精品解析：广东省清远市英德市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024学年第一学期初中期末学业质量监测 九年级数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图1，中国古代叫“斗”，是当时重要的粮食度量工具，如图2，是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 3. 盒子里装有5张质地均匀、大小相同的数字卡片，上面分别写着1，2，3，4，5．从盒中任意摸出一张卡片，摸出偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 反比例函数的图象经过点（ ） A. B. C. D. 5. 如图，矩形的对角线相交于点，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 7. 2024年北京第一季度GDP约为1.058万亿元，第三季度GDP约为1.167万亿元，设2024年北京平均每季度GDP增长率为，则可列关于的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 随着移动互联网的兴起和智能手机的普及，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为30的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为（ ） A. B. C. 12 D. 18 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点O为位似中心，相似比为3，将放大，则点A的对应点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 如图，函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 将方程化为的形式后，______，______，______． 12. 如图，在中，D是的中点，，则的长是______． 13. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____． 14. 如图，将沿方向平移得到与重叠部分（图中阴影部分）的面积是的面积的．已知，则平移的距离为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中把矩形沿对角线所在的直线折叠，点落在点处．与轴相交于点，，点是轴负半轴上一个动点，点在坐标平面内，使以点，，，为顶点的四边形是菱形的点的坐标为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，16题8分，17题6分，18题7分，共21分． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得标杆的影子，同一时刻，测得建筑物的影子，求建筑物的高． 18. 如图，在中，． （1）实践与操作：利用尺规作图，过上一点作直线交于点，使所得的与相似；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）的条件下，若，求的长． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. “四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． （1）小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率． （2）小强和小刚玩游戏，在（1）的规则上，若两人抽到的卡片有指南针，则小强胜，否则小刚胜，请判断上述游戏是否公平，并说明理由． 20. 为了解决居民停车难的问题，社区利用矩形空地建了一个露天停车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，其余部分均为宽度相等的道路．已知阴影部分的面积为，求道路的宽． 21. 综合与实践 【问题情境】 排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成，如图1，现要利用若干长为的相同吸管制作简易排箫． 【实验操作】 将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如表1： 表1 长度（） 振动频率（） 【探索发现】 （1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越 （填“高”或“低”）； （2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．观察图象，从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用 函数模型反映（从初中所学函数选择），并求出该函数表达式． 表2 C调音符与频率对照表 音符 不同音区的频率（） 低音区 中音区 高音区 【实际应用】 （3）根据表2，判断这批吸管制作的排箫能否吹出低音区的音，若能，请求出对应吸管长度，若不能，请说明理由．（精确到） 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 在矩形中，点G是边的中点，点E，F是其所在平面的两个点，且，，连接，，点H是的中点，连接． （1）如图1，若点E在边上，点F在边上，且，请直接写出与的数量关系； （2）如图2，，将绕点B旋转，连接，若，猜想与的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，，将绕点B旋转，连接，若． ①猜想与的数量关系（用m、n表示），并证明你的猜想； ②如图4，当绕点B顺时针旋转时，将沿翻折得到，若点K刚好与点F重合，则此时矩形的边长与应满足什么关系？请说明理由． 23. 已知点E，F为反比例函数上的点． （1）如图1，若矩形的边，分别经过点E，F，且，四边形的面积为4，求反比例函数的表达式． （2）如图，一次函数的图像分别于x轴，y轴交于点N，M，若四边形为矩形且，求反比例函数的表达式． （3）在（2）的条件下，直线上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期初中期末学业质量监测 九年级数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的意义分别进行分析即可，形如：或或的函数是反比例函数． 【详解】解：A．，y是的反比例函数，故此选项不合题意； B．，y是x的一次函数，故此选项不合题意； C．，不是的反比例函数，故此选项不合题意； D．，y是x的反比例函数，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 如图1，中国古代叫“斗”，是当时重要的粮食度量工具，如图2，是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由俯视图的定义可知，“斗”的俯视图，如图所示： 3. 盒子里装有5张质地均匀、大小相同的数字卡片，上面分别写着1，2，3，4，5．从盒中任意摸出一张卡片，摸出偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求解随机事件的概率，用出现偶数的情况除以总情况数即可． 【详解】解：总共有5种情况，摸出偶数的情况有2种， 故摸出偶数的概率是． 故选：B． 4. 反比例函数的图象经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，即反比例函数中，为定值依此判断即可． 【详解】解：反比例函数中，， A、∵，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； B、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； C、，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意； D、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； 故选：C． 5. 如图，矩形的对角线相交于点，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，根据矩形的对角线相等，对角线互相平分求解即可． 【详解】解∶∵矩形的对角线相交于点， ∴，， ∴， 故选∶D． 6. 依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定方法，根据菱形的判定方法逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、对角线互相平分，且根据勾股定理的逆定理可得有一个角是直角，即对角线互相垂直，故可得四边形是菱形，故该选项不符合题意； B、四边相等的四边形是菱形，故该选项不符合题意 C、对角线互相平分，不能证明是菱形，故该选项符合题意． D、根据已知角可得四边形是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形，故该选项不符合题意； 故选：C． 7. 2024年北京第一季度GDP约为1.058万亿元，第三季度GDP约为1.167万亿元，设2024年北京平均每季度GDP增长率为，则可列关于的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．根据题意及一元二次方程增长率问题列出方程即可． 【详解】解：根据题意列出方程为， 故选：C． 8. 随着移动互联网的兴起和智能手机的普及，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为30的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为（ ） A. B. C. 12 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率， 然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在阴影部分的概率为， 设阴影部分面积为S，则， 即：， ∴黑色阴影的面积为18， 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点O为位似中心，相似比为3，将放大，则点A的对应点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 【详解】解：∵，以点O为位似中心，相似比为3，将放大， ∴点的坐标为或， 故选：C． 10. 如图，函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数及反比例函数的性质分开讨论：当时，直线经过第一、二、三象限，双曲线在第一、三象限；当时，直线经过第二、三、四象限，双曲线在第二、四象限，然后与选项作比较即可得出结果． 【详解】解：A、∵的图象在第一、三象限， ∴， ∴直线经过第一、二、三象限，故选项不符合题意； B、∵的图象在第一、三象限， ∴， ∴直线经过第一、二、三象限，故选项符合题意； C、∵的图象在第二、四象限， ∴， ∴直线经过第二、三、四象限，故选项不符合题意； D、∵的图象在第二、四象限， ∴， ∴直线经过第二、三、四象限，故选项不符合题意． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 将方程化为的形式后，______，______，______． 【答案】 ①. 1 ②. 2 ③. 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是，本题通过移项化为一般形式，再确定各项系数． 【详解】∵ ∴ ∴ 故答案为：1；2； 12. 如图，在中，D是的中点，，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质．掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题关键．根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线，， ∴． 故答案为：2． 13. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式．根据判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得． 故答案为：． 14. 如图，将沿方向平移得到与重叠部分（图中阴影部分）的面积是的面积的．已知，则平移的距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握平移的性质、相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 因为是平移，所以，所以，再通过相似三角形面积比是相似比的平方求出相似比，最后得出的长度，再求出长度即为平移的距离． 【详解】解：将沿方向平移得到， ∵ ∴ 故答案为： 15. 如图，在平面直角坐标系中把矩形沿对角线所在的直线折叠，点落在点处．与轴相交于点，，点是轴负半轴上一个动点，点在坐标平面内，使以点，，，为顶点的四边形是菱形的点的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查矩形与折叠，菱形的判定与性质；先根据题意得，设，根据勾股定理得到，即，再分不同情况进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 根据题意：， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵为直角三角形，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 当运动到，作边，为对角线时， ∵A，D，P，F为顶点的四边形是菱形， ∵， ∴， 当运动到，作边时， ∴ 综上所述，或 故答案为：或． 三、解答题（一）：本大题共3小题，16题8分，17题6分，18题7分，共21分． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键． （1）把方程化为，再化为两个一次方程即可； （2）把方程化为，再利用因式分解的方法解方程即可； 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； 17. 如图，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得标杆的影子，同一时刻，测得建筑物的影子，求建筑物的高． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明，可得，再代入数据计算即可． 【详解】解：由题意得：，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴； 18. 如图，在中，． （1）实践与操作：利用尺规作图，过上一点作直线交于点，使所得的与相似；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定； （1）作交于点，则与相似； （2）根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示， 根据作图， 又∵ ∴ 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∵ ∴ 解得：（负值舍去） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. “四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． （1）小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率． （2）小强和小刚玩游戏，在（1）的规则上，若两人抽到的卡片有指南针，则小强胜，否则小刚胜，请判断上述游戏是否公平，并说明理由． 【答案】（1） （2）公平，见解析 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）画树状图得出所有等可能的结果数和两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的结果数，再利用概率公式可得出答案． （2）根据两人抽到的卡片有指南针的结果数有种，得出小强、小刚胜的概率分别为，即可求解． 【小问1详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片恰好是“A．指南针”和“B．造纸术”的结果有2种， 两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率为． 故答案为： 【小问2详解】 解：上述游戏公平，理由如下： 两人抽到的卡片有指南针的结果数有种， ∴小强胜的概率为 小刚胜概率为 ∴上述游戏公平 20. 为了解决居民停车难的问题，社区利用矩形空地建了一个露天停车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，其余部分均为宽度相等的道路．已知阴影部分的面积为，求道路的宽． 【答案】道路的宽是5米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 设道路的宽为x米，由题意得：，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设道路的宽为x米， 由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）． 答：道路的宽是5米． 21. 综合与实践 【问题情境】 排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成，如图1，现要利用若干长为的相同吸管制作简易排箫． 【实验操作】 将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如表1： 表1 长度（） 振动频率（） 【探索发现】 （1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越 （填“高”或“低”）； （2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．观察图象，从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用 函数模型反映（从初中所学函数选择），并求出该函数表达式． 表2 C调音符与频率对照表 音符 不同音区的频率（） 低音区 中音区 高音区 【实际应用】 （3）根据表2，判断这批吸管制作的排箫能否吹出低音区的音，若能，请求出对应吸管长度，若不能，请说明理由．（精确到） 【答案】（1）高；（2）图象见解析；（3）低音区的对应吸管长度为 【解析】 【详解】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出与的积为定值，从而得出函数关系式． （1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越高； 故答案为：高． （2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线． 根据表格可知 ∴从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用反比例函数模型反映，该函数表达式为． 函数图象，如图所示 （3）由题可得，低音区的音频率为 代入 ∴ 答：低音区的对应吸管长度为 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 在矩形中，点G是边的中点，点E，F是其所在平面的两个点，且，，连接，，点H是的中点，连接． （1）如图1，若点E在边上，点F在边上，且，请直接写出与的数量关系； （2）如图2，，将绕点B旋转，连接，若，猜想与的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，，将绕点B旋转，连接，若． ①猜想与的数量关系（用m、n表示），并证明你的猜想； ②如图4，当绕点B顺时针旋转时，将沿翻折得到，若点K刚好与点F重合，则此时矩形的边长与应满足什么关系？请说明理由． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）先证明，，结合为的中位线，可得结论； （2）如图，连接，证明四边形为正方形，证明，可得，再结合三角形的中位线可得答案； （3）①仿照（2）的思路进行证明与计算即可；②如图，连接，当K与F重合时，，则，证明，可得，设，则，可得，从而可得结论． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵，，， ∴，， ∵点G是边的中点，点H是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，连接， ∵，矩形， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵G、H分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：①，理由见解析； 如图，连接， 同理可得：， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴； ②，理由如下： 如图，连接，当K与F重合时，， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 而，， 设，则 ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，中位线的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等，找到需要相似三角形是解题的关键． 23. 已知点E，F为反比例函数上的点． （1）如图1，若矩形的边，分别经过点E，F，且，四边形的面积为4，求反比例函数的表达式． （2）如图，一次函数的图像分别于x轴，y轴交于点N，M，若四边形为矩形且，求反比例函数的表达式． （3）在（2）的条件下，直线上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）反比例函数为：； （3）或 【解析】 【分析】（1）设，可得，结合，再建立方程求解即可； （2）如图，过作轴于，连接，求解，证明，可得，设，可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． （3）如图，由四边形为矩形，证明，设直线为，可得直线为，求解，，结合在直线上，设，再建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵点E，F为反比例函数上的点． 设， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴反比例函数为：； 【小问2详解】 解：如图，过作轴于，连接， 令，则，当时，则， ∴，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∴， ∴， ∴反比例函数为：； 【小问3详解】 解：如图，∵四边形为矩形， ∴，， 设直线为，， ∴， 解得：， ∴直线为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在直线上， ∴设， ∴， 整理得：， 解得：， ∴或． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，反比例函数的几何意义，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $