第10章 三角恒等变换 章末题型归纳总结（能力篇）（9大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

第10章 三角恒等变换 章末题型归纳总结（能力篇） 【题型归纳目录】 题型一：给角求值型问题 题型二：给值求值型问题 题型三：给值求角型问题 题型四：三角函数式的化简与证明 题型五：三角恒等变换与三角函数的综合应用 题型六：三角恒等变换与向量的综合运用 题型七：三角恒等变换的实际应用 题型八：辅助角公式的高级应用 题型九：和差化积、积化和差公式的应用 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点1：两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 知识点2：二倍角公式 ①； ②； ③； 知识点3：降次（幂）公式 知识点4：半角公式 知识点4：辅助角公式 （其中）． 解题方法总结 1、两角和与差正切公式变形 ； ． 2、降幂公式与升幂公式 ； ． 3、其他常用变式 ． 4、拆分角问题：①；；②；③； ④；⑤． 注意：特殊的角也看成已知角，如． 5、和化积公式 6、积化和公式 【典型例题】 题型一：给角求值型问题 【典例1-1】求值： ． 【答案】 【解析】方法一：原式 ； 方法二：令原式乘以得， ， 则原式． 故答案为：. 【典例1-2】 ． 【答案】/ 【解析】因为， 则 ， 所以. 故答案为：. 【变式1-1】 ． 【答案】 【解析】 . 故答案为： 【变式1-2】 ． 【答案】 【解析】原式， 故答案为：. 【变式1-3】求 . 【答案】/0.5 【解析】 故答案为：. 题型二：给值求值型问题 【典例2-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知， 则， 所以， 联立，结合，解得， 则， 故. 故选：D. 【典例2-2】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得， 所以，， ， 所以，， 因此，. 故选：B. 【变式2-1】已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，则， 且，可得， 所以. 故选：A. 【变式2-2】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 即，可得 所以 . 故选：D. 【变式2-3】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，而，得， 因此， 所以. 故选：B 题型三：给值求角型问题 【典例3-1】若，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 因为，所以， 所以，得. 故选：D 【典例3-2】若，，并且均为锐角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，可得， 又，所以， 因为，，所以， 所以 ， 又因为，所以. 故选：C 【变式3-1】已知等差数列中，，，又，，其中，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【解析】， ，， ， ， .又， ， . ，，， . 故选：D. 【变式3-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，所以， 又， 所以， 所以， 又，所以， 所以. 故选：D. 【变式3-3】若，且，，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】因则.又，则， 可得. 又则 由，可得 由 . 因则 . 故选：A. 题型四：三角函数式的化简与证明 【典例4-1】某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数， ； ； . (1)求出这个常数； (2)结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论. 【解析】（1）因为 ， 故常数为； （2）推广：当时，． 证明：因为，则， ． 【典例4-2】（1）化简； （2）证明：. 【解析】（1）原式 . （2）左边 右边. 所以原等式成立. 【变式4-1】化简与证明： (1)化简：； (2)证明：． 【解析】（1）原式． （2）证明 ： 左边 ＝右边， 所以原等式成立． 【变式4-2】证明：． 【解析】证明：左端＝ ＝右端． 所以 【变式4-3】证明下列三角恒等式： (1)； (2). 【解析】（1）∵， ∴ ， ∴. （2） . 题型五：三角恒等变换与三角函数的综合应用 【典例5-1】（1）已知角为第二象限角，且，求的值； （2）若在区间上的最大值为6，求实数的值． 【解析】（1）因为角为第二象限角，且，则， 所以 ； （2）由题意可得：， 因为，则， 可知当，即时，取到最大值， 可得，即. 【典例5-2】已知函数已知. (1)求函数的周期、对称轴、对称中心; (2)求在上的单调区间与最值； (3)若对，不等式恒成立，试求的取值范围. 【解析】（1）法一：. ， 所以， ，所以对称轴为：， ，所以对称中心为：， 法二：， 所以， ，所以对称轴为：， ，所以对称中心为：. （2）法一：，， 所以上单调递增，上单调递减， 所以上单调递增，上单调递减， ，，， 所以 法二：，， 所以上单调递增，上单调递减， 所以上单调递增，上单调递减， ，，， 所以； （3），而恒成立， 所以， 当取得最大值3时，， 所以. 【变式5-1】已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)设. ①求函数的单调递增区间； ②当时，求不等式的解集. 【解析】（1） ， 函数的最小正周期为； 当，即，，取得最大值2； （2）①， 令，，，， 所以函数的单调递增区间是，； ②，， ，所以或， 得或 所以不等式的解集是. 【变式5-2】已知函数，. (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)直线与曲线、分别交于点、，求的最大值． 【解析】（1）因为，则的最小正周期为. 由可得， 所以，函数的单调递减区间为. （2）由题意可知，、两点的坐标为、， 则，即， 故 ， 因为，所以，所以， 所以在时的最大值为. 【变式5-3】已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调减区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【解析】（1）因为. 由，所以函数的最小正周期为. 由，得. 所以函数的单调减区间为. （2）因为，所以. 所以，函数在上的最小值为0，最大值为2. 题型六：三角恒等变换与向量的综合运用 【典例6-1】已知向量，函数. (1)求函数的值域和单调递增区间； (2)当，且时，求的值. 【解析】（1）由题 ， 由于，则函数的值域是； 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. （2）因为，可得， 因为，则， 可得， 所以. 【典例6-2】已知向量，函数. (1)求的最小正周期; (2)求的单调减区间； (3)若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围. 【解析】（1）， 的最小正周期. （2）令，， 解得，， 所以的单调减区间为 （3） 由题知在区间上恰有两个不同的实数根， 即函数在区间上的图像与直线恰有两个交点， 令， 做出的图像与直线，如图. 由图知，当时，的图像与直线有两个交点， 【变式6-1】已知向量，，函数的最小值为. (1)求m的值及函数的单调递增区间； (2)将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，试求不等式在区间上的解集. 【解析】（1） ， 所以的最小值为，解得. 即， 令 解得， 所以的单调递增区间为. （2）由已知可得， 所以不等式即为， 令，则由，得， 则原不等式化为， 所以，所以， 所以， 结合函数在上的图象可得或， 即或， 所以原不等式在区间上的解集为或. 【变式6-2】已知向量，，函数. (1)将化简成的形式； (2)将的图象向左平移个最小正周期的单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，求的单调递增区间； (3)在（2）的条件下，若，求的值. 【解析】（1） . （2）因为的最小正周期， 所以， 则． 令，得， 故的单调递增区间为． （3）根据题意可得， 令，则，. 由， 故． 【变式6-3】已知向量，，函数. (1)求的最小正周期和对称轴； (2)求在区间上的最大值； (3)若，，求. 【解析】（1）， 所以， ， 所以的最小正周期为， 令，解得：， 所以对称轴为 （2）由，， 得，故当，即时， 取得最大值，最大值为. （3），可得：， 即，又，则， 所以， 所以. 题型七：三角恒等变换的实际应用 【典例7-1】如图，在平面直角坐标系中，已知点为角终边上一点，点为角终边上一点，四边形为正方形，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】点是角终边上的一点， ， ，， ， ， 四边形为正方形， ∴， ∴ . 故选：D. 【典例7-2】欢乐港湾摩天轮——“湾区之光”是深圳的一处标志性景点．已知某摩天轮最高点距离地面高度为128米，转盘直径为120米，等距设置有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周大约需要30min，若甲、乙两人的座舱之间有4个座舱，则甲、乙两人座舱高度差的最大值为（   ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【解析】甲乙两人的座舱所连的弧所对应的圆心角为，则， 以摩天轮中心为原点建立坐标系，设某一时刻甲座舱位于处， 乙座舱位于处， 则两人高度差 ， 其中， 故米. 故选：B． 【变式7-1】如图正方形ABCD的边长为1，，分别为边AB，DA上的点．当的周长为2时，（    ）（提示：） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，，，则，， 于是， 又的周长为2，即，变形得， 则，又，因此， 所以. 故选：C 【变式7-2】在直角坐标系中，设角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，将角的终边逆时针旋转，与单位圆交点的纵坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将角的终边逆时针旋转，与单位圆交点的纵坐标为， 所以，所以， 所以， 故选：B. 【变式7-3】已知函数的部分图象大致如图所示．将函数的图象向左平移个单位后，所得函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由图可知，，由，可得， 又由五点画图法有，可得， 所以可得， ， 函数向左平移个单位后，所得函数为 ， 由奇偶性及，可得，可得． 故选：C. 题型八：辅助角公式的高级应用 【典例8-1】若函数的图象关于直线对称，则的值是 . 【答案】 【解析】因为 （其中）， 且函数图象关于直线对称， 所以， 整理得，解得. 故答案为： 【典例8-2】已知函数，当时，的值域为 ． 【答案】 【解析】， 若，则， 则， 所以，即的值域为． 故答案为： 【变式8-1】当时，，则 . 【答案】 【解析】因为， 所以， 所以，所以， 即， 解得或，又，所以， 所以，所以，所以，所以. 故答案为： 【变式8-2】已知函数，则函数在上的最大值为 ． 【答案】 【解析】设，则， 所以，， 当时，，所以，， 则， 设，，则， 所以函数在上单调递减，， 即当时，． 故答案为：. 【变式8-3】已知是函数的图象在轴上的两个相邻交点，若，则 ． 【答案】或 【解析】由题意得， 令，得，则， ∴或， ∴或， ∵，∴或，解得或． 故答案为：或. 题型九：和差化积、积化和差公式的应用 【典例9-1】已知，则 ． 【答案】/ 【解析】由得①， 由得②， 得． 故答案为：. 【典例9-2】化简求值： . 【答案】 【解析】 【变式9-1】对集合,,,和常数，把定义为集合,,,相对于的“正弦方差”，则集合相对于的“正弦方差”为 . 【答案】/0.5 【解析】由题意得，集合相对于的“正弦方差为， 所以， 所以， ， ， ， 所以， 故答案为： 【变式9-2】已知，若，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】由题意知： ， 由题意知，因此． 所以，故， 因为，所以， 所以 ， 而，故，故的最小值为. 故答案为：. 【变式9-3】已知对任意的角α，β，满足，.则当，时， ；若，则 （填“>”“<”或“＝”）. 【答案】 【解析】由题意知 ①， ②， ①式除以②式，得； 若，则， 故，即． 故答案为：，＝ 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 三角恒等变换 章末题型归纳总结（能力篇） 【题型归纳目录】 题型一：给角求值型问题 题型二：给值求值型问题 题型三：给值求角型问题 题型四：三角函数式的化简与证明 题型五：三角恒等变换与三角函数的综合应用 题型六：三角恒等变换与向量的综合运用 题型七：三角恒等变换的实际应用 题型八：辅助角公式的高级应用 题型九：和差化积、积化和差公式的应用 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点1：两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 知识点2：二倍角公式 ①； ②； ③； 知识点3：降次（幂）公式 知识点4：半角公式 知识点4：辅助角公式 （其中）． 解题方法总结 1、两角和与差正切公式变形 ； ． 2、降幂公式与升幂公式 ； ． 3、其他常用变式 ． 4、拆分角问题：①；；②；③； ④；⑤． 注意：特殊的角也看成已知角，如． 5、和化积公式 6、积化和公式 【典型例题】 题型一：给角求值型问题 【典例1-1】求值： ． 【典例1-2】 ． 【变式1-1】 ． 【变式1-2】 ． 【变式1-3】求 . 题型二：给值求值型问题 【典例2-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知，则（    ） A． B． C． D． 题型三：给值求角型问题 【典例3-1】若，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】若，，并且均为锐角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知等差数列中，，，又，，其中，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 【变式3-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】若，且，，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 题型四：三角函数式的化简与证明 【典例4-1】某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数， ； ； . (1)求出这个常数； (2)结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论. 【典例4-2】（1）化简； （2）证明：. 【变式4-1】化简与证明： (1)化简：； (2)证明：． 【变式4-2】证明：． 【变式4-3】证明下列三角恒等式： (1)； (2). 题型五：三角恒等变换与三角函数的综合应用 【典例5-1】（1）已知角为第二象限角，且，求的值； （2）若在区间上的最大值为6，求实数的值． 【典例5-2】已知函数已知. (1)求函数的周期、对称轴、对称中心; (2)求在上的单调区间与最值； (3)若对，不等式恒成立，试求的取值范围. 【变式5-1】已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)设. ①求函数的单调递增区间； ②当时，求不等式的解集. 【变式5-2】已知函数，. (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)直线与曲线、分别交于点、，求的最大值． 【变式5-3】已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调减区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 题型六：三角恒等变换与向量的综合运用 【典例6-1】已知向量，函数. (1)求函数的值域和单调递增区间； (2)当，且时，求的值. 【典例6-2】已知向量，函数. (1)求的最小正周期; (2)求的单调减区间； (3)若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围. 【变式6-1】已知向量，，函数的最小值为. (1)求m的值及函数的单调递增区间； (2)将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，试求不等式在区间上的解集. 【变式6-2】已知向量，，函数. (1)将化简成的形式； (2)将的图象向左平移个最小正周期的单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，求的单调递增区间； (3)在（2）的条件下，若，求的值. 【变式6-3】已知向量，，函数. (1)求的最小正周期和对称轴； (2)求在区间上的最大值； (3)若，，求. 题型七：三角恒等变换的实际应用 【典例7-1】如图，在平面直角坐标系中，已知点为角终边上一点，点为角终边上一点，四边形为正方形，则 （    ） A． B． C． D． 【典例7-2】欢乐港湾摩天轮——“湾区之光”是深圳的一处标志性景点．已知某摩天轮最高点距离地面高度为128米，转盘直径为120米，等距设置有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周大约需要30min，若甲、乙两人的座舱之间有4个座舱，则甲、乙两人座舱高度差的最大值为（   ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【变式7-1】如图正方形ABCD的边长为1，，分别为边AB，DA上的点．当的周长为2时，（    ）（提示：） A． B． C． D． 【变式7-2】在直角坐标系中，设角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，将角的终边逆时针旋转，与单位圆交点的纵坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知函数的部分图象大致如图所示．将函数的图象向左平移个单位后，所得函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 题型八：辅助角公式的高级应用 【典例8-1】若函数的图象关于直线对称，则的值是 . 【典例8-2】已知函数，当时，的值域为 ． 【变式8-1】当时，，则 . 【变式8-2】已知函数，则函数在上的最大值为 ． 【变式8-3】已知是函数的图象在轴上的两个相邻交点，若，则 ． 题型九：和差化积、积化和差公式的应用 【典例9-1】已知，则 ． 【典例9-2】化简求值： . 【变式9-1】对集合,,,和常数，把定义为集合,,,相对于的“正弦方差”，则集合相对于的“正弦方差”为 . 【变式9-2】已知，若，则的最小值为 ． 【变式9-3】已知对任意的角α，β，满足，.则当，时， ；若，则 （填“>”“<”或“＝”）. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$