精品解析：云南省昆明市实验中学2024-2025学年下学期开学考九年级数学

昆明市实验中学2024～2025学年下学期九年级学情评估 数学试卷 （本试卷共三大题27小题，共6页，考试时间120分钟，满分100分） 注意事项： 1、答题前，考生务必选用碳素笔或钢笔将自己的姓名、准考证号在答题卡上填写清楚． 2、考生必须把所有答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案一律无效． 3、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．其余试题用碳素笔或钢笔作答． 4、考试结束后，将本试卷及答题卡交监考教师方可离开教室． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 云南省矿产资源极为丰富，被誉为“有色金属王国”．锂资源方面，滇中地区被中国科学院地球化学研究所探明拥有氧化锂资源达340000吨．340000用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 2. 中国是最早采用正负数表示相反意义量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（ ） A. 10℃ B. 0℃ C. -10 ℃ D. -20℃ 3. 如图，已知直线c与直线a、b都相交．若ab，∠1=85°，则∠2=（ ） A. 110° B. 105° C. 100° D. 95° 4. 中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 5. 反比例函数y=的图象分别位于（ ） A. 第一、第三象限 B. 第一、第四象限 C. 第二、第三象限 D. 第二、第四象限 6. 如图，在中，D，E分别为线段，的中点，设的面积为，的面积为，则（ ） A B. C. D. 7. 为庆祝中国共产主义青年团建团100周年，某校团委组织以“扬爱国精神，展青春风采”为主题的合唱活动，下表是九年级一班的得分情况： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 9.9 9.7 9.6 10 9.8 数据9.9，9.7，9.6，10，9.8的中位数是（ ） A. 9.6 B. 9.7 C. 9.8 D. 9.9 8. 下列图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 圆柱 D. 圆锥 9. 按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（ ） A. (2n-1) B. (2n+1) C. (n-1) D. (n+1) 10. 如图，已知AB是⊙O的直径，CD是OO的弦，AB⟂CD．垂足为E．若AB=26，CD=24，则∠OCE的余弦值为（ ） A. B. C. D. 11. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使DOEFOE，你认为要添加的那个条件是（ ） A. OD=OE B. OE=OF C. ∠ODE =∠OED D. ∠ODE=∠OFE 13. 某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后、实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x棵．则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，是的直径，是上一点．若，则（ ） A. B. C. D. 15. 某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为厘米，底面圆的半径为厘米，则该圆锥的侧面积为（ ） A. 平方厘米 B. 平方厘米 C. 平方厘米 D. 平方厘米 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 若式子有意义，则实数x的取值范围是______． 17. 点A（1，-5）关于原点的对称点为点B，则点B的坐标为______． 18. 分解因式：x2－9＝______． 19. 已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，则△ABC的顶角度数是____． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 21. 如图，是的中点，．求证：． 22. 某班甲、乙两名同学被推荐到学校艺术节上表演节目，计划用葫芦丝合奏一首乐曲，要合奏的乐曲是用游戏的方式在《月光下的凤尾竹》与《彩云之南》中确定一首． 游戏规则如下：在—个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球（除标号外，其余都相同），甲从口袋中任意摸出1个小球，小球上的数字记为a．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2的两张卡片（除标号外，其余都相同），乙从口袋里任意摸出1张卡片卡片上的数字记为b．然后计算这两个数的和，即a+b，若a+b为奇数，则演奏《月光下的凤尾竹》，否则，演奏《彩云之南》． （1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求（a，b）所有可能出现的结果总数； （2）你认为这个游戏公平不？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪一首乐曲更可能被选中？ 23. 综合与实践 【项目背景】 无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】 从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位：）表示． 将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据频数直方图，部分信息如下： 任务1 求图1中a的值． 【数据分析与运用】 任务2 A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数． 任务3 下列结论一定正确的是______（填正确结论的序号）． ①两园样本数据的中位数均在C组； ②两园样本数据的众数均在C组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． 任务4 结合市场情况，将C，D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由． 根据所给信息，请完成以上所有任务． 24. 如图，在正方形中，对角线相交于点O，点E，F是对角线上的两点，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的边长． 25. 云南某旅游景区购进一批文创产品，40天销售完毕．根据记录的数据发现，日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系式是，销售单价p（元/件）与销售时间x（天）之间的函数关系如图所示． （1）第15天日销售量为___________件； （2）当时，求日销售额的最大值． 26. 在中，是的直径，点为上一点，的平分线交于点，连接、，与相交于点，过点作交延长线交于点． （1）求证：是的切线； （2）求证：． 27. 已知抛物线经过点，当时，y随x增大而增大，当时，y随x的增大而减小．设r是抛物线与x轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，． （1）求b、c的值： （2）求证：； （3）以下结论：，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 昆明市实验中学2024～2025学年下学期九年级学情评估 数学试卷 （本试卷共三大题27小题，共6页，考试时间120分钟，满分100分） 注意事项： 1、答题前，考生务必选用碳素笔或钢笔将自己的姓名、准考证号在答题卡上填写清楚． 2、考生必须把所有答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案一律无效． 3、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．其余试题用碳素笔或钢笔作答． 4、考试结束后，将本试卷及答题卡交监考教师方可离开教室． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 云南省矿产资源极为丰富，被誉为“有色金属王国”．锂资源方面，滇中地区被中国科学院地球化学研究所探明拥有氧化锂资源达340000吨．340000用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的记数方法，340000写成的形式，其中，据此可得到答案． 【详解】解：． 故选C． 【点睛】本题考查了科学记数法的定义，准确确定a和n的值是本题的解题关键． 2. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（ ） A. 10℃ B. 0℃ C. -10 ℃ D. -20℃ 【答案】C 【解析】 【分析】零上温度记为正，则零下温度就记为负，则可得出结论． 【详解】解：若零上记作，则零下可记作：． 故选：C． 【点睛】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负． 3. 如图，已知直线c与直线a、b都相交．若ab，∠1=85°，则∠2=（ ） A. 110° B. 105° C. 100° D. 95° 【答案】D 【解析】 【分析】利用平角的定义，平行线的性质：两直线平行，同位角相等，即可得出答案． 【详解】解：如下图， ∵∠1=85°， ∴∠3=180°-85°=95°， ∵ab，∠3=95°， ∴∠2=∠3=95°． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平角的定义和平行线的性质，解题的关键是正确掌握平行线的性质． 4. 中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此可求解问题． 【详解】解：由题意得：A、B、D选项都不是轴对称图形，符合轴对称图形的只有C选项； 故选C． 【点睛】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 5. 反比例函数y=的图象分别位于（ ） A. 第一、第三象限 B. 第一、第四象限 C. 第二、第三象限 D. 第二、第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比函数的图象和性质，即可求解． 【详解】解：∵6＞0， ∴反比例函数y=的图象分别位于第一、第三象限． 故选：A 【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数，当时，图象位于第一、三象限内，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限内，在每一象限内，y随x的增大而增大是解题的关键． 6. 如图，在中，D，E分别为线段，的中点，设的面积为，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查三角形中位线的性质，相似三角形的判定与性质等知识，根据题意得到是的中位线，得到，易证，得到相似比为，再根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此解题即可． 【详解】解：∵D，E分别为线段，的中点， 是的中位线， ， ， ∴， ∴， 故选：B． 7. 为庆祝中国共产主义青年团建团100周年，某校团委组织以“扬爱国精神，展青春风采”为主题的合唱活动，下表是九年级一班的得分情况： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 9.9 9.7 9.6 10 9.8 数据9.9，9.7，9.6，10，9.8的中位数是（ ） A 9.6 B. 9.7 C. 9.8 D. 9.9 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数的概念分析即可． 【详解】解：将数据按照从小到大的顺序排列为：9.6，9.7，9.8，9.9，10，则中位数为9.8． 故选：C． 【点睛】本题主要考查中位数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据个数是偶数，则最中间两个数的平均数就是这组数据的中位数． 8. 下列图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 圆柱 D. 圆锥 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆柱的三视图，即可判断几何体． 【详解】解：由几何体的主视图为长方形，俯视图为长方形，左视图为圆可知此几何体为一个圆柱， 故选：C． 【点睛】此题考查由三视图还原几何体，既要考虑各视图的形状，还要把各视图的情况综合考虑才能得到几何体的形状，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键． 9. 按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（ ） A. (2n-1) B. (2n+1) C. (n-1) D. (n+1) 【答案】A 【解析】 【分析】系数的绝对值均为奇数，可用(2n-1)表示；字母和字母的指数可用xn表示． 【详解】解：依题意，得第n项（2n-1）xn， 故选：A． 【点睛】本题考查的是单项式，根据题意找出规律是解答此题的关键． 10. 如图，已知AB是⊙O的直径，CD是OO的弦，AB⟂CD．垂足为E．若AB=26，CD=24，则∠OCE的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据垂径定理求出，再根据余弦的定义进行解答即可． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径，AB⟂CD． ∴，OC==13， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查的是垂径定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握垂径定理，锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 11. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类二次根式判断A，根据零次幂判断B，根据积的乘方判断C，根据同底数幂的除法判断D． 【详解】解：A.不是同类二次根式，不能合并，此选项运算错误，不符合题意； B.，此选项运算错误，不符合题意； C.，此选项运算正确，符合题意； D.，此选项运算错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的加法、零次幂、积的乘方、同底数幂相除，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12. 如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使DOEFOE，你认为要添加的那个条件是（ ） A. OD=OE B. OE=OF C. ∠ODE =∠OED D. ∠ODE=∠OFE 【答案】D 【解析】 【分析】根据OB平分∠AOC得∠AOB=∠BOC，又因为OE是公共边，根据全等三角形的判断即可得出结果． 【详解】解：∵OB平分∠AOC ∴∠AOB=∠BOC 当△DOE≌△FOE时，可得以下结论： OD=OF，DE=EF，∠ODE=∠OFE，∠OED=∠OEF． A答案中OD与OE不是△DOE≌△FOE的对应边，A不正确； B答案中OE与OF不是△DOE≌△FOE的对应边，B不正确； C答案中，∠ODE与∠OED不是△DOE≌△FOE的对应角，C不正确； D答案中，若∠ODE=∠OFE， 在△DOE和△FOE中， ∴△DOE≌△FOE（AAS） ∴D答案正确． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形全等的判断，理解全等图形中边和角的对应关系是解题的关键． 13. 某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后、实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x棵．则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设实际平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x-50）棵，根据：实际植树400棵所需时间=原计划植树300棵所需时间，这一等量关系列出分式方程即可． 【详解】解：设现在平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x-50）棵， 根据题意，可列方程：， 故选：B． 【点睛】此题考查了由实际问题列分式方程，关键在寻找相等关系，列出方程． 14. 如图，是的直径，是上一点．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 15. 某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为厘米，底面圆的半径为厘米，则该圆锥的侧面积为（ ） A 平方厘米 B. 平方厘米 C. 平方厘米 D. 平方厘米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，先求出圆锥底面圆的周长，再根据圆锥的侧面积计算公式计算即可求解，掌握圆锥侧面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：圆锥的底面圆周长为厘米， ∴圆锥的侧面积为平方厘米， 故选：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 若式子有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，进行分析计算可得答案． 【详解】由题意得： 解得： 故答案为：． 17. 点A（1，-5）关于原点的对称点为点B，则点B的坐标为______． 【答案】（-1，5） 【解析】 【分析】根据若两点关于坐标原点对称，横纵坐标均互为相反数，即可求解． 【详解】解：∵点A（1，-5）关于原点的对称点为点B， ∴点B的坐标为（-1，5）． 故答案为：（-1，5） 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点关于原点对称的特征，熟练掌握若两点关于坐标原点对称，横纵坐标均互为相反数是解题的关键． 18. 分解因式：x2－9＝______． 【答案】(x＋3)(x－3) 【解析】 【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3）， 故答案为：（x+3）（x-3）. 19. 已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，则△ABC的顶角度数是____． 【答案】40°或100° 【解析】 【分析】分∠A为三角形顶角或底角两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当∠A为三角形顶角时，则△ABC的顶角度数是40°； 当∠A为三角形底角时，则△ABC的顶角度数是180°-40°-40°=100°； 故答案为：40°或100°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，此类题目，难点在于要分情况讨论． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了绝对值、有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值等知识点，解题的关键是分别正确计算出各项的值，再进行加减运算．先分别计算绝对值、乘方、零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，再将结果进行加减运算． 【详解】解： ． 21. 如图，是的中点，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据是的中点，得到，再利用证明两个三角形全等． 【详解】证明：是的中点， ， 在和中， ， 【点睛】本题考查了线段中点，三角形全等的判定，其中对三角形判定条件的确定是解决本题的关键． 22. 某班甲、乙两名同学被推荐到学校艺术节上表演节目，计划用葫芦丝合奏一首乐曲，要合奏的乐曲是用游戏的方式在《月光下的凤尾竹》与《彩云之南》中确定一首． 游戏规则如下：在—个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球（除标号外，其余都相同），甲从口袋中任意摸出1个小球，小球上的数字记为a．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2的两张卡片（除标号外，其余都相同），乙从口袋里任意摸出1张卡片卡片上的数字记为b．然后计算这两个数的和，即a+b，若a+b为奇数，则演奏《月光下的凤尾竹》，否则，演奏《彩云之南》． （1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求（a，b）所有可能出现的结果总数； （2）你认为这个游戏公平不？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪一首乐曲更可能被选中？ 【答案】（1）见解析，（a，b）所有可能出现的结果总数有8种； （2）游戏公平，理由见解析 【解析】 【分析】（1）列表列出所有等可能结果即可； （2）由和为偶数的有8种情况，而和为奇数的有4种情况，即可判断． 【小问1详解】 解：列表如下： 1 2 3 4 1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1) 2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) 由表格可知，（a，b）所有可能出现的结果总数有8种； 【小问2详解】 解：游戏公平， 由表格知a+b为奇数的情况有4种，为奇数的情况也有4种， 概率相同，都是，所以游戏公平． 【点睛】本题主要考查游戏公平性及概率的计算，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，注意本题是放回实验．解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 23. 综合与实践 【项目背景】 无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】 从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位：）表示． 将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下： 任务1 求图1中a的值． 【数据分析与运用】 任务2 A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数． 任务3 下列结论一定正确的是______（填正确结论的序号）． ①两园样本数据的中位数均在C组； ②两园样本数据的众数均在C组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． 任务4 结合市场情况，将C，D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由． 根据所给信息，请完成以上所有任务． 【答案】任务1：40；任务2：6；任务3：①；任务4：乙园的柑橘品质更优，理由见解析 【解析】 【分析】题目主要考查统计表及频数分布直方图，平均数、中位数及众数的求法，根据图标获取相关信息是解题关键． 任务1：直接根据总数减去各部分的数据即可； 任务2：根据加权平均数的计算方法求解即可； 任务3：根据中位数、众数的定义及样本中的数据求解即可； 任务4：分别计算甲和乙的一级率，比较即可． 【详解】解：任务1：； 任务2：， 乙园样本数据的平均数为6； 任务3：①∵， ∴甲园样本数据的中位数在C组， ∵， ∴乙园样本数据的中位数在C组，故①正确； ②由样本数据频数直方图得，甲园样本数据的众数均在B组，乙园样本数据的众数均在C组，故②错误； ③无法判断两园样本数据的最大数与最小数的差是否相等，故③错误； 故答案为：①； 任务4：甲园样本数据的一级率为：， 乙园样本数据的一级率为：， ∵乙园样本数据的一级率高于甲园样本数据的一级率， ∴乙园的柑橘品质更优． 24. 如图，在正方形中，对角线相交于点O，点E，F是对角线上的两点，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的边长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形，可证得，即可得证； （2）求得，再根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 证明：四边形为正方形， ， ， ，即， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为菱形； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 菱形的边长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，熟知对角线互相垂直平分的四边形是菱形是解题的关键． 25. 云南某旅游景区购进一批文创产品，40天销售完毕．根据记录的数据发现，日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系式是，销售单价p（元/件）与销售时间x（天）之间的函数关系如图所示． （1）第15天的日销售量为___________件； （2）当时，求日销售额的最大值． 【答案】（1）30 （2）当时，日销售额的最大值为2100元． 【解析】 【分析】（1）将代入，求值即可； （2）结合图像，需要将函数分为和两个阶段进行计算，再根据一次函数和二次函数的性质，即可解答． 【小问1详解】 解：当时，． 故答案为：30． 【小问2详解】 解：由图象得， ①当时， 日销售额为， ， 日销售额随x的增大而增大，当时，日销售额最大，为（元）； ②当时， 日销售额为， 当时，日销售额随x的增大而增大， 当时，日销售额最大，为（元）， 综上所述，当时，日销售额的最大值为2100元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，一次函数的性质，二次函数的性质，正确利用自变量的取值范围确定函数的关系式是解题的关键． 26. 在中，是直径，点为上一点，的平分线交于点，连接、，与相交于点，过点作交延长线交于点． （1）求证：是的切线； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接，利用角平分线的定义，圆周角定理和圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用圆周角定理推出即可求，利用∽得到，再证明即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴直线是的切线； 【小问2详解】 证明：∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 又四边形内接于， ∴， ∴∽， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，圆周角定理，角平分线的定义，垂径定理的推论，圆的切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线是解题的关键． 27. 已知抛物线经过点，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．设r是抛物线与x轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，． （1）求b、c的值： （2）求证：； （3）以下结论：，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论． 【答案】（1）b=-16，c=-2；（2）见解析；（3）m＞1，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据抛物线经过（0，-2）得到c值，再根据增减性得到对称轴，可得b值； （2）根据r是抛物线与x轴的交点得到r是方程的解，代入得到，计算出，可得，从而可得； （3）由变形可得，再证明r＜0，根据不等式的性质可得结果． 【详解】解：（1）∵抛物线经过点（0，-2）， ∴，即c=-2， ∵当x＜-4时，y随x的增大而增大，当x＞-4时，y随x的增大而减小， ∴直线x=-4是抛物线的对称轴， ∴，解得：b=-16， ∴b=-16，c=-2； （2）证明：∵b=-16，c=-2， ∴， ∵r是抛物线与x轴交点的横坐标， ∴r是方程的解， 即，则， ∴， ∴ = = ∵， ∴， ∴； （3）m＞1正确， 证明：由（2）可知：， ∴，即， ∴， 在中，令， 解得：或， ∴r＜0， ∴，， ∴， ∵， ∴，即m＞1． 【点睛】本题考查了二次函数综合，还涉及的二次函数的图像和性质，二次函数与x轴的交点，解一元二次方程，解题的关键是根据r是抛物线与x轴的交点得到关于r的方程，进行等式的变形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$