第14章 统计 章末题型归纳总结（基础篇）（6大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

第14章 统计 章末题型归纳总结（基础篇） 章末题型归纳目录 模块一：本章知识思维导图 模块二：知识点总结 模块三：典型例题 题型一：抽样方法的选取及应用 题型二：频率分布直方图 题型三：用样本的取值规律估计总体的取值规律 题型四：百分位数 题型五：统计图表 题型六：用样本的集中趋势、离散程度估计总体 模块一：本章知识思维导图 模块二：知识点总结 知识点1：抽样 1、抽样调查 （1）总体：统计中所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合称为总体． （2）个体：构成总体的每一个元素叫做个体． （3）样本：从总体中抽取若干个个体进行考察，这若干个个体所构成的集合叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量． 2、简单随机抽样 （1）定义 一般地，设一个总体含有个个体，从中逐个不放回地抽取个个体作为样本（），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本． （2）两种常用的简单随机抽样方法 ①抽签法：一般地，抽签法就是把总体中的个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取次，就得到一个容量为的样本． ②随机数法：即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．这里仅介绍随机数表法．随机数表由数字，，，…，组成，并且每个数字在表中各个位置出现的机会都是一样的． 注意：为了保证所选数字的随机性，需在查看随机数表前就指出开始数字的横、纵位置． （3）抽签法与随机数法的适用情况 抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况，但是当总体容量很大时，需要的样本容量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便． （4）简单随机抽样的特征 ①有限性：简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析． ②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作． ③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算． ④等可能性：简单单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样方法的公平． 只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样． 3、分层抽样 （1）定义 一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样． 分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的． （2）分层抽样问题类型及解题思路 ①求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算． ②已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算． ③分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝＝” 注意：分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取（）个个体（其中是层数，是抽取的样本容量，是第层中个体的个数，是总体容量）． 知识点2：用样本估计总体 1、频率分布直方图 （1）频率、频数、样本容量的计算方法 ①×组距＝频率． ②＝频率，＝样本容量，样本容量×频率＝频数． ③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于． 2、频率分布直方图中数字特征的计算 （1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． （2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为，利用左（右）侧矩形面积之和等于，即可求出． （3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和，即有，其中为每个小长方形底边的中点，为每个小长方形的面积． 3、百分位数 （1）定义 一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值． （2）计算一组个数据的的第百分位数的步骤 ①按从小到大排列原始数据． ②计算． ③若不是整数而大于的比邻整数，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数． （3）四分位数 我们之前学过的中位数，相当于是第百分位数．在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第百分位数，第百分位数．这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数． 4、样本的数字特征 （1）众数、中位数、平均数 ①众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平． ②中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数，中位数反应一组数据的中间水平． ③平均数：个样本数据的平均数为，反应一组数据的平均水平，公式变形：． 5、标准差和方差 （1）定义 ①标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用表示．假设样本数据是，表示这组数据的平均数，则标准差． ②方差：方差就是标准差的平方，即．显然，在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的．在解决实际问题时，多采用标准差． （2）数据特征 标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动程度的大小．标准差、方差越大，则数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．反之亦可由离散程度的大小推算标准差、方差的大小． （3）平均数、方差的性质 如果数据的平均数为，方差为，那么 ①一组新数据的平均数为，方差是． ②一组新数据的平均数为，方差是． ③一组新数据的平均数为，方差是． 模块三：典型例题 题型一：抽样方法的选取及应用 【典例1-1】某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适（   ） A．系统抽样法 B．简单随机抽样法 C．分层随机抽样法 D．随机数法 【典例1-2】（2025·高一·甘肃兰州·阶段练习）某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（   ） 32  21  18  34  29  78  64  54  07  32  52  42  06  44  38  12  23  43  56  77  35  78 84  42  12  53  31  34  57  86  07  36  25  30  07  32  86  23  45  78  89  07  23  68 32  56  78  08  43  67  89  53  55  77  34  89  94  83  75  22  53  55  78  32  45  77 A．328 B．253 C．007 D．860 【变式1-1】（2025·高二·安徽·阶段练习）为实现乡村生态振兴，走乡村绿色发展之路，某乡政府采用分层抽样的方式从甲村和乙村抽取部分村民参与环保调研，已知甲村和乙村的人数之比是10：9，被抽到的参与环保调研的村民中，甲村比乙村多7人，则参加调研的总人数是（   ） A．133 B．170 C．70 D．63 【变式1-2】（2025·高二·安徽·阶段练习）关于中小学生是否应该带手机进校园，有人做了一项相关的调查：调查中有人认为中小学生不应该带手机进校园，因为中小学生大多数自控力比较差，带手机进校园会影响学生的正常学习；有人认为这只是一个相对辩证的问题，带手机进校园便于学生利用现代科技手段促进学习，只要家庭、学校、社会正确引导，可以给学生的学习带来事半功倍的效果；有人没有发表自己的看法.现要从这人中随机抽取人做进一步的调查，最适宜采用的抽样方法是（   ） A．简单随机抽样 B．系统抽样 C．分层抽样 D．以上都可以 【变式1-3】（2025·高一·广西柳州·期末）某校有700名高一学生，400名高二学生，400名高三学生，高一数学兴趣小组欲采用按比例分配的分层抽样的方法在全校抽取15名学生进行某项调查，则下列说法正确的是（   ） A．高一学生被抽到的概率最大 B．高三学生被抽到的概率最大 C．高三学生被抽到的概率最小 D．每位学生被抽到的概率相等 题型二：频率分布直方图 【典例2-1】（2025·高一·江西抚州·阶段练习）某中职学校为了解全校学生国庆小长假期间阅读古典名著的时间的情况，抽查了1000名学生，将他们的阅读时间进行分组抽样结果绘成的频率分布直方图如图所示，则实数 . 【典例2-2】（2025·高一·甘肃白银·阶段练习）一保险企业共有员工人，年员工年薪情况的频率发布直方图中，纵坐标表示为频率/组距，已知年薪在万元之间的纵坐标显示为，其数据的组距为．则年薪在万元共约有 人． 【变式2-1】（2025·高一·陕西宝鸡·阶段练习）某中学为了解高三男生的体能情况，通过随机抽样，获得了200名男生的100米体能测试成绩（单位：秒），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩大于13.25秒的频率是 .    【变式2-2】（2025·高一·甘肃天水·阶段练习）如图是一个容量为200的样本的频率分布直方图，请根据图中的数据填空: （1）样本数据落在范围的频率为 ; （2）样本数据落在范围的频数为 . 【变式2-3】（2025·高一·内蒙古呼和浩特·期中）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知 ．若要从身高在，，三组内的学生中，用分层抽样的方法选取24人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为 ． 题型三：用样本的取值规律估计总体的取值规律 【典例3-1】（2025·高一·山西忻州·开学考试）从某校参与数学竞赛的试卷中抽取一个样本，考查竞赛的成果分布，将样本分成组，得到频率分布直方图如图，从左到右各小组的小长方形的高的比为：：：：：，最右边的一组的频数是．请结合直方图的信息，解答下列问题：    (1)样本容量是多少？ (2)成果落在哪个范围的人数最多？并求出该小组的频数和频率； (3)估计这次数学竞赛成果的众数、中位数和平均数. 【典例3-2】（2025·高一·甘肃兰州·阶段练习）某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段：，，，…，后得到如下频率分布直方图（同一组中的数据用组中值作代表）． (1)根据频率分布直方图求众数； (2)用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则在分数段抽取的人数是多少？ 【变式3-1】（2025·高一·陕西汉中·期末）甲、乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击次，组委会从两人的成绩中各随机抽取次成绩（满分分），如下表所示： 甲射击成绩 乙射击成绩 (1)分别求出甲、乙两名运动员次射击成绩的平均数与方差； (2)判断哪位运动员的射击成绩更好? 【变式3-2】（2025·高一·广西钦州·期末）某机构对100名菜农去年种植销售的蔬菜重量（单位：吨）进行了统计调查，将得到的数据按，，，分为4组，画出的频率分布直方图如图所示. (1)求m； (2)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数； (3)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）. 【变式3-3】（2025·高一·江西景德镇·期末）课外阅读有很多好处，可以帮助提高阅读能力、拓展知识面、提高思维能力、提高情感素养和提高人际交往能力.某校为了解学生课外阅读的情况，随机统计了名学生的一个学期课外阅读时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图，现知道课外阅读时间在内的有80人.    (1)求和的值； (2)估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (3)求所得数据的中位数. 题型四：百分位数 【典例4-1】（2025·高一·江西·阶段练习）《数术记遗》记述了积算（即筹算）､珠算､计数等共14种算法，某研究学习小组共10人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间（单位：）分别为68，58，38，41，47，63，82，48，32，31，则这组数据的（    ） A．众数是31 B．分位数是31.5 C．极差是38 D．中位数是 【典例4-2】（2025·高一·河南南阳·阶段练习）某地一年之内12个月的降水量分别为.则该地区的降水量的分位数和分位数分别为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·贵州黔南·一模）样本数据：11，12，15，13，17，18，16，22，36，30的第70百分位数是（    ） A．16 B．19 C．20 D．22 【变式4-2】（2025·高二·河北·学业考试）某校为了解高一年级学生的体育健康标准测试（简称“体测”）成绩的分布情况，从该年级学生的体测成绩（规定满分为100分）中，随机抽取了80名学生的成绩，并进行分组：，，，，，绘制成如下频率分布直方图，该校高一年级学生体测成绩的第80百分位数的估计值是（    ）    A．87 B．88 C．89 D．90 【变式4-3】（2025·高一·甘肃平凉·阶段练习）高一（1）班7人宿舍中每个同学的身高分别为170，168，175，172，172，176，180，则这7人的第40百分位数为（    ） A．168 B．170 C．172 D．171 题型五：统计图表 【典例5-1】（多选题）（2025·高三·广东深圳·期末）为丰富优质旅游资源，释放旅游消费潜力，推动旅游业高质量发展，某地政府从2023年国庆期间到该地旅游的游客中，随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和对景区服务是否满意的数据，并绘制统计图如图所示，利用数据统计图估计，得到的结论正确的是（    ） A．游客中，青年人是老年人的2倍多 B．老年人的满意人数是青年人的2倍 C．到该地旅游的游客中满意的中年人占总游客人数的24.5% D．到该地旅游的游客满意人数超过一半 【典例5-2】（多选题）（2025·高二·云南昆明·阶段练习）2022年2月28日，国家统计局发布了我国2021年国民经济和社会发展统计公报，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门沉着应对百年变局和世纪疫情，构建新发展格局，实现了“十四五”良好开局.2021年，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合如图甲、乙所示统计图，下列说法中正确的是（    ） A．2017～2021年全国居民人均可支配收入逐年递增 B．2020年全国居民人均可支配收入较前一年下降 C．2021年全国居民人均消费支出24100元 D．2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比不足 【变式5-1】（多选题）（2025·高二·湖南·阶段练习）为了解各种APP的使用情况，将使用人数排名前5的数据整理得到如下的柱状图，则（    ） A．APP使用人数最多的是微信 B．微信APP的使用人数超过今日头条APP的使用人数的2倍 C．微信APP的使用人数超过今日头条APP与快手APP的使用人数之和 D．抖音APP的使用人数大于快手APP的使用人数的125% 【变式5-2】（多选题）（2025·高三·全国·专题练习）[多选]工业生产者出厂价格指数（PPI）是反映工业企业产品第一次出售时的出厂价格的变化趋势和变动幅度，是反映某一时期生产领域价格变动情况的重要经济指标，也是制定有关经济政策和国民经济核算的重要依据．根据下面提供的我国2020年1月—2021年11月的工业生产者出厂价格指数的月度同比（将上一年同月作为基期进行对比的价格指数）和月度环比（将上月作为基期进行对比的价格指数）涨跌情况的折线图判断，以下结论不正确的是（    ）      A．2020年各月的PPI在逐月增大 B．2020年各月的PPI均高于2019年同期水平 C．2021年1月—2021年11月各月的PPI在逐月减小 D．2021年1月—2021年11月各月的PPI均高于2020年同期水平 【变式5-3】（多选题）（2025·高三·广东·阶段练习）（多选）新式茶饮是指以上等茶叶通过萃取浓缩液，再根据消费者偏好，添加牛奶、坚果、柠檬等小料调制而成的饮料．如图为2022年我国消费者购买新式茶饮的频次扇形图及月均消费新式茶饮金额的条形图．       根据所给统计图，下列结论中正确的是（　　） A．每周都消费新式茶饮的消费者占比不到90% B．每天都消费新式茶饮的消费者占比超过20% C．月均消费新式茶饮50～200元的消费者占比超过50% D．月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比超过60% 题型六：用样本的集中趋势、离散程度估计总体 51．（2025·高一·江西南昌·期末）某学校高一年级的学生有1200人，其中男生800人，女生400人，为了了解高一年级学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，测量身高所得的统计数据如下频率分布直方图和频率分布表： 男生样本的频率分布直方图 女生样本的频率分布表 组别 频数 频率 4 0.10 8 n m p 12 0.30 2 0.05 (1)求和的值； (2)计算男生样本的平均数和方差； (3)根据上述数据，估计高一年级全体学生身高的平均数和方差 【典例6-1】（2025·高一·江西·阶段练习）甲､乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击100次，组委会从两人的成绩中各随机抽取6次成绩（满分10分，8分及以上为优秀）.如下表所示： 甲射击成绩 10 9 7 8 10 10 乙射击成绩 10 6 10 10 9 9 (1)以频率作为概率，估计甲､乙两人射击成绩的优秀率； (2)分别求出甲､乙6次射击成绩的平均数与方差，以此为依据，判断哪位运动员的射击成绩更好？ 【典例6-2】（2025·高二·内蒙古赤峰·阶段练习）某厂为比较甲，乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲，乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，试验结果如下： 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记，记的样本平均数为，样本方差为. (1)求； (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高，（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）. 【变式6-1】（2025·高一·全国·课前预习）有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲：7  8  7  9  5  4  9  10  7  4 乙：9  5  7  8  7  6  8  6   7  7 (1)甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环？ (2)观察下图中两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在哪里吗？    (3)对于甲、乙的射击成绩除了画出频率分布条形图比较外，还有没有其他方法来说明两组数据的离散程度？ 【变式6-2】（2025·高一·湖南长沙·开学考试）某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. (1)初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制），对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析下面给出了部分信息. a.教师评委打分：86  88  90  91  91  91  91  92  92  98 b.学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）； 平均数 中位数 众数 教师评委 91 91 m 学生评委 90.8 n 93 c.评委打分的平均数、中位数、众数如上： 根据以上信息，回答下列问题： ①m的值为______，n的值位于学生评委打分数据分组的第______组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则______91（填“”“”或“”）； (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 93 90 92 93 92 乙 91 92 92 92 92 丙 90 94 90 94 k 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是______，表中k（k为整数）的值为______. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14章 统计 章末题型归纳总结（基础篇） 章末题型归纳目录 模块一：本章知识思维导图 模块二：知识点总结 模块三：典型例题 题型一：抽样方法的选取及应用 题型二：频率分布直方图 题型三：用样本的取值规律估计总体的取值规律 题型四：百分位数 题型五：统计图表 题型六：用样本的集中趋势、离散程度估计总体 模块一：本章知识思维导图 模块二：知识点总结 知识点1：抽样 1、抽样调查 （1）总体：统计中所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合称为总体． （2）个体：构成总体的每一个元素叫做个体． （3）样本：从总体中抽取若干个个体进行考察，这若干个个体所构成的集合叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量． 2、简单随机抽样 （1）定义 一般地，设一个总体含有个个体，从中逐个不放回地抽取个个体作为样本（），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本． （2）两种常用的简单随机抽样方法 ①抽签法：一般地，抽签法就是把总体中的个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取次，就得到一个容量为的样本． ②随机数法：即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．这里仅介绍随机数表法．随机数表由数字，，，…，组成，并且每个数字在表中各个位置出现的机会都是一样的． 注意：为了保证所选数字的随机性，需在查看随机数表前就指出开始数字的横、纵位置． （3）抽签法与随机数法的适用情况 抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况，但是当总体容量很大时，需要的样本容量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便． （4）简单随机抽样的特征 ①有限性：简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析． ②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作． ③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算． ④等可能性：简单单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样方法的公平． 只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样． 3、分层抽样 （1）定义 一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样． 分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的． （2）分层抽样问题类型及解题思路 ①求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算． ②已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算． ③分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝＝” 注意：分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取（）个个体（其中是层数，是抽取的样本容量，是第层中个体的个数，是总体容量）． 知识点2：用样本估计总体 1、频率分布直方图 （1）频率、频数、样本容量的计算方法 ①×组距＝频率． ②＝频率，＝样本容量，样本容量×频率＝频数． ③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于． 2、频率分布直方图中数字特征的计算 （1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． （2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为，利用左（右）侧矩形面积之和等于，即可求出． （3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和，即有，其中为每个小长方形底边的中点，为每个小长方形的面积． 3、百分位数 （1）定义 一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值． （2）计算一组个数据的的第百分位数的步骤 ①按从小到大排列原始数据． ②计算． ③若不是整数而大于的比邻整数，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数． （3）四分位数 我们之前学过的中位数，相当于是第百分位数．在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第百分位数，第百分位数．这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数． 4、样本的数字特征 （1）众数、中位数、平均数 ①众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平． ②中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数，中位数反应一组数据的中间水平． ③平均数：个样本数据的平均数为，反应一组数据的平均水平，公式变形：． 5、标准差和方差 （1）定义 ①标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用表示．假设样本数据是，表示这组数据的平均数，则标准差． ②方差：方差就是标准差的平方，即．显然，在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的．在解决实际问题时，多采用标准差． （2）数据特征 标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动程度的大小．标准差、方差越大，则数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．反之亦可由离散程度的大小推算标准差、方差的大小． （3）平均数、方差的性质 如果数据的平均数为，方差为，那么 ①一组新数据的平均数为，方差是． ②一组新数据的平均数为，方差是． ③一组新数据的平均数为，方差是． 模块三：典型例题 题型一：抽样方法的选取及应用 【典例1-1】某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适（   ） A．系统抽样法 B．简单随机抽样法 C．分层随机抽样法 D．随机数法 【答案】C 【解析】由题意可知，总体由差异明显的三部分构成，所以选用分层随机抽样法． 故选：C 【典例1-2】（2025·高一·甘肃兰州·阶段练习）某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（   ） 32  21  18  34  29  78  64  54  07  32  52  42  06  44  38  12  23  43  56  77  35  78 84  42  12  53  31  34  57  86  07  36  25  30  07  32  86  23  45  78  89  07  23  68 32  56  78  08  43  67  89  53  55  77  34  89  94  83  75  22  53  55  78  32  45  77 A．328 B．253 C．007 D．860 【答案】A 【解析】从第5行第6列开始向右读取数据，分别为：253（第1个），313（第2个），457（不在范围内，不符合要求），860（不在范围内，不符合要求），736（不在范围内，不符合要求），253（重复，不符合要求），007（第3个），328（第4个）， 故选：A． 【变式1-1】（2025·高二·安徽·阶段练习）为实现乡村生态振兴，走乡村绿色发展之路，某乡政府采用分层抽样的方式从甲村和乙村抽取部分村民参与环保调研，已知甲村和乙村的人数之比是10：9，被抽到的参与环保调研的村民中，甲村比乙村多7人，则参加调研的总人数是（   ） A．133 B．170 C．70 D．63 【答案】A 【解析】已知甲村和乙村的人数之比是10：9，根据分层抽样，可设甲村被抽取参与调研的村民有10a人， 则乙村被抽取参与调研的村民有9a人，则，解得. 所以参加调研的总人数为. 故选：A 【变式1-2】（2025·高二·安徽·阶段练习）关于中小学生是否应该带手机进校园，有人做了一项相关的调查：调查中有人认为中小学生不应该带手机进校园，因为中小学生大多数自控力比较差，带手机进校园会影响学生的正常学习；有人认为这只是一个相对辩证的问题，带手机进校园便于学生利用现代科技手段促进学习，只要家庭、学校、社会正确引导，可以给学生的学习带来事半功倍的效果；有人没有发表自己的看法.现要从这人中随机抽取人做进一步的调查，最适宜采用的抽样方法是（   ） A．简单随机抽样 B．系统抽样 C．分层抽样 D．以上都可以 【答案】C 【解析】因为总体由差异比较明显的几部分组成，故从总体的人的中随机抽取人做进一步调查，最适宜采用分层抽样. 故选：C. 【变式1-3】（2025·高一·广西柳州·期末）某校有700名高一学生，400名高二学生，400名高三学生，高一数学兴趣小组欲采用按比例分配的分层抽样的方法在全校抽取15名学生进行某项调查，则下列说法正确的是（   ） A．高一学生被抽到的概率最大 B．高三学生被抽到的概率最大 C．高三学生被抽到的概率最小 D．每位学生被抽到的概率相等 【答案】D 【解析】无论采取简单随机抽样，还是分层抽样，每个个体被抽取的概率都相同． 故选：D． 题型二：频率分布直方图 【典例2-1】（2025·高一·江西抚州·阶段练习）某中职学校为了解全校学生国庆小长假期间阅读古典名著的时间的情况，抽查了1000名学生，将他们的阅读时间进行分组抽样结果绘成的频率分布直方图如图所示，则实数 . 【答案】 【解析】由图可得各分组频率之和为： 因各分组频率之和为1，则 故答案为：0.14. 【典例2-2】（2025·高一·甘肃白银·阶段练习）一保险企业共有员工人，年员工年薪情况的频率发布直方图中，纵坐标表示为频率/组距，已知年薪在万元之间的纵坐标显示为，其数据的组距为．则年薪在万元共约有 人． 【答案】 【解析】由题意，年薪在万元的频率为， 所以年薪在万元的员工人数为. 因为员工为正整数，故年薪在万元的员工人数约为人. 故答案为：. 【变式2-1】（2025·高一·陕西宝鸡·阶段练习）某中学为了解高三男生的体能情况，通过随机抽样，获得了200名男生的100米体能测试成绩（单位：秒），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩大于13.25秒的频率是 .    【答案】0.63/ 【解析】由频率分布直方图中各矩形面积之和为1， 可得， 解得， 故体能测试成绩大于13.25秒的频率是， 故答案为：0.63 【变式2-2】（2025·高一·甘肃天水·阶段练习）如图是一个容量为200的样本的频率分布直方图，请根据图中的数据填空: （1）样本数据落在范围的频率为 ; （2）样本数据落在范围的频数为 . 【答案】 【解析】由频率分布直方图可得， 样本数据落在范围的频率为. 样本数据落在范围的频率为 所以样本数据落在范围的频数为. 故答案为：；. 【变式2-3】（2025·高一·内蒙古呼和浩特·期中）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知 ．若要从身高在，，三组内的学生中，用分层抽样的方法选取24人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为 ． 【答案】 / 【解析】根据频率分布直方图，各小长方形的面积之和为1， 得， ； 根据分层抽样方法知，从身高在内的学生中选取的人数应为； 故答案为：；． 题型三：用样本的取值规律估计总体的取值规律 【典例3-1】（2025·高一·山西忻州·开学考试）从某校参与数学竞赛的试卷中抽取一个样本，考查竞赛的成果分布，将样本分成组，得到频率分布直方图如图，从左到右各小组的小长方形的高的比为：：：：：，最右边的一组的频数是．请结合直方图的信息，解答下列问题：    (1)样本容量是多少？ (2)成果落在哪个范围的人数最多？并求出该小组的频数和频率； (3)估计这次数学竞赛成果的众数、中位数和平均数. 【解析】（1）由从左到右各小组的小长方形的高的比为：：：：：， 可得从左到右各小组的频率分别为， 故样本容量为. （2）由频率分布直方图知，成果落在~分的人数最多，该小组的频率为， 故频数为. （3）众数的估计值是， 中位数的估计值是， 平均数的估计值是. 【典例3-2】（2025·高一·甘肃兰州·阶段练习）某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段：，，，…，后得到如下频率分布直方图（同一组中的数据用组中值作代表）． (1)根据频率分布直方图求众数； (2)用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则在分数段抽取的人数是多少？ 【解析】（1）由题意得，，解得， 根据频率分布直方图可知，分段的频率最高，因此众数为75． （2）因为总体共60名学生，样本容量为20，因此抽样比为， 又分数段共有人， 因此在分数段抽取的人数是人． 【变式3-1】（2025·高一·陕西汉中·期末）甲、乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击次，组委会从两人的成绩中各随机抽取次成绩（满分分），如下表所示： 甲射击成绩 乙射击成绩 (1)分别求出甲、乙两名运动员次射击成绩的平均数与方差； (2)判断哪位运动员的射击成绩更好? 【解析】（1）甲运动员次射击成绩的平均数为； 乙运动员次射击成绩的平均数为； 甲运动员次射击成绩的方差为； 乙运动员次射击成绩的方差为； （2）甲、乙两名运动员的平均成绩相同，方差， 甲运动员的射击成绩更稳定，即甲运动员射击成绩更好. 【变式3-2】（2025·高一·广西钦州·期末）某机构对100名菜农去年种植销售的蔬菜重量（单位：吨）进行了统计调查，将得到的数据按，，，分为4组，画出的频率分布直方图如图所示. (1)求m； (2)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数； (3)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）. 【解析】（1）由图可得，得. （2）设这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数的估计值为， 因为第一组和第二组数据的频率之和为（0.01+0.03）×10=0.4<0.5， 第一组、第二组和第三组数据的频率之和为（0.01+0.03+0.04）×10=0.8>0.5. 所以，由，得. 故这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数约为37.5吨. （3）估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数吨， 方差 【变式3-3】（2025·高一·江西景德镇·期末）课外阅读有很多好处，可以帮助提高阅读能力、拓展知识面、提高思维能力、提高情感素养和提高人际交往能力.某校为了解学生课外阅读的情况，随机统计了名学生的一个学期课外阅读时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图，现知道课外阅读时间在内的有80人.    (1)求和的值； (2)估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (3)求所得数据的中位数. 【解析】（1）根据题意，时间在内的有80人，频率为， 所以， 再由频率分布直方图可知：， 解得 ； （2）估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数为： ； （3）显然中位数位于内，设中位数为， 则， 解得：. 题型四：百分位数 【典例4-1】（2025·高一·江西·阶段练习）《数术记遗》记述了积算（即筹算）､珠算､计数等共14种算法，某研究学习小组共10人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间（单位：）分别为68，58，38，41，47，63，82，48，32，31，则这组数据的（    ） A．众数是31 B．分位数是31.5 C．极差是38 D．中位数是 【答案】D 【解析】将10个数据从小到大排序可得： ， 每个数据出现的次数都是1次，故A错误； ，所以分位数为，故B错误； 极差为：，故C错误； 中位数为：，故D正确； 故选：D 【典例4-2】（2025·高一·河南南阳·阶段练习）某地一年之内12个月的降水量分别为.则该地区的降水量的分位数和分位数分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先将数据从小到大排列：. 由，可知分位数是53； 由，可知分位数是. 故选：A. 【变式4-1】（2025·贵州黔南·一模）样本数据：11，12，15，13，17，18，16，22，36，30的第70百分位数是（    ） A．16 B．19 C．20 D．22 【答案】C 【解析】共有10个数，，故从小到大排列，选择第7个数和第8个数的平均数作为第70百分位数，即20为第70百分位数. 故选：C. 【变式4-2】（2025·高二·河北·学业考试）某校为了解高一年级学生的体育健康标准测试（简称“体测”）成绩的分布情况，从该年级学生的体测成绩（规定满分为100分）中，随机抽取了80名学生的成绩，并进行分组：，，，，，绘制成如下频率分布直方图，该校高一年级学生体测成绩的第80百分位数的估计值是（    ）    A．87 B．88 C．89 D．90 【答案】B 【解析】，解得， 前三组数据的频率之和为， 前四组数据的频率之和为， 故该校高一年级学生体测成绩的第80百分位数落在第四组数据内， 设第80百分位数为， 则，解得， 该校高一年级学生体测成绩的第80百分位数的估计值是88. 故选：B 【变式4-3】（2025·高一·甘肃平凉·阶段练习）高一（1）班7人宿舍中每个同学的身高分别为170，168，175，172，172，176，180，则这7人的第40百分位数为（    ） A．168 B．170 C．172 D．171 【答案】C 【解析】将数据按升序排列可得168，170，172，172，175，176，180， 因为，所以这7人的第40百分位数为第3位数172. 故选：C. 题型五：统计图表 【典例5-1】（多选题）（2025·高三·广东深圳·期末）为丰富优质旅游资源，释放旅游消费潜力，推动旅游业高质量发展，某地政府从2023年国庆期间到该地旅游的游客中，随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和对景区服务是否满意的数据，并绘制统计图如图所示，利用数据统计图估计，得到的结论正确的是（    ） A．游客中，青年人是老年人的2倍多 B．老年人的满意人数是青年人的2倍 C．到该地旅游的游客中满意的中年人占总游客人数的24.5% D．到该地旅游的游客满意人数超过一半 【答案】ACD 【解析】由扇形统计图可知青年人占比是老年人占比的2倍多，故A正确； 其中满意的青年人占总人数的， 满意的中年人占总人数的， 满意的老年人占总人数的，故B错误，C正确； 总满意率为，故D正确. 故选：. 【典例5-2】（多选题）（2025·高二·云南昆明·阶段练习）2022年2月28日，国家统计局发布了我国2021年国民经济和社会发展统计公报，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门沉着应对百年变局和世纪疫情，构建新发展格局，实现了“十四五”良好开局.2021年，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合如图甲、乙所示统计图，下列说法中正确的是（    ） A．2017～2021年全国居民人均可支配收入逐年递增 B．2020年全国居民人均可支配收入较前一年下降 C．2021年全国居民人均消费支出24100元 D．2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比不足 【答案】ACD 【解析】对于A，由图可知，2017～2021年全国居民人均可支配收入分别为25974元，28228元，30733元，32189元，35128元，逐年递增，故A正确； 对于B，根据条形图知，2020年全国居民人均可支配收入较前一年是上升的，故B错误； 对于C，根据扇形图知，2021年全国居民人均消费支出为：元，故C正确； 对于D，2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比：，故D正确， 故选:ACD. 【变式5-1】（多选题）（2025·高二·湖南·阶段练习）为了解各种APP的使用情况，将使用人数排名前5的数据整理得到如下的柱状图，则（    ） A．APP使用人数最多的是微信 B．微信APP的使用人数超过今日头条APP的使用人数的2倍 C．微信APP的使用人数超过今日头条APP与快手APP的使用人数之和 D．抖音APP的使用人数大于快手APP的使用人数的125% 【答案】AD 【解析】对于A中，根据数据的柱状图，可得APP使用人数最多的是微信，所以A正确； 对于B中，微信APP的使用人数占7格，今日头条APP的使用人数占近4格， 所以微信APP的使用人数小于今日头条APP的使用人数的2倍，所以B错误； 对于C中，微信APP的使用人数占7格，今日头条APP的使用人数占近4格，快手APP的使用人数占4格， 所以微信APP的使用人数小于今日头条APP与快手APP的使用人数之和，所以C错误； 对于D中，抖音APP的使用人数占5格多，快手APP的使用人数占4格， 则快手APP的使用人数的等于5格， 所以抖音APP的使用人数大于快手APP的使用人数的，所以D正确. 故选：AD. 【变式5-2】（多选题）（2025·高三·全国·专题练习）[多选]工业生产者出厂价格指数（PPI）是反映工业企业产品第一次出售时的出厂价格的变化趋势和变动幅度，是反映某一时期生产领域价格变动情况的重要经济指标，也是制定有关经济政策和国民经济核算的重要依据．根据下面提供的我国2020年1月—2021年11月的工业生产者出厂价格指数的月度同比（将上一年同月作为基期进行对比的价格指数）和月度环比（将上月作为基期进行对比的价格指数）涨跌情况的折线图判断，以下结论不正确的是（    ）      A．2020年各月的PPI在逐月增大 B．2020年各月的PPI均高于2019年同期水平 C．2021年1月—2021年11月各月的PPI在逐月减小 D．2021年1月—2021年11月各月的PPI均高于2020年同期水平 【答案】ABC 【解析】对于A，2020年前5个月的PPI月度环比增长均为负值，即在逐月减小，故A错误； 对于B，2020年2月之后各月的PPI月度同比增长均为负值，即低于2019年同期水平，故B错误； 对于C，2021年1月—2021年11月各月的PPI月度环比增长均不为负，即逐月增大，故C错误； 对于D，2021年1月—2021年11月各月的PPI月度同比增长均为正值，即高于2020年同期水平，故D正确． 故选：ABC． 【变式5-3】（多选题）（2025·高三·广东·阶段练习）（多选）新式茶饮是指以上等茶叶通过萃取浓缩液，再根据消费者偏好，添加牛奶、坚果、柠檬等小料调制而成的饮料．如图为2022年我国消费者购买新式茶饮的频次扇形图及月均消费新式茶饮金额的条形图．       根据所给统计图，下列结论中正确的是（　　） A．每周都消费新式茶饮的消费者占比不到90% B．每天都消费新式茶饮的消费者占比超过20% C．月均消费新式茶饮50～200元的消费者占比超过50% D．月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比超过60% 【答案】BC 【解析】每周都消费新式茶饮的消费者占比,A错误； 每天都消费新式茶饮的消费者占比，B正确； 月均消费新式茶饮50～200元的消费者占比，C正确； 月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比,D错误． 故选：BC 题型六：用样本的集中趋势、离散程度估计总体 51．（2025·高一·江西南昌·期末）某学校高一年级的学生有1200人，其中男生800人，女生400人，为了了解高一年级学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，测量身高所得的统计数据如下频率分布直方图和频率分布表： 男生样本的频率分布直方图 女生样本的频率分布表 组别 频数 频率 4 0.10 8 n m p 12 0.30 2 0.05 (1)求和的值； (2)计算男生样本的平均数和方差； (3)根据上述数据，估计高一年级全体学生身高的平均数和方差 【解析】（1）因为， 所以， 因为的频数为4，频率为0.1，所以样本容量为40， 则，所以； （2）由男生样本的频率分布直方图知， 平均数为， 方差为 ； （3）由女生样本的频率分布表可知 平均数为， 方差为 所以平均数为， 方差为. 所以估计高一年级全体学生身高的平均数为166，方差为100.8. 【典例6-1】（2025·高一·江西·阶段练习）甲､乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击100次，组委会从两人的成绩中各随机抽取6次成绩（满分10分，8分及以上为优秀）.如下表所示： 甲射击成绩 10 9 7 8 10 10 乙射击成绩 10 6 10 10 9 9 (1)以频率作为概率，估计甲､乙两人射击成绩的优秀率； (2)分别求出甲､乙6次射击成绩的平均数与方差，以此为依据，判断哪位运动员的射击成绩更好？ 【解析】（1）由表可知：甲的优秀率为，乙的优秀率为. （2）甲运动员此射击成绩的平均数为， 所以甲运动员此射击成绩的方差为， 乙运动员此射击成绩的平均数为， 所以乙运动员此射击成绩的方差为， 因为，，所以甲、乙两名运动员的平均成绩相同， 但是甲运动员的射击成绩更稳定，所以甲运动员的射击成绩更好. 【典例6-2】（2025·高二·内蒙古赤峰·阶段练习）某厂为比较甲，乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲，乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，试验结果如下： 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记，记的样本平均数为，样本方差为. (1)求； (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高，（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）. 【解析】（1）计数如下表： 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 6 8 -8 15 11 19 18 20 12 则， . （2）由（1）知:，，故有, 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 【变式6-1】（2025·高一·全国·课前预习）有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲：7  8  7  9  5  4  9  10  7  4 乙：9  5  7  8  7  6  8  6   7  7 (1)甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环？ (2)观察下图中两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在哪里吗？    (3)对于甲、乙的射击成绩除了画出频率分布条形图比较外，还有没有其他方法来说明两组数据的离散程度？ 【解析】（1）由题意可得：， ． （2）直观上看，还是有差异的．例如：甲成绩比较分散，乙成绩相对集中． （3）还经常用甲、乙的极差、方差或标准差说明数据的离散程度． 【变式6-2】（2025·高一·湖南长沙·开学考试）某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. (1)初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制），对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析下面给出了部分信息. a.教师评委打分：86  88  90  91  91  91  91  92  92  98 b.学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）； 平均数 中位数 众数 教师评委 91 91 m 学生评委 90.8 n 93 c.评委打分的平均数、中位数、众数如上： 根据以上信息，回答下列问题： ①m的值为______，n的值位于学生评委打分数据分组的第______组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则______91（填“”“”或“”）； (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 93 90 92 93 92 乙 91 92 92 92 92 丙 90 94 90 94 k 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是______，表中k（k为整数）的值为______. 【解析】（1）①由题意得，教师评委打分中91出现的次数最多，故众数； 45名学生评委打分数据的中位数是第23个数，故的值位于学生评委打分数据分组的第4组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为， 则， . （2）甲选手的平均数为， 乙选手的平均数为， 因为丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， 所以三位选手中排序最靠前的是甲，且丙的平均数大于或等于乙的平均数， 因为5名专业评委给乙选手的打分为， 乙选手的方差， 5名专业评委给丙选手的打分为， 所以乙选手的方差小于丙选手的方差， 所以丙选手的平均数大于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数， ， ， 为整数， 的值为92. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$