专题2 微专题20 极化恒等式、等和线、奔驰定理-【步步高】2024年新高考数学考前三个月（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）

微专题20　极化恒等式、等和线、奔驰定理 [考情分析]　利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．等和线可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；用向量共线定理求解则更加简洁．奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．在平面向量中有时运用这些内容可能起到意想不到的作用，技巧性较强．一般难度较大． 考点一　极化恒等式 极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]． (1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. (2)若O是平行四边形PMQN对角线的交点，则： ①·＝(||2－||2)(平行四边形模式)； ②·＝||2－||2(三角形模式)． 典例1　(1)(2023·洛阳模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则·＋·等于(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　A 解析　取HF的中点O，则·＝·＝2－2＝1－2＝， ·＝·＝ 2－2＝1－2＝， 因此·＋·＝. (2)(2023·葫芦岛模拟)如图，在四边形ABCD中，＝4，·＝12，E为AC的中点.＝2，则·的值为(　　) A．0 B．12 C．2 D．6 答案　A 解析　∵＝4，E为AC的中点， ∴＝＝2， 根据极化恒等式可得·＝2－2＝2－4＝12， ∴＝4， ∴＝＝2， ∴·＝2－2＝4－4＝0. 跟踪训练1　(1)(2023·南京模拟)如图，已知M，N是△ABC边BC上的两个三等分点，若BC＝6，·＝4，则·＝________. 答案　－4 解析　取MN的中点E，由向量数量积的极化恒等式，得·＝2－2＝2－×4＝2－1＝4， ∴2＝5，∴·＝2－2＝5－×36＝－4. (2)在△ABC中，AC＝2BC＝6，∠ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN＝2，若·的最小值为3，则cos∠ACB＝________. 答案　 解析　取线段MN的中点P，连接CP，过C作CO⊥AB于O，如图，PM＝MN＝1， 由向量数量积的极化恒等式，得·＝2－2＝2－1， 因为·的最小值为3，则||的最小值为2，因此CO＝2， 在Rt△AOC中，cos∠OCA＝＝， 所以sin∠OCA＝， 在Rt△BOC中，cos∠OCB＝＝， 所以sin∠OCB＝， 所以cos∠ACB＝cos(∠OCA＋∠OCB) ＝cos∠OCAcos∠OCB－sin∠OCAsin∠OCB ＝×－× ＝. 考点二　等和(高)线定理 等和(高)线定理 (1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1，由△OAB与△OA′B′相似，必存在一个常数k，k∈R，使得′＝k，则′＝k＝kλ＋kμ，又′＝x＋y(x，y∈R)，∴x＋y＝kλ＋kμ＝k；反之也成立． (2)平面内一组基底，及任一向量′，′＝λ＋μ(λ，μ∈R)， 若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线． ①当等和线恰为直线AB时，k＝1； ②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)； ③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)； ④当等和线过O点时，k＝0； ⑤若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数； ⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比． 典例2　(1)(2023·泉州模拟)在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设＝α＋β(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________． 答案　[3,4] 解析　如图，直线BF为k＝1的等和线，当P在△CDE内时，直线EC是最近的等和线，过D点的等和线是最远的， 所以α＋β∈＝[3,4]． (2)在扇形OAB中，∠AOB＝60°，C为上的一个动点，若＝x＋y，则3x＋y的取值范围是________． 答案　[1,3] 解析　取点D使得＝，＝x＋y＝3x＋y，作一系列与BD平行的直线与圆弧相交(图略)，当点C与点B重合时，3x＋y取得最小值1，当点C与点A重合时，3x＋y取得最大值3，故3x＋y的取值范围是[1,3]． 跟踪训练2　(1)如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且AD＝1，点P是△BCD(含边界)内的动点，设＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为________． 答案　 解析　当点P位于B点时，λ＋μ取得最大值，过点B作GH∥DC，分别交OC，OD的延长线于G，H， 则＝x＋y，且x＋y＝1， ∵△GCB∽△COD，∴＝＝， ∴＝＝x＋y＝x＋y＝λ＋μ， ∴λ＝x，μ＝y⇒λ＋μ＝x＋y＝. (2)已知点C为扇形AOB的上任意一点，且∠AOB＝，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是(　　) A．[－2,2] B．(1，] C．[1，] D．[1,2] 答案　D 解析　方法一(等和线定理) 设λ＋μ＝k， 当C位于A或B时，A，B，C三点共线， 所以k＝λ＋μ＝1； 当C运动到的中点时，k＝λ＋μ＝2， ∴λ＋μ∈[1,2]． 方法二　(常规方法) 设半径为1，由已知可设OB为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系(图略)， 其中A，B(1,0)，C(cos θ，sin θ)，∠BOC＝θ， 有＝λ＋μ(λ，μ∈R)， 即(cos θ，sin θ)＝λ＋μ(1,0)， 整理得 解得 则λ＋μ＝＋cos θ＋＝sin θ＋cos θ＝2sin，θ∈， 易得λ＋μ∈[1,2]． 考点三　奔驰定理 定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0. 典例3　(1) (2023·宜春模拟)设O为△ABC内部的一点，且＋2＋3＝0，则△AOC的面积与△BOC的面积之比为(　　) A. B. C．2 D．3 答案　C 解析　方法一 根据奔驰定理可知S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶3. 方法二　延长OB至B′，使OB′＝2OB， 延长OC至C′，使OC′＝3OC，则＋＋＝0， ∴O是△AB′C′的重心，∴S△AOC′＝S△B′OC′， ∵S△AOC＝S△AOC′，S△BOC＝S△B′OC′， ∴S△AOC∶S△BOC＝2∶1. (2)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为(　　) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶5 答案　B 解析　方法一　将3－－＝0变形可得＋＋＝0， 根据奔驰定理可知S△BCM∶S△ACM∶S△ABM＝1∶1∶1， 则S△ABM∶S△ABC＝1∶3. 方法二　如图，D为BC边的中点，则＝(＋)， 因为3－－＝0， 所以3＝＋＝2，所以＝， 所以S△ABM＝S△ABD＝S△ABC. 跟踪训练3　(1)(2023·武汉模拟)点O是△ABC内一点，且满足3＋4＋5＝0，则的值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　方法一　根据奔驰定理及3＋4＋5＝0可知，S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝3∶4∶5， 所以＝＝. 方法二　由3＋4＋5＝0，得＋＝－， 设－＝，即＋＝， 可知A，B，D三点共线，且，反向共线，如图所示， 故＝，＝，＝＝. (2)(2023·济南模拟)已知点A，B，C，P在同一平面内，＝，＝，＝，则S△ABC∶S△PBC等于(　　) A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6 答案　B 解析　由＝可得－＝(－)， 整理可得＝＋＝＋， 由＝可得＝(－)，整理可得＝－， 所以－＝＋，整理得4＋6＋9＝0， 由奔驰定理可得S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4. [总结提升] 1．极化恒等式的适用范围 (1)共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化． (2)不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题． 2．等和(高)线定理的适用范围 主要解决平面向量系数和与差的问题． 3．奔驰定理的使用范围 对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系．但如果向量关系符合奔驰定理的形式，在选择或填空题当中可以迅速地得出正确答案． 1．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·等于(　　) A．32 B．－32 C．16 D．－16 答案　D 解析　由题设，||＝3，||＝10， 由极化恒等式可得， ·＝×(4||2－||2)＝×(36－100)＝－16. 2．(2023·昆明模拟)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．如图甲是一个正八边形窗花隔断，图乙是从窗花图中抽象出的几何图形示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为2，M是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则·的最大值为(　　) A．30＋4 B．28＋8 C．26＋16 D．24＋16 答案　D 解析　如图，取AB的中点O，连接MO，BE，OE， 分别过点C，D作BE的垂线，垂足分别为I，J， 由极化恒等式可得·＝2－2＝2－2， 当点M与点F或点E重合时，取得最大值， 易得四边形CDJI为矩形，△BCI，△DEJ为等腰直角三角形，则IJ＝2， BI＝EJ＝2，则BE＝4＋2，BO＝， 2的最大值为BO2＋BE2＝()2＋(4＋2)2＝26＋16， 所以·的最大值为24＋16. 3.如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设＝a，＝b，向量＝λa＋μb，则λ＋μ的值为(　　) A. B. C．1 D. 答案　B 解析　如图，BC是值为1的等和线，过O作BC的平行线， 设λ＋μ＝k，则k＝. 由题设知O为△ABC的重心，＝. 4．设O为△ABC所在平面内一点，满足2－7－3＝0，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为(　　) A．6 B. C. D．4 答案　D 解析　方法一　根据奔驰定理的推论可得＝＝. 方法二　不妨设＝2，＝－7，＝－3，如图所示， 根据题意得＋＋＝0， 即点O是△A1B1C1的重心，所以＝＝＝k， 又因为＝＝，＝＝，＝＝， 那么S△OBC＝k，S△OAB＝k，S△OAC＝k， S△ABC＝S△OAB＋S△OAC－S△OBC＝k＝k， 故△ABC的面积与△BOC的面积的比值为＝4. 5．(2023·南昌模拟)已知O是△ABC内一点，且＋＋＝0，点M在△OBC内(不含边界)，若＝λ＋μ，则λ＋2μ的取值范围是(　　) A. B．(1,2) C. D. 答案　B 解析　因为O是△ABC内一点，且＋＋＝0， 所以O为△ABC的重心， M在△OBC内(不含边界)，且当点M与O重合时，λ＋2μ最小，此时＝λ＋μ＝×＝＋ ， 所以λ＝，μ＝，即λ＋2μ＝1； 当点M与C重合时，λ＋2μ最大，此时 ＝， 所以λ＝0，μ＝1，即λ＋2μ＝2. 因为M在△OBC内且不含边界， 所以取开区间，即λ＋2μ∈(1,2)． 6.如图，已知O是△ABC的垂心，且＋2＋3＝0，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别记为S1，S2，S3，则tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB等于(　　) A．1∶2∶3 B．1∶2∶4 C．2∶3∶4 D．2∶3∶6 答案　A 解析　O是△ABC的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图， 则CP⊥AB，BM⊥AC，AN⊥BC，∠BOP＝∠BAC，∠AOP＝∠ABC， 因此＝＝＝， 同理＝， 于是得tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB＝S1∶S2∶S3， 又＋2＋3＝0， 即＝－－， 由“奔驰定理”有S1·＋S2·＋S3·＝0， 则＝－·－·， 而与不共线，有＝，＝， 即S1∶S2∶S3＝1∶2∶3， 所以tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB＝1∶2∶3. 7．(多选)如图，P为△ABC内任意一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则总有优美等式S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0成立，此结论称为三角形中的奔驰定理．由此判断以下命题中，正确的有(　　) A．若P是△ABC的重心，则有＋＋＝0 B．若a·＋b·＋c·＝0，则P是△ABC的内心 C．若＝＋，则S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝2∶2∶1 D．若P是△ABC的外心，且A＝，则＋sin∠APC·＋sin·＝0 答案　ABD 解析　对于A，若P是△ABC的重心，则S△PBC＝S△PAC＝S△PAB， 代入S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0，得＋＋＝0，正确； 对于B，设点P到边BC，AC，AB的距离分别为h1，h2，h3， 由S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0得，ah1·＋bh2·＋ch3·＝0， 即ah1·＋bh2·＋ch3·＝0， 与已知条件a·＋b·＋c·＝0比较知，h1＝h2＝h3， 则P是△ABC的内心，正确； 对于C，＝＋＝(－)＋(－)，即2＋＋2＝0， 与S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0比较得到，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝2∶1∶2，错误； 对于D，P是△ABC的外心，且∠A＝，则∠BPC＝，设三角形外接圆半径为R， 所以S△PBC＝R2，S△PAC＝R2sin∠APC，S△PAB＝R2sin， 代入奔驰定理即可得到＋sin∠APC·＋sin·＝0，正确． 8．(2023·长沙模拟)在△ABC中，D是BC边上的中点，且＝，＝2，·＝6，·＝－2，则·＝________. 答案　1 解析　·＝(＋)·(－)＝2－2＝6， 同理可得·＝2－2＝－2， 又＝，＝2， 所以||2＝92， 所以||2＝1，2＝3， ·＝2－2＝42－2＝4×1－3＝1. 9．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________. 答案　 解析　方法一　(常规方法)由题意作图如图． ∵在△ABC中，＝＋＝＋＝＋(－)＝－A＋＝λ1＋λ2， ∴λ1＝－，λ2＝. 故λ1＋λ2＝. 方法二　(等和线定理)如图，过点A作＝，连接DF. 设AF与BC的延长线交于点H，易知AF＝FH， ∴AF＝AH，因此λ1＋λ2＝. 10．(2023·聊城模拟)在正△ABC中，E，F是线段AB，AC的中点，点P在直线EF上，若△ABC的面积为2，则·＋2的最小值为________． 答案　 解析　取BC的中点D，由正△ABC的面积为2， ∴S△ABC＝·BC2·sin ＝2⇒BC2＝， △ABC的高为h＝BC·sin ＝BC， 数形结合得，PD的最小值为△PBC的高，即PD≥h＝BC， 所以2≥2，所以·＋2＝·＋2＝ 2－2＋2＝2＋2≥2＋2＝×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$