高二数学月考卷03（新高考通用，导数及其应用+计数原理）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第一次月考

2024-2025学年高二数学第一次月考卷·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D A D B A D C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD AC ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．216 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【详解】（1）；（3分） （2）因为，则，（5分） 解得，经验证符合，（6分） 所以．（9分） （3）因为，所以，（10分） 化简可得，（12分） 解得，所以不等式解集为．（13分） 16．（15分） 【详解】（1），（2分） 二项式系数最大的项为中间项，即第5项，（4分） 所以.（5分） （2）， 当为整数时为有理项，（6分） 即，（8分） 则的取值集合为；（9分） （3）设第项的系数最大， 则，（11分） 所以，（13分） 解得， 故系数最大的项为第6项和第7项.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）因为，所以，（2分，结果错误，但是过程中有求导正确的给1分） 则，故在处的切线斜率为，（3分） ，（4分） 解得，（5分） 即，（6分） 因此，（7分） 所以函数在点处的切线：，即．（8分） （2）由（1）可得，定义域为， 又，（10分） 令，解得或；令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，（12分） 则在处取得极大值，在处取得极小值，（13分） 即极大值为，极小值为， 综上所述，的单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为．（15分） 18．（17分） 【详解】（1）由题意，先从余下的7人中选4人共有种不同结果，（1分） 再将这4人与进行全排列有种不同的排法，（2分） 故由乘法原理可知共有种不同排法.（3分） （2）由题意，先从余下的6人中选3人共有种不同结果，（4分） 再将这3人与、的进行全排列有种不同的排法，（5分） 故由乘法原理可知共有种不同排法，（6分） 又、之间的排列有， 所以排在前面，有种不同排法.（7分） （3）因，，都在内，所以只需从余下5人中选2人有种不同结果，（8分） ，必须相邻，有种不同排法，（9分） 由于与，都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有种不同排法， 再将、这个整体与插入到选出的2人所产生的3个空位中有种不同排法，（10分） 由乘法原理可得共有种不同排法.（11分） （4）分四类：第一类：所选的5人无、，共有种排法；（12分） 第二类：所选的5人有、无，共有种排法；（13分） 第三类：所选的5人无、有，共有种排法；（14分） 第四类：所选的5人有、，若A排中间时，有种排法，（15分） 若不排中间时，有种排法，（16分） 共有种排法； 综上，共有种不同排法.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）函数的定义域为， ，（1分） 当时，对任意的，， 由可得，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为；（2分） 当时，由可得，由可得或， 此时函数的减区间为，增区间为、；（3分） 当时，对任意的，， 此时函数的增区间为；（4分） 当时，由可得，由可得或， 此时，函数的减区间为，增区间为、. 综上所述，当时，函数的减区间为，增区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为、； 当时，的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为、.（5分，没有综上，只要表达了单调区间不扣分） （2）当时，， 即证， 令，即证，即证，（6分） 因为，（7分） 则函数在上单调递增，（8分） 当时，；当时，， 所以函数的值域为，（9分） 令，其中，则， 由可得，由可得，（10分） 所以函数的减区间为，增区间为，则， 故，即，故原不等式得证.（11分） （3）， 因为函数有两个零点、，不妨设， 则，（12分） 所以，， 整理可得，即，（13分） 要证，即证， 即证，（14分） 令，即证， 令，其中，则，（15分） 所以函数在上为增函数，则，（16分） 即，即，故原不等式得证.（17分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2024-2025学年高二数学第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：导数及其应用+计数原理。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列求导正确的（   ） A． B． C． D． 2．已知函数在处可导，且，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，用4种不同的颜色给矩形，，，涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（    ） A．12种 B．24种 C．48种 D．72种 4．函数的导函数的部分图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．的展开式中的系数为（    ） A．60 B．50 C．40 D．20 6．已知函数f(x)，满足在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（   ） A．72 B．96 C．114 D．124 8．设函数是定义在上的奇函数，为其导函数．当时，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某学生在物理，化学，生物，政治，历史，地理这六门课程中选择三门作为选考科目，则下列说法正确的是（    ） A．若任意选择三门课程，则总选法为 B．若物理和历史至少选一门，则总选法为 C．若物理和历史不能同时选，则总选法为 D．若物理和历史至少选一门且不能同时选，则总选法为 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，则（   ） A．若，则有三个零点 B．若，则函数存在个极值点 C．在单调递减，则 D．若在恒成立，则 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在的展开式中，的系数为 .（用数字作答） 13．已知曲线与过点的直线相切，则的斜率为 ． 14．甲、乙两人各有4张卡片，每张卡片上分别标有1，2，3，4四个数字之一.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，甲、乙各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较卡片上数字的大小，数字大者胜，然后各自舍弃此轮所选卡片舍弃的卡片在此后的轮次中不能使用则四轮比赛中，甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况共有 种. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）求值: （2）已知，计算：（用数字作答） （3）求不等式：的解集． 16．（15分） 在的展开式中， (1)求二项式系数最大的项； (2)若第项是有理项，求的取值集合； (3)系数最大的项是第几项. 17．（15分） 已知函数在点处的切线与直线平行． (1)求的值及切线的方程； (2)求的单调区间和极值． 18．（17分） 从，，等8人中选出5人排成一排． (1)必须在内，有多少种排法? (2)，都在内，且排在前面，有多少种排法? (3)，，都在内，且，必须相邻，与，都不相邻，都多少种排法? (4)不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法? 19．（17分） 已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，证明：； (3)函数有两个零点、，求证：． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：导数及其应用+计数原理。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列求导正确的（   ） A． B． C． D． 2．已知函数在处可导，且，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，用4种不同的颜色给矩形，，，涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（    ） A．12种 B．24种 C．48种 D．72种 4．函数的导函数的部分图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．的展开式中的系数为（    ） A．60 B．50 C．40 D．20 6．已知函数f(x)，满足在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（   ） A．72 B．96 C．114 D．124 8．设函数是定义在上的奇函数，为其导函数．当时，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某学生在物理，化学，生物，政治，历史，地理这六门课程中选择三门作为选考科目，则下列说法正确的是（    ） A．若任意选择三门课程，则总选法为 B．若物理和历史至少选一门，则总选法为 C．若物理和历史不能同时选，则总选法为 D．若物理和历史至少选一门且不能同时选，则总选法为 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，则（   ） A．若，则有三个零点 B．若，则函数存在个极值点 C．在单调递减，则 D．若在恒成立，则 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在的展开式中，的系数为 .（用数字作答） 13．已知曲线与过点的直线相切，则的斜率为 ． 14．甲、乙两人各有4张卡片，每张卡片上分别标有1，2，3，4四个数字之一.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，甲、乙各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较卡片上数字的大小，数字大者胜，然后各自舍弃此轮所选卡片舍弃的卡片在此后的轮次中不能使用则四轮比赛中，甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况共有 种. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）求值: （2）已知，计算：（用数字作答） （3）求不等式：的解集． 16．（15分） 在的展开式中， (1)求二项式系数最大的项； (2)若第项是有理项，求的取值集合； (3)系数最大的项是第几项. 17．（15分） 已知函数在点处的切线与直线平行． (1)求的值及切线的方程； (2)求的单调区间和极值． 18．（17分） 从，，等8人中选出5人排成一排． (1)必须在内，有多少种排法? (2)，都在内，且排在前面，有多少种排法? (3)，，都在内，且，必须相邻，与，都不相邻，都多少种排法? (4)不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法? 19．（17分） 已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，证明：； (3)函数有两个零点、，求证：． ( 4 / 4 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：导数及其应用+计数原理。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列求导正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，A不正确； ，B不正确； ，C不正确； ，D正确. 故选：D. 2．已知函数在处可导，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 由导数的定义可知， 故选：A. 3．如图，用4种不同的颜色给矩形，，，涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（    ） A．12种 B．24种 C．48种 D．72种 【答案】D 【详解】先涂C区域有4种涂法，再涂D区域3种涂法，涂A区域3种涂法，涂B区域2种涂法，由分步乘法计数原理，共有种涂法. 故选：D. 4．函数的导函数的部分图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设的零点分别为，其中， 当时，，当时，， 故在和上单调递增，在上单调递减， 只有选项B符合条件. 故选：B. 5．的展开式中的系数为（    ） A．60 B．50 C．40 D．20 【答案】A 【详解】的展开式的通项为， 则的展开式中的系数为. 故选：A 6．已知函数f(x)，满足在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为，求导得. 由在定义域内单调递减，得在上恒成立， 即在上恒成立，而 因此当时，取得最小值，则， 因此实数a的取值范围是. 故选：D 7．运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（   ） A．72 B．96 C．114 D．124 【答案】C 【详解】将5名志愿者分为1，2，2，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有种. 将5名志愿者分为1，1，3，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有种. 故不同的安排方法共有种. 故答案为：C. 8．设函数是定义在上的奇函数，为其导函数．当时，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，令，则，所以在上单调递增， 当时，，即， 当时，，即， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 所以当时，，当时，， 所以不等式的解集为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某学生在物理，化学，生物，政治，历史，地理这六门课程中选择三门作为选考科目，则下列说法正确的是（    ） A．若任意选择三门课程，则总选法为 B．若物理和历史至少选一门，则总选法为 C．若物理和历史不能同时选，则总选法为 D．若物理和历史至少选一门且不能同时选，则总选法为 【答案】ACD 【详解】对于A．若任意选择三门课程，选法总数为种，故A正确； 对于B．若物理和历史选一门，有种方法，其余两门从剩余的4门中选2门，有种选法， 若物理和历史选两门，有种选法，剩下一门从剩余的4门中选1门，有种选法 由分步乘法计数原理知，总数为种选法，故B错误； 对于C．若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确； 对于D．由选项B的分析知，若物理和历史至少选一门且不能同时选，有种选法，故D正确． 故选：ACD． 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由已知可得皆为负值，皆为正值， 令，则，令，则①， 即，A正确； 由①知：，B错误； 对两端求导， 可得， 令，则，C正确； 在中， 令，则，D错误． 故选：AC. 11．已知函数，则（   ） A．若，则有三个零点 B．若，则函数存在个极值点 C．在单调递减，则 D．若在恒成立，则 【答案】ABD 【详解】对于选项A：若，，，由，得：， 当时，，得：在上单调递减； 当和时，，得：在和上单调递增； 所以函数有极大值，有极小值， 所以三次函数有三个零点，故A选项正确； 对于选项B，若，， 由，得有两个解， 当和时，， 在和上单调递增； 当时，， 在上单调递减， 所以存在两个极值点，故B选项正确； 对于选项C，由题意可知：是解集的子集， 当时，显然恒成立； 当时，，由于，可得：，即； 综上可得：，故C选项错误； 对于选项D，当时，恒成立， 当，令，则， 令（）， ， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故，则； 当，令，则， 令（）， ， 当时，，单调递增； 所以，则； 综上所述：若在恒成立，则，故D选项正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在的展开式中，的系数为 .（用数字作答） 【答案】 【详解】展开式的通项为（其中且）， 令，解得，所以，所以的系数为. 故答案为： 13．已知曲线与过点的直线相切，则的斜率为 ． 【答案】/ 【详解】设切点为，因为，则， 则切线方程为， 将点代入，得， 化简得，即， 令，则恒成立， 所以在区间上单调递增，又时，， 所以的解为，所以切线的斜率为. 故答案为：. 14．甲、乙两人各有4张卡片，每张卡片上分别标有1，2，3，4四个数字之一.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，甲、乙各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较卡片上数字的大小，数字大者胜，然后各自舍弃此轮所选卡片舍弃的卡片在此后的轮次中不能使用则四轮比赛中，甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况共有 种. 【答案】216 【详解】甲出卡片的种数一共有种，同理，乙出卡片的种数也一共有种. 不妨设甲出牌的数字依次为1，2，3，4， 若甲、乙每轮所出数字大小有相同的情况， 则乙每轮所出数字有以下三种情况： ①甲、乙每轮所出数字大小有一张卡片数字相同， 不妨设乙第一轮所出数字为1，那么后面三轮所出卡片数字均不能相同， 有1，3，4，2和1，4，2，3两种情况， 则甲、乙每轮所出数字大小有一张卡片数字相同共有种情况； ②甲、乙每轮所出数字大小有两张卡片数字相同， 不妨设乙第一、二轮所出数字为1，2，那么后面两轮所出卡片数字均不能相同， 有1，2，4，3一种情况， 则甲、乙每轮所出数字大小有两张卡片数字相同共有种情况； ③甲、乙每轮所出数字大小有三张卡片数字相同，那么第四张卡片也会相同， 则乙每轮所出数字只有1，2，3，4一种情况. 故甲、乙每轮所出数字大小有相同的情况共有种， 所以当甲出牌的数字依次为1，2，3，4， 甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况有：种. 故甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况有：种. 故答案为：216. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）求值: （2）已知，计算：（用数字作答） （3）求不等式：的解集． 【详解】（1）； （2）因为，则，解得，经验证符合， 所以． （3）因为，所以， 化简可得， 解得，所以不等式解集为． 16．（15分） 在的展开式中， (1)求二项式系数最大的项； (2)若第项是有理项，求的取值集合； (3)系数最大的项是第几项. 【详解】（1）， 二项式系数最大的项为中间项，即第5项， 所以. （2）， 当为整数时为有理项， 即， 则的取值集合为； （3）设第项的系数最大， 则， 所以，解得， 故系数最大的项为第6项和第7项. 17．（15分） 已知函数在点处的切线与直线平行． (1)求的值及切线的方程； (2)求的单调区间和极值． 【详解】（1）因为，所以， 则，故在处的切线斜率为， ，解得，即， 因此， 所以函数在点处的切线：，即． （2）由（1）可得，定义域为， 又， 令，解得或；令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极大值，在处取得极小值， 即极大值为，极小值为， 综上所述，的单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为． 18．（17分） 从，，等8人中选出5人排成一排． (1)必须在内，有多少种排法? (2)，都在内，且排在前面，有多少种排法? (3)，，都在内，且，必须相邻，与，都不相邻，都多少种排法? (4)不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法? 【详解】（1）由题意，先从余下的7人中选4人共有种不同结果， 再将这4人与进行全排列有种不同的排法， 故由乘法原理可知共有种不同排法. （2）由题意，先从余下的6人中选3人共有种不同结果， 再将这3人与、的进行全排列有种不同的排法， 故由乘法原理可知共有种不同排法， 又、之间的排列有， 所以排在前面，有种不同排法. （3）因，，都在内，所以只需从余下5人中选2人有种不同结果， ，必须相邻，有种不同排法， 由于与，都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有种不同排法， 再将、这个整体与插入到选出的2人所产生的3个空位中有种不同排法， 由乘法原理可得共有种不同排法. （4）分四类：第一类：所选的5人无、，共有种排法； 第二类：所选的5人有、无，共有种排法； 第三类：所选的5人无、有，共有种排法； 第四类：所选的5人有、，若A排中间时，有种排法， 若不排中间时，有种排法， 共有种排法； 综上，共有种不同排法. 19．（17分） 已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，证明：； (3)函数有两个零点、，求证：． 【详解】（1）函数的定义域为， ， 当时，对任意的，， 由可得，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为； 当时，由可得，由可得或， 此时函数的减区间为，增区间为、； 当时，对任意的，， 此时函数的增区间为； 当时，由可得，由可得或， 此时，函数的减区间为，增区间为、. 综上所述，当时，函数的减区间为，增区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为、； 当时，的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为、. （2）当时，， 即证， 令，即证，即证， 因为，则函数在上单调递增， 当时，；当时，， 所以函数的值域为， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数的减区间为，增区间为，则， 故，即，故原不等式得证. （3）， 因为函数有两个零点、，不妨设， 则，所以，， 整理可得，即， 要证，即证， 即证， 令，即证， 令，其中，则， 所以函数在上为增函数，则， 即，即，故原不等式得证. ( 1 / 14 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学第一次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！