高一数学月考卷03（新高考通用，平面向量+解三角形+复数）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第一次月考

2024-2025学年高一数学第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：平面向量+解三角形+复数。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．向量，，则 （    ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【详解】由题可知， ∴. 故选：D. 2．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A 3．在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵， ∴由余弦定理， 则得， ∴解得：，或（舍去）， ∴由正弦定理可得：． 故选：B. 4．在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，而， 所以 故选：D 5．若（为虚数单位）是关于方程的一个根，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】因为是关于方程的一个根， 所以，整理得， 所以，解得， 故选：D 6．在中，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以， 所以由正弦定理得， 因为，所以， 所以由余弦定理得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形. 故选：D 7．如图，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进到达处，在处测得对于山坡的斜度为.若，山坡与地平面的夹角为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理得， 又， 解得， 在中，由正弦定理得， 解得， 即， 所以. 故选：. 8．瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线被称为欧拉线．已知，为所在平面上的点，满足，，则欧拉线一定过（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，即为的外心； ，则为的重心； ， 即有， 即，同理，即为的垂心； 由解析题中向量式中有两共起点的向量， 于是，， 令， 则是以为起点，向量与所在线段为邻边的菱形对角线对应的向量， 即在的平分线上, 共线, 所以点的轨迹一定通过的内心, 由欧拉线定理知，欧拉线一定过. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是两个不共线的单位向量，则下列各组向量中，一定能推出 的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，，故，即，故A正确； 对于B，因为，，则，故B正确； 对于C，，，由于不共线，故，所以向量不平行，故C错误． 对于D，，故，此时，故D正确， 故选：ABD． 10．已知非零复数，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】设复数，且， ，A正确； ，B正确； ， ， 所以与不一定相等，C错误； 令，则，D错误． 故选：AB 11．在中，是的内切圆圆心，内切圆的半径为，则（    ） A． B． C．的外接圆半径为 D． 【答案】BCD 【详解】因为内心是三角形内角平分线的交点， 所以在中，，故A错误； 由余弦定理可得， 因为的面积， 所以，故B正确； 设的外接圆半径为，则，故，故C正确； 对于D：方法一：因为在的平分线上， 所以可设，则， 同理可设，则， 得， 又、不共线，根据平面向量基本定理得，解得， 即，故D正确； 方法二：利用内心的性质结论，有， 即，所以， 即，故D正确. 故选：BCD 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在中，，，，则 . 【答案】 【详解】由正弦定理有，即，解得， 而，所以，所以， 所以. 故答案为：. 13．已知.若的夹角为钝角，则的范围为 . 【答案】且 【详解】若，的夹角为钝角，则，且与不平行， 即，且，求得且， 故答案为： 且. 14．复平面上两个点，分别对应两个复数，，它们满足下列两个条件：①；②两点，连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为 ． 【答案】8 【详解】令，，且， 由，则，即，故①， 由两点，连线的中点对应的复数为，则，即②， 联立①②，可得，且，即，， 由，即，故为直角三角形， 又，，故的面积为. 故答案为：8. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知点求 (1)的模 (2) (3)在上的投影向量 【详解】（1）已知点，所以， 因此的模为. （2）由已知可得, 所以. （3）根据投影向量的定义可得，在上的投影向量为 . 16．（15分） 已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)设复数，求； (2)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为，则， 所以为纯虚数， 所以，解得. 所以， 因此. （2）解：因为， 则， 因为复数在复平面内对应的点位于第一象限， 则，解得. 因此实数的取值范围是. 17．（15分） 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)证明：； (2)若，，求的周长. 【详解】（1）因为，所以， 所以. 因为， 所以， 则（或，舍去），即. （2）因为，，所以，. . 由，可得， . 故的周长为. 18．（17分） 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”. (1)若向量的“完美坐标”为，求； (2)已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：； (3)若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域. 【详解】（1）因为的“完美坐标”为，则， 又因为，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为， 所以,， 所以. （2）由（1）知， 所以 ， 即. （3）因为向量，的“完美坐标”分别为，， 由（2）得. 令，则， 因为，所以，即， 令， 因为的图象是对称轴为，开口向上的抛物线的一部分， 所以当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 所以的值域为. 18．（19分） 古希腊数学家托勒密对凸四边形（凸四边形是指没有角度大于180°的四边形）进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料，解决以下问题，如图，在凸四边形中，    (1)若，，，（图1），求线段长度的最大值； (2)若，，（图2），求四边形面积取得最大值时角的大小，并求出四边形面积的最大值； (3)在满足（2）条件下，若点是外接圆上异于的点，求的最大值. 【详解】（1）由，，，，可得， 由题意可得， 即， 即，当且仅当四点共圆时等号成立 即的最大值为； （2）如图2，连接，因为四点共圆时四边形的面积最大，，，， 所以，即，， 在中，，① 在中，由余弦定理可得，② 由①②可得， 解得，而，可得， 所以， 此时． 所以时，四边形面积取得最大值，且最大值为．    （3）由题意可知所以，即， 在中，由余弦定理可得, 故, 故， 故，当且仅当时等号成立， 故最大值为. ( 1 / 13 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高一数学第一次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025学年高一数学第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：平面向量+解三角形+复数。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．向量，，则 （    ） A． B．0 C． D．1 2．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．在中，，则（    ） A． B． C． D． 4．在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（   ） A． B． C． D． 5．若（为虚数单位）是关于方程的一个根，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．在中，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 7．如图，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进到达处，在处测得对于山坡的斜度为.若，山坡与地平面的夹角为，则等于（    ） A． B． C． D． 8．瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线被称为欧拉线．已知，为所在平面上的点，满足，，则欧拉线一定过（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是两个不共线的单位向量，则下列各组向量中，一定能推出 的是（   ） A． B． C． D． 10．已知非零复数，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 11．在中，是的内切圆圆心，内切圆的半径为，则（    ） A． B． C．的外接圆半径为 D． 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在中，，，，则 . 13．已知.若的夹角为钝角，则的范围为 . 14．复平面上两个点，分别对应两个复数，，它们满足下列两个条件：①；②两点，连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知点求 (1)的模 (2) (3)在上的投影向量 16．（15分） 已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)设复数，求； (2)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 17．（15分） 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)证明：； (2)若，，求的周长. 18．（17分） 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”. (1)若向量的“完美坐标”为，求； (2)已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：； (3)若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域. 19．（17分） 古希腊数学家托勒密对凸四边形（凸四边形是指没有角度大于180°的四边形）进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料，解决以下问题，如图，在凸四边形中，    (1)若，，，（图1），求线段长度的最大值； (2)若，，（图2），求四边形面积取得最大值时角的大小，并求出四边形面积的最大值； (3)在满足（2）条件下，若点是外接圆上异于的点，求的最大值. ( 1 / 4 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2024-2025学年高一数学第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：平面向量+解三角形+复数。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．向量，，则 （    ） A． B．0 C． D．1 2．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．在中，，则（    ） A． B． C． D． 4．在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（   ） A． B． C． D． 5．若（为虚数单位）是关于方程的一个根，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．在中，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 7．如图，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进到达处，在处测得对于山坡的斜度为.若，山坡与地平面的夹角为，则等于（    ） A． B． C． D． 8．瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线被称为欧拉线．已知，为所在平面上的点，满足，，则欧拉线一定过（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是两个不共线的单位向量，则下列各组向量中，一定能推出 的是（   ） A． B． C． D． 10．已知非零复数，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 11．在中，是的内切圆圆心，内切圆的半径为，则（    ） A． B． C．的外接圆半径为 D． 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在中，，，，则 . 13．已知.若的夹角为钝角，则的范围为 . 14．复平面上两个点，分别对应两个复数，，它们满足下列两个条件：①；②两点，连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知点求 (1)的模 (2) (3)在上的投影向量 16．（15分） 已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)设复数，求； (2)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 17．（15分） 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)证明：； (2)若，，求的周长. 18．（17分） 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”. (1)若向量的“完美坐标”为，求； (2)已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：； (3)若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域. 19．（17分） 古希腊数学家托勒密对凸四边形（凸四边形是指没有角度大于180°的四边形）进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料，解决以下问题，如图，在凸四边形中，    (1)若，，，（图1），求线段长度的最大值； (2)若，，（图2），求四边形面积取得最大值时角的大小，并求出四边形面积的最大值； (3)在满足（2）条件下，若点是外接圆上异于的点，求的最大值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学第一次月考卷·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D A B D D D D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD AB BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 且 14．8 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【详解】（1）已知点，所以，（2分） （3分） 因此的模为.（4分） （2）由已知可得,（6分） 所以.（9分） （3）根据投影向量的定义可得，在上的投影向量为 （11分） .（13分） 16．（15分） 【详解】（1）解：因为，则，（1分） 所以为纯虚数，（2分） 所以，（4分） 解得.（5分） 所以，（7分） 因此.（8分） （2）解：因为，（10分） 则，（12分） 因为复数在复平面内对应的点位于第一象限， 则，（14分） 解得. 因此实数的取值范围是.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）因为，所以，（1分） 所以.（2分） 因为，（3分） 所以，（4分） 则（或，舍去），（6分） 即.（7分） （2）因为，，所以，.（9分） .（10分） 由，可得，（12分） .（14分） 故的周长为.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）因为的“完美坐标”为，则，（1分） 又因为，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为， 所以,，（3分） 所以.（5分） （2）由（1）知， 所以（6分） ， 即.（8分） （3）因为向量，的“完美坐标”分别为，， 由（2）得.（9分） 令，则，（10分） 因为，所以，即，（12分） 令，（14分） 因为的图象是对称轴为，开口向上的抛物线的一部分， 所以当时，取得最小值，（15分） 当时，取得最大值，（16分） 所以的值域为.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）由，，，，可得，（1分） 由题意可得，（2分） 即， 即，当且仅当四点共圆时等号成立（4分） 即的最大值为；（5分） （2）如图2，连接，因为四点共圆时四边形的面积最大，，，， 所以，即，，（6分） 在中，，①（7分） 在中，由余弦定理可得，②（8分） 由①②可得，（9分） 解得，而，可得，（10分） 所以， 此时． 所以时，四边形面积取得最大值，且最大值为．（12分）    （3）由题意可知所以，即，（13分） 在中，由余弦定理可得,（14分） 故,（15分） 故，（16分） 故，当且仅当时等号成立， 故最大值为（17分） 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$