前进了 米． 【答案】 【分析】本题考查了圆周长的计算，熟练掌握圆周长的计算公式是解题的关键； 根据圆周长的公式计算一周的距离，然后再计算滚动10周的距离，最后换算单位即可． 【详解】车轮的周长， 滚动10周前进∶﹒ 米， 故答案为． 巩固训练 4．在一个长10厘米，宽6厘米的长方形内画一个最大的半圆，这个半圆的周长是( )． 【答案】25.7厘米 【分析】此题考查圆的周长公式，根据题意可知：所画的最大半圆的直径等于长方形的长，根据半圆的周长等于圆的周长的一半加直径求解即可． 【详解】解：（厘米） 故答案为：25.7厘米． 5．把一个圆分成若干等份，然后把它剪开，照如图的样子拼起来，拼成的近似长方形，长方形周长是厘米，原来圆的半径为( )厘米（取3.14） 【答案】3 【分析】本题考查圆与长方形的关系、圆的周长公式．设圆的半径为厘米，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设圆的半径为厘米， 由题意得， 解得， 则圆的半径为3厘米． 故答案为：3． 6．白居易的《府西池》中“柳无气力枝先动，池有波纹冰尽开”描述了雨点打在水面上荡开层层的波纹．已知水池是一个长、宽的长方形，那么当波纹到池边时，所形成的最大整圆的周长是 ．(π取3.14) 【答案】 【分析】本题考查圆周长公式公式，读懂题意，作出图形，利用圆周长公式求解即可得到答案，读懂题意，熟记圆周长公式是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，当波纹到池边时，能形成的最大整圆，如图所示： 这个圆的直径为，则半径为， 最大整圆的周长是， 故答案为：． 题型二　与圆相关的轴对称图形 例题：7．把一张圆形纸片按照先左右对折、再上下对折，然后剪出图案，最后完全展开的步骤会得到（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要查了图形对折问题．根据题意得：左右两个图案相对，上下两个图案相对，即可求解． 【详解】解：根据题意得：左右两个图案相对，上下两个图案相对， 只有D选项符合题意． 故选：D 8．圆的对称轴有（   ） A．1条 B．3条 C．4条 D．无数条 【答案】D 【分析】此题主要考查轴对称图形的定义和确定轴对称图形的对称轴的方法．根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此选择． 【详解】 解：根据轴对称图形的定义可知，圆有无数条对称轴． 故选：D． 9．圆有 条对称轴，半圆有 条对称轴． 【答案】 无数 1 【分析】此题考查了圆的性质．根据圆的性质进行解答即可． 【详解】解：圆有无数条对称轴，半圆有1条对称轴． 故答案为：无数，1 巩固训练 10．下图有（    ）条对称轴． A．1 B．2 C．4 D．无数 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的对称性．根据圆的对称性，即可求解． 【详解】解：根据题意得：该图形有2条对称轴． 故选：B 11．下列图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，根据“若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”，即可求解． 【详解】解：A有无数条对称轴；B有2条对称轴；C有3条对称轴；D有4条对称轴； 所以对称轴条数最多的是A． 故选：A 12．按要求画图．在下面的正方形网格中，每个小正方形的边长为1． (1)在图中的圆内部画出面积最大的正方形，使所画正方形的顶点即在网格中小正方形顶点上，又在圆上． (2)在完成（1）中所作的图形后，共有 条对称轴． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（ 1 ）在圆内画两条互相垂直的直径（在网格线上），依次连结各直径的端点，所得到的四边形就是圆内最大的正方形，且正方形的顶点即在网格中小正方形顶点上，又在圆上； （2 ）圆有无数条对称轴，这个组台图形的轴对称轴的条数主要是由正方形决定的．根据轴对称图形的意义，它有4条对称轴，即过正方形对边中点的直线、两对角线所在的直线． 【详解】（1）解：如图所示． ， （2）解：如图所示，共有4条对称轴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查作图—轴对称变换和圆的有关性质，圆内最大的正方形的四个顶点就是圆两条互相垂直的直径的端点；圆有无数条对称轴，正方形有4条对称轴，圆与内接正方形或与外切正方形的对称轴是由正方形决定的． 题型三　圆的概念及特点 例题：13．圆的位置由（   ）决定 A．圆心 B．半径 C．直径 D．面积 【答案】A 【分析】本题考查了圆的认识，圆由圆心与半径决定，位置由圆心决定，大小由圆的半径决定．根据此知识即可作出判断． 【详解】解：圆的位置由圆心决定； 故选：A． 14．关于圆周率的描述中，错误的是（    ） A．圆周率是一个常数 B．圆周率是一个无限不循环小数． C．圆周率是 D．圆周率是指周长与直径相除所得的商． 【答案】C 【详解】本题主要考查了圆周率的相关知识，圆周率是圆的周长和直径的比，是一个常数，是无限不循环小数，圆周率，据此逐一判断即可． 【分析】解：A项：圆周率是圆的周长和直径的比，是一个常数，原题干说法正确，不符合题意； B项：圆周率是一个无限不循环小数，原题干说法正确，不符合题意； C项：圆周率约等于3.14，原题干说法错误，符合题意； D项：圆周率是指周长与直径相除所得的商，原题干说法正确，不符合题意． 故选：C． 15．画圆时，圆规两脚张开的距离是，则圆的直径是 ． 【答案】/10厘米 【分析】本题同圆或等圆中半径和直径之间的关系，圆规两脚间的距离即半径，由直径与半径的关系“”可知，画成的圆的直径是圆规两脚间的距离的倍，据此进行解答即可．解题的关键是明确圆规两脚间的距离即半径． 【详解】解：， 答：圆的直径是． 故答案为：． 巩固训练 16．把圆规的两脚分开，使两脚的距离是，这样画出的圆的直径是 ． 【答案】7 【分析】本题考查的是圆的半径和直径的关系，熟练掌握半径和直径的定义是解题的关键； 根据圆规画圆的原理，得出圆的半径，而圆的直径 d 是半径的两倍，即可得出答案． 【详解】解：因为，圆规的两脚之间的距离是．这个距离其实就是圆的半径． 所以，圆的半径． 又因为， 故答案为：7． 17．圆的直径是，按下图的规律画下去，则第5个图的周长（外围）是 ．（取） 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长问题，根据题意第5个图形有六个圆，周长为1个圆的周长加上6个圆的直径，即可求解． 【详解】解：依题意，第5个图形有六个圆，周长为 故答案为：． 18．看图，在（   ）里填合适的数．    圆的直径是( )．        长方形的宽是( )． 【答案】 8 5 【分析】题目主要考查圆、长方形及正方形基本图形的性质，结合图形求解即可． 【详解】解：根据题意得，圆的直径与正方形的边长相等， ∴圆的直径是8厘米； 长方形的长等于半圆的直径，宽等于半圆的半径， ∴长方形的宽为分米； 故答案为：8；5． 题型四　组合图形的周长 例题：19．把8个边长都是3厘米的正方形，一个接一个地拼成长方形，这个长方形的周长是（    ） A．24厘米 B．48厘米 C．54厘米 D．64厘米 【答案】C 【分析】本题考查了长方形的周长，解题的关键是掌握长方形的周长=（长+宽），根据长方形周长公式即可解答． 【详解】解：（厘米）， ∴这个长方形的周长是54厘米， 故选：C． 20．图中阴影部分的周长是（    ）    A．18cm B．cm C．36cm D．cm 【答案】D 【分析】根据图示可知：长方形的宽为7÷2=3.5 cm，每个圆的直径等于长方形的宽3.5 cm， 图中阴影部分的周长是长方形的周长与两个等圆的周长和． 【详解】长方形的宽为7÷2=3.5(cm)， 每个圆的直径等于长方形的宽3.5 cm， 阴影部分的周长为：(cm)， 故选：D． 【点睛】本题考查了组合图形的周长，明确阴影部分的周长是“长方形的周长与两个等圆的周长和”是解题的关键． 21．（如图）一个长方形的长是36厘米，剪去一个最大的正方形，剩下的周长是( )厘米． 【答案】72 【分析】本题考查认识平面图形．根据正方形的性质以及周长的定义进行计算即可． 【详解】解：如图，因为四边形是正方形， 所以， 所以剩下的四边形的周长为： （厘米）， 故答案为：72． 巩固训练 22．如图，在长方形中有三个大小相等的圆．已知这个长方形的长是，则此长方形的周长是 ．    【答案】 【分析】本题长方形周长公式的灵活运用，根据“等分”除法的意义，用除法求出圆的直径，长方形的宽等于圆的直径，再根据长方形的周长＝（长＋宽），把数据代入公式解答．解题的关键是熟记公式． 【详解】解：， ， ∴此长方形的周长是． 故答案为：． 23．生活中，经常把一些同样大小的圆柱管按下图的方式捆扎起来，如果每根圆柱管的直径是8cm，当圆柱管放置方式是“单层平放”时，捆扎一圈后的横截面如下图所示，那么当圆柱管有100个时，需要绳子( )cm．（取3）    【答案】1608 【分析】1个圆柱体时，绳子的长度就是底面圆的周长；2个圆柱体时，绳子的长度就是一个底面圆的周长加上圆的直径；3个圆柱体时，绳子的长度就是一个底面圆的周长加上圆的直径；那么100个圆柱体，绳子的长度就是一个底面圆的周长加上圆的直径；据此求解即可． 【详解】解：根据题意得： ， 圆柱管有100个时，需要绳子， 故答案为：1608． 【点睛】本题考查了利用圆的相关知识求解，根据题意得出那么100个圆柱体，绳子的长度就是一个底面圆的周长加上圆的直径是解题的关键． 24．做一做，剪一剪． (1)用剪刀沿着“莫比乌斯带”的中线剪开，你有什么发现？ (2)如果沿着“莫比乌斯带”边缘的一宽度的地方一直剪下去，你有什么发现？ 【答案】(1)纸带会变成一个更大的细纸环 (2)一个小环套着一个大环 【分析】本题考查图形的剪拼的问题，同时考查学生的动手和操作能力，做此类题目，亲自动手做一做最直观． （1）如果沿着莫比乌斯环的中间剪开，将会形成一个比原来的莫比乌斯环空间大一倍的、具有正反两个面的环，而不是形成两个莫比乌斯环或两个其它形式的环； （2）如果沿着“莫比乌斯带”边缘的一宽度的地方一直剪下去，就会出现一个小环套着一个大环． 【详解】（1）用剪刀沿着“莫比乌斯带”的中线剪开， 发现：纸带会变成一个更大的细纸环． （2）如果沿着“莫比乌斯带”边缘的一宽度的地方一直剪下去，发现：一个小环套着一个大环． 题型五　求弧长 例题：25．如图，有一道弯道是圆弧形的，弧所对的圆心角是，弧所在圆的半径是5米，则弯道长为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了扇形的弧长，正确理解扇形的弧长的计算是解题的关键．根据弧长的计算公式计算，即得答案． 【详解】，米， （米）． 故选B． 26．如图，折扇的骨柄的长为，折扇张开的为，图中的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 根据弧长公式即可得到结论． 【详解】解：折扇的骨柄的长为，折扇张开的为， 的长为： ， 故选：C． 27．台钟的时针长10厘米，从中午12点到下午3点，时针尖端走过的路程是 厘米． 【答案】 【分析】求出时针旋转过程中所对应的圆心角的度数，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：从中午12时到下午3时，时针所转过的圆心角的度数为， 所以时针的针尖划过的弧长为（）， 故答案为：． 【点睛】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确解答的关键． 巩固训练 28．在半径是18厘米的圆中，150°圆心角所对的弧长是 厘米 【答案】 【分析】根据弧长公式可进行求解． 【详解】解：150°圆心角所对的弧长为：； 故答案为． 【点睛】本题主要考查弧长计算公式，熟练掌握公式是解题的关键． 29．“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径长画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”．请问：该“莱洛三角形”的弧长为 （结果保留）． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质得到，利用弧长公式即可求出“莱洛三角形”的弧长． 【详解】解：为等边三角形， ， “莱洛三角形”的弧长． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，弧长的公式，掌握弧长公式是解题的关键． 30．如果一个扇形的圆心角为，那么这个扇形的弧长是它所在的圆的周长的 ． 【答案】 【分析】求出扇形的弧长和圆的周长，进而可得结果． 【详解】解：设这个扇形的半径为， 一个扇形的圆心角为, 它所在的圆的周长， 这个扇形的弧长是它所在的圆的周长的比为 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，熟练掌握扇形的弧长公式是解本题的关键． 题型六　求圆心角 例题：31．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．那么这个扇形的圆心角度数为 ．（精确到0.1） 【答案】57.3° 【分析】根据弧长公式计算即可． 【详解】解：设扇形的半径为r， 则， 解得，， 故答案为：57.3°． 【点睛】本题考查了弧长公式，解题关键是熟记弧长公式，准确进行计算． 32．若一条弧长是它所在圆的周长的，则这条弧所对的圆心角等于 度． 【答案】72 【分析】根据题意可得：这条弧所对的圆心角等于周角的，从而求出结论． 【详解】解：∵一条弧长是它所在圆的周长的， ∴这条弧所对的圆心角=360°×=72° 故答案为：72． 【点睛】此题考查的是根据弧长所占圆的周长的几分之几，求弧所对的圆心角的度数，掌握弧长占它所在圆的周长的几分之几等于这条弧所对的圆心角占周角的几分之几是解决此题的关键． 33．如果一条弧的长度是它所在圆的周长的，那么这条弧所对的圆心角是 °． 【答案】216 【分析】本题考查弧长，根据弧长与圆的周长的关系，得到圆心角是周角的，计算即可． 【详解】解：因为一条弧的长度是它所在圆的周长的， 所以这条弧所对的圆心角是周角的，即：； 故答案为：216． 巩固训练 34．一段弧所在的圆的半径为60，这段弧的长是157，那么这弧所对的圆心角是 度． 【答案】 【分析】设圆心角为n度，根据公式，即可求解． 【详解】解：设圆心角为n度，根据公式，得∶ ． 故答案为∶150 【点睛】本题主要考查了根据弧长求半径，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 35．如图，一张圆形纸片剪开成甲乙两个扇形，若甲扇形所在的弧长是，乙扇形所在的弧长为，那么甲扇形的圆心角比乙扇形的圆心角大 度． 【答案】72 【分析】由题意可知：甲扇形的弧长占圆的周长的，则其圆心角也占圆的度数的；乙扇形的弧长占圆的周长的，则其圆心角也占圆的度数的；即可得出正确答案． 【详解】解：甲扇形的圆心角度数为： ， ， ， 乙扇形的圆心角度数为： ， ， ， ， 所以，甲扇形的圆心角比乙扇形的圆心角大度． 故答案为： 【点睛】本题考查圆的相关计算，熟记对应的公式是解题的关键． 36．周长是720毫米的圆上，有一条长为360毫米的弧，这条弧所对的圆心角的度数为 ． 【答案】180° 【分析】先算出360毫米的弧占周长为720毫米的圆的百分比，然后再乘以即可算出． 【详解】由题意可得： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆心角的求法，熟练掌握圆心角和弧的关系是解题的关键． 题型七　圆的面积 例题：37．一个圆形铁片，直径是，它的面积是（　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查圆的面积公式的灵活运用，根据圆的面积公式，把数据代入公式解答即可，熟记圆的面积公式是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 38．如果圆的面积扩大到原来的9倍，那么这个圆的半径长扩大到原来的（   ） A．4.5倍 B．81倍 C．3倍 D．18倍 【答案】C 【分析】本题考查圆面积，以及算术平方根，掌握圆面积的计算方法是正确解答的前提．根据圆面积公式，以及变化前后圆面积的大小关系进行计算即可． 【详解】解：设变化前圆的面积为，则变化后圆面积为， 所以变化前圆的半径为a，变化后的半径为， 因此半径扩大到原来的3倍， 故选：C． 39．中国建筑中经常能见到“外圆内方”和“外方内圆”的设计，如图，在外圆内方图案中，圆与正方形面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查圆的面积公式和正方形与圆的关系．因为直径为正方形的对角线，对角线将正方形分成两个三角形，三角形的底为直径，高为半径，假设圆的半径为，三角形的面积底高，即可算出一个三角形的面积，最后乘2可得到这个正方形的面积，根据圆的面积公式表示出圆的面积，再根据比的意义，即可得解． 【详解】解：设圆的半径为．则正方形的面积为： ； 圆的面积：； 圆与正方形的面积比是： 故选：A． 巩固训练 40．直径长为6厘米的圆，它的面积是 平方厘米．（取3.14） 【答案】 【分析】本题考查了面积公式．根据圆的面积公式即可求解． 【详解】解：圆的面积是（平方厘米）． 故答案为：． 41．如图，已知正方形的边长为4，一个半径为1的圆的圆心落在点A处，若此圆从点A出发沿着正方形的边滑动，当圆心第一次到达点B时，滑动停止，滑动过程中被该圆覆盖的面积是 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了圆的面积，覆盖问题，正确理解覆盖的意义是解题的关键． 【详解】根据题意，得，滑动过程中被该圆覆盖的面积为， 故答案为：． 42．三个圆的周长比为，三个圆的圆心在同一点上，如图所示，那么阴影部分的面积是最大圆面积的 （填几分之几）．    【答案】 【分析】本题考查了圆的面积，解题的关键是运用圆的面积公式来解答．根据三个圆的周长比得到三个圆的半径比，再用圆的面积公式表示出阴影部分和最大圆的面积，最后进行相比、化简即可． 【详解】解：∵三个圆的周长比为， ∴三个圆的半径比为． 阴影部分的面积是最大圆面积的， 故答案为：． 题型八　圆环的面积 例题：43．已知一个圆形喷水池的半径是3米，沿它的外侧铺一条1米宽的小路，那么这条小路的面积等于 平方米．（取） 【答案】 【分析】本题考查圆环的面积，掌握圆的面积公式是解题的关键．根据题意可列式，（取）求解即可． 【详解】解：（平方米）， 故答案为：． 44．圆环的外圆半径是3厘米，内圆半径是2厘米，那么圆环的面积是 平方厘米．（结果保留） 【答案】 【分析】用大圆的面积减去小圆的面积即可得出圆环的面积． 【详解】解：圆环的面积为： （平方厘米）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆环面积的计算，解题的关键是熟练掌握圆的面积公式． 45．如果一个圆环的外圆半径等于它内圆的直径，那么此圆环称为“平等圆环”，环宽（环宽等于两圆的半径之差）是10厘米的“平等圆环”面积为 平方厘米． 【答案】942 【分析】根据题意可知，环宽是10厘米，也就是内圆的半径是10厘米，外圆半径等于它内圆的直径，那么外圆的半径是厘米，根据环形面积公式：，代入求解即可． 【详解】解： （平方厘米） 故答案为：942． 【点睛】本题考查了环形面积，熟练掌握环形面积公式是解题 的关键． 巩固训练 46．如图，阴影部分圆环的面积等于 平方厘米（结果保留）． 【答案】 【分析】根据圆环的面积＝大圆面积－小圆面积即可求出结论． 【详解】解： = =（平方厘米） 故答案为：． 【点睛】此题考查的是求圆环的面积，掌握圆环的面积＝大圆面积－小圆面积是解决此题的关键． 47．已知一个圆形喷水池的半径是3米，沿它的外侧铺一条1米宽的小路，那么这条小路的面积等于 平方米（结果保留）． 【答案】7π 【分析】根据题意可列式，求解即可． 【详解】解：（平方米）， 故答案为：7π． 【点睛】本题考查圆环的面积，掌握圆的面积公式是解题的关键． 48．广场中央的圆形水池的直径是20米，在水池的周围是一条宽10米的环形水泥路．    (1)这条水泥路的面积是多少平方米？ (2)如果在水泥路的外沿上每隔31.4米设置一把休息椅，需要几把椅子？ 【答案】(1)942平方米 (2)4把 【分析】（1）求水泥路的面积就是求圆环的面积，根据圆环的面积公式：，据此代入数值进行计算即可； （2）根据圆的周长公式：，据此求出水泥路外沿的长度，则根据植树问题，椅子的把数水泥路外沿的长度÷间隔长度，据此解答即可． 【详解】（1）解： （平方米）， 答：这条水泥路的面积是942平方米； （2）解： （把）， 答：需要4把椅子． 【点睛】本题考查圆环的面积和圆的周长，熟记公式是解题的关键． 题型九　扇形的周长 例题：49．扇形的半径为，面积是，那么扇形的周长是 （取）． 【答案】 【分析】根据扇形面积公式可得，即可求解． 【详解】解：根据扇形面积公式得∶ ， 故扇形的周长为． 故答案为∶ 【点睛】本题主要考查了求弧长，根据扇形面积公式得到是解题的关键． 50．把一个直径为4厘米的圆等分为8个扇形，每个扇形的周长是 厘米． 【答案】 【分析】首先求出圆的周长，然后再除以8，再加上2个半径长即可． 【详解】解：∵圆的直径为4厘米， ∴圆的周长为厘米， ∵把圆等分为8个扇形， ∴每个扇形的周长是：（厘米）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的周长，解题的关键是掌握扇形的构成部分． 51．把直径为18厘米的圆等分成9个扇形，每个扇形的周长是 厘米．（取3.14） 【答案】 【分析】扇形的周长为弧长加两个半径，求得弧长，即可求解． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】本题考查了弧长的计算，分成扇形后多了两个半径，掌握弧长的计算公式是解题的关键． 巩固训练 52．已知扇形面积是，半径为，则扇形周长为 ． 【答案】 【分析】根据扇形的面积公式求出弧长，然后根据周长的定义即可求出结论． 【详解】解：12×2÷8=3cm 扇形的周长=3＋8×2=19cm 故答案为：19cm． 【点睛】此题考查的是求扇形的周长，掌握扇形的面积公式和周长的定义是解决此题的关键． 53．如图，已知为正方形，以点B为圆心，正方形的边长4为半径画弧，以为直径作半圆，形成右图图形（阴影部分），求此阴影部分的周长 【答案】16.56 【分析】根据代数求解即可． 【详解】解： ∴ 答：阴影部分的周长是16.56． 【点睛】此题考查了求弧长，解题的关键是熟练掌握弧长公式． 54．如图所示，求图中正方形中阴影部分的周长（取3.14）． 【答案】61.4cm 【分析】根据扇形弧长公式求出直角扇形的弧长等于半径为10cm的圆的周长，直径为10cm的半圆的弧长和正方形三边边长围成的阴影部分． 【详解】解：cm， cm， cm． 答：正方形中阴影部分的周长为61.4cm． 【点睛】本题考查正方形的性质，扇形的弧长，半圆弧长，掌握圆的周长公式，正方形性质是解题关键． 题型十　扇形的面积 例题：55．如果扇形的半径缩小为原来的，圆心角的度数不变，那么这个扇形的面积（    ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的2倍 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积公式，掌握扇形面积公式“”是解题的关键． 【详解】解：设变化前扇形的半径为r，圆心角的度数为n， 则变化后扇形的半径为，圆心角的度数为n， 所以变化前扇形的面积为， 变化后扇形的面积为 ， 面积缩小为原来的， 故选：A． 56．如果一个扇形的半径扩大到原来的2倍，圆心角度数缩小为原来的，那么这个扇形的面积与原扇形的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设原来扇形的半径为，圆心角为，则扇形的面积，将扇形的半径扩大为原来的2倍，圆心角缩小为原来的，那么扇形的面积为，由此即可判断． 【详解】解：设原来扇形的半径为，圆心角为，则扇形的面积， 将扇形的半径扩大为原来的2倍，圆心角缩小为原来的，那么扇形的面积为， ∴这个扇形的面积与原扇形的面积之比为， 故选：B． 【点睛】本题考查扇形的面积的计算，灵活应用所学知识解决问题，是解题的关键． 57．如图，三角形的三条边长都是2厘米，分别以线段、、的中点D、E、F为圆心，2厘米为直径画半圆，那么阴影部分的面积是 （结果保留π） 【答案】/ 【分析】本题考查了半圆面积的求法，半圆面积的求法是解题关键．连接，，，利用割补法可征得阴影部分的面积=半圆的面积，即可求得答案． 【详解】解：连接，，， 阴影部分的面积一个以1厘米为半径的半圆的面积（平方厘米） 故答案为：． 巩固训练 58．已知扇形的半径是5厘米，如果弧长是厘米，这个扇形的面积是 平方厘米． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积公式的应用，熟知公式是关键． 直接根据扇形的面积公式进行计算． 【详解】根据扇形的面积公式，得 （平方厘米）． 故答案为：． 59．如图，已知在直角三角形中，，将三角形绕顶点顺时针旋转（即）后得到，那么图中阴影部分的面积与周长的比值为 ．（精确到）    【答案】 【分析】阴影部分的面积等于扇形的面积，阴影部分的周长等于的长，再加上弧的长，由此即可得． 【详解】解：由旋转的性质得：，的面积等于的面积， ， 阴影部分的面积为， 阴影部分的周长为， 则图中阴影部分的面积与周长的比值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式、扇形的弧长公式、旋转的性质等知识点，熟练掌握扇形的面积和弧长公式是解题关键． 60．如图，两个正方形边长分别是10和6，则阴影部分的面积是多少？（π取3）    【答案】阴影部分的面积为39． 【分析】观察图形可知，阴影部分的面积等于的面积减去月牙的面积，求出月牙的面积，再用的面积减去月牙的面积即可求出答案． 【详解】解：月牙的面积为小正方形减去的圆的面积，即 ， 阴影部分面积为： ， 答：阴影部分的面积为39． 【点睛】此题考查了学生对图形的观察能力、分析能力以及对求三角形面积和圆的面积的熟练程度． 题型十一　画圆及扇形 例题：61．下列图形中的阴影部分是扇形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了扇形，掌握扇形的定义是解答本题的关键．根据扇形的定义判断即可． 【详解】解：根据扇形的定义（由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形）可知选项D是扇形，其它选项不是扇形． 故选：D． 62．画一个半径是7厘米的圆，圆规两脚间的距离应取（    ）厘米． A．3.5 B．7 C．14 D．不确定 【答案】B 【分析】根据圆规两脚间的距离即半径，进行解答即可． 【详解】解：∵圆规两脚间的距离为圆的半径， ∴圆规两脚间的距离应取7厘米，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆作图问题，根据圆的半径等于圆规两脚间的距离，进行解答即可． 63．在下面的正方形里画一个最大的圆，并涂出一个扇形． 【答案】圆见详解，扇形见详解（扇形图不唯一） 【分析】本题主要考查了画圆，扇形的定义，由题意可知：所画圆的直径应等于正方形的边长，圆心是以两条对角线的交点O为圆心，从而可以画出符合要求的圆，再根据扇形的定义涂一个扇形即可． 【详解】解：由题意可知：所画圆的直径应等于正方形的边长，圆心是以两条对角线的交点O为圆心，从而可以画出符合要求的圆．作图如下：涂出一个扇形如下图： 巩固训练 64．画一个半径为的圆，并用字母标出它的圆心、半径和直径． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查圆的基本画法，即确定好了圆心的位置和半径的大小，即可画圆，本题以任意一点为圆心，以厘米为半径画出符合要求的圆，并标出圆心、半径和直径即可． 【详解】解：圆心为O，r为半径，d为直径的圆如下图： 65．作图题．    (1)在如图方格纸中，画出按3：1放大后的直角梯形． (2)在放大后的直角梯形内，以梯形一个顶点为圆心，高为半径画一个扇形． (3)如果如图中小方格的边长表示1厘米，那么扇形面积是______平方厘米． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或或 【分析】本题考查了画放大后的图形，画扇形，求扇形面积； （1）根据格点的特点，画出按3：1放大后的直角梯形，即可求解； （2）根据题意，以梯形一个顶点为圆心，高为半径画一个扇形； （3）分三种情况讨论；当扇形的圆心是点时，当扇形的圆心是时，当扇形的圆心是或时，根据扇形面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：如图1， 四边形是求作的图形； （2）如图1， 扇形，和是求作的扇形； （3）当扇形的圆心是点时， （平方厘米）， 当扇形的圆心是时， （平方厘米）， 当扇形的圆心是或时， （平方厘米）， 故答案为：或或    66．方格图中，点的位置表示为，点的位置表示为，将三角形绕点按逆时针方向旋转得到一个新的三角形． (1)在方格中，画出新的三角形． (2)用数对表示新三角形的另外两个顶点的位置：（　　），（　　） (3)如果图中每个小正方形的边长是厘米，那么点B由原来的旋转到新位置所经过的路线长是（　　）厘米． 【答案】(1)图见详解 (2)； (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系与图形变换，圆的周长等知识点，熟悉掌握坐标的含义是解题的关键． （1）根据旋转的特征，图形绕点逆时针旋转，点位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数，即可画出旋转后的图形； （2）用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；据此用数对表示三角形另外两个顶点的位置； （3）由点由原来的位置到新位置，所经过的路线是半径为厘米的圆周长的，根据圆周长，求出圆周长再乘． 【详解】（1）作图如下： （2）用数对表示新三角形的另外两个顶点的位置：；； （3） （厘米） （厘米） 如果图中每个小正方形的边长是厘米，那么点由原来的旋转到新位置所经过的路线长是厘米． 题型十二　含圆的组合图形的计算（周长和面积） 例题：67．如图，圆的半径为，则长方形的周长是（   ） A．21 B．42 C．18.84 D．89.1 【答案】B 【分析】本题考查了圆的性质，根据题意得出长方形的宽为圆的直径，长为个半径长，即可求解． 【详解】解：依题意，长方形的周长是 故选：B． 68．如图，已知圆的周长是12.56厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等．则图中阴影部分的周长 厘米． 【答案】15.7 【分析】此题主要考查求弧长，以及周长公式和面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．通过观察图形可知，长方形的宽等于圆的半径，根据圆的周长公式得出，据此求出半径，根据圆的面积公式，把数据代入公式求出圆的面积，长方形的面积与圆的面积相等，根据长方形的面积公式从而得出长方形的长，阴影部分的周长相当于长方形的两条长加上圆周长的即可得出答案 【详解】解：（厘米） （平方厘米） 长方形的长：（厘米）        图中阴影部分的周长（厘米）               答：阴影部分周长是15.7厘米． 69．求阴影部分的周长和面积（π取3.14）． (1)四边形为梯形 (2)四边形为正方形 【答案】(1)周长为18.28，面积为9.44 (2)周长为47.1，面积为78.5 【分析】本题考查组合图形的面积和周长，扇形的面积公式和弧长公式． （1）先利用弧长公式计算出弧的长度，再计算阴影部分的周长，然后用梯形的面积减去扇形的面积得到阴影部分的面积； （2）用2个半圆的长度加上弧的长度得到阴影部分的周长，然后利用面积的和差得到阴影部分的面积等于扇形的面积，从而根据扇形的面积公式可解决问题． 【详解】（1）解：阴影部分的周长为； 阴影部分的面积； （2）解：阴影部分的周长为； 阴影部分的面积． 巩固训练 70．求涂色部分的面积．（单位： ） (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆的面积公式，三角形面积公式，解题的关键在于将不规则图形面积割补为规则图形面积求解． （1）根据涂色部分的面积合起来为两个直径为的圆，结合圆的面积公式求解，即可解题； （2）根据涂色部分的面积为4个弓形面积的和，再结合1个弓形面积为个直径为的圆的面积减去一个等腰直角三角形面积求解，即可解题． 【详解】（1）解：因为涂色部分的面积合起来为两个直径为的圆， 所以涂色部分的面积为：（）， 答：涂色部分的面积为． （2）解：因为涂色部分的面积为4个弓形面积的和， 其中1个弓形面积为：（）， 所以涂色部分的面积为（）， 答：涂色部分的面积为． 71．如图，正方形的边长为10厘米，以为直径在右侧作半圆，点E为半圆弧上的中点，点F为的中点，求阴影部分的面积和．（取3.14） 【答案】51.75平方厘米 【分析】本题考查了与圆的有关的不规则图形面积的计算．连接，阴影部分面积等于正方形和半圆的面积之和减去的面积即可求解． 【详解】解：连接， 正方形和半圆的面积之和：（平方厘米） 三角形的面积是：（平方厘米） 三角形的面积是：（平方厘米） 则阴影部分的面积是：（平方厘米） 答：阴影部分的面积是51.75平方厘米． 72．（1）计算图1阴影部分的周长；（） （2）两个正方形相拼，求图2阴影部分的面积． 【答案】（1）厘米；（2）平方厘米 【分析】主要考查组合图形的面积和周长，把求阴影部分的周长或面积等量拆成求几个规则图形的周长或面积的相加相减的形式是解决此题的关键． （1）根据题意可知，阴影部分的周长＝以9厘米为直径的圆周长的一半＋以为圆心角，以9厘米为半径的扇形的弧长厘米，根据圆的周长，弧长＝圆的周长×（扇形圆心角）分别求出半圆的周长和弧长，最后再加起来即可； （2）根据题意可知：阴影部分的面积＝大正方形的面积＋小正方形的面积－3个空白三角形的面积；最小的空白三角形的底为6厘米，高为6厘米；第二个空白三角形的底为厘米，高为12厘米；最大空白三角形的底为12厘米，高为厘米，根据三角形的面积＝底×高÷2，据此解答即可． 【详解】（1）半圆的周长（厘米） 扇形的弧长（厘米） （厘米） 答：阴影部分的周长为厘米． （2）（平方厘米） （平方厘米） 答：阴影部分的面积是18平方厘米． 题型十三　组合图形的面积 例题：73．（组合图形的面积）如图，平行四边形的底长是，线段长是，那么平行四边形中的阴影部分的面积是（    ）平方厘米．    A．24 B．36 C．48 D．72 【答案】C 【分析】本题主要考查组合图形的面积，根据和，得，根据题意求得即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴平行四边形中的阴影部分的面积， 故选：C． 74．如图，将绕点A逆时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，已知，，，则图中阴影部分的面积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的关键．根据图形中各个部分面积之间的关系得出，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：∵，而， ∴， 故选：A． 75．如图，四边形和四边形都是正方形，已知三角形的面积为6平方厘米，则三角形的面积是 平方厘米． 【答案】6 【分析】假设正方形的边长为厘米，正方形的边长为厘米，则梯形的面积平方厘米；三角形的面积平方厘米；因为梯形的面积三角形的面积梯形的面积；三角形的面积三角形的面积梯形的面积；所以三角形的面积等于三角形的面积．本题的关键是找出梯形的面积与三角形的面积的关系． 【详解】解：设正方形的边长为厘米，正方形的边长为厘米 梯形的面积平方厘米 三角形的面积平方厘米 因为梯形的面积三角形的面积梯形的面积； 三角形的面积三角形的面积梯形的面积 所以三角形的面积等于三角形的面积，即6平方厘米． 故答案为：6． 巩固训练 76．如图，长方形的面积是12平方分米，那么圆的面积是 平方分米． 【答案】 【分析】本题考查了圆的面积及长方形的面积，根据长方形的宽等于圆的半径解答即可． 【详解】设圆的半径是，则，， 四边形 的面积 ， ， 圆的面积 故答案为：． 77．如图中的阴影部分面积是 平方厘米．（单位：厘米，取3.14） 【答案】22.26 【分析】本题考查了圆的面积及三角形的面积，关键是观察分析图形是由哪几部分组成的，是各部分的面积和、还是求各部分的面积差，再根据相应的面积公式解答．通过观察图形可知，阴影部分的面积等于底是厘米，高是6厘米的三角形的面积减去左下角空白部分的面积，左下角空白部分的面积等于正方体的面积减去半径是6厘米的圆面积的四分之一，根据正方形的面积公式：，圆的面积公式；，三角形的面积公式：，把数据代入公式解答． 【详解】解： （平方厘米） 答：阴影部分的面积是22.26平方厘米． 故答案为：22.26． 78．求下面各图阴影部分的面积．（此题取） (1)如图所示； (2)是等腰直角三角形，. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了组合图形的面积，根据圆和三角形的面积公式进行解答． （1）用大半圆的面积减去小半圆的面积，即可求解； （2）用直径为的圆的面积减去三角形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：阴影部分的面积 ； （2）解：阴影部分的面积 ． 题型十四　利用平移桥段周长与面积 例题：79．如下图所示，把平行四边形从左边沿高剪下一个三角形平移到右边，就成了一个长8厘米，宽6厘米的长方形，原来平行四边形的底是( )厘米，高是( )厘米，面积是( )平方厘米． 【答案】 8 6 48 【分析】本题考查平行四边形和长方形的特征，两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形，长方形是特殊的平行四边形，平移前后，平行四边形与长方形的面积相等，正确理解平行四边形以及长方形的特征是解题的关键． 【详解】解：长方形的长为8厘米，它的对边也是8厘米，与原来平行四边形的底相等； 长方形的宽为6厘米相当于平行四边形的高； 平行四边形的面积等于长方形的面积，即（平方厘米）， 故答案为：8；6；48． 80．在一长方形草地里有一条宽1米的曲折小路，如图所示，草坪的面积是 平方米．    【答案】63 【分析】由题意知，根据草坪的面积为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，草坪的面积为（平方米）， 故答案为：63． 【点睛】本题考查了图形的面积．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 81．圆的面积公式不仅可以把它转化成近似的长方形，也可以转化成其它的图形．如下图，把半径为的圆平均分成20个小三角形后拼成近似的梯形，请你填一填．（结果用含有的式子表示） 每个小三角形的底等于（    ），梯形的上底等于（    ），梯形的下底等于（    ），梯形的高是（    ）．梯形的面积（    ）． 【答案】，，， 【分析】本题主要考查了学生利用知识的迁移推导圆面积公式的过程．将圆沿直径平均分成20个小扇形，用如图（圆的半径为r）所示的方法，可以拼成一个近似的梯形，把圆转化成一个近似的梯形，根据图形之间的关系可得答案；然后根据梯形的面积等于上底加下底的和乘高除以，列代数式即可． 【详解】比一个圆剪拼成一个近似的梯形，梯形的上底表示成，下底表示成，高表示成， ∴梯形的面积， 故答案为：，，，． 巩固训练 82．如图（1），一个长方形纸条从正方形的左边开始以每秒2厘米的速度沿水平方向向右行驶，图（2）是运动过程中长方形纸条和正方形重叠部分的面积与运动时间的关系图． (1)运动4秒后，重叠部分的面积是多少平方厘米？ (2)正方形的边长是多少厘米？ (3)在图（2）的（    ）内填入正确的时间． 【答案】(1)16 (2)12 (3)10，16 【分析】本题主要考查了长方形的面积计算． （1）先得出运动4秒后，长方形的长度，长方形的宽度不变，则可计算出重叠部分的面积． （2）运动6秒时，重叠部分面积最大，则正方形边长即为重叠部分长方形的长度． （3）当纸条左端A点行驶到B点时重叠面积开始减少，当A点行驶到C点时重叠面积变为0．据此计算即可． 【详解】（1）解：运动4秒后，长方形的长度为：（厘米） ∴运动4秒后，重叠部分的面积是（平方厘米） （2）（厘米） 正方形的边长是12厘米 （3）（秒） （秒） 当纸条左端A点行驶到B点时重叠面积开始减少，当A点行驶到C点时重叠面积变为0． 83．按要求作图： (1)小旗子绕A点按逆时针方向旋转后的图形． (2)小旗子向右平移10格后的图形． (3)小旗子按扩大后的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了图形的旋转、平移、放大与缩小，准确画图是关键． （1）点位置不变．确定出三角形各个顶点的位置，再顺次连线． （2）将小旗子的各点向右平移10格后，再顺次连线． （3）将小旗子的各边扩大到原来的2倍，画出扩大后的图形． 【详解】（1）解：点位置不变．确定出三角形各个顶点的位置，再顺次连线得图形①； （2）解：将小旗子的各点向右平移10格后，再顺次连线得图②； （3）解：将小旗子的各边扩大到原来的2倍，画出扩大后的图形③． ． 84．在一张边长是厘米的正方形纸中，剪去一个长厘米、宽厘米的长方形．小明想到了三种剪的方法（如下图）．剩余部分的面积各是多少？剩余部分的周长呢？（单位：厘米） 【答案】平方厘米；厘米、厘米、厘米 【分析】本题考查了平移法，长方形和正方形的周长和面积的计算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据对图中信息的了解，这三个长方形都是减去了一个长为厘米，宽为4厘米的长方形，计算面积的时候，用原来的面积减去长为厘米，宽为4厘米的长方形的面积，得到的就是它们的面积；计算它们的周长时，利用平移法，将图中的长和宽平移，不难发现，第一个图形的周长不变，第二个图形的周长多了两条宽，第三个图形多了两条长，据此计算． 【详解】剩余部分的面积：（平方厘米） 第一种剪切方式，周长不变，剩余部分的周长：（厘米） 第二种剪切方式，周长多了两条宽，剩余部分的周长：（厘米） 第三种剪切方式，周长多了两条长，剩余部分的周长：（厘米） 答：剩余部分的面积都是平方厘米，剩余部分的周长分别是厘米、厘米、厘米． 题型十五　阴影部分的周长和面积 例题：85．如图，长方形里有两个大小相等的圆，图中阴影部分的面积是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查列求阴影部分面积，阴影部分的面积等于长方形面积减去两个圆的面积即可． 【详解】解：依题意，图中阴影部分的面积是， 故选：D． 86．如图所示，两个相同的长方形中的阴影面积相比，下列说法正确的是（    ） A．甲＞乙 B．甲＜乙 C．甲=乙 D．无法比较 【答案】C 【分析】根据三角形的面积公式：，已知甲和乙是完全一样的长方形，那么两幅图的阴影部分的面积相等．此题主要根据等底等高的三角形的面积相等，来解决这个问题． 【详解】解：甲和乙是完全一样的长方形，假设长方形的长是厘米，宽是厘米， 甲的阴影部分的面积：（平方厘米）； 乙的阴影部分的面积：（平方厘米）； 那么两幅图的阴影部分的面积相等． 故选：C． 87．在图中，甲、乙都是正方形，边长分别为10厘米和12厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米．（取3.14） 【答案】 【分析】本题考查不规则图形的面积，阴影部分的面积=梯形的面积以12厘米为半径的圆的面积的三角形的面积，据此解答即可． 【详解】解：由题意可得阴影部分的面积是 （平方厘米）； 答：阴影部分的面积是113.04平方厘米， 故答案为：． 巩固训练 88．如图是一个边长为4厘米的正方形，则阴影部分的面积是 平方厘米．（取） 【答案】 【分析】本题考查的是阴影部分的面积，列代数式，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键．如图所示：连接正方形另外一条对角线，则①的面积等于②的面积，阴影部分的面积是半圆的面积加上三角形的面积，列式计算即可． 【详解】解：如图，连接正方形另外一条对角线， 则①的面积等于②的面积， 阴影部分的面积是半圆的面积加上三角形的面积， 阴影部分的面积等于（平方厘米）， 故答案为：． 89．如图，有两个边长是6厘米的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上．旋转其中一个正方形，重叠部分的面积是( )平方厘米． 【答案】9 【分析】本题考查正方形的特征，利用割补法将阴影部分不规则的图形转化为学过的图形进行解答．标注字母并作出辅助线，如图：根据正方形的性质可得，和形状大小完全相同，可以将割补到的位置，因此重叠部分面积就是正方形面积的． 【详解】如图， 根据分析可知，重叠部分面积：（平方厘米） 故答案为：9 90．圆的计算（取） (1)求下面阴影部分的周长； (2)求下面阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求阴影部分的周长，求阴影部分的面积，解题的关键是熟练掌握圆的面积公式和正方形面积公式． （1）根据圆的周长公式进行求解即可； （2）先求出正方形下方非阴影的面积，然后用三角形的面积减去三角形中非阴影的面积，即可得出阴影的面积． 【详解】（1）解： ， 答：阴影部分的周长为； （2）解： ， 答：阴影部分的面积为． 题型十六　不规则图形的面积 例题：91．如图，若小方格的边长为，则网格中整个小花瓶（阴影部分）的面积是（   ）平方厘米． A．5 B．6 C．7 D．4 【答案】D 【分析】本题主要查了不规则图形的面积．观察图象可得网格中整个小花瓶（阴影部分）面积可以看成是由4个小方格组成的图形的面积之和，即可求解． 【详解】解：观察图象得：网格中整个小花瓶（阴影部分）面积可以看成是由4个小方格组成的图形的面积之和， ∴网格中整个小花瓶（阴影部分）的面积是． 故选：D 92．如图中有一个圆和一个等腰直角三角形，阴影部分的面积是（ ）． A．25 B．50 C．75 D．100 【答案】B 【分析】本题考查了图形的面积，利用割补法求面积是解题的关键．阴影、与空白、的面积相等，将阴影、移到空白、的位置，则这个等腰直角三角形被4等分，阴影部分占2份，所以阴影部分的面积就变成了原来等腰直角三角形的面积的一半，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， 阴影、与空白、的面积相等，将阴影、移到空白、的位置，则等腰直角三角形被4等分，阴影部分占2份， 阴影部分的面积为， （）． 故选：B． 93．如图所示，，已知阴影甲的面积为，则阴影乙部分的面积是 ．（精确到，取3.14） 【答案】5.53 【分析】本题考查了扇形面积公式和圆的面积及不规则图形的面积，熟知扇形面积公式为是解题的关键．先求出丙部分的面积，再用扇形的面积减去丙部分面积即可． 【详解】如图， 丙部分面积：（平方厘米）， 乙部分面积：（平方厘米）， 故答案为：5.53． 巩固训练 94．如图，如果直角三角形的面积是平方厘米，那么圆内空白部分的面积是( )平方厘米． 【答案】 【分析】此题考查不规则图形面积的计算方法，直角三角形的面积底高2，刚好底和高都是圆的半径，则三角形的面积可以表示为，圆的面积，求出圆的面积减去阴影部分的面积即可求出空白部分的面积，利用圆的面积公式求出圆的面积是解题的关键． 【详解】解：设圆的半径是，； ； ， 圆的面积：（平方厘米）， 空白部分的面积：（平方厘米）， 空白部分的面积是平方厘米， 故答案为：． 95．如图，是清代乾隆年间铸造的一枚圆形钱币，如果它的外圆半径为厘米，中间正方形小孔的边长为厘米．这枚古币一面的面积为 平方厘米． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的面积公式和正方形的面积公式，根据题意可得，代入求解即可． 【详解】解：根据题意：这枚古币一面的面积为：， 故答案为：． 96．如图，三角形是直角三角形，，长为，长为，以、为直径画半圆，两个半圆的交点在边上，则图中阴影部分的面积为 ．（取）    【答案】 【分析】利用两个半圆的面积之和减去三角形的面积进行求解即可． 【详解】解：设各个部分的面积为：，如图所示，    因为两个半圆的面积和是：，的面积是，阴影部分的面积是：， 所以图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积． 即阴影部分的面积． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了不规则图形的面积，关键是看出图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积． 试卷第42页，共43页 3 / 53 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 圆与扇形知识归纳与题型突破（16类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点一、圆的周长 通过操作和计算，我们发现圆的周长都是直径的固定的倍数，我们把这个倍数叫做圆周率，用字母表示，读作“pai”；圆周率是个无限不循环小数，． 圆的周长直径 = 圆周率． 用字母C表示圆的周长，d表示直径，r表示半径，那么： 或 知识点二、圆的周长公式的应用 圆的周长的计算公式：如果用C表示圆的周长，那么C=πd或C=2πr。 圆的周长计算公式的应用：(1) 已知圆的半径，求圆的周长：C=2πr。(2) 已知圆的直径，求圆的周长：C=πd。(3) 已知圆的周长，求圆的半径：r=C÷π÷2.(4) 已知圆的周长，求圆的直径：d=C÷π。 知识点三、弧长 ①弧和圆心角的概念 如图，圆上A、B两点之间的部分就是弧，记作：，读作：弧AB；称为圆心角． ②弧长公式 设圆的半径长为r，n°圆心角所对的弧长是l，那么：． 知识点四、圆的面积 圆所占平面的大小叫做圆的面积． 设圆的半径长为r，面积为S，那么：圆的面积． 知识点五、扇形的面积 ①扇形的概念 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形． 如图，空白部分记作扇形AOB． ②扇形的面积 设组成扇形的半径为r，圆心角为n°，弧长为l，那么： ． 知识点六、重要公式 1.圆的周长： 2.半圆的周长： 3.弧长： 4.圆的面积： 知识点七、计算不规则图形的面积 一、转化法 通过变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成规则图形，然后求解。 二、和差法 一些图形较为复杂，通过观察，分析是由哪些规则图形组合成的，再求解。 03 题型归纳 题型一　圆的周长 例题：1．把一块直径是的圆形铁皮，剪成大小相等的两个半圆片，每个半圆片的周长是（    ） A． B． C． 2．如图，圆沿着直尺从点A开始向右滚动一周后到达点B，点B的位置大约在（   ） A．9到10之间 B．10到11之间 C．11到12之间 D．12到13之间 3．一个杂技独轮车的车轮直径是．如果这个车轮向前滚动10周，这个杂技独轮车前进了 米． 巩固训练 4．在一个长10厘米，宽6厘米的长方形内画一个最大的半圆，这个半圆的周长是( )． 5．把一个圆分成若干等份，然后把它剪开，照如图的样子拼起来，拼成的近似长方形，长方形周长是厘米，原来圆的半径为( )厘米（取3.14） 6．白居易的《府西池》中“柳无气力枝先动，池有波纹冰尽开”描述了雨点打在水面上荡开层层的波纹．已知水池是一个长、宽的长方形，那么当波纹到池边时，所形成的最大整圆的周长是 ．(π取3.14) 题型二　与圆相关的轴对称图形 例题：7．把一张圆形纸片按照先左右对折、再上下对折，然后剪出图案，最后完全展开的步骤会得到（   ） A． B． C． D． 8．圆的对称轴有（   ） A．1条 B．3条 C．4条 D．无数条 9．圆有 条对称轴，半圆有 条对称轴． 巩固训练 10．下图有（    ）条对称轴． A．1 B．2 C．4 D．无数 11．下列图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 12．按要求画图．在下面的正方形网格中，每个小正方形的边长为1． (1)在图中的圆内部画出面积最大的正方形，使所画正方形的顶点即在网格中小正方形顶点上，又在圆上． (2)在完成（1）中所作的图形后，共有 条对称轴． 题型三　圆的概念及特点 例题：13．圆的位置由（   ）决定 A．圆心 B．半径 C．直径 D．面积 14．关于圆周率的描述中，错误的是（    ） A．圆周率是一个常数 B．圆周率是一个无限不循环小数． C．圆周率是 D．圆周率是指周长与直径相除所得的商． 15．画圆时，圆规两脚张开的距离是，则圆的直径是 ． 巩固训练 16．把圆规的两脚分开，使两脚的距离是，这样画出的圆的直径是 ． 17．圆的直径是，按下图的规律画下去，则第5个图的周长（外围）是 ．（取） 18．看图，在（   ）里填合适的数．    圆的直径是( )．        长方形的宽是( )． 题型四　组合图形的周长 例题：19．把8个边长都是3厘米的正方形，一个接一个地拼成长方形，这个长方形的周长是（    ） A．24厘米 B．48厘米 C．54厘米 D．64厘米 20．图中阴影部分的周长是（    ）    A．18cm B．cm C．36cm D．cm 21．（如图）一个长方形的长是36厘米，剪去一个最大的正方形，剩下的周长是( )厘米． 巩固训练 22．如图，在长方形中有三个大小相等的圆．已知这个长方形的长是，则此长方形的周长是 ．    23．生活中，经常把一些同样大小的圆柱管按下图的方式捆扎起来，如果每根圆柱管的直径是8cm，当圆柱管放置方式是“单层平放”时，捆扎一圈后的横截面如下图所示，那么当圆柱管有100个时，需要绳子( )cm．（取3）    24．做一做，剪一剪． (1)用剪刀沿着“莫比乌斯带”的中线剪开，你有什么发现？ (2)如果沿着“莫比乌斯带”边缘的一宽度的地方一直剪下去，你有什么发现？ 题型五　求弧长 例题：25．如图，有一道弯道是圆弧形的，弧所对的圆心角是，弧所在圆的半径是5米，则弯道长为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 26．如图，折扇的骨柄的长为，折扇张开的为，图中的长为（    ） A． B． C． D． 27．台钟的时针长10厘米，从中午12点到下午3点，时针尖端走过的路程是 厘米． 巩固训练 28．在半径是18厘米的圆中，150°圆心角所对的弧长是 厘米 29．“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径长画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”．请问：该“莱洛三角形”的弧长为 （结果保留）． 30．如果一个扇形的圆心角为，那么这个扇形的弧长是它所在的圆的周长的 ． 题型六　求圆心角 例题：31．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．那么这个扇形的圆心角度数为 ．（精确到0.1） 32．若一条弧长是它所在圆的周长的，则这条弧所对的圆心角等于 度． 33．如果一条弧的长度是它所在圆的周长的，那么这条弧所对的圆心角是 °． 巩固训练 34．一段弧所在的圆的半径为60，这段弧的长是157，那么这弧所对的圆心角是 度． 35．如图，一张圆形纸片剪开成甲乙两个扇形，若甲扇形所在的弧长是，乙扇形所在的弧长为，那么甲扇形的圆心角比乙扇形的圆心角大 度． 36．周长是720毫米的圆上，有一条长为360毫米的弧，这条弧所对的圆心角的度数为 ． 题型七　圆的面积 例题：37．一个圆形铁片，直径是，它的面积是（　　）． A． B． C． D． 38．如果圆的面积扩大到原来的9倍，那么这个圆的半径长扩大到原来的（   ） A．4.5倍 B．81倍 C．3倍 D．18倍 39．中国建筑中经常能见到“外圆内方”和“外方内圆”的设计，如图，在外圆内方图案中，圆与正方形面积比是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 40．直径长为6厘米的圆，它的面积是 平方厘米．（取3.14） 41．如图，已知正方形的边长为4，一个半径为1的圆的圆心落在点A处，若此圆从点A出发沿着正方形的边滑动，当圆心第一次到达点B时，滑动停止，滑动过程中被该圆覆盖的面积是 （结果保留）． 42．三个圆的周长比为，三个圆的圆心在同一点上，如图所示，那么阴影部分的面积是最大圆面积的 （填几分之几）．    题型八　圆环的面积 例题：43．已知一个圆形喷水池的半径是3米，沿它的外侧铺一条1米宽的小路，那么这条小路的面积等于 平方米．（取） 44．圆环的外圆半径是3厘米，内圆半径是2厘米，那么圆环的面积是 平方厘米．（结果保留） 45．如果一个圆环的外圆半径等于它内圆的直径，那么此圆环称为“平等圆环”，环宽（环宽等于两圆的半径之差）是10厘米的“平等圆环”面积为 平方厘米． 巩固训练 46．如图，阴影部分圆环的面积等于 平方厘米（结果保留）． 47．已知一个圆形喷水池的半径是3米，沿它的外侧铺一条1米宽的小路，那么这条小路的面积等于 平方米（结果保留）． 48．广场中央的圆形水池的直径是20米，在水池的周围是一条宽10米的环形水泥路．    (1)这条水泥路的面积是多少平方米？ (2)如果在水泥路的外沿上每隔31.4米设置一把休息椅，需要几把椅子？ 题型九　扇形的周长 例题：49．扇形的半径为，面积是，那么扇形的周长是 （取）． 50．把一个直径为4厘米的圆等分为8个扇形，每个扇形的周长是 厘米． 51．把直径为18厘米的圆等分成9个扇形，每个扇形的周长是 厘米．（取3.14） 巩固训练 52．已知扇形面积是，半径为，则扇形周长为 ． 53．如图，已知为正方形，以点B为圆心，正方形的边长4为半径画弧，以为直径作半圆，形成右图图形（阴影部分），求此阴影部分的周长 54．如图所示，求图中正方形中阴影部分的周长（取3.14）． 题型十　扇形的面积 例题：55．如果扇形的半径缩小为原来的，圆心角的度数不变，那么这个扇形的面积（    ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的2倍 56．如果一个扇形的半径扩大到原来的2倍，圆心角度数缩小为原来的，那么这个扇形的面积与原扇形的面积之比为（    ） A． B． C． D． 57．如图，三角形的三条边长都是2厘米，分别以线段、、的中点D、E、F为圆心，2厘米为直径画半圆，那么阴影部分的面积是 （结果保留π） 巩固训练 58．已知扇形的半径是5厘米，如果弧长是厘米，这个扇形的面积是 平方厘米． 59．如图，已知在直角三角形中，，将三角形绕顶点顺时针旋转（即）后得到，那么图中阴影部分的面积与周长的比值为 ．（精确到）    60．如图，两个正方形边长分别是10和6，则阴影部分的面积是多少？（π取3）    题型十一　画圆及扇形 例题：61．下列图形中的阴影部分是扇形的是（    ） A．   B．   C．   D．   62．画一个半径是7厘米的圆，圆规两脚间的距离应取（    ）厘米． A．3.5 B．7 C．14 D．不确定 63．在下面的正方形里画一个最大的圆，并涂出一个扇形． 巩固训练 64．画一个半径为的圆，并用字母标出它的圆心、半径和直径． 65．作图题．    (1)在如图方格纸中，画出按3：1放大后的直角梯形． (2)在放大后的直角梯形内，以梯形一个顶点为圆心，高为半径画一个扇形． (3)如果如图中小方格的边长表示1厘米，那么扇形面积是______平方厘米． 66．方格图中，点的位置表示为，点的位置表示为，将三角形绕点按逆时针方向旋转得到一个新的三角形． (1)在方格中，画出新的三角形． (2)用数对表示新三角形的另外两个顶点的位置：（　　），（　　） (3)如果图中每个小正方形的边长是厘米，那么点B由原来的旋转到新位置所经过的路线长是（　　）厘米． 题型十二　含圆的组合图形的计算（周长和面积） 例题：67．如图，圆的半径为，则长方形的周长是（   ） A．21 B．42 C．18.84 D．89.1 68．如图，已知圆的周长是12.56厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等．则图中阴影部分的周长 厘米． 69．求阴影部分的周长和面积（π取3.14）． (1)四边形为梯形 (2)四边形为正方形 巩固训练 70．求涂色部分的面积．（单位： ） (1) (2) 71．如图，正方形的边长为10厘米，以为直径在右侧作半圆，点E为半圆弧上的中点，点F为的中点，求阴影部分的面积和．（取3.14） 72．（1）计算图1阴影部分的周长；（） （2）两个正方形相拼，求图2阴影部分的面积． 题型十三　组合图形的面积 例题：73．（组合图形的面积）如图，平行四边形的底长是，线段长是，那么平行四边形中的阴影部分的面积是（    ）平方厘米．    A．24 B．36 C．48 D．72 74．如图，将绕点A逆时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，已知，，，则图中阴影部分的面积为（　　）    A． B． C． D． 75．如图，四边形和四边形都是正方形，已知三角形的面积为6平方厘米，则三角形的面积是 平方厘米． 巩固训练 76．如图，长方形的面积是12平方分米，那么圆的面积是 平方分米． 77．如图中的阴影部分面积是 平方厘米．（单位：厘米，取3.14） 78．求下面各图阴影部分的面积．（此题取） (1)如图所示； (2)是等腰直角三角形，. 题型十四　利用平移桥段周长与面积 例题：79．如下图所示，把平行四边形从左边沿高剪下一个三角形平移到右边，就成了一个长8厘米，宽6厘米的长方形，原来平行四边形的底是( )厘米，高是( )厘米，面积是( )平方厘米． 80．在一长方形草地里有一条宽1米的曲折小路，如图所示，草坪的面积是 平方米．    81．圆的面积公式不仅可以把它转化成近似的长方形，也可以转化成其它的图形．如下图，把半径为的圆平均分成20个小三角形后拼成近似的梯形，请你填一填．（结果用含有的式子表示） 每个小三角形的底等于（    ），梯形的上底等于（    ），梯形的下底等于（    ），梯形的高是（    ）．梯形的面积（    ）． 巩固训练 82．如图（1），一个长方形纸条从正方形的左边开始以每秒2厘米的速度沿水平方向向右行驶，图（2）是运动过程中长方形纸条和正方形重叠部分的面积与运动时间的关系图． (1)运动4秒后，重叠部分的面积是多少平方厘米？ (2)正方形的边长是多少厘米？ (3)在图（2）的（    ）内填入正确的时间． 83．按要求作图： (1)小旗子绕A点按逆时针方向旋转后的图形． (2)小旗子向右平移10格后的图形． (3)小旗子按扩大后的图形． 84．在一张边长是厘米的正方形纸中，剪去一个长厘米、宽厘米的长方形．小明想到了三种剪的方法（如下图）．剩余部分的面积各是多少？剩余部分的周长呢？（单位：厘米） 题型十五　阴影部分的周长和面积 例题：85．如图，长方形里有两个大小相等的圆，图中阴影部分的面积是（   ）    A． B． C． D． 86．如图所示，两个相同的长方形中的阴影面积相比，下列说法正确的是（    ） A．甲＞乙 B．甲＜乙 C．甲=乙 D．无法比较 87．在图中，甲、乙都是正方形，边长分别为10厘米和12厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米．（取3.14） 巩固训练 88．如图是一个边长为4厘米的正方形，则阴影部分的面积是 平方厘米．（取） 89．如图，有两个边长是6厘米的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上．旋转其中一个正方形，重叠部分的面积是( )平方厘米． 90．圆的计算（取） (1)求下面阴影部分的周长； (2)求下面阴影部分的面积． 题型十六　不规则图形的面积 例题：91．如图，若小方格的边长为，则网格中整个小花瓶（阴影部分）的面积是（   ）平方厘米． A．5 B．6 C．7 D．4 92．如图中有一个圆和一个等腰直角三角形，阴影部分的面积是（ ）． A．25 B．50 C．75 D．100 93．如图所示，，已知阴影甲的面积为，则阴影乙部分的面积是 ．（精确到，取3.14） 巩固训练 94．如图，如果直角三角形的面积是平方厘米，那么圆内空白部分的面积是( )平方厘米． 95．如图，是清代乾隆年间铸造的一枚圆形钱币，如果它的外圆半径为厘米，中间正方形小孔的边长为厘米．这枚古币一面的面积为 平方厘米． 96．如图，三角形是直角三角形，，长为，长为，以、为直径画半圆，两个半圆的交点在边上，则图中阴影部分的面积为 ．（取）    试卷第42页，共43页 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$