专题1 微专题9 导数中函数的构造问题-【步步高】2024年新高考数学考前三个月（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）

色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敷辅专家 微专题9 导数中函数的构造问题 [考情分析]导数问题中已知某个含子(x)的不等式，往往可以转化为函数的单调性问题，我 们可以根据不等式的形式构造适当的函数求解问题.这一部分内容在近几年中高考频颜出现， 成为高考热点，难度中等，有时较大。 ■思维导图 构造Fx)=r)或Fx= (nEZ且n≠0)型 导数的运算法则 构造Fx)=ex)或Fx)= 是(n∈Z且n≠0)型 复合函数求导 必备 常见 基本初等函数 知识 题型 构造F)与)sin或F型 函数的单调性 数 函数的性质 构造Fx)=fx)cosx或Fx)=型 cos x 的 根据不等式（求解目标）构造具体函数 构造函数法 构造问 构造的函数不恰当 比较法 必备 常见 函数单调性法 解法 误区 中间量选取不恰当 函数性质运用不准确 数形结合法 典型例题 考点一构造Fx)=xfx)或Fx)=fxxm(neZ,且n≠0)型 【典例1】(I)已知x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，x)+yfx)0,且一4)=0，则 不等式x)>0的解集为 答案(-∞，-4)U(0,4) 解析构造Fx)=x,则F(x)=fx)十(， 当x<0时，fx+yfx)0,即F')0, ∴.F(x)在（一∞，0）上单调递减， fx)为偶函数，F)=x)为奇函数， .Fx)在(O,十∞)上也单调递减。 根据-4)=0，可得F一4)=0，F(4)=0, 根据函数Fx)的单调性、奇偶性可得 x)>0的解集为(-∞，-4)U(0,4). (2)已知偶函数x)x≠0)的导函数为(x),且满足一1)=0，当0时，2x>x(x),则 独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敷辅专家 使得x)O成立的x的取值范围是 答案(-1.0)U(0,1) 解析构造Fx)=fxx2, 则Fx)=f'X·x-2fxx3, 当0时，x)-2x)0, 则F(x0,.Fx)在(0，十∞)上单调递减， fx)为偶函数，.F)=fxx2为偶函数， .Fx)在（一∞，0）上单调递增.根据（一1）=0，可得F(-1)=0,F(1)=0, 根据函数的单调性、奇偶性可得Fx>0的解集， 即x0的解集为(-1,0)U(0,1). 跟踪训练1(1)已知定义在R上的偶函数)满足当x0时，恒有y(x)+2x)0.若a=2f (2),b=9r-3),c=1),则a,b,c的大小关系为() A.b<a<c B.b<c<a C.a<b<c D.a-c<b 答案A 解析构造gx)=xx), 则g'(x)=xfx)+2gx) 由当0时，恒有f)十2x)0,可得xfx)十2)0，即g'()0, 则函数gx)=x2x)在(0，十∞)上单调递减， ,函数)为偶函数， ∴gx)=xx)=(-x)-x)=g(一x), .函数gr=xx)为偶函数， a=22)=g2),b=9r-3)=g(-3)=g3),c=1)=g1), 由g)的单调性可得b<c (2)已知(x)是定义在(0，+∞)上的函数x)的导函数，且f)一fx)>0恒成立，则a=2f \a\vs4\al\col(\f(12)),b=3f\a\vs4\al\col(\f(13)),c=ef\a\vs4\al\col(\f(le)) 小关系为( A.ac>b B.a-b-c C.b>c>a D.b>a>c 答案A 解析令g9)=fxx,>0,则g'x)=xf'x一fxx2 因为fc)一fxP0对于x∈(0，十∞)恒成立， 所以g'(x)>0,即g)=fxx是(0，十∞)上的增函数， ◆独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敷辅专家 a=g\a\vs4\al\col(\f(12)), b= g\a\vs4\al\col(\f(13)),c=g \a\vs4\al\co1(f(1e),且12>1e>13, ga\vs4\al\col(\f(12))>g\a\vs4\al\col(\f(le))>g\a\vs4\al\col(\f(13)),a >c-b. 考点二构造Fx)=e5x)或Fx)=f x enx((n∈Z,且n≠O)型 【典例2】(I)已知x)为R上的可导函数，其导函数为f(x),且对于任意的x∈R,均有x) +x)>0,则() A.e-2024-2024>f0),e20242024)f0) B.e-2024-2024)f0),e20242024)0) C.e-2o24-2024)P0),e20242024)0) D.e-2024-2024f0),c2o24f2024Pf0) 答案D 解析构造函数Fx)=ex),则F'(w=[)十f]eO, 所以Fx)在R上是增函数， 所以F(-2024)F0),F0)<P2024), 即e-2o24-2024)0),0)e20242024. (2)已知定义域为R的函数x)的导函数为(x),且x)x),若实数m>一1，则下列不等 式恒成立的是() A.0m+1)n(m+1)》≥em) B.(m+1)/n(m+1)≤em C.e/ln(m+1)≥(m+1/m) D.efln(m+1)≤(m+1)m) 答案C 解析令gx)=fxex,则g'x)=f'x一fxex, 因为9x),所以g'(x)0,所以g)在R上是减函数， 令m)=m-nm+1),m>-l1, 则h'(m)=1一1m+1=m+1, 所以当m∈（一1.0）时，h'(m)0,h(m)单调递减： 当m∈(0，十∞)时，h'(m)>0,m)单调递增， 所以m)≥hO)=0,即m≥n(m十1)， 所以g(m)≤g(ln(m+1),即fmem≤f1nm+1m+1, 即en(m+1)≥(m+1m). ·独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 跟踪训练2(1)已知定义在R上的函数x)的导函数为x),且满足2x)f()3x),则 f2023f2024的取值范围是 答案(e3,e-) 解析令gx)=fxe2x,hr)=fXe3x, 则g'=f' x-2f x e2x>0,h()=f'x-3f x e3x-0, ∴.f2023e2×2023<f2024e2×2024,f2023e3×2023>f2024 e3×2024, .f2023f2024<e-2,f2023f2024>e-3, 即f2023f2024的取值范围是(e-3,e-2) (2)已知fx)的定义域是(0，+∞)，f(x)为的导函数，且满足x)fx),则不等式e一2f 2+2x)少e-3f(3)的解集是 答案avs4\al\col(b\lc\rc\|(a\vs4\al\col(x)x-3或\avs4al\col(x>l) 解析设ge)=fxex0), 因为fx)f(x),所以g'(x)=f'x一fxex>0, 所以g)在(0，十∞)上单调递增， 由e2f2+2x>e-3f3), 得r+2E er2+2 3e3,即gr2+2xPg(3), 所以x2+2x>3,解得x<-3或心1. 又因为x2+20, 所以x<一2或>0，所以x<一3或x>1 考点三构造函数比较大小 【典例3】(2022新高考全国1)设a=0.1c.1,b=19,c=-ln0.9,则() A.a<b<c B.c≈b<a C.csab D.asc<b 答案C 解析设ux)=xe(0x≤01)， x)=x1-x(0x≤0.1)， wc)=-ln(1-x)0x≤0.1). 则当0x≤0.1时，x)P0,x)P0,w)P0. ①设fy)=n[ux)]-n[ox】 =Inx+x-[Inx-In(1-x)] =x+ln(1-x)0x≤0.1)， 独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敷辅专家 则()=1一11一x=xx-1<0在(0.0.1]上恒成立， 所以)在(0.0.1]上单调递减， 所以f0.1)0)=0+ln(1-0)=0, 即lnu(0.1】-lnc0.1)0. 所以n[u(0.1]<n[0.1)月 又函数y=lnx在(0，十o)上单调递增， 所以(0.1)o0.1),即0.1e0.1<19, 所以a<b ②设g)=ux)-w)=xe+ln(1一x)0x≤0.1)， 则g'()=x+1)e-11-x =1-x2'ex-11-x(0x≤0.1). 设h)=(1-x2)e-1(0x≤0.1)， 则h')=(1-2x-x2)e>0在(0.0.1]上恒成立， 所以)在(0,0.1]上单调递增， 所以hx)>h(0)=(1-0e0-1=0, 即g'x0在(0.，0.1上恒成立 所以gx)在(0,0.1]上单调递增， 所以g0.1)Pg0)=0-e+n(1-0)=0, 即g0.1)=(0.1)-(0.1>0, 所以0.1c0,1>-ln0.9,即a>c 综上，c<a<b 跟踪训练3(2021全国乙卷)设a=2n1.01,b=ln1.02,c=1.04-1,则() A.a<h<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<a<b 答案B 解析b一c=n1.02-1.04+1, 设fx)=n(x+1)-1+2x+1, 则b-c=f0.02),f(x)=1x+1-22r(1+2x) =1+2x)-x+1r(1+2x)·x+1, 当x≥0时，x+1=x+12≥1+2x, 故当x≥0时，P)=1+2x)-x+1r(1+2x)·x+1≤0， 所以)在0，十∞)上单调递减， 所以0.02)0)=0，即b<c 独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 ■b2XXk.c0mD 您身边的互联网+敷辅专家 a-c=2ln1.01-1.04+1. 设g)=2ln(c+1)-1+4x+1, 则a一c=g0.01), 8')=2x+1-42\r(1+4x) =1+4x)-x+1]x+1r(1+4x), 当0≤x2时，4x十1≥x+12=x+1, 故当0≤x2时，g'(c)≥0， 所以gx)在[0,2)上单调递增， 所以g0.01)Pg(0)=0,即ca, 从而有b<ca [总结提升] 1.利用函数x)与导函数()的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解 不等式，是高考常考题目，常见思路是根据运算法则构造函数， 2.比较大小问题难度较大，关键点是将各个值中的共同的量用变量替换构造函数，利用导数 研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题凭借近似估计计算往往是无法解决的. ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 热点突破 1.(2023盐城模拟)己知函数fx的定义域为R,(x)为fx)的导函数，且x)+x)>0, 则不等式6+2)x+2)x2x的解集是( A.(-2,1) B.(-∞，-2)U(1,+∞) C.(-∞，-1)U(2,+) D.(-1,2) 答案D 解析根据题意，构造函数gx)=x), 则g')=f)十fP0 所以函数g)在R上为增函数， 又(c+2fx+2)x2f2, 即gx+2)>ga2, 所以x十2>x2,即x2-x-2<0, 解得-12 2.已知定义在R上的函数x的图象关于点(O,O)对称，若对任意的x∈R,有w)+)n2 >0(f(是函数x)的导函数)成立，且1)=12，则关于x的不等式-2一2≤x)2x的解集 是() A.(-1,+∞) B.(-∞，-1) C.(-1,1) D.(1,+o) 答案C 解析因为函数x)的图象关于点(0,0)对称，所以函数)是奇函数， 令g)=fx)2, 因为fx+x)n20, 所以g'w=[x)2]'=2[fx)+x)n2]>0. 则gx)在R上是增函数. 又1)=12，则-1)=-12， 所以g1)=1)×2=12×2=1,g-1)=-1)×12=-14 因为-2-2x)2不， 所以-14fx)2<1,即-14gx)1, 即g(-1)gg1). 所以-1<1 。独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 3.(2023-济宁模拟)若实数a,b,c∈[0,1]，且满足ae=c,be12=1.2e,cel6=1.6e,则a, b,c的大小关系是() A.c>b>a B.b-a-c C.a-b-c D.b-c>a 答案C 解析由ae=ea,be.2=1.2e,cel.6=1.6e, aea=le,beb=1.2e1.2,cec=1.6e1.6, 令fx)=xex,则f(x)=1一xex, 当1时，f>0:当心】时，f(x)0, 所以)在（一∞，1）上单调递增，在(1，十∞)上单调递减， 于是1)>1.2)>1.⊙， 即a>fb)>c,又a,b,c∈[0,1]，所以a>b>c 4.(2023滁州模拟)已知a=e0.4-1,b=0.4-2n1.2,c=0.2,则a,b,c的大小关系为() A.a>b>c B.acb C.b-a-c D.cb->a 答案B 解析令x=e2-1一x,x∈(0,1)， 则f(=2e2x-1>0恒成立，即x)在(0,1)上单调递增，且f0)=0, 故fx)f0)=0,取x=0.2,则0.2)>0，即e0.4-1-02>0, 可得e04-1>0.2,即a>c: 令gx)=x-2n(1+x),x∈(0,1)， 则g'()=1-21十x=x一11十x<0恒成立， 即g)在(0,1)上单调递减，且g(0)=0, 故gx)g(0)=0,取x=0.2,则g0.2)0,即0.2-2ln1.2<0, 可得0.4-2n1.202,即b<c 综上可得，a,b,c的大小关系为a>c>b 5.(多选2023南和模拟)定义在(0，)上的函数)满足f广x)f x cos xsin x恒成立， 则() A.f\a\vs4\al\col(\f(3))>f\a\vs4\al\col(\f(23)) B.f\a\vs4\al\col(\f(n3))f\a\vs4\al\col(\f(2 n 3)) C.2f\a\vs4\al\col(\f(4))>f\a\vs4\al\col(\f(2)) D.2f\a\vs4\al\col(\f(4))sf\a\vs4\al\col(\f(n2)) 答案AC ◆独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敷辅专家 解析，∵x∈(0)，∴sinx>0, f(x)<f x cos xsin x, f(x)sinx-fx)cos x-0. 等价于f'x sin x-f x cos xsin2x<0, 构造函数g(r9)=f x sin x, 则g'(9=f′x sin x-f x cos xsin2x<0, 即g)在(0，)上单调递减， ,π32r3, .'.g\a\vs4\al\col(\f(3))>g\a\vs4\al\col(\f(2 3)), 即rc3)x3>rcl3)2π3， 化筒得fa\vs4 al\col(\f(r3)f\avs4\al\col(f(2r3),故A选项正确，B选项错 误； .4<2,.'.g\a\vs4\al\col(\f(n4))g\a\vs4\al\col(\f(n2)), 即rcl4)x4rc2)π2， 化筒得2fa\vs4alco1(f(r4))>f八avs4\al\col(f(π2)，故C选项正确，D选项错 误 6.(多选)2023益阳模拟)定义在(0，+)上的函数gx)的导函数为g'(d,xg(x)g(x),V ,2∈(0，十∞)≠x),则下列不等式中一定成立的是() A.g(xx2)g(x1)g(x2) B.g(x1+x2)g(x1)+g(x2) C.g\a\vs4\al\col (\f(x1++x22))<g\rc\)(\a\vs4\al\col(\r(x1x2)) D.g(x1)+g(x2)>x2x1g(x1)+x1x2g(x2) 答案BD 解析由题意可设Fx)=gxx,x>0,则F(x)=xg'x一gXx2, ∴Fx)>0在(0，十)上恒成立，则Fx)是0，十∞)上的增函数， 因此有（一）八fg口x1口g口x2口x2沙>0 对于A,取g)=x2,x>0,满足g(x)Pgx), 但gc1)=gx)g2),故A错误： 对于B,'x灯十x1,F十)PF,即gx1+x2x1十x2>gx1x1, .x1x1+x2g十2Pg(),① 1十x2,.F十xPFx2, 即gx1+x2x1+x2>gx2 x2. ∴.x2x1+x2g十x2)Pg(x2),② 独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 由①+②得g十x)Pg)十g),故B正确： 对于C,取gr)=x2,x0,则g\avs4\al\colf(x1+x22)=\a\vs4\al\col(f(x1+x22) 2,g\re\)(\a\vs4\al\col(\r(x1x2))=x1x2, g\avs4al\col(f(x1+x22)-grc)(a\vs4\al\col(r(xlx2)>0,故C错误： 对于D,,g1)-x2x1g)=x1-x2x1g(s),③ x1x2g02)-g2)=-x2-x1x2g2,④ 由③-④得 g(x1)-x2x1g(x1)-x1x2g(x2)+g(x2) =x1-x2x1g)+x2-x1x2g2) =(一x八fgDx1口g口x2口x2少0， ∴.g)十g)>x2x1g1)+x1x2g),故D正确. 7.(2023·成都模拟)已知定义在(0，+∞)上的函数x)满足对任意x0,f()一x)0恒成 立，且1)=2，则不等式fx)2x的解集为 答案(1，十∞) 解析令hx)=fxx-2x>0),则h'(x)=xf'x一fx20,所以h(x)是(0， +∞)上的减函数，又h1)=1)-2=0,由hx)0=h(1),可得x心1，故不等式x2x的解集 为(1，十∞). 8.(2023烟台模拟)已知函数x)的定义域为R,-1)=2,对任意x∈R,()>2,则f (c)>2x十4的解集为 答案（一1，十∞） 解析设g)=f-2x一4，可得g'(x)=fc)-2, 因为对任意x∈R,(x)>2,所以g'>0,所以gx)为增函数， 又由-1)=2，可得g(-1)=2+2-4=0, 所以当x>-1时，g)>0,即不等式f)>2x十4的解集为（一1，+∞）. 9.(2023淄博模拟)已知定义在R上的可导函数x)的导函数为(x),满足∫()一 )0,且x+1)=1-一x),0)=c,则不等式x少c-1的解集是 答案（-∞，2) 解析设g)=fxex,∴g'c)=f'x-fxex<0, ∴g)是减函数 x十1)=1一x),x)的图象关于直线x=1对称， '.2)=0)=e, .g2)=f2e2=1e .fx)ex-1,..f x ex>le, 独家授权侵权必究