2 第二节 带电粒子在电场中的运动-【金版新学案】2024-2025学年高中物理必修第三册同步课堂高效讲义配套课件（粤教版2019）

第二节　带电粒子在电场中的运动 　　　　 第二章　静电场的应用 1.能从力和能量的角度分析计算带电粒子在电场中的加速问题。 2.能够用类平抛运动的分析方法研究带电粒子在电场中的偏转问题。 3.了解示波器的基本原理。 素养目标 知识点一　带电粒子在电场中的加速　加速器 1 知识点二　带电粒子在电场中的偏转 2 知识点三　示波器 3 课时测评 5 随堂达标演练 4 内容索引 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 知识点一　带电粒子在电场中的加速　 加速器 返回 自主学习 情境导学　带电粒子在匀强电场或非匀强电场中加速，应用什么规律研究？ 提示：分析带电粒子在匀强电场中的加速运动，可以用牛顿运动定律结合运动学公式列式求解，也可以用动能定理列式求解。分析带电粒子在非匀强电场中的加速运动，可以用动能定理或功能关系列式求解。 教材梳理 1．加速装置 在真空中安装一对面积较大的平行金属板，并在两板间加 上电压U，两板之间便形成了一个______电场。 2．带电粒子加速问题的处理方法 带正电的粒子由静止开始向负极板做匀加速直线运动，根据动能定理，可知_____＝ mv2，则到达负极板时速度的大小为v＝________。 匀强 qU 3．加速器 如图所示是电场直线加速器的原理示意图，由于电子每经过缝隙就被电场加速，所以进入每个圆筒左侧的小孔时速度都变大了，又由于经过每个圆筒的时间相同，则越往后，圆筒的长度必定越____，但都与进入圆筒时的速度成____比。 长 正 合作探究 问题探究　图甲所示是电场直线加速器的原理示意图，在多级直线加速器上加如图乙所示的交变电压。 (1)由于静电屏蔽作用，分析圆筒内的电场，以及带电粒子在圆筒中的运动。 提示：圆筒内无电场，带电粒子在圆筒内做匀速直线运动。 (2)t0时刻从左边开始第n个狭缝中的电场方向与t0＋ 时刻从左边开始第n＋1个狭缝中的电场方向相同还是相反？ 提示：相同。 (2023·广州市第六十五中月考)如图所示，一电子仅在电场力作用下由静止开始从A板向B板运动，到达B板时的速度为v，保持两板间的电压不变，则 A．当增大两板间的距离时，速度v增大 B．当减小两板间的距离时，速度v减小 C．当减小两板间的距离时，速度v不变 D．当减小两板间的距离时，电子在两板间运动的时间变长 例1 √ 针对练1.(多选)如图甲所示，某多级直线加速器由n个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上，各金属圆筒依序接在交变电源的两极M、N上，序号为0的金属圆板中央有一个质子源，质子逸出的速度不计，M、N两极加上如图乙所示的电压uMN，一段时间后加速器稳定加速质子流。已知质子质量为m、电荷量为e，质子通过圆筒间隙的时间不计，且忽略相对论效应，则 A．金属圆筒内部电场强度大小随序号增大而减小 B．质子在各圆筒中做匀速直线运动 C．质子在各圆筒中的运动时间都为T D．各金属筒的长度之比为1∶ ∶ … √ √ 金属圆筒中电场为零，质子不受电场力，做匀速运动，故A错误，B正确；只有质子在每个圆筒中匀速运动的时间为 时，才能保证质子每次在缝隙中被电场加速，故C错误；质子进入第n个圆筒时， 针对练2.(多选)如图所示，M、N是真空中的两块相距为d的平行金属板，质量为m、电荷量为q的带电粒子，以初速度v0由小孔进入电场，当M、N间电压为U时，粒子恰好能到达N板。如果要使这个带电粒子到达距N板 后返回，下列措施中能满足要求的是(不计带电粒子的重力) A．使初速度减为原来的 B．使M、N间电压提高到原来的1.5倍 C．使M、N间电压提高到原来的3倍 D．使初速度和M、N间电压均减为原来的 √ √ 由题意知，带电粒子在电场中做匀减速直线运动，当粒子恰好能到达N板时，由动能定理可得－qU＝－ mv0 ， 2 返回 知识点二　带电粒子在电场中的偏转 返回 如图所示，质量为m、电量为＋q的粒子以初速度v0垂直于电场方向射入两极板间，两平行板间存在方向竖直向下的匀强电场，已知板长为l，板间电压为U，板间距离为d，不计粒子的重力。 1．运动分析及规律应用 粒子在板间做类平抛运动，应用运动分解的知 识进行分析处理。 (1)在初速度方向：做匀速直线运动； (2)在电场力方向：做初速度为零的匀加速直线运动。 2．过程分析 3．两个重要推论 (1)粒子从偏转电场中射出时，其速度方向的反向延长线与初速度方向的延长线交于一点，此点为粒子沿初速度方向位移的中点。 (2)位移方向与初速度方向间夹角α的正切值为速度偏转角θ正切值的 ，即tan α＝ tan θ。 (2024·广东江门段考)如图所示，水平放置的两块平行金属板长l＝5 cm，两板间距d＝1 cm，两板间电压为U＝90 V，且上板带正电，一个电子沿水平方向以速度v0＝2.0×107 m/s从两板中央射入，电子离开电场后，打在屏上的P点，金属板离屏s＝10 cm(电子质量m＝9.0×10－31 kg，电子电量e＝1.6×10－19 C)。求： 例2 角度1　带电粒子在电场中的偏转 (1)偏转电场的电场强度； 答案：9000 V/m　 竖直方向做匀加速直线运动，根据电容器电压与电场强度的关系得 E＝ ＝9 000 V/m。 (2)电子在电场中运动的加速度； (3)电子飞出金属板时侧位移y0； 答案：1.6×1015 m/s2 答案：5×10－3 m 根据牛顿第二定律可得a＝ ＝1.6×1015 m/s2。 电子在匀强电场中做类平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，有 t1＝ ＝2.5×10－9 s在竖直方向做匀加速直线运动，所以有y0＝ at1 ＝5×10－3 m。 2 (4)电子运动的总时间； 答案：7.5×10－9 s 电子运动的总时间为t＝ ＝7.5×10－9 s。 (5)求OP的长。 答案：0.025 m 电子飞出电场时，竖直方向速度v1＝at1＝4×106 m/s 电子从平行板出去后做匀速直线运动，水平和竖直方向都是匀速直线运动 水平方向有t2＝ ＝ s＝5×10－9 s 竖直方向有yPM＝v1t2＝0.02 m OP的长为y＝yPM＋yMO＝yPM＋y0＝0.025 m。 (多选)(2023·天津期末)如图所示，一价氢离子(H＋)和二价氦离子 (He2＋)的混合体(均不计重力)，由静止经同一加速电场加速后，垂直于电场方向射入同一偏转电场中，偏转后打在同一荧光屏上，则它们 A．离开偏转电场时速度方向不同 B．离开偏转电场时速度方向相同 C．到达屏上同一点 D．到达屏上不同点 例3 √ √ 角度2　带电粒子在电场中先加速后偏转 设离子的电荷量为q，质量为m，偏转电场极板板长为L，板间距离为d。根据动能定理可知，在加速电场中有qU1＝ mv ， 1．带电粒子在电场中先加速再偏转的轨迹如图所示。 探究归纳 3．在偏转电场中 探究归纳 针对练1.如图所示，质子( H)和α粒子( He)以相同的初动能垂直射入偏转电场(两者均不计重力)，这两个粒子都能射出电场，α粒子的质量是质子的4倍，带电荷量是质子的2倍，则质子和α粒子射出电场时的偏移量y之比为 A．1∶1　　 B．1∶2　　 C．2∶1 D．1∶4 √ 针对练2.(2024·广东梅州开学考试)如图，一束电子流在经U1＝5 000 V的加速电压后，沿两板中央垂直进入板长L＝5.0 cm、两板间距d＝1.0 cm的匀强电场，不计电子重力。若要使电子能在平行板间飞出，请写出电子在偏转电场中偏转位移y的表达式并分析偏转电压U2能否达到400 V(电子沿飞出平行板的临界轨迹运动时能飞出平行板)。 答案：y＝ 　U2能达到400 V 返回 知识点三　示波器 返回 1．构造 示波管是示波器的核心部件，外部是一个抽成真空的玻璃壳，内部主要由电子枪(由发射电子的灯丝和加速电极组成)、偏转系统[由一对水平(X)偏转板和一对竖直(Y)偏转板组成]和荧光屏三部分组成，如图所示。 2．原理 (1)扫描电压：XX′偏转板接入的是由仪器自身产生的锯齿形电压。 (2)灯丝被电源加热后，出现热电子发射，发射出来的电子经加速电场加速后，以很大的速度进入偏转电场，如果在Y偏转板上加一个信号电压，在X偏转板上加一个扫描电压，在荧光屏上就会出现按Y偏转电压规律变化的可视图像。 (2023·广东惠州高二期末)如图甲为示波管原理 图，若其内部竖直偏转电极YY′之间的电势差按图乙 所示的规律变化，水平偏转电极XX′之间的电势差按 图丙所示的规律变化，则在荧光屏上会看到的图形是 例4 √ 在0～2 t时间内，扫描电压扫描一次，信号电压完成一个周期，当UYY′为负的最大值时，电子向电极Y′偏转的距离最大，当UYY′为正的最大值时，电子向电极Y偏转的距离最大，因此D正确，A、B、C错误。 返回 随堂达标演练 返回 √ 1．(粤教版P44T1改编)电子被加速器加速后轰击重金属靶时，会产生射线，可用于放射治疗。图甲展示了一台医用电子直线加速器，其原理如图乙所示：从阴极射线管的阴极K发射出来的电子(速度可忽略)，经电势差的绝对值为U的电场加速后获得速度v，加速电场两极板间的距离为d，不计电子所受重力。下列操作可使v增大的是 A．仅增大U B．仅减小U C．仅增大d D．仅减小d 电子在电场中加速，由动能定理可得eU＝ mv2，解得v＝ ，易知可使v增大的操作是仅增大U，故A正确。 √ 2.(2023·广州实验中学高二期中)如图所示，一电荷量为q、质量为m的带电粒子以初速度v0由P点射入匀强电场，入射方向与电场线垂直。粒子从Q点射出电场时，其速度方向与电场线成30°角。已知匀强电场的宽度为d，不计重力作用。则匀强电场的场强E大小是 √ 3.如图所示，电子在电势差为U1的加速电场中由 静止开始运动，然后射入电势差为U2的两块水平 放置的平行极板间的电场中，射入方向跟极板平 行，整个装置处在真空中，电子的重力可忽略。 在满足电子能射出平行极板的条件下，下述四种情况，一定能使电子的速度偏转角θ变大的是 A．U1变大、U2变大 B．U1变小、U2变大 C．U1变大、U2变小 D．U1变小、U2变小 设电子被加速后获得的速度为v0，由动能定理得eU1＝ mv ，设平行极板长为l，电子在平行极板间运动的加速度为a， 4．(2024·广东深圳高二上期末)某示波管在 XX′、YY′不加偏转电压时光斑位于屏幕中 心，现给其施加如图(1)、(2)所示偏转电压， 则在光屏上将会看到下列哪个图形(圆为荧 光屏，虚线为光屏坐标) √ 由题图(1)可知，YY′方向加先正向减小后反向增大的电压，则电子先向Y偏转，偏转距离逐渐减小，然后向Y′方向偏转，偏转距离逐渐变大，即电子在YY′方向形成亮线，由题图(2)可知，XX′方向加正向恒定电压，则电子将向X偏转，且沿XX′方向的偏转距离相同，则电子在示波器上形成一条偏向X且平行YY′的直线，故C正确，A、B、D错误。 返回 课 时 测 评 返回 1.如图所示，在匀强电场E中，一带电荷量为－q(q>0)的粒子的初速度v0方向恰与电场线方向相同，不计重力，则带电粒子在开始运动时将 A．沿电场线方向做匀减速直线运动 B．沿电场线方向做变加速直线运动 C．沿电场线方向做匀加速直线运动 D．偏离电场线方向做曲线运动 √ 带负电粒子在电场中受到的电场力方向与电场线方向相反，粒子的初速度v0方向与电场线方向相同，所以该带电粒子受到的电场力方向与运动方向相反，带电粒子在开始运动时将沿电场线方向做匀减速直线运动，故A正确。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 √ 2.如图所示，在电量为＋Q的点电荷的电场中有A、B两点，将质子( H)和α粒子( He)分别从A点由静止释放到达B点时，它们的速度大小之比为 A．2∶1　　 B. ∶1　　 C．1∶2 D．1∶ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 √ 3．(多选)(2023·广东高二下学业考试)如图所示，平行板电容器极板间距为d，所加电压为U，极板间形成匀强电场。一个带正电的粒子从上极板由静止释放，经过时间t后到达下极板，在此过程中电场力做功为W。忽略重力影响，下列说法正确的有 A．若仅将d增大一倍，则W将保持不变 B．若仅将d增大一倍，则t将增大一倍 C．若仅将U增大一倍，则t将减小一半 D．若仅将U增大一倍，则W将增大一倍 √ √ 根据W＝qU可知，电量和电压不变，电场力做功不变，d增大一倍，电场强度E＝ ，变成原来的一半，加速度a＝ ，变为原来的一半， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 √ 4.如图所示，静止的电子在加速电压U1的作用下从O经P板的小孔射出，又垂直进入平行金属板间的电场，在偏转电压U2的作用下偏转一段距离。现使U1加倍，要想使电子的运动轨迹不发生变化，应该 A．使U2加倍　 B．使U2变为原来的4倍 C．使U2变为原来的 倍　 D．使U2变为原来的 设偏转电极板的长度为L，板间距离为d，则根据推论可知，偏转距离y＝ ，现使U1加倍，要想使电子的运动轨迹不发生变化，即y不变，则必须使U2加倍，故A正确。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 √ 5.如图所示，电子在电压为U1的加速电场中由静止开始运动，然后射入电压为U2的两块平行板间的电场中，射入方向跟极板平行，整个装置处在真空中，重力可忽略，在满足电子能射出平行板区的条件下，在下述四种情况中，一定能使电子侧移的距离变大的是 A．U1增大，U2减小 B．U1、U2均增大 C．U1减小，U2增大 D．U1、U2均减小 设电子被加速后获得的初速度为v0，则由动能定理得eU1＝ mv ，电子在电场中偏转所用时间t＝ ，又设电子在平行板间受电场力作用产生的加速度为a， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 √ 6.如图是示波管的示意图，从电子枪发出的电子通过两对偏转电极，如果偏转电极不加电压，则电子沿直线运动，打在荧光屏的中心O，当在两对偏转电极上同时加上电压后，电子将偏离中心打在某个位置，现已标出偏转电极所加电压的正负极，从示波管的右侧来看，电子可能会打在荧光屏上哪一位置 A．1位置　　 B．2位置　　 C．3位置 D．4位置 根据两对偏转电极所加电压可知，竖直方向的电场方向由Y指向Y′，则电子向Y方向偏转，水平方向的电场方向由X′指向X，则电子向X′方向偏转，因此电子可能会打在荧光屏上的2位置，选项B正确。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 √ 7．(多选)(2023·惠州一中高二月考)示波器可以用来观察电信号随时间变化的情况，核心部件是示波管，其示意图如下，XX′为水平偏转电极，YY′为竖直偏转电极，以下说法正确的是 A．XX′加图乙波形电压、YY′加图甲波形电压，屏上将出现两条竖直亮线 B．XX′加图丙波形电压、YY′加图乙波形电压，屏上在两个位置出现亮点 C．XX′加图丁波形电压、YY′加图甲波形电压，屏上将出现图甲所示图线 D．XX′加图丁波形电压、YY′加图乙波形电压，屏上将出现图丙所示图线 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 XX′加题图乙波形电压、YY′加题图甲波形电压，由示波器工作原理可知电子在电场的作用下，屏上将出现一条竖直亮线，A错误；XX′加题图丙波形电压，电子在水平电场作用下，左右周期性打在屏上，YY′加题图乙波形电压，屏上在两个位置出现亮点，B正确；XX′加题图丁波形电压，电子在屏上水平方向扫描，YY′加题图甲波形电压，屏上将出现题图甲所示图线，C正确；XX′加题图丁波形电压，电子在屏上水平方向扫描，YY′加题图乙波形电压，屏上将出现一条水平亮线，D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 √ √ 8.(多选)(2024·广东广州期末)如图所示，一束α粒子(不计重力)沿中心轴射入两平行金属板之间的匀强电场中后，分成三束a、b、c，则 A．初速度va＝vb<vc B．板内运动时间ta＝tb>tc C．动能变化量ΔEka＝ΔEkb>ΔEkc D．动能变化量ΔEka>ΔEkb>ΔEkc 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 由于ya＝yb>yc，则ta＝tb>tc，在平行于极板方向，由x＝v0t，得v0＝ ，对于a、b、c，由于xa<xb＝xc，ta＝tb>tc，故有va<vb<vc，故A错误，B正确；电势能变化量的大小等于电场力做功的大小，则ΔEp＝qEy∝y，即ΔEpa＝ΔEpb>ΔEpc，动能增加量等于电场力做的功，则ΔEka＝ΔEkb>ΔEkc，故C正确，D错误。故选BC。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 9．(多选)如图，一带正电的粒子从靠近A金属板的K点处由静止出发，经金属板A、B间加速电压U0加速后，沿直线运动打在光屏上的Q点；现再在金属板C、D间加上一偏转电压U1，粒子将打在光屏Q点正下方的P点。下列说法正确的是 A．A板带负电，C板带正电 B．若只把B板稍微右移，粒子经 过B板时的速度不变 C．若只把B板稍微右移，粒子在 AB板间运动的时间变长 D．若只把D板下移，粒子将打在P点下方 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 10．(10分)如图所示，某直线加速器由沿轴线分布的一系列金属圆管(漂移管)组成，相邻漂移管分别接在高频脉冲电源的两极。质子从K点沿轴线进入加速器并依次向右穿过各漂移管，在漂移管内做匀速直线运动，在漂移管间被电场加速，加速电压视为不变。设质子进入漂移管B时速度为8×106 m/s，进入漂移管E时速度为1×107 m/s，电源频率为1×107 Hz，漂移管间缝隙很小，质子在每个管内运动时间视为电源周期的 。质子的比荷取1×108 C/kg。求： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (1)漂移管B的长度； 答案：0.4 m 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (2)相邻漂移管间的加速电压。 答案：6×104 V 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 11．(11分)(2024·广东广州高二上期末)如图所示，A、B为两块足够大的水平放置的平行金属板，间距为d，板间电压为U，两板间有方向由A指向B的匀强电场。在金属板A的正中央位置有一个粒子源P，能以v0的初速度向金属板A以下的各个方向均匀射出质量为m、电荷量为＋q的粒子，粒子最终全部落在金属板B上。不计粒子所受重力、空气阻力以及粒子之间的相互作用力。求： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (1)粒子落在金属板B时的动能； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (2)粒子落在金属板B上的区域面积。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 带电粒子打在金属板上的范围是一个半径为R的圆。从粒子源平行于金属板水平射出的粒子在电场中做类平抛运动，落在金属板上的位置是该圆的边缘。根据R＝v0t，S＝πR2 解得S＝ 。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 12．(12分)(2023·广东韶关高二期中)如图所示，M、N两极板间加速电压为U1。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子(不计重力)在M板边缘的O1点静止释放后，沿着虚线O1O2进入电压为U2的偏转电场，偏转电场两极板长和两极板间的距离均为L，偏转电场右边有一长也为L的接收屏AB靠着极板右端放置，O2为AB的中点。已知该粒子刚好打在O2B的中点。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (1)求粒子进入偏转电场时初速度v0的大小； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (2)求U2与U1的比值n； 答案：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 (3)若将加速电压改为kU1，其他条件保持不变，要让粒子刚好打在NB的中点，求k的大小。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 谢 谢 观 看 ！ 第二章　 　静电场的应用 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 由动能定理有eU＝mv2，解得v＝ ，当改变两板间的距离时，U不变，v就不变，故A、B错误，C正确； 要使粒子到达距N板后返回，设此时两极板间电压为U1，粒子的初速度为v1，则由动能定理可得－q＝－mv，联立两式可得＝，故选项B、D正确。 如图所示，设粒子不与平行板相撞初速度方向：粒子通过电场的时间t＝ 电场力方向：加速度a＝＝离开电场时垂直于板方向的分速度vy＝at＝U 速度与初速度方向夹角的正切值tan θ＝＝U 离开电场时沿电场力方向的偏移量y＝at2＝U。 2．在加速电场中，由动能定理得qU1＝mv，解得v0＝。 根据偏移量计算公式y＝··()2以及动能表达式Ek＝mv，解得y＝，初动能相同，α粒子的带电荷量是质子的2倍，故y1∶y2＝1∶2，选项B正确。 加速过程，由动能定理有eU1＝mv 电子在偏转电场中做类平抛运动，水平方向有L＝v0t 竖直方向有y＝at2 A.　　 B. C.　　 D. 带电粒子在电场中做类平抛运动，由题意可得qE＝ma，由运动的合成与分解可知vy＝＝v0，由题意可知，在水平方向有d＝v0t，在竖直方向上有a＝，vy＝at，联立可得E＝，故选B。 位移变为原来的2倍，运动时间t＝，变为原来的2倍，故A、B正确；根据选项A、B的分析，U增大一倍，场强变为原来的2倍，加速度变为原来的2倍，位移不变，则运动时间变为原来的，故C错误；根据W＝qU可知，电量不变，U增大一倍，W增大一倍，故D正确。故选ABD。 由牛顿第二定律得a＝＝，由以上各式可得y＝at2＝··＝，当U1减小，U2增大时，一定能使电子侧移的距离变大，故C 正确。 解得t＝x，可知若把B板稍微右移，粒子在A、B板间运动的时间变长，C正确；粒子在C、D板间偏转，水平方向有L＝vt1，射出时的偏角满足tan θ＝＝，d变大，tan θ变小，则位移方向与初速度方向夹角的tan α变小，粒子将打在P点上方，D错误。故选BC。 设相邻漂移管间的加速电压为U，质子由B到E的过程中，根据动能定理得 3qU＝mv－mv 解得U＝6×104 V。 答案：qU＋mv　 板间电场强度的大小为E＝ 粒子受到的静电力为F＝qE 带电粒子在下落过程中只受电场力作用，由动能定理有qEd＝Ek－mv 解得粒子落在金属板B时的动能为Ek＝qU＋mv。 答案： 答案： 　 在加速电场中，由动能定理得 qU1＝mv 可得v0＝ 。 粒子在偏转电场中做类平抛运动，设运动时间为t1，加速度为a，粒子刚好打在O2B的中点，则 L＝v0t1，q＝ma，＝at 解得U2与U1的比值n＝＝1。 答案： 若将加速电压改为kU1，设粒子进入偏转电场时初速度大小为v1，由动能定理得 q·kU1＝mv 可得v1＝ 粒子刚好打在NB的中点，设在偏转电场中运动时间为t2，则＝v1t2，＝··t 解得k＝。 $$