专题2 微专题18 解三角形中的范围与最值问题-【步步高】2024年新高考数学考前三个月（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）

微专题18　解三角形中的范围与最值问题 [考情分析]　解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键点是如何建立起角与边的数量关系，并在解决问题的过程中感悟边角互化的思想方法，难度中等． 考点一　转化为三角函数求最值(范围) 典例1　(2023·长沙模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4sin A－bsin B＝csin(A－B)． (1)求a的值； (2)若△ABC的面积为，求△ABC周长的最大值． 解　(1)方法一　设4＝at，t>0， 在△ABC中，由正弦定理得a＝2R·sin A， b＝2R·sin B，c＝2R·sin C， 代入已知化简得tsin2A－sin2B＝sin Csin(A－B)， 又在△ABC中有sin C＝sin(A＋B)， 即tsin2A－sin2B＝sin(A＋B)sin(A－B)， 因为sin(A＋B)sin(A－B) ＝－(cos 2A－cos 2B)＝sin2A－sin2B， 即tsin2A－sin2B＝sin2A－sin2B， 所以t＝1，所以a＝4. 方法二　设4＝at，t>0， 在△ABC中，由正弦定理得a＝2R·sin A， b＝2R·sin B，c＝2R·sin C， 代入已知化简得tsin2A－sin2B＝sin Csin(A－B)， 又在△ABC中有sin C＝sin(A＋B)， 即tsin2A－sin2B＝sin(A＋B)sin(A－B)， 因为sin(A＋B)sin(A－B)＝(sin Acos B＋cos Asin B)(sin Acos B－cos Asin B) ＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B， 即tsin2A－sin2B＝sin2A－sin2B， 所以t＝1，所以a＝4. (2)在△ABC中有 S＝bcsin A＝， 则sin A＝＝cos A， 即tan A＝， 又A∈(0，π)，所以A＝， 由正弦定理得＝＝＝＝， 故b＝·sin B，c＝·sin C， b＋c＝ ＝ ＝8sin， 因为在△ABC中，A＝，0<B<， sin≤1， 所以b＋c≤8，当A＝B＝C时，等号成立，△ABC周长取得最大值12. 跟踪训练1　(2023·青岛模拟)在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bcos C＋ccos B＝2，bsin A＝. (1)求角B； (2)求△ABC面积的取值范围． 解　(1)由bcos C＋ccos B＝2， 根据余弦定理的推论可得b·＋c·＝2，化简得a＝2， 由正弦定理＝， 可知sin B＝＝， 因为△ABC为锐角三角形，所以B＝. (2)由S△ABC＝acsin B＝c. 由正弦定理得c＝＝＝＝1＋， 因为△ABC为锐角三角形， 所以 解得<A<， 则tan A∈，c＝＋1∈(1,4)， 故<S△ABC<2， 即△ABC面积的取值范围为. 考点二　利用基本不等式求最值(范围) 典例2　(2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝. (1)若C＝，求B； (2)求的最小值． 解　(1)因为＝， 所以＝， 所以＝， 所以cos Acos B＝sin B＋sin Asin B， 所以cos(A＋B)＝sin B， 所以sin B＝－cos C＝－cos ＝. 因为B∈，所以B＝. (2)由(1)得cos(A＋B)＝sin B， 所以sin＝sin B， 且0<A＋B<， 所以0<B<，0<－(A＋B)<， 所以－(A＋B)＝B，解得A＝－2B， 由正弦定理得＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝4cos2B＋－5 ≥2－5＝4－5， 当且仅当cos2B＝时取等号， 所以的最小值为4－5. 跟踪训练2　已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，求BD的长． 解　设BD＝k(k>0)， 则CD＝2k. 根据题意作出大致图形，如图． 在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝22＋k2－2×2k·＝k2＋2k＋4. 在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC＝22＋(2k)2－2×2×2k·＝4k2－4k＋4， 则＝ ＝ ＝4－＝4－ ＝4－. ∵k＋1＋≥2(当且仅当k＋1＝，即k＝－1时等号成立)， ∴≥4－＝4－2＝(－1)2， ∴当取得最小值－1时， BD＝k＝－1. 考点三　转化为其他函数求最值(范围) 典例3　(2023·惠州模拟)平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形ABCD的顶点在同一平面上，已知AB＝BC＝CD＝2，AD＝2. (1)当BD长度变化时，cos A－cos C是否为一个定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由． (2)记△ABD与△BCD的面积分别为S1和S2，请求出S＋S的最大值． 解　(1)方法一　在△ABD中，由余弦定理的推论 得cos A＝＝， 即cos A＝，① 同理，在△BCD中，cos C＝， 即cos C＝，② ①－②得cos A－cos C＝1， 所以当BD长度变化时，cos A－cos C为定值，定值为1. 方法二　在△ABD中，由余弦定理得 BD2＝AD2＋AB2－2AD·ABcos A＝(2)2＋22－2×2×2cos A， 即BD2＝16－8cos A， 同理，在△BCD中，BD2＝CD2＋CB2－2CD·CBcos C＝8－8cos C， 所以16－8cos A＝8－8cos C， 化简得cos A－cos C＝1， 所以当BD长度变化时，cos A－cos C为定值，定值为1. (2)S＋S ＝AB2·AD2·sin2A＋BC2·CD2·sin2C ＝12sin2A＋4sin2C＝12sin2A＋4－4cos2C ＝12sin2A＋4－4(cos A－1)2 ＝－24cos2A＋8cos A＋12， 令cos A＝t，t∈(－1,1)， 所以S＋S＝－24t2＋8t＋12＝－242＋14， 所以当t＝，即cos A＝时， S＋S有最大值为14. 跟踪训练3　(2023·黄山模拟)某公司准备设计一个精美的心形巧克力盒子，它是由半圆O1、半圆O2和正方形ABCD组成的，且AB＝8 cm.设计人员想在心形盒子表面上设计一个矩形的标签EFGH，标签的其中两个顶点E，F在上，另外两个顶点G，H在上(M，N分别是，的中点)．设EF的中点为P，∠FO1P＝θ，矩形EFGH的面积为S cm2. (1)写出S关于θ的函数关系式S(θ)； (2)当θ为何值时矩形EFGH的面积最大？ 解　(1)由题意知θ∈， EF＝8sin θ，EH＝8cos θ＋4， 则S(θ)＝EF·EH＝8sin θ(8cos θ＋4) ＝32sin θ(2cos θ＋)，θ∈. (2)由(1)知， S′(θ)＝32[cos θ(2cos θ＋)＋sin θ·(－2sin θ)] ＝32(2cos2θ－2sin2θ＋cos θ) ＝32(4cos2θ＋cos θ－2)． 因为θ∈， 所以2≤4cos2θ<4,1≤cos θ<， 所以4cos2θ＋cos θ－2>0， 故当θ∈时，S′(θ)>0恒成立， 所以S(θ)在上单调递增． 故当θ＝时， S(θ)max＝32sin ＝64. 故当θ＝时，矩形EFGH的面积最大，为64 cm2. [总结提升] 任何范围(最值)问题，其本质都是函数问题，解三角形中的范围(最值)问题也不例外．解三角形中的范围(最值)问题的解法主要有两种．一是用函数求解，二是利用基本不等式求解，常见的思路有： (1)余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案． (2)采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法． (3)巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值． (4)外接圆动点范围问题，可转化为动点到某个定点的距离问题，结合几何图形性质分析得出范围. 1．(2023·成都模拟)已知钝角△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝2，c＝3，则最大边a的取值范围为(　　) A．(3,5) B．(3，) C．(，5) D．(4,5) 答案　C 解析　因为△ABC是钝角三角形，b＝2，c＝3，且a是最大边，则由余弦定理得cos A＝<0， 于是得a2>b2＋c2＝22＋32＝13，a>0，解得a>，又有a<b＋c＝5，即<a<5， 所以最大边a的取值范围是(，5)． 2．(2023·九江模拟)在△ABC中，已知＝＋，则cos A的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵＝＋， ∴＋＝， 可得＝＝＝， ∴cos A＝. 又＝＝＝2R，cos A＝， ∴＝， 可得3a2＝b2＋c2， ∴cos A＝＝＝≥＝，当且仅当b＝c时取等号， 又A∈(0，π)，则－1<cos A<1， ∴≤cos A<1， ∴cos A的取值范围为. 3．(2023·南京模拟)在钝角△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若c＝btan C，则sin A－3cos C的最小值为(　　) A．－ B．－2 C．－ D．－ 答案　C 解析　因为c＝btan C， 由正弦定理得sin C＝sin B， 在△ABC中，sin C≠0，所以sin B＝cos C， 又因为△ABC为钝角三角形，所以由诱导公式 得B＝＋C(B＝－C时为直角三角形，舍去)， 即B为钝角， 从而sin A－3cos C＝sin(B＋C)－3cos C ＝sin－3cos C＝cos 2C－3cos C ＝2cos2C－3cos C－1＝22－， 由 解得0<C<，则<cos C<1， 当cos C＝时，22－取得最小值－，即sin A－3cos C的最小值为－. 4．在△ABC中，若AB＝2，AC＝BC，则S△ABC的最大值是(　　) A. B．2 C．3 D．2 答案　B 解析　设BC＝x，则AC＝x， S△ABC＝AB·BCsin B＝×2x＝x， 又cos B＝＝，代入上式得S△ABC＝， 又则2－2<x<2＋2， 所以当x＝2时，S△ABC取最大值2. 5．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知B＝60°，b＝4，则(　　) A．若c＝，则该三角形有两解 B．若a＝，则该三角形有两解 C．△ABC的周长有最大值12 D．△ABC的面积有最小值4 答案　BC 解析　对于A，由＝， 得sin C＝＝＝， 由于c<b，所以C<B，故C为锐角，所以只有一组解，故A错误； 对于B，同理，由＝， 可得<sin A＝<1， 由于a>b，所以A>B，A有两个解，则相应的C有两个解，故B正确； 对于C，由b2＝a2＋c2－2accos B， 得16＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－(a＋c)2＝(a＋c)2. 故a＋c≤8，当且仅当a＝c时取等号，此时△ABC的周长最大，最大值为12，此时△ABC为等边三角形，故C正确； 对于D，由C推导过程得16＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac， 即ac≤16，当且仅当a＝c时取等号，此时△ABC的面积最大， 最大值S△ABC＝×16×＝4，故D错误． 6．(多选)(2023·重庆模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋b)(sin A－sin B)＝c(sin C＋sin B)，若角A的内角平分线AD的长为3，则4b＋c的可能取值有(　　) A．21 B．24 C．27 D．36 答案　CD 解析　在△ABC中， (a＋b)(sin A－sin B)＝c(sin C＋sin B)， 由正弦定理得(a＋b)(a－b)＝c(c＋b)， 即a2＝b2＋c2＋bc， 由余弦定理得cos A＝＝－， 而0<A<π，则A＝， 角A的内角平分线AD的长为3， 由S△BAD＋S△CAD＝S△BAC得， c·ADsin∠BAD＋b·ADsin∠CAD ＝bcsin∠BAC， 即3csin ＋3bsin ＝bcsin ，因此＋＝， 则4b＋c＝3(4b＋c)＝3 ≥3＝27， 当且仅当＝，即c＝2b＝9时取等号， 所以当c＝2b＝9时，4b＋c取得最小值27. 若4b＋c＝36，又＋＝，联立得到4b2－45b＋108＝0， 因为Δ＝(－45)2－4×4×108＝297>0，结合根与系数的关系，得到两根之和，两根之积均大于0， 故方程有正根，故满足要求． 7．在锐角△ABC中，若A＝2B，则的取值范围是________________． 答案　(，) 解析　∵A＝2B，根据正弦定理＝， 得＝＝＝＝2cos B， ∵A＋B＋C＝180°，∴3B＋C＝180°， 即C＝180°－3B， ∵C为锐角，∴30°<B<60°， 又∵0°<A＝2B<90°，∴30°<B<45°， ∴<cos B<， 即<2cos B<， 则的取值范围是(，)． 8.如图，某湖有一半径为100 m的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距200 m的点A处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足AB＝AC，∠BAC＝90°.定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”，设∠AOB＝θ.则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为________． 答案　(10 000＋25 000)m2 解析　在△OAB中， ∵∠AOB＝θ，OB＝100，OA＝200， ∴AB2＝OB2＋OA2－2OB·OA·cos θ， 即AB＝100， ∵S四边形OACB＝S△OAB＋S△ABC ＝OA·OB·sin θ＋AB2 ＝1002 ＝1002， 则tan φ＝2(φ为锐角)， 又∵θ∈(0，π)，∴当θ＝φ＋时，“直接监测覆盖区域”面积取得最大值为(10 000＋ 25 000)m2. 9．(2023·信阳模拟)如图，在平面四边形ABCD中，BC＝1，CD＝，且AB＝BD＝DA. (1)若AB＝，求cos∠ABC的值； (2)求四边形ABCD面积的最大值． 解　(1)因为BC＝1，CD＝，且AB＝BD＝DA＝， 所以在△BCD中，cos∠CBD＝＝＝， sin∠CBD＝， 所以cos∠ABC＝cos ＝cos cos∠CBD－sin sin∠CBD ＝×－×＝. (2)设∠BCD＝θ，θ∈(0，π)， 在△BCD中，由余弦定理得 BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos θ ＝12＋()2－2×1×cos θ＝4－2cos θ， ∵S四边形ABCD＝S△BCD＋S△BAD ＝BC·CDsin θ＋BA·BDsin ＝BC·CDsin θ＋BD2 ＝sin θ＋－cos θ ＝sin＋，又θ∈(0，π)， ∴当θ＝时，四边形ABCD面积的最大值为2. 10．(2023·南宁模拟)请从①cos 2C＋cos C＝0；②sin2A＋sin2B－sin2C－sin Asin B＝0；③ccos B＋(b－2a)cos C＝0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答． (1)求角C； (2)若c＝1，D为△ABC外接圆上的点，·＝2，求四边形ABCD面积的最大值． 解　(1)选①. cos 2C＋cos C＝0， 根据二倍角公式化简得2cos2C＋cos C－1＝0， 即(2cos C－1)(cos C＋1)＝0， 因为C∈(0，π)， 解得cos C＝或cos C＝－1(舍去)， 所以C＝. 选②. sin2A＋sin2B－sin2C－sin Asin B＝0，根据正弦定理得a2＋b2－c2－ab＝0， 根据余弦定理得cos C＝＝＝， 又因为C∈(0，π)，所以C＝. 选③. ccos B＋(b－2a)cos C＝0， 根据正弦定理得sin Ccos B＋(sin B－2sin A)cos C＝sin (B＋C)－2sin Acos C＝0， 因为C∈(0，π)，A∈(0，π)，sin A≠0， 解得cos C＝，所以C＝. (2)由·＝2，得·(－)＝0，即·＝0， 所以DA⊥BA，故BD是△ABC外接圆的直径， 所以BC⊥CD. 根据正弦定理得2R＝＝＝， 所以S四边形ABCD＝AB·AD＋BC·CD＝××1＋BC·CD， 因为BC2＋CD2＝BD2＝， 根据基本不等式得BC2＋CD2＝≥2BC·CD， 当且仅当BC＝CD＝时，等号成立， 即BC·CD≤， 代入S四边形ABCD＝××1＋BC·CD， 得S四边形ABCD≤， 综上，四边形ABCD面积的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$