第10章 三角恒等变换 章末题型归纳总结（基础篇）（8大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

第10章 三角恒等变换 章末题型归纳总结（基础篇） 【题型归纳目录】 题型一：给角求值型问题 题型二：给值求值型问题 题型三：给值求角型问题 题型四：三角函数式的化简与证明 题型五：三角恒等变换与三角函数的综合应用 题型六：三角恒等变换与向量的综合运用 题型七：三角恒等变换的实际应用 题型八：辅助角公式的高级应用 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点1：两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 知识点2：二倍角公式 ①； ②； ③； 知识点3：降次（幂）公式 知识点4：半角公式 知识点4：辅助角公式 （其中）． 解题方法总结 1、两角和与差正切公式变形 ； ． 2、降幂公式与升幂公式 ； ． 3、其他常用变式 ． 4、拆分角问题：①；；②；③； ④；⑤． 注意：特殊的角也看成已知角，如． 5、和化积公式 6、积化和公式 【典型例题】 题型一：给角求值型问题 【典例1-1】计算： . 【答案】/ 【解析】由题意可得： ． 故答案为：． 【典例1-2】 ． 【答案】 【解析】 . 故. 故答案为：. 【变式1-1】的值是 . 【答案】 【解析】， 所以的值是. 故答案为： 【变式1-2】 . 【答案】 【解析】 . 故答案为：. 【变式1-3】 . 【答案】 【解析】原式. 故答案为：． 题型二：给值求值型问题 【典例2-1】已知，则   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得：. 故选：C. 【典例2-2】已知，则（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题得. 故选：B. 【变式2-1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 得. 故选：A 【变式2-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 . 故选：A 【变式2-3】已知，，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 又，所以， 所以，故A，C，D错误. 故选：B. 题型三：给值求角型问题 【典例3-1】已知：α，β均为锐角，tanα，tanβ，则α+β＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于α，β均为锐角，tanα，tanβ， 所以. 所以. 所以. 故选：B. 【典例3-2】已知，，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】先利用平方关系求出，，再利用两角差的余弦公式将展开计算，根据余弦值及角的范围可得角的大小.∵，，， ∴，， ∴. 又∵，∴， ∴， ∴. 故选：A. 【变式3-1】已知，，是锐角，则=（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是锐角，，所以 cos，cos（α﹣β）. ∴ ∵β为锐角 ∴β 故选C． 【变式3-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 得，所以， 又，所以， 即， 整理得，即， 所以一个钝角一个锐角，所以， 所以， 所以. 故选：C 【变式3-3】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 又，， 所以，， 所以， 所以. 故选：B. 题型四：三角函数式的化简与证明 【典例4-1】化简： (1)； (2) (3) (4) 【解析】（1）. （2）. （3）原式. （4）原式. 【典例4-2】化简下列三角函数的值：． 【解析】． 【变式4-1】证明： (1)； (2)． 【解析】（1）左边右边， ∴原等式成立． （2）右边，分子，分母同除以， 得右边左边， 【变式4-2】（1）若，求的值； （2）证明：． 【解析】（1）由，且， 即，整理得， 所以． （2）左边 右边， 所以原等式成立. 【变式4-3】证明下列恒等式： (1)； (2)． 【解析】（1） ； （2） 题型五：三角恒等变换与三角函数的综合应用 【典例5-1】已知是第二象限角， (1)求和的值； (2)求和的值. 【解析】（1）因为是第二象限角，， 所以，； （2）， . 【典例5-2】在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于点，已知. (1)若的纵坐标为，求的值； (2)若，求的值. 【解析】（1） ， ， 若的纵坐标为，则， 当时，时，； 当时，； 综上，或； （2）因为， 所以， ， . 【变式5-1】已知函数. (1)将化成的形式； (2)求的对称中心及单调递减区间； 【解析】（1）由题意， ， 所以； （2）令，，解得，， 所以的对称中心为，， 令，，解得，， 所以的单调递减区间为. 【变式5-2】已知锐角的终边与单位圆相交于点. (1)求实数及的值； (2)求的值； (3)若，且，求的值. 【解析】（1）由于点在单位圆上，且是锐角，可得，， 则，； （2）因为锐角的终边与单位圆相交于点，所以，， 可得，， 所以. （3）因为为锐角，所以，又，所以， 因为，所以， 所以. 【变式5-3】已知． (1)求的最小正周期与单调递增区间； (2)已知，角的终边与单位圆交于点，求． 【解析】（1）， 故的最小正周期为， 令，，解得，， 故单调递增区间为 （2），即， 因为，所以， 故，解得， 角的终边与单位圆交于点，故， 所以 . 题型六：三角恒等变换与向量的综合运用 【典例6-1】已知向量，，． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求函数的值域． 【解析】（1）因为，， 所以 ， 令，解得， 所以的单调递增区间为； （2）当时，， 所以，则， 所以函数在上的值域为. 【典例6-2】已知向量，且. (1)求及； (2)记，求函数的最小值. 【解析】（1）由题意得， 由于 则 ， 因为，所以. （2）， 因为，则，则当，即时，该函数取得最小值. 【变式6-1】已知向量，，． (1)求的最小正周期； (2)求的最小值，并求出取得最小值时的集合. 【解析】（1） , 故的最小正周期为； （2）当时，即，时， 取到最小值，最小值为， 此时的集合为. 【变式6-2】已知向量，． (1)若，，求的值； (2)设函数，求图像的对称中心坐标，并写出的图像经过怎样的平移变换，可以得到一个奇函数的图像（写出一种变换方式即可）． 【解析】（1）由，可得， 整理得，即， 因为，所以，所以， 则． （2）， 令，，解得，． 所以图像的对称中心坐标是，， 令，可得的图像的一个对称中心坐标是， 所以将的图像向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，就可以得到一个奇函数的图像． 【变式6-3】已知向量． (1)当时，求的值； (2)设函数，且，求的值域． 【解析】（1）因为，所以， 因为，所以，所以． （2）， 因为，所以，所以， 所以的值域为． 题型七：三角恒等变换的实际应用 【典例7-1】已知某物体在运动过程中，其位移（单位：）与时间（单位：s）满足函数关系式，则该物体瞬时速度的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 当时，取得最大值3， 故选：A. 【典例7-2】公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了0.618就是黄金分割数的近似值，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， ， 故选：D. 【变式7-1】《九章算术》在卷一《方田》题[三五]中提到弧田面积的计算问题.弧田是由圆弧和弦所围成的弓形部分（如图阴影部分所示）.有一弧田的弧长为10，且所在的扇形圆心角为2，则该弧田的面积约为（    ） （参考数据：）    A．10 B．12.5 C．13 D．26 【答案】C 【解析】扇形的半径，面积为， ， 三角形的面积为， 所以弧田的面积约为. 故选：C 【变式7-2】在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合.已知是终边上异于原点的一点，将的终边按逆时针旋转到，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知是角终边上的一点，所以， 即，解得，故. 故选：A. 【变式7-3】地动仪是古代人们用来测定地震方向的器具．地动仪有八个方位，分别是东、南、西、北、东南、西南、东北、西北，每个方位上均有含龙珠的龙头，在每个龙头的下方都有一只蟾蜍与其对应，任何一方如有地震发生，该方向龙口所含龙珠（铜丸）即落入蟾蜍口中，由此便可测出发生地震的方向．如图为地动仪的模型图，现要在相距150km的甲、乙两地各放置一个地动仪，乙在甲的北偏东30°方向，若甲地地动仪正东方位的铜丸落下，乙地地动仪东南方位的铜丸落下，则地震的位置距离甲地（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，A点为甲地，B点为乙地，C点为地震的位置， 依题意，，，，则， 由正弦定理，得 （） 所以地震的位置距离甲地． 故选：C 题型八：辅助角公式的高级应用 【典例8-1】方程 在 上的解为 . 【答案】 【解析】因为，所以， 所以,即， 因为，所以. 故答案为： 【典例8-2】若，则的最小正周期为 ． 【答案】/ 【解析】，其中， ， 故答案为：. 【变式8-1】已知函数在上的最大值为，则 . 【答案】1 【解析】 ， 时，，， 故， 故，解得. 故答案为：1 【变式8-2】已知函数，，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】因为 ． 因为，所以．． 故答案为：. 【变式8-3】当函数取得最大值时， ． 【答案】 【解析】， 又，， 当，即时，. 故答案为：. 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 三角恒等变换 章末题型归纳总结（基础篇） 【题型归纳目录】 题型一：给角求值型问题 题型二：给值求值型问题 题型三：给值求角型问题 题型四：三角函数式的化简与证明 题型五：三角恒等变换与三角函数的综合应用 题型六：三角恒等变换与向量的综合运用 题型七：三角恒等变换的实际应用 题型八：辅助角公式的高级应用 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点1：两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 知识点2：二倍角公式 ①； ②； ③； 知识点3：降次（幂）公式 知识点4：半角公式 知识点4：辅助角公式 （其中）． 解题方法总结 1、两角和与差正切公式变形 ； ． 2、降幂公式与升幂公式 ； ． 3、其他常用变式 ． 4、拆分角问题：①；；②；③； ④；⑤． 注意：特殊的角也看成已知角，如． 5、和化积公式 6、积化和公式 【典型例题】 题型一：给角求值型问题 【典例1-1】计算： . 【典例1-2】 ． 【变式1-1】的值是 . 【变式1-2】 . 【变式1-3】 . 题型二：给值求值型问题 【典例2-1】已知，则   ） A． B． C． D． 【典例2-2】已知，则（      ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知，，（    ） A． B． C． D． 题型三：给值求角型问题 【典例3-1】已知：α，β均为锐角，tanα，tanβ，则α+β＝（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】已知，，，则（    ） A． B． C． D．或 【变式3-1】已知，，是锐角，则=（      ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 题型四：三角函数式的化简与证明 【典例4-1】化简： (1)； (2) (3) (4) 【典例4-2】化简下列三角函数的值：． 【变式4-1】证明： (1)； (2)． 【变式4-2】（1）若，求的值； （2）证明：． 【变式4-3】证明下列恒等式： (1)； (2)． 题型五：三角恒等变换与三角函数的综合应用 【典例5-1】已知是第二象限角， (1)求和的值； (2)求和的值. 【典例5-2】在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于点，已知. (1)若的纵坐标为，求的值； (2)若，求的值. 【变式5-1】已知函数. (1)将化成的形式； (2)求的对称中心及单调递减区间； 【变式5-2】已知锐角的终边与单位圆相交于点. (1)求实数及的值； (2)求的值； (3)若，且，求的值. 【变式5-3】已知． (1)求的最小正周期与单调递增区间； (2)已知，角的终边与单位圆交于点，求． 题型六：三角恒等变换与向量的综合运用 【典例6-1】已知向量，，． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求函数的值域． 【典例6-2】已知向量，且. (1)求及； (2)记，求函数的最小值. 【变式6-1】已知向量，，． (1)求的最小正周期； (2)求的最小值，并求出取得最小值时的集合. 【变式6-2】已知向量，． (1)若，，求的值； (2)设函数，求图像的对称中心坐标，并写出的图像经过怎样的平移变换，可以得到一个奇函数的图像（写出一种变换方式即可）． 【变式6-3】已知向量． (1)当时，求的值； (2)设函数，且，求的值域． 题型七：三角恒等变换的实际应用 【典例7-1】已知某物体在运动过程中，其位移（单位：）与时间（单位：s）满足函数关系式，则该物体瞬时速度的最大值为（   ） A． B． C． D． 【典例7-2】公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了0.618就是黄金分割数的近似值，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】《九章算术》在卷一《方田》题[三五]中提到弧田面积的计算问题.弧田是由圆弧和弦所围成的弓形部分（如图阴影部分所示）.有一弧田的弧长为10，且所在的扇形圆心角为2，则该弧田的面积约为（    ） （参考数据：）    A．10 B．12.5 C．13 D．26 【变式7-2】在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合.已知是终边上异于原点的一点，将的终边按逆时针旋转到，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】地动仪是古代人们用来测定地震方向的器具．地动仪有八个方位，分别是东、南、西、北、东南、西南、东北、西北，每个方位上均有含龙珠的龙头，在每个龙头的下方都有一只蟾蜍与其对应，任何一方如有地震发生，该方向龙口所含龙珠（铜丸）即落入蟾蜍口中，由此便可测出发生地震的方向．如图为地动仪的模型图，现要在相距150km的甲、乙两地各放置一个地动仪，乙在甲的北偏东30°方向，若甲地地动仪正东方位的铜丸落下，乙地地动仪东南方位的铜丸落下，则地震的位置距离甲地（   ） A． B． C． D． 题型八：辅助角公式的高级应用 【典例8-1】方程 在 上的解为 . 【典例8-2】若，则的最小正周期为 ． 【变式8-1】已知函数在上的最大值为，则 . 【变式8-2】已知函数，，则的最小值是 ． 【变式8-3】当函数取得最大值时， ． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$