专题09解三角形综合大题（13题型+提分快招）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（天津专用）

专题09 解三角形综合大题 目录 题型01 解三角形基础思维：正弦化边求角 1 题型02 解三角形基础思维：余弦角化边求角 3 题型03 解三角形基础思维：面积的加入 5 题型04 最值与范围：基础型（角与对边） 7 题型06 最值与范围：分式比值型 12 题型07 最值与范围：无边转化型 15 题型08 图形：中点与中线型 16 题型09 图形：高 19 题型10 图形：角平分线型 21 题型11 图形：双三角行定比分点型 23 题型12图形：四边形 26 题型13 三角函数中的压轴题 29 冲高考 33 题型01 解三角形基础思维：正弦化边求角 【解题规律·提分快招】 对于sin（）与cos（） 简称为“正余余正，余余正正” 恒等变形和化简求角中，有如下经验： 1、 SinC=Sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB:正用。逆用；见A与B的正余或者余正，不够，找sinC拆 2、 边的齐次式，正弦定理转为角的正弦； 3、 cosC=-cos(A+B)=-[cosAcosB-sinAsinC] 【典例1-1】 （24-25高三上·天津和平·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，,满足． (1)求角的大小； (2)设，. （i）求边的值； （ii）求的值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式求解即可； （2）（i）利用余弦定理求解即可；（ii）利用二倍角公式，两角差的正弦公式即可求解． 【详解】（1）由，根据正弦定理得，， 可得，因为，故，则，又，所以； （2）由（1）知，，且，，（i）则，即， 解得或（舍），故； （ii）由，得，解得，则， 则，， 所以. 【典例1-2】 （24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）在三角形中，内角的对边分别为，已知 (1)求； (2)若 （i）求； （ii）求. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）由题设结合正弦定理边化角和两角和的正弦公式即可计算求解. （2）（i）先由（1）求出，再由题设结合正弦定理即可计算求解. （ii）由（i）求出，接着由倍角公式求出，再由结合两角和的正弦公式即可计算求解. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，即，又，则，所以. （2） （i）由（1）可得，若，则由正弦定理得即，所以. （3） （ii）因为，，， 所以，故， 所以， 所以 . 【变式1-1】 （24-25高三上·天津河西·期末）在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)设. （i）求的值； （ii）求的值. 【答案】(1)；(2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理及和角的正弦公式化简求解. （2）（i）由（1）的结论，利用余弦定理求出；（ii）利用正弦定理求出，再利用同角公式、二倍角的正切及差角的正切公式计算得解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 即，则， 由，得，又，所以. （2）（i）由（1）及余弦定理，得， 整理得，而，解得，所以. （ii）由正弦定理，得， 由，得，则， 因此，所以. 题型02 解三角形基础思维：余弦角化边求角 【解题规律·提分快招】 余弦定理： 1.若式子含有的2次齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边” 2.面积和2次齐次式，可构造余弦定理 【典例1-1】 （24-25高三上·天津河东·期末）的内角的对边分别为，已知，． (1)求； (2)若，求． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据正余弦定理角化边即可得出答案； （2）先利用余弦定理求出,再根据同角三角函数的关系求出，以及二倍角公式求出和，最后再根据正弦的差角公式即可得出答案. 【详解】（1）因为，由余弦定理有：，所以； 因为，由正弦定理得：，所以， 所以． （2）因为，所以， ， ． 【典例1-2】 （23-24高一下·天津静海·阶段练习）已知在锐角中，角A，，所对的边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)当时，求面积的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，由余弦定理及同角三角函数的基本关系化简求解即可； （2）利用正弦定理将边化角，结合三角形面积公式和三角恒等变化可得，再由正切函数的值域求解即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 由余弦定理，即，所以，又为锐角，所以． （2）由正弦定理得，，则， 由，可得，所以，即，则， 所以面积的取值范围. 【变式1-1】 （24-25高三下·广西·开学考试）的内角所对的边分别为，， (1)求角的大小; (2)若，的延长线交于点，且，求的面积. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据同角关系以及正弦定理边角互化可得，即可利用余弦定理求解， （2）根据重心的性质可得，即可利用向量的线性运算以及模长公式可得，结合余弦定理可得，即可根据面积公式求解 【详解】（1），，， 所以原式可化为， 由正弦定理得：，由余弦定理得：， （2）设中点为，则， 且三点共线， 同理可得点为三条中线的交点，点为的重心， 为中点，， ，平方得：， ①， 又由余弦定理得：，即② 由①②得：， 题型03 解三角形基础思维：面积的加入 【解题规律·提分快招】 三角形面积 ： ①S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝ ②S△ABC＝(a＋b＋c)·r(r是切圆的半径) 【典例1-1】 （新疆维吾尔自治区2025届高三普通高考第一次适应性检测数学试题）在中，角所对的边分别为，其面积. (1)求的值； (2)若，且，求. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据三角形面积公式，结合正弦定理即可求解， （2）根据正弦定理边化角可求解，进而利用同角关系求解的正余弦，即可根据余弦的和差角公式求解，进而利用余弦定理即可求解. 【详解】（1）由已知得，由正弦定理可得：， . （2）由可得，由（1）可得，解得，， ，， ， 由余弦定理得：. 【典例1-2】 （24-25高三上·湖南·阶段练习）已知，，，分别是角，，的对边，的面积． (1)证明：； (2)若为的平分线，交于点，且，，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由三角形的面积公式以及正弦定理的边角互化代入计算，即可证明； （2）根据题意，由等面积法以及三角形的面积公式代入计算可得，再由余弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）证明：因为，化简得， 由正弦定理，得，又，所以，整理得．又，为的内角，所以，即． （2）因为为的平分线，且，所以， 所以，在等腰三角形中，．① 又，∴，则， 化简得，又，∴．② ①代入②，得，解得或（舍去），∴， 在中，由余弦定理得，∴． 【变式1-1】 （24-25高三上·江苏·阶段练习）记的内角的对边分别为，面积为，已知 (1)求； (2)若边上的高为1且，求的面积． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用三角形面积公式可得，进而边化角，利用三角恒等变换可求得，可求； （2）由已知结合正弦定理可得，在中，作于点为边上的高，即，设，可得，利用，可求得，从而可求面积. 【详解】（1）且即 由正弦定理得 ∵在中，，即． （2），由正弦定理得 在中，作于点为边上的高，即 设为上的四等分点，中，。中， 且 ， ． 题型04 最值与范围：基础型（角与对边） 【解题规律·提分快招】 解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路： ①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 【典例1-1】 （22-23高一下·天津南开·期末）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)已知， （ⅰ）若的面积为，求的周长； （ⅱ）求周长的取值范围． 【答案】(1)(2)； 【分析】（1）由正弦定理及两角差的正弦公式，可得，在三角形中可得的关系，进而可得角的大小关系； （2）（ⅰ）由三角形的面积，可得的值，再由余弦定理可得的值，进而求出三角形的周长； （ⅱ）由余弦定理及均值不等式可得的范围，再由三角形中两边之和大于第三边，可得的范围，进而求出三角形的周长的范围. 【详解】（1）由题意及正弦定理可得， 整理可得：，即， 在三角形中，可得，即，解得. （2）（ⅰ），可得， 由余弦定理可得，又，则，解得， 所以三角形的周长为. （ⅱ）,又，则，当且仅当时取等号，解得，而，所以， 所以三角形的周长为. 【典例1-2】 （23-24高一下·天津·期中）已知，． (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，求面积的最大值． 【答案】(1)的最小正周期为，单调递减区间为， (2)面积的最大值为. 【分析】（1）化简得，结合正弦型函数的周期公式及正弦函数性质可求结论； （2）由，可得，结合正弦定理可得，根据三角形面积公式表示的面积，结合条件及正弦函数性质可求其最值. 【详解】（1）由，化简得， 。所以． 的最小正周期；当时， 化简得，，所以函数单调递减区间为：； （2）因为，所以 因为，所以，所以，故． 又 由正弦定理可得，所以， 所以，所以， 所以，所以， 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，故，所以，当且仅当时等号成立， 故当时，面积取最大值，最大值为. 【变式1-1】 （23-24高一下·天津·期中）的内角的对边分别为已知. (1)若的周长等于3，求； (2)若为锐角三角形，且； ①求； ②求面积的取值范围. 【答案】(1)(2)①；② 【分析】（1）利用余弦定理求出的关系，再结合三角形的周长即可得解； （2）①根据三角形内角和定理结合二倍角的正弦公式即可得解；②先求出角的范围，再利用正弦定理求出边，再根据三角形的面积公式结合三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）由余弦定理及已知条件得，， 又因为的周长等于3，所以，得。联立方程组， 解得； （2）①根据题意，得， 因为，所以，所以，所以， 所以，所以； ②因为是锐角三角形，由①知得到， 故，解得，由正弦定理，得， 又，所以，所以 ， 又因，故，所以， 故的取值范围是.题型05 最值与范围：非对称型 【解题规律·提分快招】 非对称型结构 结构特征： “非齐次或者不对称结构”，用正弦定理消角化一，角度范围是否受限，是关键计算点 【典例1-1】 （20-21高三下·湖北·阶段练习）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，． (1)求角B的大小． (2)若△ABC为锐角三角形，．求的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理求得正确答案. （2）利用正弦定理转化，结合三角函数值域的求法求得正确答案. 【详解】（1）依题意，，由正弦定理得， 所以为锐角，所以. （2）由正弦定理得，所以 ，由于三角形是锐角三角形，所以，解得， 所以，所以，所以，即的取值范围是. 【典例1-2】 （21-22高二上·江西九江·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求A的大小； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合余弦定理即可得出答案； （2）根据正弦定理可得，再根据降幂公式及辅助角公式化简，即可得出答案. 【详解】解：（1）因为， 所以，即，所以，又，所以； （2）因为，所以，则 ， 因为，所以． 【变式1-1】 （24-25高三下·安徽·开学考试）已知 中，角 所对的边分别为 ，已知 . (1)求 的大小； (2)若 ，求 外接圆的半径； (3)若点 在线段 上， ， ，求 的最小值. 【答案】(1)(2)2(3) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化以及三角恒等变换即可求解， （2）由余弦定理可求解，即可利用正弦定理求解， （3）利用等面积法可得，即可利用基本不等式的乘“1”法求解. 【详解】（1）由可得 ， 由正弦定理得， 由于,故，因为,故， （2）由余弦定理可得， 由得，解得所以， 所以的外接圆半径为， （3）因为，所以， 又，故，故即， 则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为. 题型06 最值与范围：分式比值型 【解题规律·提分快招】 最值范围：分式比值型 化边为角型 1. 通过正余弦定理，把边转化为角。 2. 利用特殊角，消角，以分母角度为住元，消去分子角度，转化为分母角度的单变量函数形式 3. 对单变量（单角）求最值。 【典例1-1】 （2020·全国·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小；(2)若，求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由二倍角的正弦公式、余弦定理化简已知式可得，进而求出的值，结合，可求出. （2）由三角恒等变换的应用可求，由题意可求出，由正切函数的性质求解即可. 【详解】（1）由 ，所以，可得：， 即，由余弦定理可得：， 又，所以. （2）由 ，因为，所以，又， 所以，所以，得， 所以，所以，所以. 的取值范围为. 【典例1-2】 （22-23高一下·新疆·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足． (1)求角A； (2)若，求周长的最大值； (3)求的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据正弦定理与得到，从而求出； （2）由余弦定理和基本不等式求出，从而得到周长的最大值； （3）利用正弦定理，结合三角恒等变换得到，换元后，配方求出最值，得到取值范围. 【详解】（1），由正弦定理得， ， 因为， 所以， 即，因为，所以，故， 所以，因为，所以，故，解得； （2）由（1）知，又，由余弦定理得， 即，所以，由基本不等式可知， 所以，解得，当且仅当时，等号成立， 故的周长最大值为； （3）由（1）知，则 ，令， 因为，所以，， 则，故当时，取得最小值，最小值为， 当时，取得最大值，最大值为，故的取值范围是. 【变式1-1】 （23-24高一下·天津东丽·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积； (3)若锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）根据已知条件和正弦定理，将边化为角，利用三角函数关系即可求出A的大小； （2）结合余弦定理求出bc，从而可求面积； （3）结合正弦定理求出a，根据是锐角三角形求出B的范围，利用正弦定理用B表示b，将化为关于sinB的式子，利用对勾函数单调性即可求其范围. 【详解】（1）由及正弦定理得：， 因为，所以，又，， ，又，故； （2）由余弦定理，又，所以，所以， 由可得，故的面积； （3）由正弦定理可知，故，因为是锐角三角形， 所以，所以， 令，，， 由对勾函数的性质可知，当时，y单调递增；当，y单调递减； 当时，；当时，；当时，； 因为，所以，故. 【点睛】关键点点睛：本题第3小问解决的关键在于，利用锐角三角形的条件得到，从而得解. 题型07 最值与范围：无边转化型 【典例1-1】 （22-23高一下·天津·期中）在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据三角恒等变换和正弦定理的得到，进而由余弦定理得到，求出角； （2）由三角函数和差公式求出，由,求出取值范围. 【详解】（1）因为， 所以，整理得， 由正弦定理得，由余弦定理得，因为，所以. （2） 在中，因为，三角形是锐角三角形，,所以， 所以，所以，所以， 所以的取值范围为. 【典例1-2】 （陕西省榆林市2025届高三上学期第二次模拟检测数学试题）在中，角，，所对的边分别为，，.已知. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）解法1，将已知等式中的角利用正弦定理和余弦定理统一成边的形式，再利用余弦定理可求出角；解法2，利用三角函数恒等变换公式化简可求出角； （2）由（1）得，，则，化简后利用正切函数的性质可求得结果. 【详解】（1）解法1：在中，由及正弦定理得，， 再由余弦定理，得，则， 又因为，所以，因为，所以. 解法2：因为，，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以，因为，所以. （2）因为，所以，， 所以， 因为，所以，所以，所以. 【变式1-1】 （24-25高三上·山东青岛·期末）已知内角的对边分别为，． (1)证明：； (2)求的最小值． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）利用余弦定理、正弦定理及和差角的正弦公式推理得证. （2）由（1）的结论，利用和角的正弦及二倍角公式化简，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）在中，由及余弦定理，得， 整理得，由正弦定理得， 则 于是或（不成立），所以. （2）由（1）知，，， 则 ， 由，得，， 因此， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 题型08 图形：中点与中线型 【解题规律·提分快招】 中线的处理方法 1.向量法： 2. 补全为平行四边形。再转而在新三角形中用正余弦定理 【典例1-1】 （2024·天津河西·模拟预测）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点． (1)求中线AM的长； (2)求的余弦值； (3)求面积． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）运用中线长的向量表达式，结合数量积定义可解； （2）转化为向量夹角余弦值可解； （3）运用重心的性质，结合面积公式可解. 【详解】（1）因为为BC的中点，， ，. （2）因为, ，. （3）为中线的交点，为重心，， ，， . 【典例1-2】 （23-24高一下·天津滨海新·期末）已知的三个内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若的面积是，求； (3)若为边上一点，且满足，，试求的最大值． 【答案】(1)；(2)；(3)最大值为4． 【分析】（1）用余弦定理即可求解； （2）利用三角形面积公式即可求解； （3）取的中点为，先证明，得到为等边三角形，再结合余弦定理和基本不等式求解即可． 【详解】（1）由余弦定理可得， 又，即，，，； （2），， 又，，，，； （3）取的中点为，则，   ， ，，又，为等边三角形，， 在中，由余弦定理可得， 即， 又由基本不等式可得， ，当且仅当时等号成立， ，的最大值为4． 【变式1-1】 （2024·天津河北·一模）在中，角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若，求的值； (3)若为的中点，且，求的面积. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式，计算可得答案. （2）利用和差角公式和二倍角公式，计算可得答案. （3）利用余弦定理，整理出方程，计算可得答案. 【详解】（1），由正弦定理，得 ， ，，， （2），，， （3）中，由余弦定理，得，， 中，由余弦定理，得，， 联立，得，，代入，解得， 的面积. 题型09 图形：高 【解题规律·提分快招】 三角形高的处理方法： 1.等面积法：两种求面积公式 如 2.三角函数法： 【典例1-1】 （19-20高一下·天津东丽·期末）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，． (1)求A、b； (2)设D为BC边上一点，且，求的面积． 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用正弦定理可求得的值，结合角A的取值范围可求得角A的值，利用余弦定理可得出关于b的二次方程，可求得b的值； （2）利用正弦定理求得、以及BD的长，再利用三角形的面积公式可求得的面积． 【详解】（1）∵，由正弦定理得， ∵，则，故，可得，∵，则， 由余弦定理可得，整理得，∵，因此，； （2）如下图所示：    由正弦定理可得，可得， ，∵，故C为锐角，则， ∵，则，在中，， 由正弦定理，可得， 因此，． 【典例1-2】 （22-23高一下·天津和平·期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，. (1)求A，b； (2)设D为BC边上一点，且，求的面积. 【答案】(1)，；(2). 【分析】（1）由辅助角公式化简已知式可求出，再由余弦定理即可求出的值； （2）由余弦定理可求出，在中，可求出，所以，可得，求出的面积即可求出的面积. 【详解】（1）中，，所以，即， 因为，所以，所以，解得， 又因为，，由余弦定理可得， 即，即，解得（舍去）或，所以； （2）因为，所以， 所以，因为，所以在中，解得， 因为，所以， 因为， 所以的面积为.      【变式1-1】 （17-18高三上·河北石家庄·阶段练习）的内角的对边分别为，已知，． (1)求； (2)设为边上一点，且，求的面积． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）先由求得，再由余弦定理求得即可； （2）先由余弦定理求得，再求出，最后由面积公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以，所以．在中，由余弦定理得， 即，解得（舍去），． （2） 因为，由余弦定理得，又，即是直角三角形，所以， 则，又，则，所以的面积为． 题型10 图形：角平分线型 【解题规律·提分快招】 三角形角平分线的处理方法： 角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）： 【典例1-1】 （23-24高一下·天津静海·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，． (1)求的大小； (2)已知，，设为边上一点，且为角的平分线，求的面积． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式可求得，由此可得； （2）利用余弦定理可求得，利用面积桥可构造方程求得，由此可得. 【详解】（1）由正弦定理得：， ， ，，，又，. （2）由余弦定理得：，解得：（舍）或， ，，；   ， ， ，. 【典例1-2】 （2024高二上·贵州·学业考试）的内角，，所对的边分别为，，，且，. (1)若，则________； (2)若，则的面积为________； (3)已知的角平分线交于，求的最大值. 【答案】(1)4(2)(3)3 【分析】（1）根据题意，由直角三角形求解即可；（2）结合面积公式求解即可； （3）由余弦定理得出的关系，再由角平分线的性质及三角形面积公式建立关于的方程，化简后再换元求最值即可. 【详解】（1）因为，所以，即. （2）当时，，由（1）知，所以， 所以. （3）由余弦定理可得, 即，可得，当且仅当时等号成立， 所以，由面积公式可得， 即，所以，所以， 令，则，所以当时，有最小值，有最大值， 即三角形为正三角形时，有最大值3. 【点睛】关键点点睛：本题的第三问关键在于利用面积公式建立关于的表达式，再平方后运用余弦定理得到的条件，转化为二次函数求最值，难度较大. 【变式1-1】 （23-24高一下·贵州遵义·期末）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求角B； (2)若点D在上，为的角平分线，，求的最小值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理进行角换边，再结合余弦定理即可得到答案； （2）根据面积法得，再利用乘“1”法即可得到最小值. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得，即， 又因为，则，因为，所以. （2）因为所以， 因为，所以，所以，即， 所以， 当且仅当时，取得最小值. 题型11 图形：双三角行定比分点型 【解题规律·提分快招】 三大线型引申：定比分点型 如图，若BD=tBC型，称D为定比分点，可以从以下思维入手： 1. 双三角形余弦定理： （1）ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD ADcos （2）ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD ADcos(Π-） 2.向量法： 【典例1-1】 （22-23高一下·天津滨海新·期末）在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角的值； (2)若，且的面积. （i）求证：； （ii）已知点在上，且满足，延长到，使得，连接，求. 【答案】(1)(2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）利用将，化为，即可求角的值； （2）（i）由三角形面积公式得，，化为，结合余弦定理可得结论；（ii）由（i）得，判断为的角平分线，设，求得，再根据余弦定理得答案. 【详解】（1）在中，∵，∴∴， ，∴，∵， ∴，∵，∴. （2）（i）由三角形面积公式得，，∴， 由余弦定理得，，∴， ∵，∴，∴； （ii）由（i）得，，∴，取的中点，所以， 则设，则H再CE上，因为，所以， 平行四边形ACGH是菱形，∴即为的角平分线， 设，∵为角的平分线，∴∴在中，， ∵，∴，在中，，∴ ∵，∴，又∵，∴为等边三角形，∴. 在中，，由余弦定理得， ∴， 根据余弦定理得，，∴.    【典例1-2】 （2024·天津滨海新·二模）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)若，求的值； (3)若，点D在边AB上，，.求的面积. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】(1)根据正弦定理求解即可； (2)利用二倍角公式求解即可； (3)利用向量数量积运算求出b，利用面积公式即可求解； 【详解】（1）由，得, 又因为， 所以，，即. （2）若，则，则, 则; （3）由，所以， 由（1）知，所以，所以在直角三角形中，， 如图因为，所以, 平方得，则，所以直角三角形的面积. 【变式1-1】 （2024·全国·模拟预测）已知在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，为边上一点，，，求的面积. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）结合正弦定理和诱导公式求解即可. （2）在中根据余弦定理列方程，再把用和表示，两边平方列方程，解方程组求出边长即可求出三角形的面积. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 因为为三角形的内角，，所以， 又， 所以，因此， 因为，，所以，即，故的值为. （2）由（1）知，且，在△中，由余弦定理得， 即①由于，所以， 平方得，即② 由①②得：，所以△的面积为， 即所求面积为. 题型12图形：四边形 【解题规律·提分快招】 四边形，一般适当的连接对角线，分解为有公共边俩三角形。如果是有外接圆，则要充分运用对角互补这个隐形条件 【典例1-1】 （22-23高三上·天津南开·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)如图，若为外一点，且，，，，求.并求. 【答案】(1)(2)， 【分析】（1）根据条件，运用倍角公式和差公式正弦定理化简即可； （2）连接，先求出 ，再求出，利用两角差的正弦公式求出，运用正弦定理求出BC即可. 【详解】（1）解：由，得， 即，由正弦定理得， 整理得，∴，又，∴，∴；又，∴； （2）解：连接，因为，，， 所以，， 所以，所以． 又，所以， 所以， 在 中，由正弦定理可得，即， 所以. 【典例1-2】 （24-25高三上·山西吕梁·期末）记的内角的对边分别为，已知为锐角． (1)求证：； (2)求； (3)若，四边形内接于圆，求面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）由正弦定理边化角即可求证； （2）由（1）结合内角和可得，进而可求解； （3）法一：由余弦定理结合基本不等式求得最大值即可求解；法二：在四边形的外接圆内考虑， 是圆上动点，所以面积取最大值时高最大，即点到距离最大，进而可求解； 【详解】（1）因为，由正弦定理， 得，所以． （2）因为，所以， 即所以，由得， 所以，所以或，因为为锐角，所以． （3）法一：在中，所以， 由，得， 所以，（等号当时取得）． 所以面积为，即所求最大值为． 法二：在四边形的外接圆内考虑，因为 则的外接圆直径为， 是圆上动点，所以面积取最大值时高最大，即点到距离最大， 此时最大距离为圆心到距离加半径2， 在直角三角形中可知，圆心到距离为，所以高的最大值为， 所以面积的最大值为． 【变式1-1】 （2021·全国·模拟预测）已知平面四边形中，，. (1)若，，，求； (2)若，的面积为，求四边形周长的最大值. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意得到，再利用余弦定理求解即可. （2）首先利用正弦定理面积公式和余弦定理得到，再利用基本不等式求解最值即可. 【详解】（1）在△ABD中，由余弦定理得. 在△BCD中，由余弦定理得.因为，所以， 即，得. （2）由题意可知，由，，则， 则，得. 在中，由余弦定理得. 令，，在中， 由余弦定理得，即. 所以， 即，，当且仅当时取等号. 所以四边形ABCD周长的最大值为.. 题型13 三角函数中的压轴题 【典例1-1】 （24-25高一上·天津·期末）设函数 (1)求证:   (2)分别求 和 时函数的最小值； (3)猜想函数的最小值并证明. 参考公式：当 且时， 【答案】(1)证明见解析(2)当时，；当时，(3)，证明见解析 【分析】（1）根据诱导公式将分别化简，即可证明； （2）根据三角恒等变换的化简和同角的三角函数关系计算即可求解； （3）根据（2）进行猜想.令，则，利用定义法，结合题意给的公式讨论函数的单调性，求得即可. 【详解】（1）， ，所以. （2）当时，， 又，所以； 当时， ，又，所以. （3）猜想：当时，.证明：令，则， 显然，即函数图象关于直线对称，令， 则 ， 由，得， 所以对任意，都有， 所以， 得， 则，即函数在上单调递减，函数在上单调递增， 所以，即，， 当且仅当即时，取到最小值， 所以，. 【点睛】关键点点睛：解决本题第（3）问的关键是利用定义法和题意给的公式进行化简计算，得到，判断也是本题的关键. 【典例1-2】 24-25高一上·天津南开·期末）已知函数（，）为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域. (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：，，试确定n的值，并求的值. 【答案】(1)，单调递减区间为(2)(3) 【分析】（1）利用三角恒等变换公式，化简函数f(x)的解析式，利用正弦函数的周期、奇偶性求得参数值，从而得到函数解析式以及单调区间； （2）利用三角函数的图象变换规律，求得函数g(x)的解析式，进而求得函数的值域； （3）根据方程结合正弦函数图象得到方程根的个数，结合三角函数图象的对称性分组求和. 【详解】（1）由题意，函数 ， 因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得， 又由函数为奇函数，可得，所以， 因为，所以，所以函数. 令，解得， 所以单调递减区间为. （2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 当时，， 当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为， 故函数的值域. （3）由方程，即，即， 因为，可得，设，其中，即， 结合正弦函数的图象，如图所示： 可得方程在区间有5个解，即， 其中， 即，， 解得， 所以. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于结合图像以及对称性可得，进而分析求解【变式1-1】 【变式1-2】 （21-22高一下·北京·期末）已知向量；定义函数，称向量为的特征向量，为的特征函数． (1)设，求的特征向量； (2)设向量的特征函数为，求当且时，的值； (3)设向量的特征函数为，记，若在区间上至少有40个零点，求的最小值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据诱导公式化简，再根据函数的特征向量的定义即可得解； （2）根据向量的特征函数求出函数解析式，再结合两角差的正弦公式即可得解； （3）根据三角函数恒等变化求出函数的解析式，不妨设为其中的一个零点，再根据三角函数的性质即可得出答案. 【详解】（1）由已知得，所以的特征向量； （2）因为向量的特征函数为，所以， 由得，又所以， 所以； （3）因为，所以， 则，令，则， 则或，则或，由在区间上至少有40个零点，不妨取，则，则， 所以的最小值为. 【变式1-3】 （23-24高一下·江苏无锡·阶段练习） “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为， (1)若， ①求； ②若，设点为的费马点，求； (2)若，设点为的费马点，，求实数的最小值． 【答案】(1)①；②(2). 【分析】（1）①利用正弦定理角化边，然后利用余弦定理来求解；②利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案； （2）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）①由正弦定理得，即， 所以，又，所以； ②由①，所以三角形的三个角都小于， 则由费马点定义可知：， 设，由得： ，整理得， 则； （2）因为， 所以， 所以，即， 所以或， 当时，，为直角三角形，当， 则，得，在三角形中不可能成立，所以为的直角三角形，因为点为的费马点，则， 设， 则由得； 由余弦定理得， ， ， 故由得， 即，而，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为. 【点睛】关键点点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设，推出，结合费马点含义，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解. 冲高考 1．（2025·吉林·二模）在中，角所对的边分别为. (1)若，求的面积S； (2)若角C的平分线与的交点为，求的最小值. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）先利用同角三角函数的平方关系，把化成，根据正弦定理可得，在根据余弦定理，可得角，再结合余弦定理，表示出，可得的值，进而利用可求面积. （2）根据，结合可得：，再结合基本不等式，可求的最小值. 【详解】（1）由， 得. 由正弦定理得.所以，因为，所以. 在中，，由余弦定理， 得，解得.所以.即的面积S为. （2）因为为角C平分线，，所以. 在中，， 所以， 由，得，所以. 因为，所以由基本不等式，得， 所以，当且仅当时取等号.所以的最小值为. 2．（2025·陕西·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)若D为AC的中点，且，求． 【答案】(1)(2)或 【分析】（1）根据题意利用正弦定理边角转化，再结合三角恒等变换运算求解； （2）利用向量整理可得，利用余弦定理可得，结合题意运算求解即可. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得， 又因为，化简得， 因为，则，可得，且，所以． （2）因为D为AC的中点，则， 可得，所以． 由余弦定理可得，因为，则， 整理得，即，解得或． 3．（2025·四川·二模）记锐角的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求的值. (2)若，求边上的高的取值范围. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）先应用切化弦，再应用正弦定理结合两角和差公式得出，最后计算求值； （2）先根据三角形是锐角三角形得出，结合面积公式及三角函数的值域计算即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，又因为，所以， 应用正弦定理得， 所以，因为，所以， 所以，所以. （2）因为是锐角的内角，又因为，所以得出，所以， 设边上的高为，，. 4．（2024·江西·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知，. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)=(2) 【分析】（1）根据三角函数恒等变换，以及余弦定理，即可求解； （2）根据（1）的结果，以及二倍角公式，转化为关于的函数，利用换元，以及二次函数的性质，即可求解函数的值域. 【详解】（1）由条件可知，， 即，即， ，即，则，所以，且，所以； （2）由余弦定理，， 因为，则，即，，设，， 设，则，当，函数单调递增， 所以的范围是，所以的范围是. 5．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）在中，，为边上的中线，点在边上，设． (1)当时，求的值； (2)若为的角平分线，且点也在边上，求的值； (3)在（2）的条件下，若，求为何值时，最短？ 【答案】(1)(2)(3)当为何值时，最短 【分析】（1）由题意可知：，结合数量积的运算律分析求解； （2）利用正弦定理可得，结合长度关系分析求解； （3）设，利用面积关系和余弦定理可得，结合三角恒等变换以及基本不等式分析求解. 【详解】（1）由题意可知：，则， 即， 且，整理可得，即或（舍去），所以的值为. （2）在中，由正弦定理可得，即， 在中，由正弦定理可得，即， 若为的角平分线，则，即， 且，则， 即，可知，则，可知， 又因为，则，所以. （3）由（2）可知：，则，且最短，即为最短， 设，则，，，可知，可得， 由余弦定理可得，则， ，当且仅当，即时，等号成立， 此时， 由（1）可知：，即， 可得，即（负值舍去）所以当为何值时，最短. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 解三角形综合大题 目录 题型01 解三角形基础思维：正弦化边求角 1 题型02 解三角形基础思维：余弦角化边求角 2 题型03 解三角形基础思维：面积的加入 2 题型04 最值与范围：基础型（角与对边） 3 题型06 最值与范围：分式比值型 5 题型07 最值与范围：无边转化型 5 题型08 图形：中点与中线型 6 题型09 图形：高 7 题型10 图形：角平分线型 7 题型11 图形：双三角行定比分点型 8 题型12图形：四边形 9 题型13 三角函数中的压轴题 10 冲高考 11 题型01 解三角形基础思维：正弦化边求角 【解题规律·提分快招】 对于sin（）与cos（） 简称为“正余余正，余余正正” 恒等变形和化简求角中，有如下经验： 1、 SinC=Sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB:正用。逆用；见A与B的正余或者余正，不够，找sinC拆 2、 边的齐次式，正弦定理转为角的正弦； 3、 cosC=-cos(A+B)=-[cosAcosB-sinAsinC] 【典例1-1】 （24-25高三上·天津和平·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，,满足． (1)求角的大小； (2)设，. （i）求边的值； （ii）求的值． 【典例1-2】 （24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）在三角形中，内角的对边分别为，已知 (1)求； (2)若 （i）求； （ii）求. 【变式1-1】 （24-25高三上·天津河西·期末）在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)设. （i）求的值； （ii）求的值. 题型02 解三角形基础思维：余弦角化边求角 【解题规律·提分快招】 余弦定理： 1.若式子含有的2次齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边” 2.面积和2次齐次式，可构造余弦定理 【典例1-1】 （24-25高三上·天津河东·期末）的内角的对边分别为，已知，． (1)求； (2)若，求． 【典例1-2】 （23-24高一下·天津静海·阶段练习）已知在锐角中，角A，，所对的边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)当时，求面积的取值范围． 【变式1-1】 （24-25高三下·广西·开学考试）的内角所对的边分别为，， (1)求角的大小; (2)若，的延长线交于点，且，求的面积. 题型03 解三角形基础思维：面积的加入 【解题规律·提分快招】 三角形面积 ： ①S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝ ②S△ABC＝(a＋b＋c)·r(r是切圆的半径) 【典例1-1】 （新疆维吾尔自治区2025届高三普通高考第一次适应性检测数学试题）在中，角所对的边分别为，其面积. (1)求的值； (2)若，且，求. 【典例1-2】 （24-25高三上·湖南·阶段练习）已知，，，分别是角，，的对边，的面积． (1)证明：； (2)若为的平分线，交于点，且，，求的长． 【变式1-1】 （24-25高三上·江苏·阶段练习）记的内角的对边分别为，面积为，已知 (1)求； (2)若边上的高为1且，求的面积． 题型04 最值与范围：基础型（角与对边） 【解题规律·提分快招】 解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路： ①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 【典例1-1】 （22-23高一下·天津南开·期末）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)已知， （ⅰ）若的面积为，求的周长； （ⅱ）求周长的取值范围． 【典例1-2】 （23-24高一下·天津·期中）已知，． (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，求面积的最大值． 【变式1-1】 （23-24高一下·天津·期中）的内角的对边分别为已知. (1)若的周长等于3，求； (2)若为锐角三角形，且； ①求； ②求面积的取值范围. 题型05 最值与范围：非对称型 【解题规律·提分快招】 非对称型结构 结构特征： “非齐次或者不对称结构”，用正弦定理消角化一，角度范围是否受限，是关键计算点 【典例1-1】 （20-21高三下·湖北·阶段练习）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，． (1)求角B的大小． (2)若△ABC为锐角三角形，．求的取值范围． 【典例1-2】 （21-22高二上·江西九江·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求A的大小； （2）若，求的取值范围． 【变式1-1】 （24-25高三下·安徽·开学考试）已知 中，角 所对的边分别为 ，已知 . (1)求 的大小； (2)若 ，求 外接圆的半径； (3)若点 在线段 上， ， ，求 的最小值. 题型06 最值与范围：分式比值型 【解题规律·提分快招】 最值范围：分式比值型 化边为角型 1. 通过正余弦定理，把边转化为角。 2. 利用特殊角，消角，以分母角度为住元，消去分子角度，转化为分母角度的单变量函数形式 3. 对单变量（单角）求最值。 【典例1-1】 （2020·全国·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小；(2)若，求的取值范围. 【典例1-2】 （22-23高一下·新疆·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足． (1)求角A； (2)若，求周长的最大值； (3)求的取值范围． 【变式1-1】 （23-24高一下·天津东丽·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积； (3)若锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 题型07 最值与范围：无边转化型 【典例1-1】 （22-23高一下·天津·期中）在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 【典例1-2】 （陕西省榆林市2025届高三上学期第二次模拟检测数学试题）在中，角，，所对的边分别为，，.已知. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 【变式1-1】 （24-25高三上·山东青岛·期末）已知内角的对边分别为，． (1)证明：； (2)求的最小值． 题型08 图形：中点与中线型 【解题规律·提分快招】 中线的处理方法 1.向量法： 2. 补全为平行四边形。再转而在新三角形中用正余弦定理 【典例1-1】 （2024·天津河西·模拟预测）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点． (1)求中线AM的长； (2)求的余弦值； (3)求面积． 【典例1-2】 （23-24高一下·天津滨海新·期末）已知的三个内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若的面积是，求； (3)若为边上一点，且满足，，试求的最大值． 【变式1-1】 （2024·天津河北·一模）在中，角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若，求的值； (3)若为的中点，且，求的面积. 题型09 图形：高 【解题规律·提分快招】 三角形高的处理方法： 1.等面积法：两种求面积公式 如 2.三角函数法： 【典例1-1】 （19-20高一下·天津东丽·期末）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，． (1)求A、b； (2)设D为BC边上一点，且，求的面积． 【典例1-2】 （22-23高一下·天津和平·期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，. (1)求A，b； (2)设D为BC边上一点，且，求的面积. 【变式1-1】 （17-18高三上·河北石家庄·阶段练习）的内角的对边分别为，已知，． (1)求； (2)设为边上一点，且，求的面积． 题型10 图形：角平分线型 【解题规律·提分快招】 三角形角平分线的处理方法： 角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）： 【典例1-1】 （23-24高一下·天津静海·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，． (1)求的大小； (2)已知，，设为边上一点，且为角的平分线，求的面积． 【典例1-2】 （2024高二上·贵州·学业考试）的内角，，所对的边分别为，，，且，. (1)若，则________； (2)若，则的面积为________； (3)已知的角平分线交于，求的最大值. 【变式1-1】 （23-24高一下·贵州遵义·期末）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求角B； (2)若点D在上，为的角平分线，，求的最小值． 题型11 图形：双三角行定比分点型 【解题规律·提分快招】 三大线型引申：定比分点型 如图，若BD=tBC型，称D为定比分点，可以从以下思维入手： 1. 双三角形余弦定理： （1）ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD ADcos （2）ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD ADcos(Π-） 2.向量法： 【典例1-1】 （22-23高一下·天津滨海新·期末）在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角的值； (2)若，且的面积. （i）求证：； （ii）已知点在上，且满足，延长到，使得，连接，求. 【典例1-2】 （2024·天津滨海新·二模）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)若，求的值； (3)若，点D在边AB上，，.求的面积. 【变式1-1】 （2024·全国·模拟预测）已知在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，为边上一点，，，求的面积. 题型12图形：四边形 【解题规律·提分快招】 四边形，一般适当的连接对角线，分解为有公共边俩三角形。如果是有外接圆，则要充分运用对角互补这个隐形条件 【典例1-1】 （22-23高三上·天津南开·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)如图，若为外一点，且，，，，求.并求. 【典例1-2】 （24-25高三上·山西吕梁·期末）记的内角的对边分别为，已知为锐角． (1)求证：； (2)求； (3)若，四边形内接于圆，求面积的最大值． 【变式1-1】 （2021·全国·模拟预测）已知平面四边形中，，. (1)若，，，求； (2)若，的面积为，求四边形周长的最大值. 题型13 三角函数中的压轴题 【典例1-1】 （24-25高一上·天津·期末）设函数 (1)求证:   (2)分别求 和 时函数的最小值； (3)猜想函数的最小值并证明. 参考公式：当 且时， 【典例1-2】 24-25高一上·天津南开·期末）已知函数（，）为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域. (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：，，试确定n的值，并求的值. 【变式1-2】 （21-22高一下·北京·期末）已知向量；定义函数，称向量为的特征向量，为的特征函数． (1)设，求的特征向量； (2)设向量的特征函数为，求当且时，的值； (3)设向量的特征函数为，记，若在区间上至少有40个零点，求的最小值． 【变式1-3】 （23-24高一下·江苏无锡·阶段练习） “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为， (1)若， ①求； ②若，设点为的费马点，求； (2)若，设点为的费马点，，求实数的最小值． 冲高考 1．（2025·吉林·二模）在中，角所对的边分别为. (1)若，求的面积S； (2)若角C的平分线与的交点为，求的最小值. 2．（2025·陕西·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)若D为AC的中点，且，求． 3．（2025·四川·二模）记锐角的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求的值. (2)若，求边上的高的取值范围. 4．（2024·江西·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知，. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 5．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）在中，，为边上的中线，点在边上，设． (1)当时，求的值； (2)若为的角平分线，且点也在边上，求的值； (3)在（2）的条件下，若，求为何值时，最短？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$