专题2 微专题14 三角函数的概念与三角恒等变换-【步步高】2024年新高考数学考前三个月（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）

专题二　平面向量、三角函数与解三角形 微专题14　三角函数的概念与三角恒等变换 [考情分析]　三角函数的概念与三角恒等变换是高考常考内容，主要考查三角函数的概念、同角三角函数关系式、诱导公式，以及三角恒等变换的综合应用，给值求值问题．试题难度中等，常以选择题、填空题的形式出现． 考点一　三角函数的定义、诱导公式及基本关系式 典例1　(1)已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　角α的终边上一点的坐标为，即为点， 在第四象限，且满足cos α＝，sin α＝－，故α的最小正值为. (2)(2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝________. 答案　－ 解析　因为θ∈， 则sin θ>0，cos θ>0， 又因为tan θ＝＝， 则cos θ＝2sin θ， 且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1， 解得sin θ＝或sin θ＝－(舍去)， 所以sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－. 跟踪训练1　(1)已知α∈(0，π)，且cos α＝－，则sin·tan(π＋α)等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　sin·tan(π＋α)＝cos α·tan α＝sin α， 因为α∈(0，π)，且cos α＝－， 所以sin α＝＝＝. 即sin·tan(π＋α)＝. (2)若sin θ＝cos(2π－θ)，则tan 2θ等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　C 解析　∵sin θ＝cos(2π－θ)， ∴sin θ＝cos θ，得tan θ＝， ∴tan 2θ＝＝＝－. 考点二　两角和与差的三角函数 典例2　(1)(2022·新高考全国Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossin β，则(　　) A．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋β)＝1 C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1 答案　C 解析　由题意得sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝2×(cos α－sin α)sin β，整理得sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1. (2)(2023·新高考全国Ⅰ)已知sin(α－β)＝，cos αsin β＝，则cos(2α＋2β)等于(　　) A. B. C．－ D．－ 答案　B 解析　因为sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝， 而cos αsin β＝， 因此sin αcos β＝， 则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝， 所以cos(2α＋2β)＝cos 2(α＋β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×2＝. 跟踪训练2　(1)(2023·景德镇模拟)已知α∈，sin＝－，则cos等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　B 解析　因为α∈， 所以α＋∈， 因为sin＝－<0， 所以α＋∈， 所以cos＝－＝－＝－， 所以cos＝cos ＝cos cos＋sin sin ＝－×＋×＝. (2)(2023·衡阳模拟)已知α，β∈，－2cos(α＋β)＝，则(　　) A．α－β＝－ B．α－β＝ C．α＋β＝ D．α＋β＝ 答案　D 解析　由－2cos(α＋β)＝， 则sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β)＝cos α， 又sin(2α＋β)＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)， 所以cos αsin(α＋β)－sin αcos(α＋β)＝cos α， 即sin β＝cos α， ∴sin β＝sin， ∴β＝α＋＋2kπ或β＋α＋＝π＋2kπ，k∈Z， ∴α－β＝－－2kπ或α＋β＝＋2kπ，k∈Z， 又α，β∈， 所以α－β∈，α＋β∈(2π，3π)， 则α－β无解，α＋β＝. 考点三　三角恒等变换 典例3　(1)(2023·青岛模拟)已知sin＝，则sin＋cos 2α等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　sin＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α＝sin＝cos＝cos＝cos＝1－2sin2＝1－2×2＝. (2)已知＝－，则sin的值是________． 答案　 解析　＝＝＝－，解得tan α＝2或tan α＝－， 当tan α＝2时，sin 2α＝＝＝， cos 2α＝＝＝－， 此时sin 2α＋cos 2α＝； 同理当tan α＝－时，sin 2α＝－，cos 2α＝， 此时sin 2α＋cos 2α＝， 所以sin＝(sin 2α＋cos 2α)＝. 跟踪训练3　(1)(2023·聊城模拟)若＝2，则tan等于(　　) A．－ B. C．－或－1 D.或1 答案　A 解析　由 ＝＝＝2， 所以得tan α＝4， 所以tan＝＝－. (2)(2023·淄博模拟)－2cos 10°等于(　　) A. B. C. D．2 答案　A 解析　－2cos 10°＝ ＝＝ ＝＝. [总结提升] 三角函数的化简与求值遵循的“三看”原则 一看角，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理地拆分，从而正确使用公式； 二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常用的有“切化弦”； 三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变化的方向，常见的有“通分、去根号、降幂”． 1．(2023·岳阳模拟)已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点A是角α的终边与单位圆的交点，若点A的横坐标为－，则cos 2α等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　因为点A的横坐标为－，所以cos α＝－， 所以cos 2α＝2cos2α－1＝. 2．(2023·烟台模拟)已知tan(α＋β)＝3，tan＝－3，则tan β等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　tan＝＝－3，解得tan α＝2， 则tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝. 3．(2021·新高考全国Ⅰ)若tan θ＝－2，则等于(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　C 解析　方法一　因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二或第四象限， 所以或 所以＝ ＝sin θ(sin θ＋cos θ) ＝sin2θ＋sin θcos θ＝－＝. 方法二　(弦化切法)因为tan θ＝－2， 所以＝ ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝ ＝＝＝. 方法三　(正弦化余弦法)因为tan θ＝－2，所以sin θ＝－2cos θ. 则＝ ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝ ＝＝＝. 4．已知sin α＝，α∈，若＝4，则tan(α＋β)等于(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　C 解析　因为sin α＝，α∈， 所以cos α＝－＝－， tan α＝＝－， 因为＝＝sin α＋cos α·tan β＝－tan β＝4， 所以tan β＝－， 所以tan(α＋β)＝＝＝. 5．若cos α－sin α＝－，则等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　因为(cos α－sin α)2＝cos2α＋sin2α－2sin αcos α＝， 所以sin αcos α＝. 又sin＝sin αcos －cos αsin ＝(sin α－cos α)＝， 所以cos2＝1－sin2＝， 故tan2＝＝. 所以＝×7＝. 6．(2023·宣城模拟)已知sin α－sin＝，则cos等于(　　) A．－ B. C. D. 答案　C 解析　由题意可知，sin α－sin＝sin α－＝sin α－cos α ＝sin＝， 所以cos＝cos＝－cos＝－cos ＝－＝－＝. 7．(多选)(2023·湛江模拟)若5sin 2α＋5cos 2α＋1＝0，则tan α的值可能为(　　) A．2 B．3 C．－ D．－ 答案　BD 解析　因为5sin 2α＋5cos 2α＋1＝0， 所以10sin αcos α＋5(cos2α－sin2α)＋cos2α＋sin2α＝0， 整理得2sin2α－5sin αcos α－3cos2α＝0， 则2tan2α－5tan α－3＝0， 解得tan α＝3或tan α＝－. 8．(多选)(2023·张家口模拟)已知sin θcos θ＋cos2θ＝cos θ＋，θ∈，则θ等于(　　) A. B. C. D. 答案　BD 解析　sin θcos θ＋cos2θ ＝sin 2θ＋× ＝cos＋ ＝cos θ＋， 故cos＝cos θ， 所以2θ－＝θ＋2kπ或2θ－＝－θ＋2kπ(k∈Z)， 故θ＝＋2kπ或θ＝＋(k∈Z)． 又θ∈，所以θ＝或. 9．(2023·襄阳模拟)已知锐角α，β满足＝，则cos(α＋β)＝________. 答案　－ 解析　由题意，＝， 由二倍角公式与同角三角函数的关系可得＝， 即－＝， 整理可得tan β＋tan α＝tan αtan β－1， 故tan(α＋β)＝＝－1， 又α，β为锐角，故α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝， 故cos(α＋β)＝cos ＝－. 10．(2023·陕西宝鸡中学模拟)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)＝________. 答案　0 解析　sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°) ＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°) ＝sin(θ＋15°)cos 60°＋cos(θ＋15°)sin 60°＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°) ＝sin(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°) ＝sin(θ＋15°)－cos(θ＋15°)＋cos(θ＋45°) ＝sin 30°sin(θ＋15°)－cos 30°cos(θ＋15°)＋cos(θ＋45°) ＝－cos(θ＋45°)＋cos(θ＋45°)＝0. 11．(2023·淄博模拟)若sin＝，θ∈(0，π)，则cos θ＝________. 答案　 解析　∵θ∈(0，π)， ∴θ＋∈， 又sin＝， 若θ＋∈， 则sin>sin ＝， 与sin＝矛盾， ∴θ＋∈， ∴cos＝－＝－， ∴cos θ＝cos＝coscos ＋sinsin ＝－×＋×＝. 12．(2023·福建联考)已知θ∈(0,2π)，角θ的终边上有点，则θ＝________. 答案　 解析　tan θ＝＝－＝－＝－tan ＝－tan ＝tan＝tan＝tan ， 故θ＝＋kπ(k∈Z)，－cos ＋sin >0，cos ＋sin ＝sin <0， 故θ在第四象限，θ＝＋π＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$