专题1 微专题1 函数的图象与性质-【步步高】2024年新高考数学考前三个月（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）

专题一　函数与导数 微专题1　函数的图象与性质 [考情分析]　函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域、分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以上．此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合来命题． 　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　函数的概念与表示 典例1　(1)(2023·沈阳模拟)设函数f(x)的定义域为(－1,3)，则函数g(x)＝的定义域为(　　) A．(－2,1) B．(－2,0)∪(0,1) C．(0,1) D．(－∞，0)∪(0,1) 答案　B 解析　要使g(x)＝有意义， 只需 即 解得－2<x<0或0<x<1， 则函数g(x)的定义域为(－2,0)∪(0,1)． (2)已知实数a∈R，函数f(x)＝若f(1－a)>f(1＋a)，则实数a的取值范围是________． 答案　(－2，－1)∪(0，＋∞) 解析　由题意知a≠0， ①当a<0时，1－a>1,1＋a<1， ∴－(1－a)>(1＋a)2＋2a， 化简得a2＋3a＋2<0， 解得－2<a<－1， 又a<0，∴a∈(－2，－1)； ②当a>0时，1－a<1,1＋a>1， ∴(1－a)2＋2a>－(1＋a)， 化简得a2＋a＋2>0，解得a∈R， 又a>0，∴a∈(0，＋∞)， 综上，实数a的取值范围是(－2，－1)∪(0，＋∞)． 跟踪训练1　(1)(2023·潍坊模拟)存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有(　　) A．f(|x|)＝x3 B．f(sin x)＝x2 C．f(x2＋2x)＝|x| D．f(|x|)＝x2＋1 答案　D 解析　对于A，令x＝1，得f(|1|)＝f(1)＝1； 令x＝－1，得f(|－1|)＝f(1)＝－1，不符合函数定义，A错误； 对于B，令x＝0，得f(sin x)＝f(0)＝0，令x＝π，得f(sin π)＝f(0)＝π2，不符合函数定义，B错误； 对于C，令x＝0，得f(0)＝0，令x＝－2，得f((－2)2＋2×(－2))＝f(0)＝2，不符合函数定义，C错误； 对于D，f(|x|)＝x2＋1＝|x|2＋1，x∈R，因为|x|≥0，则当x≥0时，f(x)＝x2＋1，符合函数定义，即存在函数f(x)＝x2＋1(x≥0)满足：对任意x∈R都有f(|x|)＝x2＋1，D正确． (2)(2023·济宁模拟)已知a∈R，函数f(x)＝f(f())＝2，则a＝________. 答案　－1 解析　因为>2，所以f()＝log2(5－3)＝1<2， 所以f(f())＝f(1)＝3＋a＝2，解得a＝－1. 考点二　函数的图象 典例2　(1)(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)·cos x在区间上的图象大致为(　　) 答案　A 解析　方法一　(特值法) 取x＝1，则y＝cos 1＝cos 1>0； 取x＝－1，则y＝cos(－1) ＝－cos 1<0.结合选项知选A. 方法二　令y＝f(x)， 则f(－x)＝(3－x－3x)cos(－x) ＝－(3x－3－x)cos x＝－f(x)， 所以函数y＝(3x－3－x)cos x是奇函数， 排除B，D； 取x＝1，则y＝cos 1＝cos 1>0，排除C，故选A. (2)(多选)(2023·扬州模拟)函数f(x)的定义域为[－1,1)，其图象如图所示．函数g(x)是定义域为R的偶函数，满足g(x＋2)＝g(x)，且当x∈[－1,0]时，g(x)＝f(x)．给出下列四个结论，其中正确的是(　　) A．g(1)＝ B．函数g(x)的图象关于直线x＝－1对称 C．不等式g(x)>0的解集为R D．函数g(x)的单调递增区间为[2k,2k＋1]，k∈Z 答案　ABD 解析　对于A，因为函数g(x)是定义域为R的偶函数，所以g(1)＝g(－1)， 又g(－1)＝f(－1)＝，所以g(1)＝，故A正确； 对于B，因为函数g(x)是定义域为R的偶函数，所以g(－x)＝g(x)， 又g(x＋2)＝g(x)，所以g(－x)＝g(－x－2)，所以g(－2－x)＝g(x)， 所以函数g(x)的图象关于直线x＝－1对称，故B正确； 对于C，由题意知，g(0)＝f(0)＝0，故C错误； 对于D，由题意知，g(x)在[－1,0]上单调递减， 又g(x)为偶函数，图象关于y轴对称，所以g(x)在[0,1]上单调递增．又g(x＋2)＝g(x)，所以g(x)是以2为周期的周期函数， 所以函数g(x)在[2k,2k＋1]，k∈Z上单调递增，故D正确． 跟踪训练2　(1)已知函数f(x)＝ 则函数y＝f(1－x)的大致图象是(　　) 答案　D 解析　方法一　作函数f(x)的图象关于y轴对称的图象，得到函数f(－x)的图象，再把函数f(－x)的图象向右平移1个单位长度即可得到函数f(1－x)的图象，如图． 方法二　因为函数f(x)＝ 所以函数f(1－x)＝ 当x＝0时，y＝f(1)＝3，即y＝f(1－x)的图象过点(0,3)，排除A； 当x＝－2时，y＝f(3)＝－1，即y＝f(1－x)的图象过点(－2，－1)，排除B； 当x<0时，1－x>1，f(1－x)＝<0，排除C. (2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]的大致图象，则该函数是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 答案　A 解析　对于选项B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故排除B；对于选项D，当x＝3时，y＝sin 3>0，与图象不符，故排除D；对于选项C，当0<x<时，0<cos x<1，故y＝<≤1，与图象不符，所以排除C. 考点三　函数的性质 典例3　(1)(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin为偶函数，则a＝________. 答案　2 解析　∵f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin ＝(x－1)2＋ax＋cos x＝x2＋(a－2)x＋1＋cos x， 且函数为偶函数， ∴a－2＝0，解得a＝2. 经验证，当a＝2时满足题意． (2)(多选)(2023·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则(　　) A．f(0)＝0 B．f(1)＝0 C．f(x)是偶函数 D．x＝0为f(x)的极小值点 答案　ABC 解析　方法一　因为f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)， 对于A，令x＝y＝0，f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0，故A正确； 对于B，令x＝y＝1，f(1)＝1f(1)＋1f(1)，则f(1)＝0，故B正确； 对于C，令x＝y＝－1，f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)，则f(－1)＝0， 令y＝－1，f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)＝f(x)， 又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确； 对于D，不妨令f(x)＝0，显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故D错误． 方法二　因为f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)， 对于A，令x＝y＝0，f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0，故A正确； 对于B，令x＝y＝1，f(1)＝1f(1)＋1f(1)，则f(1)＝0，故B正确； 对于C，令x＝y＝－1，f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)，则f(－1)＝0， 令y＝－1，f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)＝f(x)， 又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确； 对于D，当x2y2≠0时，对f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)两边同时除以x2y2，得到＝＋， 故可以设＝ln|x|(x≠0)，则f(x)＝ 当x>0时，f(x)＝x2ln x，则f′(x)＝2xln x＋x2·＝x(2ln x＋1)， 令f′(x)<0，得0<x<； 令f′(x)>0，得x>， 故f(x)在上单调递减，在上单调递增， 因为f(x)为偶函数，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减， 显然，此时x＝0是f(x)的极大值点，故D错误． 跟踪训练3　(1)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)(　　) A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 答案　D 解析　f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|的定义域为. ∵f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1| ＝ln|2x－1|－ln|2x＋1| ＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． 当x∈时， f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln  ＝ln ＝ln， ∵y＝1＋在上单调递减， ∴由复合函数的单调性可得f(x)在上单调递减． (2)(多选)(2022·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)．若f ，g(2＋x)均为偶函数，则(　　) A．f(0)＝0 B．g＝0 C．f(－1)＝f(4) D．g(－1)＝g(2) 答案　BC 解析　方法一　(转化法)因为f ，g(2＋x)均为偶函数， 所以f ＝f ， 即f ＝f ， g(2＋x)＝g(2－x)， 所以f(3－x)＝f(x)，g(4－x)＝g(x)， 则f(－1)＝f(4)，故C正确； 函数f(x)，g(x)的图象分别关于直线x＝，x＝2对称，又g(x)＝f′(x)，且函数f(x)可导， 所以g＝0，g(3－x)＝－g(x)， 所以g(4－x)＝g(x)＝－g(3－x)， 所以g(x＋2)＝－g(x＋1)＝g(x)， 所以g＝g＝0， g(－1)＝g(1)＝－g(2)，故B正确，D错误； 若函数f(x)满足题设条件， 则函数f(x)＋C(C为常数)也满足题设条件， 所以无法确定f(0)的函数值，故A错误． 方法二　(特例法)因为f ，g(2＋x)均为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，函数g(x)的图象关于直线x＝2对称．取符合题意的一个函数f(x)＝1(x∈R)，则f(0)＝1，排除A； 取符合题意的一个函数f(x)＝sin πx， 则f′(x)＝πcos πx，即g(x)＝πcos πx， 所以g(－1)＝πcos(－π)＝－π，g(2)＝πcos 2π＝π， 所以g(－1)≠g(2)，排除D. [总结提升] 1．一是要熟练掌握基本初等函数的图象与性质，二是准确识记函数图象变换的规律，三是掌握函数图象识别的一些技巧，如利用图象的对称性、函数的符号等排除干扰项，从而得到正确选项． 2．要准确理解函数的基本性质，把握自变量之间的关系与对应函数值之间的相互转化． 1．若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　) A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1] C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3] 答案　D 解析　因为函数f(x)为定义在R上的奇函数， 则f(0)＝0. 又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0， 画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示， 则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示． 当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0， 则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0. 当x>0时，要满足xf(x－1)≥0， 则f(x－1)≥0，得1≤x≤3. 故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]． 2．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 答案　B 解析　方法一　因为f(x)＝， 所以f(x－1)＝＝， f(x＋1)＝＝. 对于A，令F(x)＝f(x－1)－1＝－1＝， 则F(x)的定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)； 对于B，令G(x)＝f(x－1)＋1＝＋1＝， 则G(x)定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)，是奇函数； 对于C，f(x＋1)－1＝－1＝＝－，定义域不关于原点对称； 对于D，f(x＋1)＋1＝＋1＝＝，定义域不关于原点对称． 方法二　f(x)＝＝＝－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1. 3．(2023·滁州模拟)如图是下列某个函数在区间[－2,2]上的大致图象，则该函数是(　　) A．f(x)＝cos  B．f(x)＝ C．f(x)＝sin x D．f(x)＝cos x 答案　A 解析　对于B，由f(x)＝，知f(2)＝>2，但由图象知f(2)<2，故可排除B； 对于C，f(x)＝sin x＝·sin x，当x∈(0,1)时，f(x)>0，而由函数图象知函数在(0,1)上有零点，故可排除C； 对于D，由f(x)＝cos x知，f(1)<0，而由函数图象可知f(1)>0，故可排除D. 4．已知函数f(x)＝sin x＋，则(　　) A．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图象关于y轴对称 C．f(x)的图象关于直线x＝π对称 D．f(x)的图象关于直线x＝对称 答案　D 解析　∵当x∈时，f(x)<0， ∴f(x)min<0，故A错误； ∵f(x)＝sin x＋的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}， f(－x)＝sin(－x)＋＝－sin x－＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数，关于原点对称，故B错误； ∵f(π－x)＝sin x＋，f(π＋x)＝－sin x－， ∴f(π－x)≠f(π＋x)， ∴f(x)的图象不关于直线x＝π对称，故C错误； ∵f ＝cos x＋， f ＝cos x＋， ∴f ＝f ， ∴f(x)的图象关于直线x＝对称，故D正确． 5．(2023·菏泽模拟)已知函数f(x)＝，则f(x)的图象可能为(　　) 答案　C 解析　f(x)的定义域为{x|x≠±1}， 因为f(－x)＝ ＝－＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除A，D； 当0<x<1时，f(x)＝， 因为x2＋x－2<0， ex－e－x＝>0， 所以f(x)<0，所以排除B. 6．(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则f(k)等于(　　) A．－3 B．－2 C．0 D．1 答案　A 解析　因为f(1)＝1， 所以在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中， 令y＝1， 得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)， 所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)，① 所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)．② 由①②相加，得f(x＋2)＋f(x－1)＝0， 故f(x＋3)＋f(x)＝0， 所以f(x＋3)＝－f(x)， 所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)， 所以函数f(x)的一个周期为6. 在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中， 令y＝0，得f(x)＋f(x)＝f(x)f(0)， 所以f(0)＝2. 令x＝y＝1，得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)， 所以f(2)＝－1. 由f(x＋3)＝－f(x)， 得f(3)＝－f(0)＝－2，f(4)＝－f(1)＝－1， f(5)＝－f(2)＝1，f(6)＝－f(3)＝2， 所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0， 根据函数的周期性知，f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3. 7．(多选)(2023·威海模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，对任意的x1，x2∈(1,2)，且x1≠x2，都有>0，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)是奇函数 B．f(2 023)＝0 C．f(x)的图象关于点(1,0)对称 D．f >f  答案　BCD 解析　根据题意，函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数， 则f(x)的图象关于点(1,0)对称，同时关于直线x＝2对称， 则有f(2＋x)＝－f(－x)，f(－x)＝f(4＋x)， 故有f(x＋4)＝－f(x＋2)，f(x＋2)＝－f(x)，即f(x＋4)＝f(x)， 则函数f(x)是周期为4的周期函数， 对于A，f(x)的图象关于点(1,0)对称，同时关于直线x＝2对称，则x＝0即y轴也是函数f(x)的对称轴，则f(x)为偶函数，A错误； 对于B，f(x)是周期为4的周期函数，则f(2 023)＝f(3＋4×505)＝f(3)＝－f(1)＝0，B正确； 对于C，f(x＋1)为奇函数，f(x)的图象关于点(1,0)对称，C正确； 对于D，对任意的x1，x2∈(1,2)，且x1≠x2，都有>0，则f(x)在区间(1,2)上单调递增， 由于f(x)为偶函数，则f ＝f ，f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f ＝f ， 又由＞，故f >f ， 即f >f ，D正确． 8．(多选)(2023·重庆模拟)已知定义在R上的连续奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上单调递增，下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于直线x＝4k－6(k∈Z)对称 B．函数f(x)的单调递增区间为[8k－6,8k－2](k∈Z) C．函数f(x)在区间(－2 019,2 019)上恰有1 010个最值点 D．若关于x的方程f(x)－m＝0在区间[－8,8]上有根，则所有根的和可能为0或±4或±8 答案　ACD 解析　由f(x－4)＝－f(x)得， f(x－4－4)＝－f(x－4)＝f(x)， 所以函数f(x)的周期为8， 因为f(x)是奇函数， 所以f(x－4)＝－f(4－x)＝－f(x)，f(4－x)＝f(x)， 对称轴为直线x＝2， 根据f(x)在[0,2]上单调递增，可知f(x)在[－2,0]上也是单调递增的，得函数图象大致如下， 对于A，对称轴为x＝2＋4k(k∈Z)，x＝4k－6＝4(k－2)＋2(k∈Z)，故A正确； 对于B，单调递增区间为[8k－2,8k＋2](k∈Z)，[8k－6,8k－2]＝[8(k－1)＋2,8(k－1)＋6](k∈Z)是单调递减区间，故B错误； 对于C,2 019－(－2 019)＝4 038＝504×8＋6，共有504个周期多6， 函数f(x)在每个周期上有2个最值点，在504个完整的周期上有504×2＝1 008(个)最值点， 在(－2 019，－2 016)上有1个最值点，在(2 016,2 019)上有1个最值点， 共有1 008＋2＝1 010(个)最值点，故C正确； 对于D，若m＝m1 ＝最大值，如图中所示，则所有根之和为－6＋2＝－4， 若0<m＝m2<最大值，如图中所示，则所有根之和为－6×2＋2×2＝－8， 若m＝0，则所有根之和为0， 若最小值<m＝m3<0，如图中所示，则所有根之和为2×(－2)＋2×6＝8， 若m＝m4＝最小值，如图中所示，则所有根之和为－2＋6＝4，故D正确． 9．(2023·沧州模拟)已知函数f(x)＝xln(ex＋a)－是奇函数，则a＝________. 答案　1 解析　因为函数f(x)＝xln(ex＋a)－是奇函数， 所以f(－1)＝－f(1)， －ln(e－1＋a)－＝－， 则ln ＝1， 所以＝e，即e＋a＝e(e－1＋a)＝1＋ea， 即a－ea＝a(1－e)＝1－e，解得a＝1， 此时f(x)的定义域为R，满足题意． 10．(2023·菏泽模拟)写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数_________________． ①当x1，x2≥0时，f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；②f(x)为偶函数． 答案　f(x)＝a|x|(a>0，a≠1)(答案不唯一) 解析　若满足①对任意的x1，x2≥0有f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)成立， 则对应的函数为指数函数y＝ax的形式； 若满足②f(x)为偶函数，只需要将x加绝对值即可， 所以满足①②两个条件的非常数函数可以是f(x)＝a|x|(a>0，a≠1)． 11．(2023·宣城模拟)已知函数f(x)＝，则不等式2xf(x)－3<0的解集是________________． 答案　(－1,1) 解析　因为f(x)＝＝2x－2－x， 令g(x)＝xf(x)＝x(2x－2－x)， 则g(－x)＝(－x)(2－x－2x)＝x(2x－2－x)＝g(x)， 则函数g(x)为偶函数， 又g′(x)＝2x－2－x＋xln 2(2x＋2－x)， 当x>0时，2x－2－x>0,2x＋2－x>0， 所以g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又g(1)＝g(－1)＝2－＝， 由2xf(x)－3<0，可得2g(x)－3<0，即g(x)<，即g(x)<g(1)， 所以<1，解得－1<x<1，即不等式的解集是(－1,1)． 12．(2023·黄山模拟)黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在[0,1]上，其解析式为R(x)＝定义在实数集上的函数f(x)，g(x)满足f(－x)＝5－g(2＋x)，g(x)＝9＋f(x－4)，且函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝2，当x∈(0,1)时，f(x)＝R(x)，则f(2 022)＋f ＝________. 答案　－ 解析　因为函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，所以g(2＋x)＝g(2－x)， 由f(－x)＝5－g(2＋x)得f(x)＝5－g(2－x)，所以f(－x)＝f(x)， 所以f(x)为偶函数， 由g(x)＝9＋f(x－4)得g(2－x)＝9＋f(－x－2)＝9＋f(x＋2)，代入f(x)＝5－g(2－x)得f(x)＝－4－f(x＋2)， 所以f(x)＋f(x＋2)＝－4，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝－4， 所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)是以4为周期的函数， 由g(x)＝9＋f(x－4)得g(2)＝9＋f(－2)＝2，所以f(－2)＝－7，即f(2)＝－7， 由f(x)＋f(x＋2)＝－4得f ＋f ＝－4， 所以f ＋f ＝－4， 即f ＋R＝－4， 所以f ＋＝－4，所以f ＝－4－， f(2 022)＋f ＝f(4×505＋2)＋f  ＝f(2)＋f ＝－7－4－＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$