6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量（2大题型基础练+提升练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步备课系列（苏教版2019选择性必修第二册）

6.3.1直线的方向向量与平面的法向量 题型一、求直线的方向向量 1．若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 2．在棱长为1的正方体中，为平面的中心，为的中点.以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线的一个方向向量（    ）    A． B． C． D． 3．如图，在空间直角坐标系中，正四棱柱的底面边长为4，高为2，O为上底面中心，E，F，G分别为棱、、的中点.若平面与平面的交线为l，则l的方向向量可以是（    ）    A． B． C． D． 4．已知，，则直线的方向向量可以表示为(     ) A． B． C． D． 5．已知直线的一个方向向量为，另一个方向向量为，则 ， . 题型二、求平面的法向量 1．已知点、、在平面内，则下列向量为平面的法向量的是（     ）． A． B． C． D． 2．（多选）已知平面与平面平行，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为（   ） A． B． C． D． 3．已知平面内的两个向量，，则该平面的一个法向量为（　　） A． B． C． D． 4．已知平行六面体.设，则平面的一个法向量为（   ）    A． B． C． D． 5．在空间直角坐标系中，坐标平面的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 6．在正方体中，，分别为棱，的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：    (1)平面的一个法向量； (2)平面的一个法向量． 6．（多选）请选出说法正确的选项（    ） A．平面的法向量，常取 B．平面的法向量，常取 C．平面的法向量，常取 D．如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 1．类比平面上直线的“一般式”方程，可以研究空间中平面的“一般式”方程，在空间直角坐标系中，平面的“一般式”方程为，则平面的一个法向量可以是 . 2．在空间直角坐标系中，已知向量，点，点，若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，则平面的方程为：.由以上的理论，已知一平面和直线垂直，为其垂足，若，平面的方程式是 3．人教版选择性必修一习题拓广探索第题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为”.现已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，且直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为 . 4．已知空间三点，，.若空间中点满足平面，则符合条件的一个点的坐标是 . 试卷第1页，共3页 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3.1直线的方向向量与平面的法向量 题型一、求直线的方向向量 1．若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得首先求出直线上的一个向量，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线的坐标表示可得出答案． 【详解】因为A，B在直线l上，所以， 与共线的向量可以是直线l的一个方向向量，其他选项经验证与均不共线. 故选：B 2．在棱长为1的正方体中，为平面的中心，为的中点.以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线的一个方向向量（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定的坐标，求得坐标，即可判断. 【详解】由题意得，则，所以为直线的一个方向向量. 故选：B 3．如图，在空间直角坐标系中，正四棱柱的底面边长为4，高为2，O为上底面中心，E，F，G分别为棱、、的中点.若平面与平面的交线为l，则l的方向向量可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出平面、平面截正四棱柱所得截面，进而确定出交线l，再求出其方向向量. 【详解】连接，正四棱柱的对角面是矩形，则， 而分别是中点，则，又O为上底面中心，则， 因此四边形是平面截正四棱柱所得截面， 延长，由是的中点，得，连接， 则四边形是平面截正四棱柱所得截面， 显然与相交，令交点为，，四边形是正方形，则， 而，又，所以向量是直线的一个方向向量，A满足， 选项BCD中向量与不共线，即选项BCD不满足. 故选：A    【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上. 4．已知，，则直线的方向向量可以表示为(     ) A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】计算，，，AB满足，CD中向量与不共线，得到答案. 【详解】，，则， 对选项A：，满足； 对选项B：，满足； 对选项C：与不共线，不满足； 对选项D：与不共线，不满足； 故选：AB. 5．已知直线的一个方向向量为，另一个方向向量为，则 ， . 【答案】 －20 12 【分析】由直线的方向向量平行的性质即可求解. 【详解】∵直线的方向向量平行， ∴， ∴， 故答案为：；. 题型二、求平面的法向量 1．已知点、、在平面内，则下列向量为平面的法向量的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设平面的法向量为，根据法向量的定义可得出，利用赋值法可得出平面的一个法向量的坐标. 【详解】设平面的法向量为，由题意可得，， 则，取，可得， 故选：B. 2．（多选）已知平面与平面平行，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】分析可知，平面的法向量与共线，逐项判断即可. 【详解】因为平面与平面平行，且是平面的一个法向量， 则平面的法向量与平行，因为，， 向量、与向量不共线，所以，AD选项中的向量可以作为平面的法向量. 故选：AD. 3．已知平面内的两个向量，，则该平面的一个法向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用法向量的定义、求法进行计算即可. 【详解】显然与不平行，设该平面的一个法向量为， 则有，即， 令，得，所以，故A,B错误，C正确； 令，得，则此时法向量为，故D错误. 故选：C. 4．已知平行六面体.设，则平面的一个法向量为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，求出，设出平面的一个法向量，利用空间向量数量积的运算律列式求解. 【详解】在平行六面体， 令，则， 设平面的法向量，而， 则，整理得，令，得， 所以平面的一个法向量为. 故选：A 5．在空间直角坐标系中，坐标平面的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用法向量的求法进行求解即可. 【详解】 设与轴的方向向量，轴的方向向量，坐标平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 故选：C. 6．在正方体中，，分别为棱，的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：    (1)平面的一个法向量； (2)平面的一个法向量． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)（答案不唯一） 【分析】（1）根据法向量的定义，结合空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可； （2）根据法向量的定义，结合空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】（1）设正方体的棱长为2， 则，，，， （1）设平面的一个法向量为， ，， 则即 令，则，， 平面的一个法向量为．（答案不唯一） （2），， 设平面的一个法向量为． 即 令，则，， 平面的一个法向量为．（答案不唯一） 6．请选出说法正确的选项（    ） A．平面的法向量，常取 B．平面的法向量，常取 C．平面的法向量，常取 D．如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 【答案】ABCD 【分析】根据平面法向量的定义即可判断ABC，利用线面垂直的判定即可判断D. 【详解】对A，平面的法向量，常取，故A正确； 对B，平面的法向量，常取，故B正确； 对C，平面的法向量，常取，故D正确； 对D，根据线面垂直的判定即可判定其正确. 故选：ABCD. 1．类比平面上直线的“一般式”方程，可以研究空间中平面的“一般式”方程，在空间直角坐标系中，平面的“一般式”方程为，则平面的一个法向量可以是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】由题意直接写出平面的一个法向量即可. 【详解】由题意可知，平面的法向量可以是或， 故答案为：（答案不唯一） 2．在空间直角坐标系中，已知向量，点，点，若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，则平面的方程为：.由以上的理论，已知一平面和直线垂直，为其垂足，若，平面的方程式是 【答案】 【分析】根据题设，可求得平面的法向量，注意到点在平面内，即可由平面方程得到答案. 【详解】由题意可知： 平面的法向量为，点在平面内， 根据平面的方程公式可得：， 化简得：. 故答案为：. 3．人教版选择性必修一习题拓广探索第题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为”.现已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，且直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】 【分析】根据已知定义可确定三个平面的法向量，利用直线的方向向量与两个平面的法向量垂直可求得方向向量，根据线面角的向量求法可求得正弦值. 【详解】由题意知：平面的一个法向量，平面的一个法向量，平面的一个法向量， 的方向向量为，， 令，解得：，，， ， 即直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为：. 4．已知空间三点，，.若空间中点满足平面，则符合条件的一个点的坐标是 . 【答案】（答案不唯一）. 【分析】先求出平面的法向量，设点的坐标为，则，即可求出点的坐标. 【详解】，， 设平面的法向量为， 则，. 令，则，.. 设点的坐标为，则. 由题知，，即. 点的坐标满足，其中. 令，则. 故答案为：（答案不唯一）. 试卷第1页，共3页 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$