专题1 微专题11 切线放缩-【步步高】2024年新高考数学考前三个月（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）

色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敷辅专家 微专题11 切线放缩 [考情分析]切线放缩思想一直是导数中重要的思想之一，某些求函数的最小值或证明不等 式的问题，巧用切线放缩，会有意想不到的效果，一般试题难度较大， ■思维导图· 过函数图象上一点的切线方程 函数的单调性 必备 常见厂 利用切线放缩求最值 知识 题型 利用切线放缩证明不等式 函数的最值 e'≥x+1 切线放缩 放缩时选择不等式不恰当 lnx≤x-1 必备 常见 运用切线不等式时等号取舍错误 e'≥ex 解法 误区 求最值时忽略验证等号能否取到 典型例题 考点一利用切线放缩求最值 【典例1】已知函数x)=lnr一xe十aa∈R) (1)若x)在[1，十∞)上单调递减，求实数a的取值范围： (2)若a=1,求fx)的最大值. 解(1)由题意，x)=1x一(x+1)e+a≤0在[1，+∞)上恒成立， 从而a≤(x+1)e-1x, 设gx)=x+1)e-1xc≥1)， 则g'm)=(c+2)e+1x2>0, 所以go)在[1，+o)上单调递增，故gx)m=g1)=2e-1, 因为a≤gx)恒成立，所以a≤2e一1， 故实数a的取值范围为（一∞，2c一1]， (2)方法一设px)=e-x-1,则o'(c)=e-1, 令o'(x>0,则x>0,令p'(x0,则0 所以(x)在（一∞，0）上单调递减，在(0，十∞)上单调递增， 故o(xmin=oO)=0,所以o()≥0， 故e≥x十1 当a=1时， fx)=Inx-xe*+x=Inx-elx.e*+x =lnx-ex+mx+x≤lnx-+nx十l)十x=-1, 独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2xXK.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 当且仅当x十nx=0时等号成立， 设)=x+lnx>0),则'(x)=1十1x>0,故x)在(0，十∞)上单调递增， 结合\a\vs4\al\col(f(1e)=1e-10,1)=1>0知x)在(0，+o)上有零点， 即方程x十nx=0有实根，所以x加x=一1 方法二当a=1时，f)=hx-xe+x0),f)=1x-(c+1)e+1=(c+1) \a\vs4\al\col(\f(1x)-ex), 设h)=1x-ex0),则h'(c)=-1x2-e<0, 所以h)在(0，十∞)上单调递减， 叉h\avs4al\co1(f(12)=2-e>0,h1)=1-e0. 所以(x)在(0，十∞)上有唯一的零点x0: 当x∈(0，o)时，hxP0,所以f()>P0, 故x)在(0，xo)上单调递增， 当x∈(a,十∞)时，hx)0,所以x)0, 故x)在(，十∞)上单调递减， 从而fx)mr=xo)=nx和一xe6十xo, 又x)=1x0-e=0, 所以e=1x0,两边取对数得no=一xo, 故fxo)=hxo-xe十xo=-xo-tolx0+x0=-l, 即)的最大值为一1 跟踪训练1已知函数f=ax十lnx十l,若对任意的x>0,fx)≤xe2r恒成立，求实数a的 取值范围。 解方法一（切线放缩，利用≥x十1） 对任意的心0，x)≤xc2r恒成立， 等价于a≤xe2x-1nx十1x在(0，+∞)上恒成立. 因为xe2x-(nx+1)=e2+hx-Qnx+1)≥(2+lnx+1)-dnx+1)=2x, 所以xe2x-1nx+1x≥2xx=2 当且仅当2x十nx=0时等号成立（方程显然有解）， \a\vs4\al\col(\f (xe2x-In x+1 x))min=2, 所以a≤2 方法二（隐零点） 因为x)=am+nx十1，所以对任意的x0,fx)≤xe2恒成立，等价于a≤e2-1nx+1x在(0， 十o)上恒成立. 令mr)=e2-1nx+1x(x>0), ·独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2xXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 则只需a≤m(x)am即可， m'(x)=2x2e2x+In xx2, 再令g)=2r2e2a+lnx>0), 则g'(x)=4x2十xe2+1x0,所以gx)在(0，+∞)上单调递增， 因为g\a\vs4\al\co1(f(14)=e)8-2n20,g(1)=2e20, 所以g)有唯一的零点xa,且14x01, 所以当0时，m'()0,当x>x时，m'(x>0, 所以mx)在(0，xa)上单调递减，在(xo,十∞)上单调递增， 因为2xe26十lnx0=0, 所以ln2+2nxo+2xg=ln(-lnxo, In(2xo)+2xo=In(-In xo)+(-In xo), 设sx)=nx十x(x>0),则s'(x)=1x十1>0，所以函数sx)在(0，十∞)上单调递增， 因为s(2x)=s(一no),所以2x=一nxo, 即e2=1x0,2=-1nx0x0, 所以mx)≥m(x)=e2-1nx0+1x0=1x0-1nx0x0-1x0=2,则有a≤2， 所以实数a的取值范围为（一∞，2]. 考点二利用切线放缩证明不等式 【典例2】己知函数x)=e一lnc十m). (I)设x=0是)的极值点，求m的值，并讨论x)的单调性： (2)当m≤2时，证明：x)>0 (1)解由题意，f(x)=e-1x+m, 因为x=0是x)的极值点， 所以f”(0)=1一1m=0,解得m=1, 故f()=e-1x十1=x+1ex-1x+1,x>-1, 令x=c+1)e-1c>-1), 则n'(w=(x十2)e>0, 所以c在（一1，十∞）上单调递增， 又(0)=0，所以当-1x<0时，(x)0,故f(x)0: 当x0时，xP0,故f(x)>0, 从而x)在（一1,0）上单调递减，在(0，十∞)上单调递增。 (2)证明方法一当m≤2时，xw)=e-lnx+m)≥e-lnx+2),下面先证c≥x+l, ·独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2xXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 令g=c-x一lc∈R),则g'm=e-1, 所以g’m)<0x<0,g'(xP00, 从而gx)在（一，0）上单调递减，在(0，十)上单调递增， 故gx)min=g0)=0, 所以g)≥0，从而e≥x十1，当且仅当x=0时等号成立， 再证lnc+2)≤x+1,令hc)=lnx+2)-x-1(x>-2), 则h'()=1x+2-1=-x+1x+2, 所以h'x)>0e-2r<-1,h'x)<0=x>-1, 从而hx)在（一2，一1）上单调递增，在（一1，十∞）上单调递减， 故hx)mx=(-1)=0,所以hx)≤0， 故lnc+2)≤x+1,当且仅当x=-1时等号成立， 综上所述，有ln(x十2)≤x十1≤e,且两个等号不能同时成立， 所以lnx+2)e, 故e-lnx+2)>0, 因为当m≤2时，fx)=e-lnx十m)≥e一ln(x十2)，所以x)P0. 方法二当m≤2时，fx)=e-lnex十m)≥e-ln(x+2). 令g)=e-l1ng+2),x-2, 则g'()=e-1x+2=x+2ex-1x+2, 令hx)=(x+2)ex-1(c>-2), 则h')=(c+3)c>0, 所以在（一2，十∞）上单调递增， 结合(-1)=1e一1<0，h(0)=1>0,知存在唯一的xo使h0)=0且xg∈(-1,0)， 当一20时，x)0,所以g'(x)0, 当x>xa时，hx)>0,所以g'(x>0, 从而g9)在（一2，x0)上单调递减，在(c0,十∞）上单调递增， 故gx)uim=gx)=e5-n(o十2)，① 因为0)=xo十2)e-1=0. 所以e9=1x0+2, 两边取对数得o=一n(co十2)， 代入①得gxo)=1x0+2-(-xo)=x0+12x0+2>0, 所以g)>0,即e-lnr+2)>0, 因为当m≤2时，fx)≥e-lnr+2),所以x)>0. 跟踪训练2己知函数fx)=nx-a2x2十 ·独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 ■b2XXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 (1)试讨论x)的单调性： (2)若a=1,求证：当x>0时，x)e2x-x2-2 (1)解x)的定义域为(0，+o),当a=0时，fx)=lnx在(O,十)上单调递增： 当a>0时，f()=1x-2a+a=-2a2x2+ax+1x=-ax-12ax+1x, 当0x<1a时，()0，当x>1a时，f()0, 所以x)在\avs4\al\col(0,f(1a)上单调递增，在\a\vs4\al\col(f(1a),+o∞)上单调 递减： 当a0时，f()=-ax-12ax+1x, 当0-12a时，f(x)>0,当x>-12a时，f(r)0, 所以fx)在\avs4\al\col(0,-f(12a)上单调递增，在\avs4\al\co1(-\f(12a),+o∞) 上单调递减 (2)证明当a=1时，fw)=nx-x2+x,要证当x0时，x)e2-x2-2,只需证lnxr<e2-x-2 令gx)=e2-2x-1,则g'(9)=2e2-2=2(e24-1), 当x0时，g'(c)P0,所以g)在(0，+∞)上单调递增，所以gx)>g(0)=0, 所以当x0时，e2>2x+1,所以e2-x-2>x-1. 令hx)=x-1一nx,x>0,则h'(x)=1一1x,当0x<1时，h'(x<0,当x1时，h'(x) >0, 所以)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增， 所以x)mm=h1)=0, 所以当x>0时，hx)≥h(1)=0,即当>0时，x一1≥nx, 所以当x0时，e2-x-2x-1≥nx,即nx<e2-x-2, 所以当x>0时，x)c2-x2-2 y=e2-x-2 =x-1 y=Inx [总结提升] 当要证明的不等式中既含有e,又含有x时，一般我们形象地称之为指对共生式，这类问 题直接构造差函数进行研究可能会较为困难，突破这一困难一般采用指对放缩、分离双函数、 同构等技巧，常用的切线放缩有： (1)e≥x+l:(2)ex≥ex:(3)l-lx≤lnx≤x-1:(4)nx≤xe ·独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2xXK.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 y=x+l y=e y=lnx 在证明不等式的过程中，可通过上述常见的切线放缩，将e或x放缩掉，再来证明不等式， 这是指对共生式一种可以考虑的方向， 注意：解题中若要用不等式e≥x十l,e≥ex,l一1x≤lnx≤x一1等进行放缩，需要先给出证 明 热点突破 1.(2023武汉模拟)已知函数fx)=e-1-ax+1)r≥1)，g(x)=c一1)nx,其中e为自然对数 的底数。 (1)若x)≥0恒成立，求实数a的取值范围： (2)若a取(1)中的最大值，证明：x)≥gx). (1)解方法-由题意，fx)≥0ec-1-ax+1)≥0ea≤ex-1x+1, 设hx)=ex-1x+1(x≥1)， 则h'(=xex-1x十12>0， 所以)在[1，十∞)上单调递增， 从而h(xmim=h(1)=12, 因为a≤x恒成立，所以a≤12， 故实数a的取值范围是\a\vs4\al\col(-o,\f(12) 方法二由题意，x)≥0ec-1-a十1)≥0ea≤ex-1x十1， 易证e≥x十l,所以e-l≥x,当且仅当x=1时取等号， 从面ex-1x+1≥xx+1=x+1-1x+1=1-1x+1≥1-11+1=12， 又当x=1时，ex-1x+1=12,所以ex-1x+1的最小值为12， 因为a≤ex一1x十1恒成立，所以a≤12， 故实数a的取值范围是\a\vs4\al\col(-∞，\f(12) (2)证明由题意知，a=12,x)=c-1-x+12, 所以fx≥gx)=e-1-x十12≥-1)nx, 易证nx≤x-1,所以当x≥1时，(e-I)nx≤c-1)P, 下面证明e-1-x+12≥(x-1)2,只需证e-1≥2x2-3x+32,即证2x2-3x+32ex-1≤1， 设0(x)=2x2-3x+32ex-1(x≥1)， 则0'(x)=-2x-3x-22ex-1, ·独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2xXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 所以0'(x)>032x2,o'(x)01≤x<32或x>2, 从而o(x)在1，f(32)上单调递减，在a\vs4\al\col(f(32),2)上单调递增，在(2，+∞) 上单调递减， 又9(1)=1，p(2)=52e<1, 所以o(x)≤1，即当x≥1时，2x2-3x+32ex-1≤1， 所以c-1-x+12≥(x-12, 因为(x-1)2≥x-1)nx, 所以c-1-x+12≥(x-1)nx, 故)≥gx)成立. 2.已知函数fx)=e+2x2-3x (1)求函数f(x)在区间[0,1]上的零点个数：（其中x)为x)的导数） (2)若关于x的不等式x)≥52x2+(a一3)x+1在[1，+∞)上恒成立，求实数a的取值范围. 解(1)函数fx)=e+2x2-3x的导数(x)=e+4r-3, 则P)=e+4x-3在区间(0,1)单调递增， 又f(0=1-3=-20,f(1)=e+4-3=e+1>0, 则函数子(：在区间[0.]上只有一个零点. (2)若关于x的不等式w)≥52xr2+(a-3)x+1在[1，+o)上恒成立， 整理得a≤exx-x2-1x, 即求函数ge)=exx一2-1x在[1，+o)上的最小值， 由gx)=exx-x2-1x,得g'(x)=exx-1x2-12+1x2=exX-1+1x2-12, 由y=e-x-l,得y'=e-l, 可得当>0时，y'>0, 函数y=e一x一1单调递增，当x<0时，函数y=e一x一1单调递减， 则e-x-1≥0，即e≥x+1, 当x≥1时，exx-1+1x2-12>x+1 x-1+1x2-12=12>0, 则gx)=exx-x2-1x在[1，十o)上单调递增， 可得gc)mm=g1)=e-32,则a≤e-32 3.设函数fr)=aer-xnx,其中a∈R (I)若x)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围： (2)若a≥2e2,证明：x>0 (I)解方法一由题意知，'(x)=ae-nx-10),且产(x)≥0恒成立， 所以a≥lnx+1ex, 令g)=1nx+1ex>0), 独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2xXK.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 则g'=1ex, 当0x<1时，1x-1>0,nx<0,所以g'(c)0, 故g)在(0,1)上单调递增， 当>1时，1x-1<0,lnx>0,所以g'(x)0, 故g)在(1，+∞)上单调递减， 从而gc)mx=g(1)=1e, 因为a≥gr)恒成立，所以a≥1e, 故实数a的取值范围是\f(1e),十) 方法二由题意，f(m)=ae-nx一1x>0),且(x)≥0恒成立， 所以a≥lnx+1ex, 易证nx≤x-l,e≥er, 所以lnx+1ex≤x-1+1ex=xex≤xex=le,当x=1时，lnx+1ex=1e, 所以\a\vs4al\col(f(1nx+lex)mr=1e, 因为a≥lnx+1ex恒成立，所以a≥1e, 故实数a的取值范围是\f(1e),十o) (2)证明方法-当a≥2e2时，fx)=ae-xnx≥2e2e-xnx=2e-2-xnx=e-2 \a\vs4\al\col(2-\f(xln xex-2)), 下面证明e-2avs4\al\co1(2-\f(xln xex--2)>0, 只需证2-xln xex-2>0, 当0x≤1时，显然xln xex-2≤0， 所以不等式2-xIn xex一2>0成立， 下面证明当x心1时该不等式也成立， 令h)=2-xln xex-2x>l), 'x)=xIn x-In x-lex-2, 令x)=xnx-nx-l(e>l), 则r'(x)=nx+1一1x, 令nx)=lnx+1-1x, 则n'(x)=1x+1x2>0, 所以r)在(1，十∞)上单调递增，又'(1)=0， 所以当x>1时，r(P0, 从而x)在(1，十∞)上单调递增， 又2)=n2-1<0,e)=e-2>0, 所以)在(1，十∞)上有唯一的零点x0,且x∈(2，e, ·独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2xXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 当x∈(1，x)时，x)0,所以h'(x)0, 当x∈(co,十∞)时，x)P0, 所以h'()>0,从而x)在(1，x)上单调递减，在(o,十o)上单调递增， 故=ho=2-lh,O e-2 r(xo)=xoln xo-In xo-1=0, 所以no=1x0-1, (-De=2-\a\s4\al\col(1+f(1x0-1))-1 代入式①得ho)=2- 63, 由02可得1<1+1x0-1<20< e62s1, 所以o)=2-avs4alco11+r1x0-1D) e620, 从而hx)=2-xln xex-2>0, 综上所述，对任意的心0，都有2-xln xex-2>0, 所以e-2a\vs4al\col(2-\f(xln xex-2))>0, 又当a≥2e2时，f)≥e-2a\vs4al\col(2-\f(xln xex-2)0, 所以x)>0. 方法二当a≥2e2时，x)=ae-xnx≥2e2e-xnx=2e-2-xnx, 易证lnx≤xe,所以2e-2-xnx≥2e-2-x2e, 令x)=2e-2-x2ex>0), 则n'(=2e-2-2xe=2ex-1-xe, 易证e≥x十1，所以e-1≥x,从而u'(c)≥0， 故1)在(0，十∞)上单调递增， 又0)=2e2>0,所以ux)>0恒成立， 因为fx)≥x),所以fx)>0 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXk.c0m● 您身边的互联网+敷辅专家 ·独家授权侵权必究·