第7章 专题3 平行线中的拐点模型-【绿卡初中创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学习题课件(冀教版2024)

第七章　相交线与平行线 专题3　平行线中的拐点模型 1 模型1　燕尾模型 2 3 4 5 6 7 8 1 9 2 1.（新趋势 探究性问题）已知AB⫽CD，E是AB，CD之间的一点. （1）如图1，试判断∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并说明理由. （2）如图2，若∠BAE和∠CDE的平分线交于点F，则∠AFD与∠AED有何数量关系？请说明理由. 【针对训练】 解：（1）∠BAE+∠CDE=∠AED. 理由如下：　 如图，作EF⫽AB，则∠1=∠BAE. ∵AB⫽CD，∴EF⫽CD，∴∠2=∠CDE. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 3 又∵∠1+∠2=∠AED， ∴∠BAE+∠CDE=∠AED. （2）∠AFD=∠AED. 理由如下： 由（1）的结论可知∠AFD=∠BAF+∠CDF. ∵∠BAE和∠CDE的平分线交于点F， ∴∠BAF=∠BAE，∠CDF=∠CDE， ∴∠AFD=（∠BAE+∠CDE）. ∵∠BAE+∠CDE=∠AED，∴∠AFD=∠AED. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 模型2　铅笔模型 2 3 4 5 6 7 8 1 9 5 2. 如图，已知AB⫽DE，BC⊥CD，∠ABC和∠CDE的平分线交于点F，则∠BFD的度数为________. 135° 【针对训练】 2 3 4 5 6 7 8 1 9 6 3. （1）如图1，AB⫽CD，求∠A+∠AEC+∠C的度数. 解：过点E作EF⫽AB. ∵EF⫽AB（已作）， ∴∠A+∠AEF=180°（__________________________）. 又∵AB⫽CD（已知）， ∴EF⫽CD（______________________________）. ∴∠CEF+∠________=180°（两直线平行，同旁内角互补）. ∴∠A+∠AEF+∠CEF+∠C=360°（等式的性质），即∠A+∠AEC+∠C=________. 两直线平行，同旁内角互补 平行于同一条直线的两条直线平行 C 360° 2 3 4 5 6 7 8 1 9 7 （2）根据上述解题过程及作辅助线的方法可知，在图2中，若AB⫽EF，则∠B+∠C+∠D+∠E=________. （3）如图3，AB⫽CD，在B，D两点的同一侧有M1，M2，M3，…，Mn共n个拐点，则∠B+∠M1+∠M2+…+∠Mn+∠D=______________（用含n的代数式表示）. 540° （n+1）×180° 2 3 4 5 6 7 8 1 9 8 解析：（2）如图，分别过点C，D作CG⫽AB，DH⫽AB，　　 ∵AB⫽EF，∴CG⫽DH⫽EF， ∴∠1+∠B=∠2+∠3=∠4+∠E=180°， ∴∠B+∠BCD+∠CDE+∠E=∠B+∠1+∠2+∠3+∠4+∠E=3×180°=540°. （3）由（1）（2）知，拐点的个数n与角的和之间的关系是（n+1）×180°，∴∠B+∠M1+∠M2+…+∠Mn+∠D=（n+1）×180°. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 模型3　牛角模型 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 4. 如图，已知AB⫽EF，若∠BAC=116°，∠FEC=84°，则∠ACE的度数为________. 20° 【针对训练】 2 3 4 5 6 7 8 1 9 11 5. 如图，已知a⫽b，∠1=55°，∠A=25°，则∠2的度数为________. 80° 2 3 4 5 6 7 8 1 9 12 6. 如图，已知AB⫽CD，延长DC至点E，作∠MCE的平分线和∠BAM的平分线的反向延长线交于点P，试判断∠CPA与∠AMC之间的数量关系，并说明理由. 解：∠AMC+2∠CPA=180°. 理由如下： ∵AF平分∠BAM，CP平分∠MCE， ∴∠BAM=2∠BAF，∠MCE=2∠ECP. 如图，过点P作PH⫽AB，则∠APH=∠BAF. ∵AB⫽CD，∴PH⫽CD，∴∠HPC=∠PCE. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 13 如图，过点M作MN⫽AB， ∵AB⫽CD，∴AB⫽CD⫽MN， ∴∠AMC=∠AMN+∠NMC=∠BAM+∠MCD=2∠BAF+（180°-2∠PCE）=2∠APH-2∠PCE+180°. 又∵∠PCE=∠HPC=∠CPA+∠APH， ∴∠AMC=2∠APH-2（∠CPA+∠APH）+180°， ∴∠AMC+2∠CPA=180°. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 模型4　钩子模型 2 3 4 5 6 7 8 1 9 15 7. 如图，l1⫽l2，则 （　　） A. ∠α+∠β-∠γ=180° B. ∠α+∠β+∠γ=180° C. ∠α+∠β=2∠γ D. ∠α+∠β=∠γ 【针对训练】 A 2 3 4 5 6 7 8 1 9 16 8. （1）如图1，AB⫽CD，点P在AB的上方，问：∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由. （2）如图2，在（1）的条件下，已知∠EPF=α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠EGF. 解：（1）∠EPF=∠PFC-∠PEA. 理由如下： 如图1，过点P作PM⫽AB，∴∠MPE=∠PEA. ∵AB⫽CD，∴PM⫽CD，∴∠PFC=∠MPF， ∴∠EPF=∠MPF-∠MPE=∠PFC-∠PEA. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 17 （2）如图2，过点G作GM⫽AB，∴∠MGE=∠AEG. ∵AB⫽CD，∴GM⫽CD，∴∠GFC=∠MGF. ∵EG是∠PEA的平分线，FG是∠PFC的平分线， ∴∠AEG=∠PEA，∠GFC=∠PFC， ∴∠EGF=∠MGF-∠MGE=∠GFC-∠AEG=（∠PFC-∠PEA）=∠EPF=α. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 模型5　蛇形模型 2 3 4 5 6 7 8 1 9 19 9.（石家庄新华期中）如图，已知直线AB⫽CD，P为平面内一点，连接PA，PD. 已知∠A=50°，∠D=150°，求∠APD的度数. 【针对训练】 解：如图，过点P作EF⫽AB. ∵∠A=50°， ∴∠APE=∠A=50°. ∵AB⫽CD，∴EF⫽CD，∴∠D+∠EPD=180°. 又∵∠D=150°，∴∠EPD=180°-150°=30°. ∴∠APD=∠APE+∠EPD=50°+30°=80°. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 20 21 $$