第12章 复数 章末题型归纳总结（能力篇）（8大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

第12章 复数 章末题型归纳总结（能力篇） 【题型归纳目录】 题型一：复数的概念 题型二：复数的运算 题型三：复数的几何意义 题型四：复数的相等与共轭复数 题型五：复数的模 题型六：复数的三角形式 题型七：与复数有关的最值问题 题型八：复数方程 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点1：复数的概念 （1）叫虚数单位，满足，当时，． （2）形如的数叫复数，记作． ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，． 知识点2：复数的四则运算 1、复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 注意：复数加、减法的几何意义 以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 2、复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 3、复数的三角形式 （1）复数的三角表示式 一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式． （2）辐角的主值 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式． （3）三角形式下的两个复数相等 两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． （4）复数三角形式的乘法运算 ①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即 ． ②复数乘法运算的三角表示的几何意义 复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积． （5）复数三角形式的除法运算 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即． 解题方法总结 复数的方程在复平面上表示的图形 （1）表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环； （2）表示以为圆心，r为半径的圆． 【典型例题】 题型一：复数的概念 【典例1-1】（2025·高三·江苏盐城·阶段练习）已知复数z满足，则复数的虚部为（   ） A．1 B．－1 C．i D．－i 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以， 所以复数的虚部为， 故选：B. 【典例1-2】（2025·高三·全国·专题练习）已知复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解法一  因为，所以的虚部为； 解法二  设，所以， 故，解得，，所以的虚部为， 故选：D. 【变式1-1】（2025·高三·山西太原·阶段练习）设复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C．0或 D．0或 【答案】A 【解析】由题意为虚数，所以，从而由题意集合中唯一的正实数相等，即，所以， 若，则或，不合题意，舍去， 因此，由共轭复数的性质有， 设且，由得， 所以，由于，故解得，， 故选：A． 【变式1-2】（2025·全国·模拟预测）已知复数，则的的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，所以虚部为. 故选：B. 【变式1-3】（2025·高三·贵州贵阳·阶段练习）已知复数，则z的虚部为（   ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】A 【解析】因为，所以的虚部为. 故选：A. 题型二：复数的运算 【典例2-1】（2025·高一·陕西咸阳·阶段练习）已知复数z满足： (1)求复数z； (2)求的值． 【解析】（1）设，而，即， 即， 则，解得，所以. （2） . 【典例2-2】（2025·高一·山东泰安·阶段练习）已知复数，i为虚数单位． (1)求的值； (2)求的值． 【解析】（1）复数(i为虚数单位)， ， ； （2）由（1）可得， 且2019=3673， 所以. 【变式2-1】（2025·高一·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)． 【解析】（1）因为， 所以． （2）． 【变式2-2】（2025·高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【解析】（1）. （2）. （3）. （4）. （5） . 【变式2-3】（9-10高二下·河南·期中）已知复数． (1)求复数； (2)若，求实数，的值． 【解析】（1）． （2）把代入，得， 整理得，所以，解得. 题型三：复数的几何意义 【典例3-1】（2025·高一·全国·课后作业）已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（   ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第一象限 【答案】D 【解析】， ，A选项错误， 的虚部是，B选项错误； ，C选项错误， 在复平面内对应的点为，在第一象限，D选项正确. 故选：D 【典例3-2】（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期中）复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】由，且，则， 所以，可得其在复平面上对应的点为，即该点在第四象限. 故选：D. 【变式3-1】（2025·甘肃兰州·二模）定义运算，则满足（为虚数单位）的复数z在复平面内对应的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】由题意可得， 即， 所以复数z在复平面内对应的点为，在第二象限， 故选：B. 【变式3-2】（2025·全国·模拟预测）如图，复数对应的向量为，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题图可知，，则， 解得（舍去）， 所以，，则向量在向量上的投影向量为， 所以其坐标为． 故选：D 【变式3-3】（2025·高二·湖南长沙·期中）已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】， 所以在复平面内对应的点为，位于第三象限． 故选：C. 题型四：复数的相等与共轭复数 【典例4-1】（2025·高一·天津·阶段练习）已知，，，则 . 【答案】1 【解析】设， 由，得，即， 由，，得， 有，整理得， 而， 所以. 故答案为： 【典例4-2】（2025·高一·山东聊城·期中）已知复数，（，），（），若，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】复数，，，， 则，化简整理可得，， 当时，取得最小值为1， 当时，取得最大值为5， 故的取值范围为． 故答案为：． 【变式4-1】（2025·高一·上海闵行·期末）若复数，满足．且（i为虚数单位），则 ． 【答案】 【解析】设，， ， ，又，所以，， ， ， . 故答案为：. 【变式4-2】（2025·高一·四川·期末）设的共轭复数是，若，则 . 【答案】 【解析】设，则，由， 得， . 故答案为： 【变式4-3】（2025·高一·广西柳州·阶段练习）已知关于的方程有实根，则实数 ． 【答案】 【解析】设为方程有实根， 则，即， 所以，解得， 故答案为：. 题型五：复数的模 【典例5-1】（2025·高一·安徽安庆·期末）已知复数满足:，则 . 【答案】3 【解析】因为， 所以，故. 故答案为：3. 【典例5-2】（2025·高一·山东·期中）复数满足，则 ， ． 【答案】 【解析】由题意可知是在复数域内的两个根，根据韦达定理有； 因为满足，所以，， 则 ， 当时，， 当时，， 综上. 故答案为：；. 【变式5-1】（2025·高一·上海宝山·阶段练习）已知为复数，满足，则的值是 【答案】 【解析】由已知得，且，故为纯虚数，且虚部小于0， 设，代入方程可得， 解得或 （正根舍去）， 故，. 故答案为：. 【变式5-2】（2025·高一·河南濮阳·阶段练习）已知复数满足，则 ． 【答案】 【解析】设，， 所以， 又， 所以，，， 所以， 又， 所以． 故答案为： 【变式5-3】（2025·上海·模拟预测）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ． 【答案】2 【解析】设，且. 则， ，，解得， 故答案为：2. 题型六：复数的三角形式 【典例6-1】（多选题）（2025·高一·云南玉溪·阶段练习）欧拉公式：是虚数单位，，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令可得.它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位、虚数单位以及复数中的巧妙地结合在一起被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等下列关于欧拉公式的叙述正确的有（    ） A． B．复数对应的点位于第二象限 C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，因为，所以，，故A错误； 对于B，，而，则、， 故位于第二象限，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，所以， 又因为，所以，故D正确． 故选：BCD． 【典例6-2】（多选题）（2025·江西萍乡·一模）已知复数，（）在复平面内对应的向量分别为，（其中为原点），则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则的最小值为3 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【解析】对于A，若，则复平面内以有向线段和为邻边的平行四边形是矩形， 根据矩形的对角线相等和复数加减法的几何意义可知，选项A正确； 对于B，若，则点的轨迹是以为圆心，以5为半径的圆， 设， 则， 因为，可得，故B正确； 对于C， ，取，显然，但，故C错误； 对于D，两个复数当且仅当它们同为实数时才能比较大小，故D错误. 故选：AB. 【变式6-1】（多选题）（2025·高三·云南·阶段练习）设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式，其中为复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角（也被称为的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现，我们称这个结论为棣莫佛定理．根据以上信息，若复数满足，则可能的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】设，其中，则， 故，而，故， 故，故， 故BD正确，AC错误； 故选：BD. 【变式6-2】（多选题）（2025·高三·广东广州·期中）任何一个复数（其中）都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫佛发现：，我们称这个结论为棣莫佛定理.根据以上信息，则下列说法正确的是（    ） A．当，时， B．当，时， C．当，且为偶数时，为实数 D． 【答案】AD 【解析】对A，由题意知，正确； 对B，由题意知，错误； 对C，由题意知，令，则，当时，错误； 对D，，，所以，正确. 故选：AD 【变式6-3】（多选题）（2025·高三·河北·阶段练习）已知复数，，则下列命题中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】，故A正确； ，，，则B不正确； 显然成立，故C正确； ，设，则，故D正确. 故选：ACD. 题型七：与复数有关的最值问题 【典例7-1】（2025·高一·浙江宁波·阶段练习）设z为复数，若=1，则的最大值为 . 【答案】3 【解析】设，则，即， ，∴， ∵在上单调递增， ∵，， ∴当时，取最大值3. 故答案为：3. 【典例7-2】（2025·高一·全国·课前预习）设复数，，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，表示如图所示的圆环， 而表示复数的对应点与复数的对应点之间的距离， 即圆环内的点到点的距离． 由图易知当与重合时，，当点与点重合时，，． 故答案为：. 【变式7-1】（2025·高一·上海·期末）已知复数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】表示在复平面上对应的点是单位圆上的点， 的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离， 最小距离为，最大距离为， 的取值范围为. 故答案为：. 【变式7-2】（2025·高一·山西长治·期末）已知复数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】表示对应的点是以原点为圆心，半径的圆上的点, 的几何意义表示圆上的点和之间的距离， 于是，的最大值为， 最小值为， 所以的取值范围是. 故答案为：. 题型八：复数方程 【典例8-1】（2025·高一·河北邯郸·阶段练习）已知复数满足. (1)求复数和； (2)若复数是关于的方程的一个根，求实数a，b的值. 【解析】（1）因为复数满足， 所以， 所以. 所以. （2）因为复数是关于的方程的一个根， 由（1）知，所以 ， 所以， 解得，. 【典例8-2】（2025·高一·安徽黄山·期中）已知复数（其中为虚数单位），若复数的共轭复数为，且． (1)求复数； (2)求复数； (3)若是关于的方程的一个根，求实数，的值，并求出方程的另一个复数根． 【解析】（1）， 所以复数的共轭复数为． （2）因为， 所以 所以. （3）若是关于的方程的一个根，则， 即， 所以 解得：，， 则，即， 所以方程另一根为． 【变式8-1】（2025·高一·河南周口·期末）对任意一个非零复数，定义集合．. (1)设是方程的一个根，试用列举法表示集合； (2)若复数，求证． 【解析】（1）由，得， ，， 当时，，， ， 当时，，， ． 综上，. （2）， 存在，使得． 于是对任意，， 由于是正奇数，， . 【变式8-2】（2025·高一·上海松江·期末）已知为虚数单位，复数． (1)当实数取何值时，是纯虚数； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数与的值． 【解析】（1）由是纯虚数得，解得. 所以当时，是纯虚数. （2）当时，， 因为是关于的方程的一个根，所以， 即，整理得， 所以，解得. 【变式8-3】（2025·高一·全国·课后作业）在英语中，实数是Real Number，一般取Real的前两个字母“Re”表示一个复数的实部；虚数是Imaginary Number，一般取Imaginary的前两个字母“Im”表示一个复数的虚部．如：，；，．已知复数z是方程的解． (1)若，且（a，，i是虚数单位），求； (2)若，复数，，且，，求实数t的取值范围． 【解析】（1）由z是方程的根，， 解得． 因为，所以，所以， 则， 所以解得 所以． （2）因为，所以． 又， 所以． 因为，， 所以解得， 所以实数t的取值范围为． 14 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 复数 章末题型归纳总结（能力篇） 【题型归纳目录】 题型一：复数的概念 题型二：复数的运算 题型三：复数的几何意义 题型四：复数的相等与共轭复数 题型五：复数的模 题型六：复数的三角形式 题型七：与复数有关的最值问题 题型八：复数方程 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点1：复数的概念 （1）叫虚数单位，满足，当时，． （2）形如的数叫复数，记作． ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，． 知识点2：复数的四则运算 1、复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 注意：复数加、减法的几何意义 以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 2、复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 3、复数的三角形式 （1）复数的三角表示式 一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式． （2）辐角的主值 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式． （3）三角形式下的两个复数相等 两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． （4）复数三角形式的乘法运算 ①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即 ． ②复数乘法运算的三角表示的几何意义 复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积． （5）复数三角形式的除法运算 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即． 解题方法总结 复数的方程在复平面上表示的图形 （1）表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环； （2）表示以为圆心，r为半径的圆． 【典型例题】 题型一：复数的概念 【典例1-1】（2025·高三·江苏盐城·阶段练习）已知复数z满足，则复数的虚部为（   ） A．1 B．－1 C．i D．－i 【典例1-2】（2025·高三·全国·专题练习）已知复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·高三·山西太原·阶段练习）设复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C．0或 D．0或 【变式1-2】（2025·全国·模拟预测）已知复数，则的的虚部为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·高三·贵州贵阳·阶段练习）已知复数，则z的虚部为（   ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 题型二：复数的运算 【典例2-1】（2025·高一·陕西咸阳·阶段练习）已知复数z满足： (1)求复数z； (2)求的值． 【典例2-2】（2025·高一·山东泰安·阶段练习）已知复数，i为虚数单位． (1)求的值； (2)求的值． 【变式2-1】（2025·高一·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)． 【变式2-2】（2025·高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式2-3】（9-10高二下·河南·期中）已知复数． (1)求复数； (2)若，求实数，的值． 题型三：复数的几何意义 【典例3-1】（2025·高一·全国·课后作业）已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（   ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第一象限 【典例3-2】（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期中）复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-1】（2025·甘肃兰州·二模）定义运算，则满足（为虚数单位）的复数z在复平面内对应的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-2】（2025·全国·模拟预测）如图，复数对应的向量为，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·高二·湖南长沙·期中）已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型四：复数的相等与共轭复数 【典例4-1】（2025·高一·天津·阶段练习）已知，，，则 . 【典例4-2】（2025·高一·山东聊城·期中）已知复数，（，），（），若，则的取值范围为 ． 【变式4-1】（2025·高一·上海闵行·期末）若复数，满足．且（i为虚数单位），则 ． 【变式4-2】（2025·高一·四川·期末）设的共轭复数是，若，则 . 【变式4-3】（2025·高一·广西柳州·阶段练习）已知关于的方程有实根，则实数 ． 题型五：复数的模 【典例5-1】（2025·高一·安徽安庆·期末）已知复数满足:，则 . 【典例5-2】（2025·高一·山东·期中）复数满足，则 ， ． 【变式5-1】（2025·高一·上海宝山·阶段练习）已知为复数，满足，则的值是 【变式5-2】（2025·高一·河南濮阳·阶段练习）已知复数满足，则 ． 【变式5-3】（2025·上海·模拟预测）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ． 题型六：复数的三角形式 【典例6-1】（多选题）（2025·高一·云南玉溪·阶段练习）欧拉公式：是虚数单位，，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令可得.它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位、虚数单位以及复数中的巧妙地结合在一起被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等下列关于欧拉公式的叙述正确的有（    ） A． B．复数对应的点位于第二象限 C． D． 【典例6-2】（多选题）（2025·江西萍乡·一模）已知复数，（）在复平面内对应的向量分别为，（其中为原点），则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则的最小值为3 C．若，则 D．若，则 【变式6-1】（多选题）（2025·高三·云南·阶段练习）设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式，其中为复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角（也被称为的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现，我们称这个结论为棣莫佛定理．根据以上信息，若复数满足，则可能的取值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（多选题）（2025·高三·广东广州·期中）任何一个复数（其中）都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫佛发现：，我们称这个结论为棣莫佛定理.根据以上信息，则下列说法正确的是（    ） A．当，时， B．当，时， C．当，且为偶数时，为实数 D． 【变式6-3】（多选题）（2025·高三·河北·阶段练习）已知复数，，则下列命题中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型七：与复数有关的最值问题 【典例7-1】（2025·高一·浙江宁波·阶段练习）设z为复数，若=1，则的最大值为 . 【典例7-2】（2025·高一·全国·课前预习）设复数，，则的取值范围是 ． 【变式7-1】（2025·高一·上海·期末）已知复数满足，则的取值范围是 . 【变式7-2】（2025·高一·山西长治·期末）已知复数满足，则的取值范围是 ． 题型八：复数方程 【典例8-1】（2025·高一·河北邯郸·阶段练习）已知复数满足. (1)求复数和； (2)若复数是关于的方程的一个根，求实数a，b的值. 【典例8-2】（2025·高一·安徽黄山·期中）已知复数（其中为虚数单位），若复数的共轭复数为，且． (1)求复数； (2)求复数； (3)若是关于的方程的一个根，求实数，的值，并求出方程的另一个复数根． 【变式8-1】（2025·高一·河南周口·期末）对任意一个非零复数，定义集合．. (1)设是方程的一个根，试用列举法表示集合； (2)若复数，求证． 【变式8-2】（2025·高一·上海松江·期末）已知为虚数单位，复数． (1)当实数取何值时，是纯虚数； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数与的值． 【变式8-3】（2025·高一·全国·课后作业）在英语中，实数是Real Number，一般取Real的前两个字母“Re”表示一个复数的实部；虚数是Imaginary Number，一般取Imaginary的前两个字母“Im”表示一个复数的虚部．如：，；，．已知复数z是方程的解． (1)若，且（a，，i是虚数单位），求； (2)若，复数，，且，，求实数t的取值范围． 8 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$