第八章 实数（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（山西专用，人教版2024）

第8章 实数（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．的平方根是（    ） A． B． C． D． 2．若的值为4，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知与都是非负数，且它们的算术平方根互为相反数，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D． 4．若与是同类项，则的平方根为（   ） A． B． C． D． 5．下列说法错误的是（   ） A． B．64的算术平方根是4 C． D．若，则 6．如图所示，四边形、、均为正方形，且正方形面积为10，正方形面积为1，则正方形的边长可以是（   ） A．4 B． C．5 D． 7．下列说法：①36的平方根是6；②的平方根是；③0.01是0.1的平方根；④的平方根是4；⑤81的算术平方根是．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．3个 D．5个 8．数学实践课上，老师给同学们提供面积均为的正方形纸片，要求沿着边的方向裁出长方形．小明、小丽两位同学设计出两种裁剪方案． 小明的方案：能裁出一个长宽之比为，面积为的长方形； 小丽的方案：能裁出一个长宽之比为，面积为的长方形． 对于这两个方案的判断，符合实际情况的是（    ） A．小明、小丽的方案均正确 B．小明的方案正确，小丽的方案错误 C．小明、小丽的方案均错误 D．小明的方案错误，小丽的方案正确 9．现对实数定义一种运算：．则等于（   ） A． B． C．2 D．6 10．在古希腊时期， 有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数 称为黄金分割数． 设 记 则的值为（   ） A． B．99 C．4950 D．5050 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．若的平方根是它本身，则的值是 ． 12．若一个正数的平方根是和，的立方根是，则的算术平方根是 ． 13．下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是 （填序号）． 14．已知的小数部分是的小数部分是，则的立方根是 ． 15．观察下列等式： ①3－=（－1）2， ②5－=（－）2， ③7－=（－）2， … 请你根据以上规律，写出第5个等式 ． 三、解答题：共8题，共75分。 16．（10分）（1）计算：． （2）．如下图，在数轴上，，两点关于点对称，，两点所对应的实数分别是和．求点所对应的实数． 17．（8分）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，，0，…，，． 有理数集合：｛    …｝； 无理数集合：｛    …｝； 正实数集合：｛    …｝； 负实数集合：｛    …｝；． 18．（8分）解方程： (1)； (2)． 19（8分）．已知一个底面为正方形的长方体，高是底面边长的2倍，体积为．求： (1)这个长方体的底面边长； (2)这个长方体的表面积． 20．（8分）已知一个正数的平方根是与，2b+4的立方根是2． (1)求a、b的值； (2)求a+2b的算术平方． 21．【阅读理解】，即，的整数部分是1，小数部分是． 【解决问题】已知是的整数部分，是的小数部分，求： (1)的值； (2)的平方根． 22．（12分）本学期第六章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：填写下表 1 16 81 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：_________． （2）探究性质：①1的四次方根是_________；②16的四次方根是_________；③0的四次方根是________；④________（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：_________； 【拓展应用】（1）__________（2）比较大小：_________． 23．如图，在数轴上，点为原点，点对应的数分别为，且满足． (1)求点、点在数轴上表示的数； (2)动点从点出发，沿数轴以1个单位/秒的速度匀速向左运动；同时点从点出发，沿数轴以3个单位/秒的速度匀速向左运动，点为的中点，设点的运动时间为秒，请用的式子表示点在数轴上表示的数； (3)在（2）的条件下，当点与点相遇后，点继续向左运动，点掉头向右运动，两点保持原来的速度不变．在点从起点出发后（即不包括起点）的整个运动过程中，仍设点为的中点，若，直接写出点在数轴上对应的数． 2 / 4 科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 实数（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的定义，立方根的定义，开平方计算与平方根的定义，理解定义是解题的关键． 根据求一个数的算术平方根及平方根的方法，即可解答． 【详解】解：， 的平方根是． 故选：D． 2．若的值为4，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义，得出与被开方数，即可得答案． 【详解】解：∵， ∴，则． 故选：C． 3．已知与都是非负数，且它们的算术平方根互为相反数，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】此题考查了算术平方根的定义、相反数的定义，有理数的乘方运算，已知字母的值求代数式的值，根据非负实数的性质及算术平方根的定义、相反数的定义得到，由此求出a，b的值，代入计算即可． 【详解】解：∵与都是非负数，且它们的算术平方根互为相反数， ∴， ∴，， 解得，， ∴． 故选：A． 4．若与是同类项，则的平方根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同类项的定义和平方根的定义，解题的关键是熟练掌握同类项的定义和平方根的定义．根据同类项的定义即可求出，的值，最后代入求平方根即可． 【详解】解：与是同类项， ，， ， 的平方根为， 故选：D． 5．下列说法错误的是（   ） A． B．64的算术平方根是4 C． D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了平方根和立方根的概念及其运用．分别根据平方根、算术平方根和立方根的概念直接判断即可． 【详解】解：A、，该选项正确，不符合题意； B、64的算术平方根是8，该选项错误，符合题意； C、，该选项正确，不符合题意； D、，则，该选项正确，不符合题意． 故选：B． 6．如图所示，四边形、、均为正方形，且正方形面积为10，正方形面积为1，则正方形的边长可以是（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的应用，估算无理数的大小，根据算术平方根性质求出，再根据无理数的估算结合，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴， 同理，得， ∵，即， ∴正方形的边长，即． ∴正方形的边长可能是． 故选：B． 7．下列说法：①36的平方根是6；②的平方根是；③0.01是0.1的平方根；④的平方根是4；⑤81的算术平方根是．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．3个 D．5个 【答案】A 【分析】本题运用了平方根和算术平方根的性质，利用平方根和算术平方根的性质可求解． 【详解】解：①36的平方根是，故①错误； ②9的平方根是，没有平方根，故②错误； ③0.1是0.01的算术平方根，故③错误； ④的平方根是，故④错误； ⑤81的算术平方根是9，故⑤错误． 故选：A． 8．数学实践课上，老师给同学们提供面积均为的正方形纸片，要求沿着边的方向裁出长方形．小明、小丽两位同学设计出两种裁剪方案． 小明的方案：能裁出一个长宽之比为，面积为的长方形； 小丽的方案：能裁出一个长宽之比为，面积为的长方形． 对于这两个方案的判断，符合实际情况的是（    ） A．小明、小丽的方案均正确 B．小明的方案正确，小丽的方案错误 C．小明、小丽的方案均错误 D．小明的方案错误，小丽的方案正确 【答案】C 【分析】先求出正方形纸片的边长，再利用长方形的面积公式分别求出裁出的长方形的长、宽，由此即可得． 【详解】解：正方形纸片的面积为， 正方形纸片的边长为， 小明的方案：设裁出的长方形的长为，则宽为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 则长为， ， ， 所以小明的方案错误； 小丽的方案：设裁出的长方形的长为，则宽为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 则长为， ， ， 所以小丽的方案错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根、实数的大小比较、利用平方根解方程，熟练掌握实数的大小比较方法是解题关键． 9．现对实数定义一种运算：．则等于（   ） A． B． C．2 D．6 【答案】B 【分析】此题考查了实数的混合运算，先计算，，再依据新定义规定的运算计算可得． 【详解】解： ， 故选：B． 10．在古希腊时期， 有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数 称为黄金分割数． 设 记 则的值为（   ） A． B．99 C．4950 D．5050 【答案】C 【分析】本题考查的分式的规律计算以及二次根式的乘法，正确推导运算规律是解题的关键．先计算，，的值，找出规律，然后求解即可． 【详解】解：，， ， ∴， ， ， ， 故选：C 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．若的平方根是它本身，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的性质，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的性质求解即可． 【详解】解：∵的平方根是它本身， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 12．若一个正数的平方根是和，的立方根是，则的算术平方根是 ． 【答案】4 【分析】首先根据平方根的定义，求出m值，再根据立方根的定义求出n，代入-n+2m，求出这个值的算术平方根即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是m+3和2m-15， ∴m+3+2m-15=0， 解得：m=4， ∵n的立方根是-2， ∴n=-8， 把m=4，n=-8代入-n+2m=8+8=16， 所以-n+2m的算术平方根是4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根．解题的关键是掌握平方根、算术平方根、立方根的定义，能够利用定义求出m、n值，然后再求-n+2m的算术平方根． 13．下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是 （填序号）． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了实数的相关概念，无理数的概念，倒数的概念，绝对值的定义，解题的关键在于熟练掌握相关概念．根据相关概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：①实数分为有理数和无理数，故①错误； ②无限不循环小数叫作无理数，故②正确； ③，既不是正数也不是负数，故③错误； ④倒数等于它本身的数是，故④正确； ⑤开方开不尽的数是无理数，故⑤错误． 综上所述，正确的有②④， 故答案为：②④． 14．已知的小数部分是的小数部分是，则的立方根是 ． 【答案】1 【分析】本题考查无理数的估算．利用无理数的估算求得，的值后代入中，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴的小数部分， ∵， ∴， ∴的小数部分， ∴， ∴的立方根是． 故答案为：． 15．观察下列等式： ①3－=（－1）2， ②5－=（－）2， ③7－=（－）2， … 请你根据以上规律，写出第5个等式 ． 【答案】 【分析】观察相同位置的数的变化方式，先得出左边第一项和右边的两个被开方数，再得出左边第二项的被开方数，即可求出答案． 【详解】因为等式左边第一项依次增加2， 所以第5个等式的第一项是11， 因为等式右边的两个被开方数中，后一个数就是该等式的序号数，前一个数比后一个数大1， 所以第5个等式的右边的两个被开方数分别是6和5， 因为等式左边第二项中的被开方数是等式右边两个根式的被开方数的积， 所以这个数是30， 观察其余部分都相同，直接带下来即可， 所以第5个等式是． 故答案为：． 【点睛】此题属于规律探究题，主要考查了数字的变化规律以及每个等式之中的数字之间的关系，要求学生注意观察和推导，考查了学生分析与判断的能力． 三、解答题：共8题，共75分。 16．（10分）（1）计算：． 【答案】-36 【分析】先利用指数幂、立方根的性质以及二次根式的性质分别化简，再计算即可. 【详解】解：原式 【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键. （2）．如下图，在数轴上，，两点关于点对称，，两点所对应的实数分别是和．求点所对应的实数． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，对称的性质，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．根据题意得，设点表示的数为，得到，求解即可得到答案． 【详解】解：因为两点所对应的实数分别是， 所以． 又因为两点关于点对称，所以． 设点所对应的实数是， 则， 解得． 点所对应的实数是． 17．（8分）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，，0，…，，． 有理数集合：｛    …｝； 无理数集合：｛    …｝； 正实数集合：｛    …｝； 负实数集合：｛    …｝；． 【答案】见解析 【分析】本题考查了实数的定义和分类，属于基本题型，掌握以上知识是解此题的关键； 根据实数的定义及其分类解答，即可求解； 【详解】解：有理数：有理数是指能够表示为两个整数之比的数，其中分母不能为，这两个整数可以是任意整数，包括正整数、‌负整数和零（但分母不能为零），有理数包括了所有的整数、有限小数和无限循环小数； 无理数：无限不循环小数又叫无理数，注意：①无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，②无限循环小数是有理数，可以化成分数，无限不循环小数是无理数； 正实数：正实数是大于的所有实数，不包括‌，正实数包括正整数和正分数； 负实数：负实数是指小于零的实数，包括负有理数和负无理数‌； 根据有理数、无理数、正实数和负实数定义可得： 有理数集合：， 无理数集合：， 正实数集合：， 负实数集合： 18．（8分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）先将变形为，然后利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）先将变形为，然后利用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 解得：； （2）解：， ， ， 解得：，． 19（8分）．已知一个底面为正方形的长方体，高是底面边长的2倍，体积为．求： (1)这个长方体的底面边长； (2)这个长方体的表面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了长方体的体积，表面积，立方根的应用，熟练掌握长方体的体积和表面积的计算公式是解决问题的关键． （1）设这个长方体的底面边长为，则高为，然后根据正方体的体积公式列出方程，解此方程求出x即可； （2）根据长方体表面积的计算公式进行计算即可． 【详解】（1）解：设这个长方体的底面边长为，则高为， 依题意得：， ∴， ∴． ∴这个长方体的底面边长为； （2）解：∵， ∴， ∴这个长方体的长为，宽为，高为， ∴这个长方体的表面积为：． 20．（8分）已知一个正数的平方根是与，2b+4的立方根是2． (1)求a、b的值； (2)求a+2b的算术平方． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平方根的性质，即一个正数的两个平方根互为相反数和立方根的性质计算即可； （2）算出，在进行求解即可； 【详解】（1）∵一个正数的平方根是与， ∴， ∴， ∵2b+4的立方根是2， ∴， ∴， ∴，； （2）∵，， ∴， ∴a+2b的算术平方为； 【点睛】本题主要考查了平方根的性质，立方根的性质和算术平方根的计算，准确计算是解题的关键． 21．【阅读理解】，即，的整数部分是1，小数部分是． 【解决问题】已知是的整数部分，是的小数部分，求： (1)的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小． （1）首先得出接近的整数，进而得出a，b的值； （2）根据平方根即可解答． 【详解】（1）解：， 即， ， ∴的整数部分是，的小数部分是， ； （2）解：由（1）可知，， ， 的平方根是． 22．（12分）本学期第六章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：填写下表 1 16 81 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：_________． （2）探究性质：①1的四次方根是_________；②16的四次方根是_________；③0的四次方根是________；④________（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：_________； 【拓展应用】（1）__________（2）比较大小：_________． 【答案】类比探索：（1），，；一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； （2）①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 拓展应用：（1）；（2） 【分析】本题考查类比探究类问题．类比平方根和立方根得出四次方根的定义和性质是解题的关键． 【类比探索】（1）类比平方根和立方根给出四次方根的定义，并进行计算填表； （2）根据四次方根的定义进行计算填空，归纳出四次方根的性质即可； 【拓展应用】（1）根据定义求一个数的四次方根； （2）通过将数进行四次方以后进行比较大小即可． 【类比探索】（1），，；表格中数据依次为：，，； 类比平方根和立方根的定义可得：一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； （2）①1的四次方根是：；②16的四次方根：；③0的四次方根是：0；④没有四次方根； 类比平方根和立方根的性质可得：一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 故答案为为：①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 【拓展应用】（1）； 故答案为： （2）∵，∴． 故答案为： 23．如图，在数轴上，点为原点，点对应的数分别为，且满足． (1)求点、点在数轴上表示的数； (2)动点从点出发，沿数轴以1个单位/秒的速度匀速向左运动；同时点从点出发，沿数轴以3个单位/秒的速度匀速向左运动，点为的中点，设点的运动时间为秒，请用的式子表示点在数轴上表示的数； (3)在（2）的条件下，当点与点相遇后，点继续向左运动，点掉头向右运动，两点保持原来的速度不变．在点从起点出发后（即不包括起点）的整个运动过程中，仍设点为的中点，若，直接写出点在数轴上对应的数． 【答案】(1)点、点在数轴上表示的数为 (2) (3)或 【分析】本题考查一元一次方程的应用以及数轴上点性质，关键是确定数轴上点所表示的数． （1）根据，可得； （2）根据题意和数轴上两点之间的距离是由较大的数减去较小的数，再根据中点坐标公式求解即可； （3）先求的长度，再分在点左侧和右侧两种情况求，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：根据，可得， 解得， 点、点在数轴上表示的数为 （2）解：点为，点为， 点为的中点， 点表示的数为； （3）解：当点与点相遇时，，解得， 当时，， ①当时，可得，解得，不符合题意 ②当时，可得，解得，符合题意，此时点为； 当时，点为，点为， 则，点表示的数为； ③当时，可得，不成立， ②当时，可得，解得，符合题意，此时点为， 综上，点在数轴上对应的数为或． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$