2.2 带电粒子在电场中的运动（重难点专练）物理粤教版必修第三册

**基本信息** 聚焦带电粒子在电场中的运动，按运动类型分题型系统提炼解题方法，知识逻辑从基础到综合递进，培养科学思维与模型建构能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |带电粒子在匀强电场中的直线运动|5题（含2023浙江高考真题）|动能定理与牛顿定律选择；过程思维|从不计重力到计重力粒子，构建匀变速直线运动模型| |带电粒子在匀强电场中的类平抛运动|5题（含2022浙江高考真题）|正交分解法；拆分思维|初速度垂直电场条件下，分解为匀速与匀加速直线运动| |先加速后偏转的综合模型|5题（含示波管应用）|分段处理；二级结论应用|加速阶段动能定理与偏转阶段类平抛结合，建立多过程模型| |复合场中带电小球的运动|5题（含圆周运动临界问题）|等效重力法；能量守恒|重力与电场力合成，将复合场转化为单恒力场分析运动|

2.2带电粒子在电场中的运动 题型01 带电粒子在匀强电场中的直线运动 题型02 带电粒子在匀强电场中的类平抛运动 题型03 先加速后偏转的综合模型 题型04 复合场中带电小球的运动 ▌题型01 带电粒子在匀强电场中的直线运动 1. 核心知识点 ① 不计重力粒子：初速度与电场力共线，做匀变速直线运动； ② 两大工具：动能定理qU = - ；牛顿第二定律a= ； ③ 带电小球（计重力）：合力恒定，等效匀变速直线运动。 2. 解题方法 过程简单、涉及速度优先动能定理；需要时间、加速度、分段运动选用牛顿定律+运动学公式。 3. 解题思维 过程思维：分清初末状态，动能定理无需分析中间过程；区分粒子是否需要考虑重力。 1．（2023·浙江·高考真题）AB、CD两块正对的平行金属板与水平面成30°角固定，竖直截面如图所示。两板间距10cm，电荷量为、质量为的小球用长为5cm的绝缘细线悬挂于A点。闭合开关S，小球静止时，细线与AB板夹角为30°；剪断细线，小球运动到CD板上的M点（未标出），则（    ）      A．MC距离为 B．电势能增加了 C．电场强度大小为 D．减小R的阻值，MC的距离将变大 2．（2025·北京西城·二模）密立根油滴实验的示意图如图所示。两水平金属板上下放置，从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、电荷量不同、密度相同的小油滴。观察两个油滴a、b的运动情况：当两板间不加电压时，两个油滴在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为、；两板间加上电压后，两油滴很快达到相同的速率，均竖直向下匀速运动。油滴视为小球，所受空气阻力的大小，其中r为油滴的半径，v为油滴的速率，k为常量。不计空气浮力和油滴间的相互作用。则a、b两个油滴（　　） A．带同种电荷 B．半径之比为 C．质量之比为 D．电荷量之比为 3．（多选）（23-24高二上·广东深圳·期末）如图是滚筒式静电分选器的原理图，导体滚筒C和放电针G分别接于直流电源的正、负板，并令C接地。放电针G与滚筒C间施加高压并电离空气，颗粒经过电离空气后都带上电荷。颗粒直接掉落在F盘，颗粒被刮板D刮落到E盘。下列说法正确的是（　　） A．两种颗粒都具有良好的导电性 B．两种颗粒都具有良好的绝缘性 C．在分选过程中，两种颗粒都带负电 D．对调G、C间的极性，分离器仍能正常工作 4．（多选）（2025·广东深圳·二模）如图a所示是用电泳技术分离蛋白质的装置，溶液中有上下正对放置的平行金属板电极，溶液中甲、乙两个蛋白质颗粒与上下极板恰好等距。甲蛋白质颗粒质量是乙的两倍，带电量与pH值的关系如图b所示。未接通极板电源时，甲、乙颗粒均悬浮。现调节溶液pH=3，接通电源，不计粘滞阻力和甲乙之间的作用力。对于两种蛋白质颗粒，正确的说法是（　　） A．乙比甲先到达极板 B．甲、乙的电势能均减小 C．甲、乙受到的电场力方向相同 D．增大pH值，甲受到的电场力变大 5．（23-24高一下·江苏南京·期末）如图装置为直线加速器原理，多个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上，序号为奇数的圆筒和交变电源的一个极相连，序号为偶数的圆筒和该电源的另一个极相连。交变电源两极间电势差的变化规律如图乙所示。在时，奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为正值。此时位于和偶数圆筒相连的金属圆板（序号为0）中央有一个电子由静止开始加速，沿中心轴线进入圆筒1。为使电子运动到圆筒之间各个间隙中都能恰好使静电力的方向跟运动方向相同而不断加速，圆筒长度的设计必须遵照一定的规律。已知电子质量为、电荷量为e、电压绝对值为、周期为，电子通过圆筒间隙的时间可以忽略不计，求： （1）电子刚出第8个圆筒瞬间速度大小； （2）第8个圆筒长度； （3）若电子通过圆筒间隙的时间不可忽略，两圆筒间隙的电场为匀强电场，且圆筒间距为d，不考虑相对论效应，则在保持圆筒长度、交变电压的变化规律保持和（1）（2）完全相同的情况下，经过多少个圆筒可以让电子达到最大速度。 ▌题型02 带电粒子在匀强电场中的类平抛运动 1. 核心知识点 ① 条件：初速度垂直匀强电场；运动独立分解； ② 水平方向：匀速直线运动；电场方向：初速度为0匀加速； ③ 重要推论：速度反向延长线交于极板水平中点。 2. 解题方法 正交分解法，两个分运动单独列式，联立方程求解位移、偏转角、速度。 3. 解题思维 拆分思维：曲线运动拆解为两个简单直线运动；时刻牢记两分运动时间相等。 1．（2022·浙江·高考真题）如图所示，带等量异种电荷的两正对平行金属板M、N间存在匀强电场，板长为L（不考虑边界效应）。t=0时刻，M板中点处的粒子源发射两个速度大小为v0的相同粒子，垂直M板向右的粒子，到达N板时速度大小为；平行M板向下的粒子，刚好从N板下端射出。不计重力和粒子间的相互作用，则（　　） A．M板电势高于N板电势 B．两个粒子的电势能都增加 C．粒子在两板间的加速度 D．粒子从N板下端射出的时间 2．（2025·全国·模拟预测）如图甲，一长为L、板间距离为d的平行板电容器水平放置，一正离子源放置在电容器左端中轴线处，离子源能够源源不断地在单位时间内释放相同数目、速度方向均沿中轴线水平向右、速度大小为的正离子，正离子的质量为、电荷量为。从时刻起加一如图乙所示的周期性电场，此时A板电势高于B板。已知，且，不计离子的重力，下列说法正确的是（　　） A．时刻进入的正离子刚好击中B板右端点 B．时刻进入的正离子离开电容器时偏离轴线的距离为 C．时刻进入的正离子击中金属板A的右端点 D．离子源发射的正离子被平行板电容器收集的比例为50% 3．（23-24高三上·北京东城·期末）如图所示，示波管由电子枪、竖直方向偏转电极YY、水平方向偏转电极XX＇和荧光屏组成。电极YY＇、XX＇的长度均为l、间距均为d。若电子枪的加速电压为，XX＇极板间的电压为（X端接为高电势），YY＇极板间的电压为零。电子刚离开金属丝时速度可视为零，从电子枪射出后沿示波管轴线OO＇方向（O＇在荧光屏正中央）进入偏转电极。电子电荷量为e则电子（　　） A．会打在荧光屏左上角形成光斑 B．打在荧光屏上时的动能大小为 C．打在荧光屏上的位置与的距离为 D．打在荧光屏上时，速度方向与OO＇的夹角满足 4．（24-25高二上·湖北武汉·期末）如图所示，两平行金属板A、B长，两板间距离，A板比B板电势高500V，一个不计重力的带正电的粒子电荷量、质量，沿电场中心线RO垂直电场线飞入电场，初速度，粒子飞出平行板电场后，可进入界面MN和光屏PS间的无电场的真空区域，最后打在光屏PS上的D点（未画出）。已知界面MN与光屏PS相距12cm，O是中心线RO与光屏PS的交点。求： (1)粒子穿过界面MN时偏离中心线RO的距离； (2)粒子射出平行板电容器时的偏转角； (3)OD两点之间的距离。 5．（25-26高二上·河南南阳·开学考试）示波器可以用来观察电信号随时间变化的情况，示波管是电子示波器的心脏。在示波管中，电子通过电子枪加速，进入偏转电场，然后射到荧光屏上。在如图所示的示波管模型中，一个电荷量为q，质量为m的带负电粒子从灯丝K发出（初速度不计），经加速电场加速后，从AB板中心孔S沿中心线KO以速度v射入平行板电容器之间的偏转电场里偏转，穿出偏转电场后，再经过一段匀速直线运动最后打到荧光屏上的C点。已知平行板电容器两极板间的电压为U2，板长为2L，两板间的距离为d，两板右端到荧光屏的距离为L，不计带电粒子重力。求： (1)加速电场的电压U1； (2)带电粒子从偏转电场射出时的侧移量y和荧光屏上O、C的距离。 ▌题型03 先加速后偏转的综合模型 1. 核心知识点 ① 加速电场使用动能定理；偏转电场使用类平抛分解； ② 二级结论：偏转位移 y= ，偏转量与粒子比荷无关。 2. 解题方法 分段处理：加速阶段、偏转阶段分开列式，入射偏转电场的速度作为联系桥梁。 3. 解题思维 阶段化建模思维，不要把两个电场混为一体；选择题灵活使用二级结论简化计算。 1．（21-22高一下·湖南郴州·期末）如图所示，A为粒子源，A和极板B间的加速电压为，两水平放置的平行带电板C、D间的电压为。现有质量为m、电荷量为的粒子从A处由静止释放，被加速电压加速后水平进入竖直方向的匀强电场，最后从右侧射出。平行板C、D的长度为L，两板间的距离为d，不计带电粒子的重力，则下列说法正确的是（    ） A．带电粒子射出B板时的速度 B．带电粒子在C、D极板间运动的时间 C．带电粒子飞出C、D间电场时在竖直方向上发生的位移 D．若同时使和加倍，则带电粒子在飞出C、D极板间电场时的速度与水平方向的夹角不变 2．（2025·湖北·模拟预测）示波器是一种重要的电子测量仪器，其核心部件是示波管，示波管的原理示意图如图1所示。如果在电极之间所加的电压及在电极之间所加的电压分别按图2中实线及虚线所示的规律变化，则在荧光屏（XY轴上单位长度相等）上呈现出来的图形是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·陕西榆林·期中）如图所示，竖直平面直角坐标系xOy，第Ⅲ象限内固定有半径为R的四分之一光滑绝缘圆弧轨道BC，轨道的圆心在坐标原点O，B端在x轴上，C端在y轴上，同时存在大小为、方向水平向右的匀强电场。第Ⅳ象限与之间有大小为、方向竖直向下的匀强电场。现将一质量为m、电荷量为q的带负电小球从B点正上方高2R处的A点由静止释放，并从B点进入圆弧轨道，重力加速度为g。 (1)求小球经过C点时的速度大小； (2)小球在第Ⅲ象限运动到D点（未标出）速度最大，求的大小； (3)求小球运动到y轴右侧后与x轴的交点坐标。 4．（15-16高二上·山东临沂·阶段检测）如图所示，一真空示波管的电子从灯丝K发出（初速度不计），经灯丝与A板间的加速电场加速，从A板中心孔沿中心线KO射出，然后进入两块平行金属板M、N形成的偏转电场中（偏转电场可视为匀强电场），电子进入M、N间电场时的速度与电场方向垂直，电子经过电场后打在荧光屏上的P点。已知加速电压为U1，M、N两板间的电压为U2，两板间的距离为d，板长为L，偏转电场的右端到荧光屏的距离为x，电子的质量为m，电荷量为e，不计电子重力。 （1）求电子穿过A板时的速度大小v0； （2）求电子从偏转电场射出时的侧移量y； （3）求OP的距离Y。 5．（25-26高二上·安徽·开学考试）如图所示，xOy平面的第三象限内有水平放置的金属板M、N，板间为加速电场，两板间的电压为U，一电荷量为q、质量为 m的带正电粒子从A 点由静止开始加速，经B点进入第二象限内的辐向电场 （大小未知，方向均指向O），沿着半径为R 的圆弧虚线（等势线）运动，从C点进入第一象限。在第一象限 区域内存在沿 y轴负方向的匀强电场（大小未知），粒子从电场 右边界离开电场后最终打在坐标为（3L，-R）的 D 点，不同区域内的电场互不影响，不计粒子的重力。求： (1)粒子经过加速电场加速后到达 B 点时的速度大小； (2)圆弧虚线处电场强度 的大小； (3)若d=2L，则该区域匀强电场场强大小为多大。 ▌题型04 复合场中带电小球的运动 1. 核心知识点 ① 重力、电场力均为恒力，可以合成等效重力； ② 包含平衡、匀变速曲线、圆周运动三类考法；圆周运动存在等效最高点临界条件。 2. 解题方法 等效重力法；能量守恒（动能+重力势能+电势能总和不变）；受力分析优先。 3. 解题思维 等效替代思维：把两个恒力合并，将陌生复合场运动转化为熟悉的单恒力运动；警惕临界状态分析。 1．（2025·河北保定·二模）如图甲所示，两正对平行板AC、DB水平放置，在其右侧有汇聚状的电场，电场线的延长线的交点在O点（BC的中点），在两平行板间加上周期为T的交变电压，两板间电势差的绝对值为。时刻，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）从靠近上极板左端（视为A点）以水平向右的速度射入匀强电场，T时刻从下极板B点水平向右进入汇聚状电场做匀速圆周运动，经过半个圆周到达C点，到达C点时的速度方向水平向左，下列说法正确的是（　　） A．平行板的长度为 B．0.5T时刻，粒子的速度大小为 C．两平行板间的距离为 D．粒子在汇聚状电场中，受到的电场力大小为 2．（24-25高二下·江苏徐州·期中）如图所示，质量为m、电荷量为的离子从A处由静止释放，经电场加速后沿图中圆弧虚线匀速率地通过静电分析器，再从P点垂直进入矩形有界匀强电场CDQN，电场左侧QN为离子接收屏。已知静电分析器通道内有均匀辐射方向分布的电场，加速电场的电压为U，圆弧虚线的半径为R，，离子重力不计。求： (1)离子进入静电分析器时速度v的大小； (2)静电分析器圆弧虚线所在处电场强度E的大小； (3)若矩形匀强电场的场强，为确保离子打在屏上，屏QN至少要多长？ 3．（24-25高二上·浙江衢州·阶段检测）静止于A处的离子经加速电场加速后沿图中半径为R的圆弧虚线通过静电分析器，恰能沿虚线垂直NC由P点进入QNCD区域的匀强电场。在QNCD区域的左右两侧竖直放置了两块平行金属板，两板间加上一定的电压形成图示的匀强电场，静电分析器通道内有均匀辐向分布的电场，已知加速电场的电压为U，虚线位置场强方向如图所示；离子质量为m、电荷量为q；。离子重力不计。 (1)试判断离子带什么电？加速电场中左、右两极板哪板电势高？ (2)求虚线位置场强大小。 (3)要使离子恰好从Q点离开电场，试求NQ、CD两板间的电压和离子离开Q点时的动能； 4．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在平面内建立直角坐标系xOy，第II象限存在沿y轴负方向的匀强电场2E，其第III象限放置电场线沿半径方向指向圆心的静电分析器，第I、IV象限存在交变电场。A点坐标为处有一粒子源，将质量为m，电荷量为q的正点电荷（不计重力）源源不断地由静止释放。当点电荷运动到x轴时刚好射入静电分析器，而后做匀速圆周运动。t=0时刻，第一个粒子于坐标位置处垂直于y轴进入交变电场，其场强变化规律如图乙所示（y轴正方向为电场正方向）。在交变电场中存在两绝缘挡板，下板位于第IV象限，与x轴距离为d，并紧贴y轴。上板与下板平行放置，两板间距离为，两板长均为，求： (1)粒子第一次经过x轴的速度大小v； (2)静电分析器的电场强度大小E0； (3)在0~T时间内从y轴负半轴进入第四象限的粒子，能够从两板间离开的粒子数占进入粒子总数的百分比。 5．（24-25高一下·黑龙江·期末）如图所示，竖直固定、半径为R的光滑绝缘圆轨道处于水平向右的匀强电场中，一质量为m、电荷量为+q的带正电小球（可视为质点）在轨道内侧的P点处于静止，过P点的轨道半径与竖直方向的夹角θ=37°，某时刻，沿轨道切线方向给小球一初速度，使小球恰好能沿轨道做完整的圆周运动，sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度为g，求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)小球的初速度大小； (3)设P点的电势为零，小球在运动过程中的最小电势能。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2带电粒子在电场中的运动 题型01 带电粒子在匀强电场中的直线运动 题型02 带电粒子在匀强电场中的类平抛运动 题型03 先加速后偏转的综合模型 题型04 复合场中带电小球的运动 ▌题型01 带电粒子在匀强电场中的直线运动 1. 核心知识点 ① 不计重力粒子：初速度与电场力共线，做匀变速直线运动； ② 两大工具：动能定理qU = - ；牛顿第二定律a= ； ③ 带电小球（计重力）：合力恒定，等效匀变速直线运动。 2. 解题方法 过程简单、涉及速度优先动能定理；需要时间、加速度、分段运动选用牛顿定律+运动学公式。 3. 解题思维 过程思维：分清初末状态，动能定理无需分析中间过程；区分粒子是否需要考虑重力。 1．（2023·浙江·高考真题）AB、CD两块正对的平行金属板与水平面成30°角固定，竖直截面如图所示。两板间距10cm，电荷量为、质量为的小球用长为5cm的绝缘细线悬挂于A点。闭合开关S，小球静止时，细线与AB板夹角为30°；剪断细线，小球运动到CD板上的M点（未标出），则（    ）      A．MC距离为 B．电势能增加了 C．电场强度大小为 D．减小R的阻值，MC的距离将变大 【答案】B 【详解】A．根据平衡条件和几何关系，对小球受力分析如图所示    根据几何关系可得 联立解得 剪断细线，小球做匀加速直线运动，如图所示    根据几何关系可得 故A错误； B．根据几何关系可得小球沿着电场力方向的位移 与电场力方向相反，电场力做功为 则小球的电势能增加，故B正确； C．电场强度的大小 故C错误； D．减小R的阻值，极板间的电势差不变，极板间的电场强度不变，所以小球的运动不会发生改变，MC的距离不变，故D错误。 故选B。 2．（2025·北京西城·二模）密立根油滴实验的示意图如图所示。两水平金属板上下放置，从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、电荷量不同、密度相同的小油滴。观察两个油滴a、b的运动情况：当两板间不加电压时，两个油滴在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为、；两板间加上电压后，两油滴很快达到相同的速率，均竖直向下匀速运动。油滴视为小球，所受空气阻力的大小，其中r为油滴的半径，v为油滴的速率，k为常量。不计空气浮力和油滴间的相互作用。则a、b两个油滴（　　） A．带同种电荷 B．半径之比为 C．质量之比为 D．电荷量之比为 【答案】D 【详解】A．两板间加上电压后，两油滴很快达到相同的速率，可知油滴a做减速运动，油滴b做加速运动，可知两油滴带异种电荷， 故A错误； BCD．设油滴半径r，密度为，则油滴质量为 则速率为时受阻力大小为，则当油滴匀速下落时，有 联立解得 可得 则有 当再次下落时，对a由受力平衡得 其中 对b由受力平衡得 其中 联立解得 故BC错误，D正确。 故选D。 3．（多选）（23-24高二上·广东深圳·期末）如图是滚筒式静电分选器的原理图，导体滚筒C和放电针G分别接于直流电源的正、负板，并令C接地。放电针G与滚筒C间施加高压并电离空气，颗粒经过电离空气后都带上电荷。颗粒直接掉落在F盘，颗粒被刮板D刮落到E盘。下列说法正确的是（　　） A．两种颗粒都具有良好的导电性 B．两种颗粒都具有良好的绝缘性 C．在分选过程中，两种颗粒都带负电 D．对调G、C间的极性，分离器仍能正常工作 【答案】CD 【详解】C．由于C接正极，G接负极，则C上会有正电荷，放电针G周围形成很强的电场，使放电针G附近的空气电离而产生大量的电子和带正电的粒子，在电场力作用下，大量的电子或负离子被喷射到颗粒上，两种颗粒均带负电，C正确； AB．带负电的b颗粒因具有良好的导电性所以在与带正电的滚筒C接触后，其上的负电被滚筒C上的正电中和，然后带上正电，根据同种电荷相互排斥及重力作用下落于，带负电的a颗粒由于绝缘性，其所带负电不容易传给滚筒C，在滚筒C的静电吸引力作用下，附着于滚筒C的表面并随滚筒C转动，最后由刮板将其刮入E盘中，AB错误。 D．对调G、C间的极性，原理不变，两颗粒均带正电，导电性好的b颗粒还是落在F盘中，绝缘性好的a颗粒被刮入E盘中，分离器仍能正常工作，D正确。 故选CD。 4．（多选）（2025·广东深圳·二模）如图a所示是用电泳技术分离蛋白质的装置，溶液中有上下正对放置的平行金属板电极，溶液中甲、乙两个蛋白质颗粒与上下极板恰好等距。甲蛋白质颗粒质量是乙的两倍，带电量与pH值的关系如图b所示。未接通极板电源时，甲、乙颗粒均悬浮。现调节溶液pH=3，接通电源，不计粘滞阻力和甲乙之间的作用力。对于两种蛋白质颗粒，正确的说法是（　　） A．乙比甲先到达极板 B．甲、乙的电势能均减小 C．甲、乙受到的电场力方向相同 D．增大pH值，甲受到的电场力变大 【答案】AB 【详解】A．未接通极板电源时，甲乙颗粒均悬浮，重力等于浮力，调节溶液pH=3，从图中可知甲蛋白质颗粒带电量为-2q0，乙带电量为2q0，接通电源后电场强度一样，由牛顿第二定律可得 由于甲蛋白质颗粒质量是乙的两倍，故甲的加速度为乙的一半，二者到相应极板距离相同，则乙比甲先到达极板，故A正确； B．甲乙运动过程中电场力都做正功，电势能均减小，故B正确； C．甲乙带电性相反，受力方向相反，故C错误； D．由图可知，增大pH值，甲带的电荷量先减小后增大，故电场力也是先减小后增大，故D错误。 故选AB。 5．（23-24高一下·江苏南京·期末）如图装置为直线加速器原理，多个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上，序号为奇数的圆筒和交变电源的一个极相连，序号为偶数的圆筒和该电源的另一个极相连。交变电源两极间电势差的变化规律如图乙所示。在时，奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为正值。此时位于和偶数圆筒相连的金属圆板（序号为0）中央有一个电子由静止开始加速，沿中心轴线进入圆筒1。为使电子运动到圆筒之间各个间隙中都能恰好使静电力的方向跟运动方向相同而不断加速，圆筒长度的设计必须遵照一定的规律。已知电子质量为、电荷量为e、电压绝对值为、周期为，电子通过圆筒间隙的时间可以忽略不计，求： （1）电子刚出第8个圆筒瞬间速度大小； （2）第8个圆筒长度； （3）若电子通过圆筒间隙的时间不可忽略，两圆筒间隙的电场为匀强电场，且圆筒间距为d，不考虑相对论效应，则在保持圆筒长度、交变电压的变化规律保持和（1）（2）完全相同的情况下，经过多少个圆筒可以让电子达到最大速度。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）根据题意，由动能定理得 电子出第8个圆筒瞬间速度为 （2）电子在圆筒中做匀速直线运动，第8个圆筒长度为 （3）由于保持圆筒长度、交变电压的变化规律和（2）中相同，若考虑电子在间隙中的加速时间，则粒子进入每级圆筒的时间都要比（2）中对应的时间延后一些，如果延后累计时间等于，则电子再次进入电场时将开始减速，此时的速度就是装置能够加速的最大速度。 由于两圆筒间隙的电场为匀强电场，间距均为d，粒子在电场中后一个加速过程可以看为前一加速过程的延续部分，令经过N次加速，即经过N个圆筒达到最大速度，则有 根据动能定理有 解得 ▌题型02 带电粒子在匀强电场中的类平抛运动 1. 核心知识点 ① 条件：初速度垂直匀强电场；运动独立分解； ② 水平方向：匀速直线运动；电场方向：初速度为0匀加速； ③ 重要推论：速度反向延长线交于极板水平中点。 2. 解题方法 正交分解法，两个分运动单独列式，联立方程求解位移、偏转角、速度。 3. 解题思维 拆分思维：曲线运动拆解为两个简单直线运动；时刻牢记两分运动时间相等。 1．（2022·浙江·高考真题）如图所示，带等量异种电荷的两正对平行金属板M、N间存在匀强电场，板长为L（不考虑边界效应）。t=0时刻，M板中点处的粒子源发射两个速度大小为v0的相同粒子，垂直M板向右的粒子，到达N板时速度大小为；平行M板向下的粒子，刚好从N板下端射出。不计重力和粒子间的相互作用，则（　　） A．M板电势高于N板电势 B．两个粒子的电势能都增加 C．粒子在两板间的加速度 D．粒子从N板下端射出的时间 【答案】C 【详解】A．由于不知道两粒子的电性，故不能确定M板和N板的电势高低，故A错误； B．根据题意垂直M板向右的粒子，到达N板时速度增加，动能增加，则电场力做正功，电势能减小；则平行M板向下的粒子到达N板时电场力也做正功，电势能同样减小，故B错误； CD．设两板间距离为d，对于平行M板向下的粒子刚好从N板下端射出，在两板间做类平抛运动，有 对于垂直M板向右的粒子，在板间做匀加速直线运动，因两粒子相同，在电场中加速度相同，有 联立解得 ， 故C正确，D错误； 故选C。 2．（2025·全国·模拟预测）如图甲，一长为L、板间距离为d的平行板电容器水平放置，一正离子源放置在电容器左端中轴线处，离子源能够源源不断地在单位时间内释放相同数目、速度方向均沿中轴线水平向右、速度大小为的正离子，正离子的质量为、电荷量为。从时刻起加一如图乙所示的周期性电场，此时A板电势高于B板。已知，且，不计离子的重力，下列说法正确的是（　　） A．时刻进入的正离子刚好击中B板右端点 B．时刻进入的正离子离开电容器时偏离轴线的距离为 C．时刻进入的正离子击中金属板A的右端点 D．离子源发射的正离子被平行板电容器收集的比例为50% 【答案】C 【详解】A．时刻进入的正离子运动的如图线1所示，其偏移量为，， 离子击中B板的中点，A错误。 B．时刻进入的正离子的如图线2所示，其离开电容器时偏离轴线的距离为 离子沿中心轴线离开，B错误； C．时刻进入的正离子的如图线3所示， 即时刻进入的正离子击中金属板A的右端点，C正确； D．设时刻进入电场的离子刚好打到板上的如图线4所示， 解得 又因为时刻进入电容器的离子刚好打到板右端点，所以能够击中电容器两极板的离子进入电容器的百分比为 D错误。 故选C。 3．（23-24高三上·北京东城·期末）如图所示，示波管由电子枪、竖直方向偏转电极YY、水平方向偏转电极XX＇和荧光屏组成。电极YY＇、XX＇的长度均为l、间距均为d。若电子枪的加速电压为，XX＇极板间的电压为（X端接为高电势），YY＇极板间的电压为零。电子刚离开金属丝时速度可视为零，从电子枪射出后沿示波管轴线OO＇方向（O＇在荧光屏正中央）进入偏转电极。电子电荷量为e则电子（　　） A．会打在荧光屏左上角形成光斑 B．打在荧光屏上时的动能大小为 C．打在荧光屏上的位置与的距离为 D．打在荧光屏上时，速度方向与OO＇的夹角满足 【答案】D 【详解】A．根据题意可知，由于XX＇极板间的电压为（X端接为高电势），YY＇极板间的电压为零，则电子只是向左偏转，上下未发生偏转，则在水平轴线的左半段成光斑，故A错误； B．根据题意可知，电子在加速电场中运动，电场力做功为 电子在偏转电场中运动，电场力做功 由动能定理可知，由于电子刚离开金属丝时速度可视为零，打在荧光屏上时的动能大小为 故B错误； C．根据题意可知，电子在加速电场中运动，由动能定理有 电子在偏转电场中运动，则有 ，， 联立解得 设电极左端到荧光屏的距离为，电子离开电极后继续做匀速直线运动，由相似三角形可得 解得 即打在荧光屏上的位置与的距离为，故C错误； D．电子在偏转电场中运动，则有 ，， 解得 则速度方向与OO＇的夹角满足 故D正确。 故选D。 4．（24-25高二上·湖北武汉·期末）如图所示，两平行金属板A、B长，两板间距离，A板比B板电势高500V，一个不计重力的带正电的粒子电荷量、质量，沿电场中心线RO垂直电场线飞入电场，初速度，粒子飞出平行板电场后，可进入界面MN和光屏PS间的无电场的真空区域，最后打在光屏PS上的D点（未画出）。已知界面MN与光屏PS相距12cm，O是中心线RO与光屏PS的交点。求： (1)粒子穿过界面MN时偏离中心线RO的距离； (2)粒子射出平行板电容器时的偏转角； (3)OD两点之间的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）带电粒子垂直进入匀强电场后做类平抛运动，加速度为 水平方向有 竖直方向有， 联立解得 （2）设粒子射出平行板电容器时偏转角为，则 解得 （3）带电粒子在离开电场速度的反向延长线交水平位移的中点，设两界面、相距为，由相似三角形得 解得 5．（25-26高二上·河南南阳·开学考试）示波器可以用来观察电信号随时间变化的情况，示波管是电子示波器的心脏。在示波管中，电子通过电子枪加速，进入偏转电场，然后射到荧光屏上。在如图所示的示波管模型中，一个电荷量为q，质量为m的带负电粒子从灯丝K发出（初速度不计），经加速电场加速后，从AB板中心孔S沿中心线KO以速度v射入平行板电容器之间的偏转电场里偏转，穿出偏转电场后，再经过一段匀速直线运动最后打到荧光屏上的C点。已知平行板电容器两极板间的电压为U2，板长为2L，两板间的距离为d，两板右端到荧光屏的距离为L，不计带电粒子重力。求： (1)加速电场的电压U1； (2)带电粒子从偏转电场射出时的侧移量y和荧光屏上O、C的距离。 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）粒子在加速电场中，由动能定理可知 解得 （2）粒子在偏转电场中做类平抛运动，如图所示 垂直电场方向上有 沿电场方向上有 侧移量 联立解得 由几何关系可知 解得荧光屏上O、C的距离为 ▌题型03 先加速后偏转的综合模型 1. 核心知识点 ① 加速电场使用动能定理；偏转电场使用类平抛分解； ② 二级结论：偏转位移 y= ，偏转量与粒子比荷无关。 2. 解题方法 分段处理：加速阶段、偏转阶段分开列式，入射偏转电场的速度作为联系桥梁。 3. 解题思维 阶段化建模思维，不要把两个电场混为一体；选择题灵活使用二级结论简化计算。 1．（21-22高一下·湖南郴州·期末）如图所示，A为粒子源，A和极板B间的加速电压为，两水平放置的平行带电板C、D间的电压为。现有质量为m、电荷量为的粒子从A处由静止释放，被加速电压加速后水平进入竖直方向的匀强电场，最后从右侧射出。平行板C、D的长度为L，两板间的距离为d，不计带电粒子的重力，则下列说法正确的是（    ） A．带电粒子射出B板时的速度 B．带电粒子在C、D极板间运动的时间 C．带电粒子飞出C、D间电场时在竖直方向上发生的位移 D．若同时使和加倍，则带电粒子在飞出C、D极板间电场时的速度与水平方向的夹角不变 【答案】D 【详解】A．粒子从粒子源A到B板由动能定理得 故 故A错误； B．粒子在C、D间的运动时间 故B错误； C．粒子飞出C、D间时在竖直方向发生的位移 故C错误； D．若粒子飞出C、D极板间时速度与水平方向夹角为θ，则 同时使U1和U2加倍，夹角不变，故D正确。 故选D。 2．（2025·湖北·模拟预测）示波器是一种重要的电子测量仪器，其核心部件是示波管，示波管的原理示意图如图1所示。如果在电极之间所加的电压及在电极之间所加的电压分别按图2中实线及虚线所示的规律变化，则在荧光屏（XY轴上单位长度相等）上呈现出来的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在t=0时刻，和均为零，则电子会打到中心位置；和变化的周期相同，根据 偏转距离为， 可知 可知在荧光屏上呈现出来的图形是过原点且在一、三象限的亮线。 故选A。 3．（24-25高二上·陕西榆林·期中）如图所示，竖直平面直角坐标系xOy，第Ⅲ象限内固定有半径为R的四分之一光滑绝缘圆弧轨道BC，轨道的圆心在坐标原点O，B端在x轴上，C端在y轴上，同时存在大小为、方向水平向右的匀强电场。第Ⅳ象限与之间有大小为、方向竖直向下的匀强电场。现将一质量为m、电荷量为q的带负电小球从B点正上方高2R处的A点由静止释放，并从B点进入圆弧轨道，重力加速度为g。 (1)求小球经过C点时的速度大小； (2)小球在第Ⅲ象限运动到D点（未标出）速度最大，求的大小； (3)求小球运动到y轴右侧后与x轴的交点坐标。 【答案】(1) (2) (3)和 【详解】（1）带负电小球从A点由静止释放到C点过程，根据动能定理可得 解得 （2）在电场中，带负电小球受到的重力和电场力的合力大小为 解得 设重力和电场力的合力与竖直方向的夹角为θ，则有 解得 则当小球在第Ⅲ象限圆弧轨道BC上运动到D点与圆心连线沿重力和电场力的合力方向时，小球的速度最大，从A点由静止释放到D点过程，根据动能定理可得 解得 （3）在第四象限电场中，小球受到的电场力竖直向上、大小为 小球从C点以的速度进入第四象限内的电场中做类平抛运动，加速度大小为 解得，方向竖直向上，设小球在电场中经过x轴，则有， 解得， 可知小球刚好从电场的右边界经过x轴，此时小球竖直向上的分速度为 小球进入第一象限后做斜抛运动，之后再次经过x轴，根据斜抛运动规律有， 解得 则小球运动到y轴右侧后与x轴的交点坐标为和 4．（15-16高二上·山东临沂·阶段检测）如图所示，一真空示波管的电子从灯丝K发出（初速度不计），经灯丝与A板间的加速电场加速，从A板中心孔沿中心线KO射出，然后进入两块平行金属板M、N形成的偏转电场中（偏转电场可视为匀强电场），电子进入M、N间电场时的速度与电场方向垂直，电子经过电场后打在荧光屏上的P点。已知加速电压为U1，M、N两板间的电压为U2，两板间的距离为d，板长为L，偏转电场的右端到荧光屏的距离为x，电子的质量为m，电荷量为e，不计电子重力。 （1）求电子穿过A板时的速度大小v0； （2）求电子从偏转电场射出时的侧移量y； （3）求OP的距离Y。    【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）粒子在加速电场中加速，由动能定理有 解得 （2）粒子在偏转电场中做类平抛运动，根究类平抛运动的研究方法，垂直电场方向有 L＝v0t 则沿电场方向有 侧移量 联立解得 （3）根据粒子运动轨迹，即类平抛运动的推论，由几何关系可知    解得 5．（25-26高二上·安徽·开学考试）如图所示，xOy平面的第三象限内有水平放置的金属板M、N，板间为加速电场，两板间的电压为U，一电荷量为q、质量为 m的带正电粒子从A 点由静止开始加速，经B点进入第二象限内的辐向电场 （大小未知，方向均指向O），沿着半径为R 的圆弧虚线（等势线）运动，从C点进入第一象限。在第一象限 区域内存在沿 y轴负方向的匀强电场（大小未知），粒子从电场 右边界离开电场后最终打在坐标为（3L，-R）的 D 点，不同区域内的电场互不影响，不计粒子的重力。求： (1)粒子经过加速电场加速后到达 B 点时的速度大小； (2)圆弧虚线处电场强度 的大小； (3)若d=2L，则该区域匀强电场场强大小为多大。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设带电粒子经加速电场加速后的速度为v0，由动能定理有 解得 （2）在偏转电场中，由粒子所受的电场力提供向心力有 解得 （3）由题意可知，带电粒子在第一象限0＜x≤2L区域内做类平抛运动，设竖直方向上加速度为a，运动时间为t，第一象限电场强度为E2，带电粒子出电场时速度方向与水平方向的夹角为α。轨迹如图所示。 水平方向上有2L=v0t 竖直方向上有，vy=at 其中 根据几何关系有 联立解得 ▌题型04 复合场中带电小球的运动 1. 核心知识点 ① 重力、电场力均为恒力，可以合成等效重力； ② 包含平衡、匀变速曲线、圆周运动三类考法；圆周运动存在等效最高点临界条件。 2. 解题方法 等效重力法；能量守恒（动能+重力势能+电势能总和不变）；受力分析优先。 3. 解题思维 等效替代思维：把两个恒力合并，将陌生复合场运动转化为熟悉的单恒力运动；警惕临界状态分析。 1．（2025·河北保定·二模）如图甲所示，两正对平行板AC、DB水平放置，在其右侧有汇聚状的电场，电场线的延长线的交点在O点（BC的中点），在两平行板间加上周期为T的交变电压，两板间电势差的绝对值为。时刻，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）从靠近上极板左端（视为A点）以水平向右的速度射入匀强电场，T时刻从下极板B点水平向右进入汇聚状电场做匀速圆周运动，经过半个圆周到达C点，到达C点时的速度方向水平向左，下列说法正确的是（　　） A．平行板的长度为 B．0.5T时刻，粒子的速度大小为 C．两平行板间的距离为 D．粒子在汇聚状电场中，受到的电场力大小为 【答案】D 【详解】A．由于粒子在水平方向做匀速直线运动，故平行板的长度为 A错误； BC．时间内，粒子在水平方向做匀速直线运动，则有 竖直方向做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可得 竖直方向的速度 竖直方向上的位移 粒子在水平方向依然做匀速直线运动，竖直方向做加速度大小不变的减速运动，根据运动的对称性可知，粒子到达B点时竖直方向速度为零，竖直方向的位移大小依然为 故有 解得两平行板间的距离 时刻竖直方向的速度 故0.5T时刻，粒子的速度大小为 BC错误； D．由题可知，粒子在电场中做匀速圆周运动的半径 电场力为粒子圆周运动提供向心力，根据牛顿第二定律则有 联立解得，粒子圆周运动时所受电场力的大小为 D正确。 故选D。 2．（24-25高二下·江苏徐州·期中）如图所示，质量为m、电荷量为的离子从A处由静止释放，经电场加速后沿图中圆弧虚线匀速率地通过静电分析器，再从P点垂直进入矩形有界匀强电场CDQN，电场左侧QN为离子接收屏。已知静电分析器通道内有均匀辐射方向分布的电场，加速电场的电压为U，圆弧虚线的半径为R，，离子重力不计。求： (1)离子进入静电分析器时速度v的大小； (2)静电分析器圆弧虚线所在处电场强度E的大小； (3)若矩形匀强电场的场强，为确保离子打在屏上，屏QN至少要多长？ 【答案】(1) (2) (3)d 【详解】（1）离子在加速电场中加速，根据动能定理可得 解得 （2）离子在辐向电场中电场力提供向心力，根据牛顿第二定律可得 解得 （3）离子做类平抛运动，有 竖直方向，有y=vt 联立解得y=d 为确保离子打在屏上，屏QN至少为d。 3．（24-25高二上·浙江衢州·阶段检测）静止于A处的离子经加速电场加速后沿图中半径为R的圆弧虚线通过静电分析器，恰能沿虚线垂直NC由P点进入QNCD区域的匀强电场。在QNCD区域的左右两侧竖直放置了两块平行金属板，两板间加上一定的电压形成图示的匀强电场，静电分析器通道内有均匀辐向分布的电场，已知加速电场的电压为U，虚线位置场强方向如图所示；离子质量为m、电荷量为q；。离子重力不计。 (1)试判断离子带什么电？加速电场中左、右两极板哪板电势高？ (2)求虚线位置场强大小。 (3)要使离子恰好从Q点离开电场，试求NQ、CD两板间的电压和离子离开Q点时的动能； 【答案】(1)离子带正电，左极板电势高 (2) (3)， 【详解】（1）由题意可知，离子在静电分析器中做匀速圆周运动，电场力提供向心力，所以离子所受电场力的方向与场强方向一致，故离子带正电；由于离子在加速电场中由静止释放，受到向右的电场力，正电荷所受电场力的方向与场强方向一致，故加速电场中的电场线水平向右，则左极板电势高。 （2）在加速电场中，由动能定理 在静电分析器中由电场力提供向心力 联立解得虚线位置场强大小为 （3）离子做类平抛运动，恰好能打在Q点，设，则有 由牛顿第二定律得 联立解得NQ、CD两板间的电压 据动能定理 解得离子离开Q点时的动能为 4．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在平面内建立直角坐标系xOy，第II象限存在沿y轴负方向的匀强电场2E，其第III象限放置电场线沿半径方向指向圆心的静电分析器，第I、IV象限存在交变电场。A点坐标为处有一粒子源，将质量为m，电荷量为q的正点电荷（不计重力）源源不断地由静止释放。当点电荷运动到x轴时刚好射入静电分析器，而后做匀速圆周运动。t=0时刻，第一个粒子于坐标位置处垂直于y轴进入交变电场，其场强变化规律如图乙所示（y轴正方向为电场正方向）。在交变电场中存在两绝缘挡板，下板位于第IV象限，与x轴距离为d，并紧贴y轴。上板与下板平行放置，两板间距离为，两板长均为，求： (1)粒子第一次经过x轴的速度大小v； (2)静电分析器的电场强度大小E0； (3)在0~T时间内从y轴负半轴进入第四象限的粒子，能够从两板间离开的粒子数占进入粒子总数的百分比。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）带电粒子在第二象限中加速运动，由动能定理可知 解得 （2）带电粒子射入静电分析器，做匀速圆周运动，则有 解得 （3）带电粒子进入第四象限后在水平方向上做匀速直线运动，则可以从两板间离开的粒子，在两板间的运动时间为 设在前半个周期，t1时刻进入两板间的粒子可恰好从两板间离开，做出粒子在板间运动的v-t图像。 依题意，从板间离开的粒子的速度方向平行于两板，则t1时刻进入恰好离开的粒子当其运动到2T-2t1时，恰好打到上板竖直方向速度减为0，之后在竖直方向向下运动，最终从两板间离开。粒子沿y轴正方向的最大速度为 其中 粒子沿y轴负方向的最大速度为 依题意，有 解得 设在前半个周期，t2时刻进入两板间的粒子刚好从下极板边缘离开，粒子沿y轴正方向的最大速度为 粒子沿y轴负方向的最大速度为 依题意，有 解得 则在半个周期内，在时间段内进入的粒子可以从两板间离开，在后半个周期内进入的粒子将直接打到下板，综上所述，能够从两板间离开的粒子数占进入粒子总数的百分比为 5．（24-25高一下·黑龙江·期末）如图所示，竖直固定、半径为R的光滑绝缘圆轨道处于水平向右的匀强电场中，一质量为m、电荷量为+q的带正电小球（可视为质点）在轨道内侧的P点处于静止，过P点的轨道半径与竖直方向的夹角θ=37°，某时刻，沿轨道切线方向给小球一初速度，使小球恰好能沿轨道做完整的圆周运动，sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度为g，求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)小球的初速度大小； (3)设P点的电势为零，小球在运动过程中的最小电势能。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在P点，对小球受力分析，水平方向有 解得 （2）根据题意可知，小球做圆周运动的等效最高点在OP连线与圆轨道的上交点，小球恰好做完整的圆周运动，则在等效最高点，有 小球从P点运动到等效最高点，由动能定理有 联立解得 （3）由题意可知，小球在运动过程中的最小电势能位置位于圆周水平直径的右端点，由动能定理有 解得 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2带电粒子在电场中的运动 题型01 带电粒子在匀强电场中的直线运动 题型02 带电粒子在匀强电场中的类平抛运动 题型03 先加速后偏转的综合模型 题型04 复合场中带电小球的运动 ▌题型01 带电粒子在匀强电场中的直线运动 1. 核心知识点 ① 不计重力粒子：初速度与电场力共线，做匀变速直线运动； ② 两大工具：动能定理qU = - ；牛顿第二定律a= ； ③ 带电小球（计重力）：合力恒定，等效匀变速直线运动。 2. 解题方法 过程简单、涉及速度优先动能定理；需要时间、加速度、分段运动选用牛顿定律+运动学公式。 3. 解题思维 过程思维：分清初末状态，动能定理无需分析中间过程；区分粒子是否需要考虑重力。 1.B 2.D 3.CD 4.AB 5.【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）根据题意，由动能定理得 电子出第8个圆筒瞬间速度为 （2）电子在圆筒中做匀速直线运动，第8个圆筒长度为 （3）由于保持圆筒长度、交变电压的变化规律和（2）中相同，若考虑电子在间隙中的加速时间，则粒子进入每级圆筒的时间都要比（2）中对应的时间延后一些，如果延后累计时间等于，则电子再次进入电场时将开始减速，此时的速度就是装置能够加速的最大速度。 由于两圆筒间隙的电场为匀强电场，间距均为d，粒子在电场中后一个加速过程可以看为前一加速过程的延续部分，令经过N次加速，即经过N个圆筒达到最大速度，则有 根据动能定理有 解得 ▌题型02 带电粒子在匀强电场中的类平抛运动 1. 核心知识点 ① 条件：初速度垂直匀强电场；运动独立分解； ② 水平方向：匀速直线运动；电场方向：初速度为0匀加速； ③ 重要推论：速度反向延长线交于极板水平中点。 2. 解题方法 正交分解法，两个分运动单独列式，联立方程求解位移、偏转角、速度。 3. 解题思维 拆分思维：曲线运动拆解为两个简单直线运动；时刻牢记两分运动时间相等。 1.C 2.C 3.D 4.【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）带电粒子垂直进入匀强电场后做类平抛运动，加速度为 水平方向有 竖直方向有， 联立解得 （2）设粒子射出平行板电容器时偏转角为，则 解得 （3）带电粒子在离开电场速度的反向延长线交水平位移的中点，设两界面、相距为，由相似三角形得 解得 5.【答案】(1) (2)， 【详解】（1）粒子在加速电场中，由动能定理可知 解得 （2）粒子在偏转电场中做类平抛运动，如图所示 垂直电场方向上有 沿电场方向上有 侧移量 联立解得 由几何关系可知 解得荧光屏上O、C的距离为 ▌题型03 先加速后偏转的综合模型 1. 核心知识点 ① 加速电场使用动能定理；偏转电场使用类平抛分解； ② 二级结论：偏转位移 y= ，偏转量与粒子比荷无关。 2. 解题方法 分段处理：加速阶段、偏转阶段分开列式，入射偏转电场的速度作为联系桥梁。 3. 解题思维 阶段化建模思维，不要把两个电场混为一体；选择题灵活使用二级结论简化计算。 1.D 2.A 3.【答案】(1) (2) (3)和 【详解】（1）带负电小球从A点由静止释放到C点过程，根据动能定理可得 解得 （2）在电场中，带负电小球受到的重力和电场力的合力大小为 解得 设重力和电场力的合力与竖直方向的夹角为θ，则有 解得 则当小球在第Ⅲ象限圆弧轨道BC上运动到D点与圆心连线沿重力和电场力的合力方向时，小球的速度最大，从A点由静止释放到D点过程，根据动能定理可得 解得 （3）在第四象限电场中，小球受到的电场力竖直向上、大小为 小球从C点以的速度进入第四象限内的电场中做类平抛运动，加速度大小为 解得，方向竖直向上，设小球在电场中经过x轴，则有， 解得， 可知小球刚好从电场的右边界经过x轴，此时小球竖直向上的分速度为 小球进入第一象限后做斜抛运动，之后再次经过x轴，根据斜抛运动规律有， 解得 则小球运动到y轴右侧后与x轴的交点坐标为和 4.【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）粒子在加速电场中加速，由动能定理有 解得 （2）粒子在偏转电场中做类平抛运动，根究类平抛运动的研究方法，垂直电场方向有 L＝v0t 则沿电场方向有 侧移量 联立解得 （3）根据粒子运动轨迹，即类平抛运动的推论，由几何关系可知    解得 5.【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设带电粒子经加速电场加速后的速度为v0，由动能定理有 解得 （2）在偏转电场中，由粒子所受的电场力提供向心力有 解得 （3）由题意可知，带电粒子在第一象限0＜x≤2L区域内做类平抛运动，设竖直方向上加速度为a，运动时间为t，第一象限电场强度为E2，带电粒子出电场时速度方向与水平方向的夹角为α。轨迹如图所示。 水平方向上有2L=v0t 竖直方向上有，vy=at 其中 根据几何关系有 联立解得 ▌题型04 复合场中带电小球的运动 1. 核心知识点 ① 重力、电场力均为恒力，可以合成等效重力； ② 包含平衡、匀变速曲线、圆周运动三类考法；圆周运动存在等效最高点临界条件。 2. 解题方法 等效重力法；能量守恒（动能+重力势能+电势能总和不变）；受力分析优先。 3. 解题思维 等效替代思维：把两个恒力合并，将陌生复合场运动转化为熟悉的单恒力运动；警惕临界状态分析。 1.D 2.【答案】(1) (2) (3)d 【详解】（1）离子在加速电场中加速，根据动能定理可得 解得 （2）离子在辐向电场中电场力提供向心力，根据牛顿第二定律可得 解得 （3）离子做类平抛运动，有 竖直方向，有y=vt 联立解得y=d 为确保离子打在屏上，屏QN至少为d。 3.【答案】(1)离子带正电，左极板电势高 (2) (3)， 【详解】（1）由题意可知，离子在静电分析器中做匀速圆周运动，电场力提供向心力，所以离子所受电场力的方向与场强方向一致，故离子带正电；由于离子在加速电场中由静止释放，受到向右的电场力，正电荷所受电场力的方向与场强方向一致，故加速电场中的电场线水平向右，则左极板电势高。 （2）在加速电场中，由动能定理 在静电分析器中由电场力提供向心力 联立解得虚线位置场强大小为 （3）离子做类平抛运动，恰好能打在Q点，设，则有 由牛顿第二定律得 联立解得NQ、CD两板间的电压 据动能定理 解得离子离开Q点时的动能为 4.【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）带电粒子在第二象限中加速运动，由动能定理可知 解得 （2）带电粒子射入静电分析器，做匀速圆周运动，则有 解得 （3）带电粒子进入第四象限后在水平方向上做匀速直线运动，则可以从两板间离开的粒子，在两板间的运动时间为 设在前半个周期，t1时刻进入两板间的粒子可恰好从两板间离开，做出粒子在板间运动的v-t图像。 依题意，从板间离开的粒子的速度方向平行于两板，则t1时刻进入恰好离开的粒子当其运动到2T-2t1时，恰好打到上板竖直方向速度减为0，之后在竖直方向向下运动，最终从两板间离开。粒子沿y轴正方向的最大速度为 其中 粒子沿y轴负方向的最大速度为 依题意，有 解得 设在前半个周期，t2时刻进入两板间的粒子刚好从下极板边缘离开，粒子沿y轴正方向的最大速度为 粒子沿y轴负方向的最大速度为 依题意，有 解得 则在半个周期内，在时间段内进入的粒子可以从两板间离开，在后半个周期内进入的粒子将直接打到下板，综上所述，能够从两板间离开的粒子数占进入粒子总数的百分比为 5.【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在P点，对小球受力分析，水平方向有 解得 （2）根据题意可知，小球做圆周运动的等效最高点在OP连线与圆轨道的上交点，小球恰好做完整的圆周运动，则在等效最高点，有 小球从P点运动到等效最高点，由动能定理有 联立解得 （3）由题意可知，小球在运动过程中的最小电势能位置位于圆周水平直径的右端点，由动能定理有 解得 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $