专题2 微专题16 三角函数中ω，φ的范围问题-【步步高】2024年新高考数学考前三个月（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）

微专题16　三角函数中ω，φ的范围问题 [考情分析]　 三角函数是高考的必考考点，其中求ω，φ的取值范围问题是热门考点．主要结合函数的单调性、对称性、极值与最值、零点等考查，需要考生能够熟练应用三角函数的基本性质和图象．从近几年的高考情况来看，常在选择题中出现，难度稍大． 考点一　三角函数的最值(值域)与ω，φ的取值范围 典例1　(1)已知ω>0，函数f(x)＝sin ωx在上存在最值，则ω的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D.∪ 答案　D 解析　当f(x)＝sin ωx取最值时，ωx＝kπ＋，k∈Z， 即x＝，k∈Z， 由题知<<π， 故ω<k＋<ω. 即k∈Z. 因为ω>0，当k＝0时，<ω<； 当k＝1时，<ω<， 显然当ω>时，＝＝<＝， 此时f(x)＝sin ωx在上必有最值点． 综上，所求ω的取值范围是∪. (2)已知函数f(x)＝4sin(ωx＋φ)相邻两个对称轴之间的距离为π，且f(x)>2对于任意的x∈恒成立，则φ的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意，得T＝＝2π，解得ω＝1. 由4sin(x＋φ)>2，即sin(x＋φ)>， 得＋2kπ<x＋φ<＋2kπ，k∈Z， 即x∈，k∈Z. 因为f(x)>2对于任意的x∈恒成立，且|φ|≤， 所以⊆， 即 解得≤φ≤. 跟踪训练1　(1)(2023·平顶山模拟)已知函数f(x)＝2sin(ω>0)在区间上的值域为，则ω的取值范围为(　　) A．[1,2] B. C．[1,3] D. 答案　A 解析　当x∈时，≤ωx＋≤＋， 因为函数f(x)在区间上的值域为， 所以≤＋≤， 解得1≤ω≤2. (2)已知函数f(x)＝asin x－2cos x，若f(t)＝0，f′(t)>0，且f(x)在(t，t＋φ)上恰有一个最大值点，那么φ的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意，函数f(x)＝asin x－2cos x＝sin(x－β)， 其中cos β＝，sin β＝， 可得函数f(x)的最小正周期为2π， 又由f(t)＝0，f′(t)>0且f(x)在(t，t＋φ)上恰有一个最大值点， 所以t＋<t＋φ≤t＋，解得<φ≤. 考点二　单调性与ω，φ的取值范围 典例2　(1)已知函数f(x)＝sin(其中ω>0)在上单调递增，在上单调递减，则ω的取值范围为(　　) A．(0,1] B．(0,2] C．[1,2] D．(1,2) 答案　C 解析　当x∈时，ωx＋∈， 所以ω＋≤，解得ω≤2， 当x∈时，ωx＋∈， 因为ω≤2，则ω＋≤， 所以ω＋≥， 解得ω≥1，综上所述，1≤ω≤2. (2)已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为，将f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象．若函数g(x)的图象在区间上单调递增，则φ的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设最小正周期为T，由题意，知＝， ∴T＝π＝，∴ω＝2， ∴f(x)＝cos(2x＋φ)， ∵将f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象， ∴g(x)＝cos＝cos， 由2kπ－π≤2x＋φ－≤2kπ，k∈Z， 得kπ－－≤x≤kπ＋－，k∈Z， 即g(x)的单调递增区间为，k∈Z， ∴⊆，k∈Z， ∴k∈Z， ∴2kπ－≤φ≤2kπ－，k∈Z， ∵0<φ<π，∴≤φ≤. 跟踪训练2　(1)(2023·大庆模拟)已知函数f(x)＝2cos(2x＋φ)在区间上单调递减，且其图象过点(0,1)，则φ的值可能为(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　D 解析　由0<x<，可得φ<2x＋φ<＋φ， 因为函数f(x)＝2cos(2x＋φ)在区间上单调递减， 可得φ≥2kπ且＋φ≤π＋2kπ，k∈Z， 解得2kπ≤φ≤＋2kπ，k∈Z， 又由函数f(x)的图象过点(0,1)，可得2cos φ＝1，即cos φ＝， 解得φ＝＋2kπ，k∈Z或φ＝－＋2kπ，k∈Z， 当k＝0时，可得φ＝，所以φ的值可能为. (2)已知函数f(x)＝sin ωx＋2cos2(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是(　　) A．(0,4] B.∪ C. D.∪ 答案　D 解析　f(x)＝sin ωx＋2cos2 ＝sin ωx＋cos ωx＋1＝sin＋1， 因为x∈， 所以ωx＋∈， 因为函数f(x)在区间上单调递增， 所以函数y＝sin x在上单调递增，且－≤T＝，即0<ω≤4. 因为⊆， 所以函数y＝sin x在上单调递增， 等价于ω＋≤或 所以解不等式得0<ω≤或≤ω≤3， 所以ω的取值范围是∪. 考点三　零点与ω，φ的取值范围 典例3　 (1)(2023·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________． 答案　[2,3) 解析　因为0≤x≤2π， 所以0≤ωx≤2ωπ， 令f(x)＝cos ωx－1＝0， 则cos ωx＝1有3个根， 令t＝ωx，则cos t＝1有3个根，其中t∈[0,2ωπ]， 结合余弦函数y＝cos t的图象性质可得4π≤2ωπ<6π， 故2≤ω<3. (2)(2023·银川模拟)已知函数f(x)＝sin，将函数f(x)的图象先向右平移φ(0<φ≤π)个单位长度，再将所得函数图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在上没有零点，则φ的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　f(x)＝sin＝cos x， 将函数f(x)的图象先向右平移φ(0<φ≤π)个单位长度，可得y＝cos(x－φ)的图象， 再将所得函数图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，得到y＝cos(2x－φ)的图象， 即g(x)＝cos(2x－φ)． 由x∈， 设t＝2x－φ∈，0<φ≤π， 则－≤－φ<，0≤π－φ<π. 因为函数g(x)在上没有零点，即y＝cos t在上没有零点． 所以0≤π－φ≤，解得φ≥，所以≤φ≤π. 跟踪训练3　(1)(2022·全国甲卷)设函数f(x)＝sin在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意可得ω>0，故由x∈(0，π)，得ωx＋∈. 根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有三个极值点，知<πω＋≤，得<ω≤. 根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有两个零点，知2π<πω＋≤3π，得<ω≤. 综上，ω的取值范围为. (2)(2023·天津模拟)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)－的最小正周期为4π，且f(x)在[0,5π]内恰有3个零点，则φ的取值范围是(　　) A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ 答案　C 解析　因为T＝＝4π，所以ω＝，所以f(x)＝2sin－. 令f(x)＝2sin－＝0，得sin＝. 当x∈[0,5π]时，x＋φ∈. 又0≤φ≤，所以≤φ＋≤3π. 因为y＝sin x－在[0,3π]上的零点为，，，，且f(x)在[0,5π]内恰有3个零点， 所以或 解得φ∈∪. [总结提升] 求ω，φ题型多为复杂题，大多数是代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，或者利用图象的变换，或者利用函数的单调区间、对称性、最值、零点、极值点等性质，再结合图形解出ω，φ的值或取值范围． 1．函数f(x)＝sin向右平移φ(0≤φ≤π)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若g(x)在上单调递增，则φ的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　把函数f(x)＝sin向右平移φ(0≤φ≤π)个单位长度后得到函数g(x)＝sin的图象， 若g(x)在上单调递增，且0≤φ≤π， 则－－2φ＋≥－，且－2φ＋≤， 解得≤φ≤. 2．已知x1，x2是函数f(x)＝tan(ωx－φ)(ω>0,0<φ<π)的两个零点，且的最小值为，若将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则φ的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因为x1，x2是函数f(x)＝tan(ωx－φ)(ω>0,0<φ<π)的两个零点，且的最小值为， 所以函数f(x)的最小正周期T＝， 因此＝，解得ω＝3， 所以f(x)＝tan(3x－φ)． 又因为将函数f(x)的图象向左平移个单位长度得到y＝tan＝tan的图象， 而该图象关于原点对称， 所以－φ＝(k∈Z)， 因此φ＝－(k∈Z)． 又0<φ<π， 所以当k＝－1时，φ取得最大值，最大值为. 3．(2023·乌鲁木齐模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象过点(0,1)，且在区间(π，2π)内不存在最值，则ω的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D.∪ 答案　D 解析　∵函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象过点(0,1)， ∴f(0)＝2sin φ＝1，即sin φ＝， 又0<φ<，∴φ＝， ∴f(x)＝2sin， 令ωx＋＝＋kπ，k∈Z， 即x＝＋，k∈Z， ∴当x＝＋，k∈Z时， 函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)取最值， ∵f(x)在区间(π，2π)内不存在最值， ∴k∈Z， 解得＋k≤ω≤＋，k∈Z， 当k<－1时，ω不存在； 当k＝－1时，－≤ω≤； 又ω>0，∴0<ω≤； 当k＝0时，≤ω≤； 当k>0时，ω不存在， 综上可得ω的取值范围是∪. 4．(2023·重庆模拟)函数f(x)＝(2cos ωx－1)sin，ω>0在(0,3π)上有6个零点，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　f(x)＝(2cos ωx－1)sin＝0得2cos ωx－1＝0或sin＝0， 解得ωx＝＋2kπ，k∈Z或ωx＝－＋2kπ，k∈Z或ωx＝＋kπ，k∈Z， 即x＝＋，k∈Z或x＝－＋，k∈Z或x＝＋，k∈Z， 因为ω>0，函数f(x)在(0，＋∞)上的7个零点依次为，，，，，，， 由于f(x)在(0,3π)上有6个零点， 所以<3π≤， 解得<ω≤， 则ω的取值范围是. 5．(多选)设函数f(x)＝sin(ω＞0)，已知f(x)在上有且仅有5个零点，下列四个结论正确的是(　　) A．f(x)在(0,2π)上有且仅有3个极大值点 B．f(x)在(0,2π)上有且仅有2个极小值点 C．f(x)在上单调递增 D．ω的取值范围是 答案　ACD 解析　f(x)在(0,2π)上有且仅有3个极大值点，分别对应ωx＋＝，，，故A正确； f(x)在(0,2π)上有2个或3个极小值点，分别对应ωx＋＝，和ωx＋＝，，，故B不正确； 因为当x∈[0,2π]时，≤ωx＋≤2ωπ＋， 由f(x)在[0,2π]上有且仅有5个零点，得5π≤2ωπ＋<6π， 解得ω∈，故D正确； 由ω∈，得ω＋∈，则<， 所以f(x)在上单调递增，故C正确． 6．(多选)(2023·武汉统考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，T为f(x)图象的最小正周期，满足f ＝f ，且f(x)在(0，π)上恰有两个极值点，则有(　　) A．φ＝－ B．函数y＝f 为奇函数 C.<ω≤ D．若ω∈N*，则直线y＝x－为f(x)图象的一条切线 答案　BCD 解析　因为f ＝f ，T＝， 所以sin(π＋φ)＝sin， 则π＋φ＝＋φ＋2kπ(不符合题意，舍去)或π＋φ＋＋φ＝2， 故φ＝kπ－，又<， 则φ＝－，故A错误； y＝f ＝sin ωx，而sin(－ωx)＋sin(ωx)＝0，所以是奇函数，故B正确； 由f(x)＝sin在(0，π)上恰有两个极值点，根据正弦函数的图象及性质可得<ωπ－≤，解得<ω≤，故C正确； 当ω∈N*时，由上可得ω＝2，即f(x)＝sin， 则f′(x)＝2cos， 当x＝0时，f′(0)＝1，f(0)＝－， 则y＝x－是f(x)＝sin的一条切线，故D正确． 7．(2023·南通模拟)若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cos x(0<φ<π)的最大值为2，则常数φ的值为________． 答案　 解析　因为f(x)＝cos φsin x＋(sin φ＋1)cos x＝sin(x＋θ)， 所以＝2，解得sin φ＝1， 因为0<φ<π，所以φ＝. 8．(2023·成都模拟)定义在R上的函数f(x)＝2sin(ω>0)在区间上恰有两个零点和一个极值点，则ω的取值范围是________________． 答案　 解析　设函数f(x)的最小正周期为T， 由正弦型函数可知，两个零点之间必存在极值点，两个极值点之间必存在零点， 则－＝≤T， 则T＝≥， 注意到ω>0，解得0<ω≤6， 因为x∈， 则－≤－ω＋<ωx＋<ω＋≤， 由题意可得 解得4<ω≤5， 故ω的取值范围为. 9．(2023·安徽安庆示范高中联考)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象经过点(0，)，若函数f(x)在区间上既有最大值，又有最小值，而且取得最大值、最小值时的自变量x的值分别只有一个，则实数ω的取值范围是________________． 答案　∪ 解析　由条件知2sin φ＝， 于是sin φ＝， 又<，所以φ＝， 则f(x)＝2sin，当ω>0时，因为0<x≤， 所以<ωx＋≤ω＋，要满足条件， 则≤ω＋<， 解得1≤ω<； 当ω<0时，因为0<x≤， 所以ω＋≤ωx＋<，要满足条件， 则－<ω＋≤－， 解得－<ω≤－5， 综上，实数ω的取值范围是∪. 10．(2023·洛阳统考)先将函数f(x)＝cos x的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的(ω>0)倍，纵坐标不变，所得图象与函数g(x)的图象关于x轴对称，若函数g(x)在上恰有两个零点，且在上单调递增，则ω的取值范围是________________． 答案　 解析　函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到y＝cos的图象， 再将图象上所有点的横坐标变为原来的(ω>0)倍，纵坐标不变，得到y＝cos的图象， 因为函数g(x)的图象与y＝cos的图象关于x轴对称， 所以g(x)＝－cos＝sin＝sin， 因为0≤x≤， 所以≤ωx＋≤＋， 又因为g(x)＝sin在上恰有两个零点，且sin kπ＝0，k∈Z， 所以2π≤＋<3π， 解得≤ω<， 令－＋2k1π≤ωx＋≤＋2k1π，k1∈Z， 得－＋≤x≤＋，k1∈Z， 令k1＝0，得g(x)在上单调递增， 所以⊆， 所以 又ω>0，解得0<ω≤4. 综上所述，≤ω≤4， 故ω的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$