专题2 微专题19 平面向量的数量积及最值与范围问题-【步步高】2024年新高考数学考前三个月（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）

微专题19　平面向量的数量积及最值与范围问题 [考情分析]　平面向量的数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等．解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基本不等式．同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．一般难度较大． 考点一　求向量模、夹角的最值(范围) 典例1　(1)设平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为，(a－c)·(b－c)＝0，则的最小值为(　　) A. B.＋1 C.－1 D．1 答案　C 解析　依题意，建立如图所示的平面直角坐标系， 不妨令a＝＝(2,0)，b＝＝(1，)， 设c＝＝(x，y)， 则a－c＝(2－x，－y)，b－c＝(1－x，－y)， 由(a－c)·(b－c)＝0， 得(2－x)(1－x)－y(－y)＝0， 即2－3x＋x2＋y2－y＝0， 即2＋2＝1， 所以点C的轨迹是以D为圆心，1为半径的圆， 又||＝＝， 所以|c|＝||≥||－1＝－1. (2)已知向量a，b满足＝3，＝2，设a－b与a＋b的夹角为θ，则cos θ的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　令b2＝t，则a2＝4b2＝4t， 则2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝9,2a·b＝5t－9， 由5t－9＝2a·b≤2＝4t得t≤9， 由5t－9＝2a·b≥－2＝－4t得t≥1， 所以1≤t≤9，＝＝＝， 所以cos θ＝＝＝＝， 令y＝，显然y>0，t2－10yt＋9y＝0， 所以Δ＝100y2－36y≥0，y≥，当y＝时，t＝∈[1,9]， 所以cos θ的最小值为＝. 跟踪训练1　(1)(2023·潍坊模拟)设a，b均是非零向量，且|a|＝2|b|，若关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b夹角的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根， 所以|a|2－4a·b≥0，所以a·b≤， 因为a，b均是非零向量，且|a|＝2|b|， 所以cos〈a，b〉＝≤＝＝， 因为〈a，b〉∈[0，π]， 所以〈a，b〉∈. (2)(2023·乌鲁木齐模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(m，2－m)，|a|＝|b|cos θ(θ为a与b的夹角)，则|a－b|的最小值为(　　) A. B. C．1 D．2 答案　C 解析　因为向量a，b满足|a|＝1，b＝(m，2－m)，|a|＝|b|cos θ(θ为a与b的夹角)， 所以a·b＝|a||b|cos θ＝|a|2＝1， 则|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝1＋b2－2＝b2－1 ＝m2＋(2－m)2－1＝2m2－4m＋3＝2(m－1)2＋1≥1， 当且仅当m＝1时取等号， 即|a－b|2的最小值为1， 即|a－b|的最小值为1. 考点二　求数量积的最值(范围) 典例2　(1)(2023·全国乙卷)已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|＝，则·的最大值为(　　) A. B. C．1＋ D．2＋ 答案　A 解析　连接OA，由题可知|OA|＝1，OA⊥PA， 因为|PO|＝， 所以由勾股定理可得|PA|＝1， 则∠POA＝. 设直线PO绕点P按逆时针旋转θ后与直线PD重合， 则－<θ<，∠APD＝＋θ， 且|PD|＝cos θ. 所以·＝||||cos ＝cos θcos ＝cos θ ＝cos2θ－sin θcos θ ＝＋cos 2θ－sin 2θ ＝＋cos， 所以当θ＝－时，·取得最大值，为. (2)(2022·北京)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围是(　　) A．[－5,3] B．[－3,5] C．[－6,4] D．[－4,6] 答案　D 解析　以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)， 则A(3,0)，B(0,4)．设P(x，y)， 则x2＋y2＝1，＝(3－x，－y)， ＝(－x，4－y)， 所以·＝x2－3x＋y2－4y ＝2＋(y－2)2－. 又2＋(y－2)2表示圆x2＋y2＝1上一点到点距离的平方，圆心(0,0)到点的距离为， 所以·∈， 即·∈[－4,6]． 跟踪训练2　(1)如图，已知AOB是半径为4，圆心角为的扇形，点E，F分别是OA，OB上的两动点，且EF＝2，点P在上，则·的最小值为(　　) A．4 B．8 C．19－8 D．16－8 答案　B 解析　以O为原点建立如图所示的直角坐标系，设P(4cos θ，4sin θ)， 设E(t，0)(t∈)，又＝2， 所以＝，可得F(0，)， ＝(t－4cos θ，－4sin θ)，＝(－4cos θ，－4sin θ)， 所以·＝－4tcos θ＋16cos2θ－4sin θ＋16sin2θ＝16－4(tcos θ＋sin θ) ＝16－8sin(θ＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝， 又t∈，所以cos φ，sin φ∈， 所以φ∈，φ＋θ∈， sin(φ＋θ)∈[0,1]，－sin(φ＋θ)∈[－1,0]， 所以·∈， ·的最小值为8. (2)已知等边△ABC的外接圆的半径为1，M是△ABC的边AC的中点，P是该外接圆上的动点，则·的最大值为(　　) A．1 B．2 C. D．0 答案　A 解析　如图，设等边△ABC的外心为O，又半径为1，且M是△ABC的边AC的中点， ∴B，O，M三点共线，且BO＝2OM＝1， ∴·＝(－)·(－) ＝·－·(＋)＋2 ＝1××(－1)－·＋1 ＝－·＝－cos〈，〉， 又〈，〉∈[0，π]， ∴当〈，〉＝π时，·取最大值，最大值为－×(－1)＝1. 考点三　求参数的最值(范围) 典例3　(1)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　) A．3 B．2 C. D．2 答案　A 解析　如图所示建立平面直角坐标系． 则A(0,1)，B(0,0)，C(2,0)，D(2,1)， 设P(x，y)，圆C半径为r， 根据等面积公式可得r＝， 即圆C的方程是(x－2)2＋y2＝， ＝(x，y－1)，＝(0，－1)，＝(2,0)， 若满足＝λ＋μ， 即 所以μ＝，λ＝1－y， 所以λ＋μ＝－y＋1. 设z＝－y＋1， 即－y＋1－z＝0， 点P(x，y)在圆(x－2)2＋y2＝上， 所以圆心到直线的距离d≤r. 即≤， 解得1≤z≤3， 所以z的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3. (2)在平面四边形ABCD中，已知△ABC的面积是△ACD的面积的2倍．若存在正实数x，y使得＝＋成立，则2x＋y的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　设AC与BD交于点M(图略)， 由△ABC的面积是△ACD的面积的2倍，可得BM＝2MD， 所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋， 又A，M，C三点共线，即，共线， 所以存在实数k使得＝k， 因为＝＋， 所以消去k，可得＋＝9， 又因为x>0，y>0， 所以2x＋y＝·(2x＋y)＝≥＝1， 当且仅当＝，即x＝y＝时，等号成立． 所以2x＋y的最小值为1. 跟踪训练3　(1)在等边△ABC中，D为BC的中点，点P为△ACD内一点(含边界)，若＝＋λ，则λ的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　过AB靠近A的四等分点作AC的平行线分别交AD，BC于点E，F， 由题意知，点P在线段EF上， 过E，F分别作AB的平行线交AC于M，N(如图所示)， 由题得＝，＝， 即λmin＝，λmax＝. 所以≤λ≤. (2)如图，在△ABC中，D是线段BC上的一点，且＝4，过点D的直线分别交直线AB，AC于点M，N，若＝λ，＝μ(λ>0，μ>0)，则λ－的最小值是(　　) A．2－2 B．2＋4 C．2－4 D．2＋2 答案　C 解析　由条件可得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋， ∵＝λ，＝μ，λ>0，μ>0， ∴＝＋， ∵M，D，N三点共线，∴＋＝1， ∴＝4－， ∵λ>0，μ>0，＝4－>0， ∴λ>，则λ－＝λ－＝λ＋－4≥2－4， 当且仅当λ＝，即λ＝时取等号， 故λ－的最小值是2－4. [总结提升] 平面向量最值、范围问题的常用方法 (1)定义法 第1步：利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系； 第2步：运用基本不等式求其最值问题； 第3步：得出结论． (2)坐标法 第1步：根据题意建立适当的直角坐标系，并推导关键点的坐标； 第2步：将平面向量的运算坐标化； 第3步：运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解． (3)基底法 第1步：利用基底转化向量； 第2步：根据向量运算化简目标； 第3步：运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数等得出结论． (4)几何意义法 第1步：结合条件进行向量关系推导； 第2步：利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹； 第3步：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围． 1．(2023·洛阳模拟)已知单位圆圆O是△ABC的外接圆，若A＝，则·的最大值为(　　) A. B. C．1 D. 答案　C 解析　如图所示， 因为圆O是△ABC的外接圆，∠BAC＝，所以∠BOC＝2∠BAC＝， 且||＝||＝||＝1， ·＝(－)·＝·－·＝－·＝－cos〈，〉， 故当，共线反向时，·取得最大值1. 2．在△ABC中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是(　　) A. B. C．[0,1] D．[1,2] 答案　C 解析　由题意，设＝t(0≤t≤1)， 当t＝0时，＝0，所以λ＋μ＝0， 所以λ＝μ＝0，从而有λ＋μ＝0； 当0<t≤1时，因为＝λ＋μ(λ，μ∈R)， 所以t＝λ＋μ，即＝＋， 因为M，B，C三点共线，所以＋＝1，即λ＋μ＝t∈(0,1]． 综上，λ＋μ的取值范围是[0,1]． 3．(2023·天津模拟)如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且AB＝2，MC＝MD＝CD＝1.若点N在线段CD(端点除外)上运动，则·的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　连接MN，如图，点N在线段CD(端点除外)上运动， 因为MC＝MD＝CD＝1，即△MCD是正三角形， 于是≤||<1，而M为AB的中点，且||＝1， 所以·＝(＋)·(－)＝2－2∈. 4.如图所示，在△ABC中，∠BAC＝，＝，P为线段CD上一点，且满足＝m＋，若△ABC的面积为2，则||的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为sin ＝2， 所以＝8， ·＝cos ＝8×＝4， 设＝λ(0<λ<1)， 则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ， 则λ＝，m＝， 所以||＝ ＝ ≥＝， 当且仅当||＝，＝2时取等号． 5．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，若对任意模为2的向量c，均有|a·c|＋|b·c|≤2，则向量a，b的夹角的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由|a|＝1，|b|＝2，若对任意模为2的向量c，均有|a·c|＋|b·c|≤2， 可得≤≤＋≤2， 可得·2≤2，≤， 平方得到a2＋b2＋2a·b≤7，即a·b≤1， 设向量a，b的夹角为α， a·b＝cos α≤1， ∴cos α≤，∴≤α≤π. 6．(多选)(2023·武汉模拟)已知a，b为平面向量，其中b为单位向量，若非零向量a与b满足a·(a－4b)＝－3，则下列结论成立的是(　　) A．(a－b)⊥(a－3b) B．a与b的夹角的取值范围是 C．|a|的最小值为2 D．|a－b|的最大值为2 答案　ABD 解析　对于A选项，(a－b)·(a－3b)＝a2－4a·b＋3b2＝－3＋3＝0， 故(a－b)⊥(a－3b)，A正确； 对于B选项，设a与b的夹角为θ， 则a·(a－4b)＝|a|2－4|a||b|cos θ＝|a|2－4|a|cos θ＝－3， 所以4cos θ＝＝|a|＋≥2＝2， 当且仅当|a|＝时，等号成立， 即cos θ≥， 又因为0≤θ≤π，故0≤θ≤，B正确； 对于C选项，a·(a－4b)＝|a|2－4|a||b|cos θ＝|a|2－4|a|cos θ＝－3≥|a|2－4|a|， 即|a|2－4|a|＋3≤0， 解得1≤|a|≤3，故|a|的最小值为1，C错误； 对于D选项，由a2－4a·b＝－3可得a·b＝， |a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－＋1＝∈[0,4]， 即0≤|a－b|≤2，当且仅当|a|＝3时，|a－b|取到最大值2，D正确． 7．(多选)(2023·南通模拟)重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱．古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”．荣昌折扇平面图为图中的扇形COD，其中∠COD＝，OC＝3OA＝3，动点P在上(含端点)，连接OP交扇形OAB的于点Q，且＝x＋y，则下列说法正确的是(　　) A．若y＝x，则x＋y＝ B．若y＝2x，则·＝0 C.·≥－2 D.≤·≤7 答案　ABD 解析　如图，作OE⊥OC，以O为原点，分别以OC，OE为x，y轴建立平面直角坐标系， 则A(1,0)，C(3,0)，B，D， 设Q(cos θ，sin θ)，θ∈，则P(3cos θ，3sin θ)， 由＝x＋y可得cos θ＝3x－y，sin θ＝y，且x>0，y>0， 若y＝x，则cos2θ＋sin2θ＝2＋2＝1， 解得x＝y＝(负值舍去)，故x＋y＝，故A正确； 若y＝2x，则cos θ＝3x－y＝0，sin θ＝1，所以＝(0,3)， 所以·＝(1,0)·(0,3)＝0，故B正确； ·＝·(－2cos θ，－2sin θ) ＝－sin θ＋3cos θ ＝－2sin，由于θ∈， 故θ－∈， 故－3≤－2sin≤3，故C错误； 由于＝(1－3cos θ，－3sin θ)， ＝， 故·＝(1－3cos θ，－3sin θ)· ＝－3sin， 而θ＋∈， 所以sin∈， 所以·＝－3sin∈，故D正确． 8．(2023·泰安模拟)如图，在等边△ABC中，AB＝2，点N为边AC的中点，点M是边CB(包括端点)上的一个动点，则·的最大值为________． 答案　3 解析　以AB中点为原点，AB边所在的直线为x轴，AB边的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(－1,0)，B(1,0)，C(0，)，AC的中点N. 设M(x，y)，则＝(x＋1，y)，＝， ·＝(x＋1)＋y. ∵M(x，y)在直线BC：x＋y－1＝0上，∴x＝1－y， ∴·＝＋y＝y2－y＋3， ∵0≤y≤，∴当y＝0时，·的最大值为3. 9．(2023·滁州模拟)已知平面向量a，b满足＝1，＝2，则(a＋b)·b的最大值为________． 答案　20 解析　不妨设a＝(1,0)，b＝(x，y)，则2a－b＝(2－x，－y)， 则＝＝2，即(x－2)2＋y2＝4， (a＋b)·b＝(1＋x，y)·(x，y)＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋y2＝2＋y2－， 取B(2,0)，C，＝， 设点P(x，y)在圆(x－2)2＋y2＝4上，2＋y2表示2， 因此2＋y2的最大值为2＝， 从而2＋y2－的最大值为－＝20. 10．如图，在四边形ABCD中，B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－，则实数λ的值为________；若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则·的最小值为_______． 答案　　 解析　依题意得AD∥BC，所以∠BAD＝120°， 由·＝||||cos∠BAD ＝－||＝－，得||＝1， 因此λ＝＝. 取MN的中点E，连接DE(图略)， 则＋＝2， ·＝[(＋)2－(－)2] ＝2－2＝2－. 当点M，N在线段BC上运动时，DE的最小值等于点D到直线BC的距离， 即AB·sin B＝， 因此2－的最小值为2－＝， 即·的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$