热点6-2 空间角与空间距离的计算（6题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考通用）

热点6-2 空间角与空间距离的计算 三年考情分析 2025考向预测 在近三年的高考中，空间角与空间距离的计算出现频率较高，通常以选择题、填空题或解答题的形式出现，并且考查频率略有上升，题目难度和综合性有所增强． 预计2025年仍旧会以柱体、锥体等简单几何体为背景进行考查，命题还可能结合数学文化或实际应用背景，考查学生对知识的灵活运用． 题型1 求异面直线所成角 1、几何法求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 2、向量法求异面直线所成角：若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则． 1．（24-25高三上·吉林长春·月考）在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，°，则异面直线与直线所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·重庆·月考）在正四棱台中，，其体积为，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·吉林·期末）正三棱台中，，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·云南昆明·月考）在三棱锥中，平面平面是边长为的等边三角形，是直角三角形，且，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型2 求直线与平面所成角 1、几何法求线面角 （1）垂线法求线面角（也称直接法）：先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O；连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）． （2）公式法求线面角（也称等体积法）：用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解．公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长． 2、向量法求线面角：设是直线的方向向量，是平面的法向量，直线与平面的夹角为.则． 1．（24-25高三上·山西沁县·期末）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·甘肃张掖·第一次联考）在圆台中，下底面半径为上底面半径的4倍，高为4，体积为，则圆台的母线与下底面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·四川攀枝花·模拟预测）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵中，，若，，直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·福建莆田·月考）已知如图所示的几何体中，底面是边长为4的正三角形，侧面是长方形，，平面平面为棱上一点，，且，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 题型3 求平面与平面所成角 1、几何法求二面角 （1）定义法（棱上一点双垂线法）：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线． （2）三垂线法（面上一点双垂线法）：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角． （3）垂面法（空间一点垂面法）：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角． （4）射影面积法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为， 平面和平面所成的二面角的大小为，则.这个方法对于无棱二面角的求解很简便． 2、向量法求二面角：若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则． 1．（24-25高三上·湖南娄底·期末）如图，在圆锥中，是底面圆的直径，已知，，M是的中点，二面角的大小为.则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·北京·开学考试）如图是一种帐篷示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面，正脊与斜脊长度的比为，底面为矩形且长与宽之比为2∶1，若各斜坡面与底面所成二面角都相等，则该二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·云南昭通·开学考试）如图所示，在四棱锥中，，底面为正方形，侧面底面，点是线段的中点. (1)求证：； (2)若，求所成二面角的正切值. 4．（24-25高三上·河南信阳·二模）如图，在三棱台中，平面，平面平面，，的面积为，三棱锥的体积为． (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的大小． 题型4 求点线面的空间距离 1、几何法求点面距 （1）定义法（直接法）：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度； （2）等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离； （3）转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离． 2、向量法求点面距：已知平面的法向量为，是平面内的任一点，是平面外一点,过点作则平面的垂线，交平面于点,则点到平面的距离为（如图）． 注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 1．（24-25高三上·辽宁·模拟预测）在直三棱柱中，，，，为棱的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D．2 2．（24-25高三上·湖北黄冈·月考）如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·宁夏银川·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面，是的中点，． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 4．（24-25高三上·湖南永州·模拟预测）如图，正方体的棱长为1，点M，N分别在线段，上，且，. (1)若，证明：； (2)若，点P，Q分别在直线，上，且，，求的取值范围. 题型5 空间角下的动点探究 1、寻找点的特殊位置，再加以证明； 2、一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意，则存在；若有解但不满足题意或误解，则不存在． 1．（24-25高三下·山东·开学考试）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，已知，，三棱锥的体积为 (1)设平面CAB与平面的交线为l，证明： (2)在线段上是否存在一点P，使得直线AP与平面ABC所成角的正弦值为若存在，指出P点的位置;若不存在，说明理由. 2．（24-25高三上·江苏无锡·月考）如图，在三棱锥中，侧面PAC是边长为2的正三角形，，，E，F分别为PC，PB的中点，平面AEF与底面ABC的交线为l. (1)证明：l∥平面PBC. (2)已知平面平面，若在直线l上存在点Q，使得直线PQ与平面AEF所成角为，异面直线PQ，EF所成角为，且满足，求. 3．（24-25高三上·广东·期末）已知直三棱柱中，，分别为和的中点，P为棱上的动点，F为棱上一点，且四点共面.若 (1)证明：平面平面； (2)设是否存在实数λ，使得平面与平面所成的角的余弦值为若存在，求出实数λ，若不存在，请说明理由. 4．（24-25高三下·河南驻马店·开学考试）如图，在三棱锥中，二面角的大小为，，为棱的中点. (1)①②③④从上述四个条件中，选出一个能证明的选项，并证明； (2)设，点为上一点，是否存在点使得二面角的余弦值等于？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 题型6 空间距离下的动点探究 1．（23-24高三下·湖南·月考）如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面，. (1)证明：平面； (2)若点Q是线段的中点，M是直线上的一点，N是直线上的一点，是否存在点M，N使得?请说明理由. 2．（23-24高三下·江西·开学考试）已知等边的边长为4，分别是边的中点（如图1），现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且（如图2）. (1)证明：； (2)在线段上是否存在点，使得到平面的距离为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 3．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 4．（24-25高三上·云南昆明·月考）图1是直角梯形，，，四边形是边长为4的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2. (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得到平面的距离为，若存在，则的值； (3)在（2）的前提下，求出直线与平面所成角的正弦值. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（24-25高三上·甘肃白银·期末）若为正方体，则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北·期末）如图组合体是由正四棱锥与正四棱台组合而成，，则PA与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·甘肃·月考）已知某圆锥的侧面积为，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所成的角为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·福建龙岩·月考）已知正四棱台的体积为，则与底面ABCD所成角的正切值为（    ） A． B． C． D．4 5．（24-25高三上·辽宁丹东·期末）已知正三棱锥中，D是棱PC上的点，，且，则直线BD与平面PAB所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·云南丽江·一模）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，侧面上有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成的锐二面角的正切值为（    ） A． B． C．2 D． 7．（24-25高三上·河北承德·期中）已知正方体的棱长为1，M为棱的中点，G为侧面的中心，点P，Q分别为直线，上的动点，且，当取得最小值时，点Q到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D． 8．（24-25高三下·山东·开学考试）已知正方体的棱长为3，平面平面且与线段，分别交于点，则长度的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 二、多选题 9．（24-25高三上·浙江嘉兴·期末）在正三棱台中，则（    ） A．三棱台的表面积为 B．直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的余弦值为 D．三棱锥与三棱锥的公共部分的几何体的体积为 10．（24-25高三上·贵州黔东南·模拟预测）《九章算术》卷五《商功》中，记载了一种几何体“刍童”，这种几何体是上下底面为互相平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的六面体.如图，现有一高为2的“刍童”，其中，则（    ） A．该“刍童”的所有侧棱的延长线交于一点 B．该“刍童”的所有侧棱与下底面所成角的正弦值均为 C．该“刍童”外接球的表面积为 D．该“刍童”外接球表面上的点到平面的距离的最大值为 11．（24-25高三上·甘肃定西·期末）如图，在长方体中，，E，F分别是棱的中点，点G在棱上，则下列说法正确的是（    ） A．存在点G，使得 B．点B到平面CEF的距离是 C．存在点G，使得平面CEF D．过CF作该长方体外接球的截面，所得截面面积的最小值是 三、填空题 12．（24-25高三下·江西九江·月考）已知异面直线所成的角为，在直线上，在直线上，，则间的距离为 ． 13．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·月考）正四面体中，，，则异面直线与所成角的正弦值为 ． 14．（24-25高三上·辽宁大连·期中）如图，在五棱锥中，底面ABCDE，，，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为 ． 四、解答题 15．（24-25高三上·辽宁沈阳·月考）《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，平面ABCD，，四边形ABCD中，，，，． (1)证明：四面体BCFD为鳖臑； (2)求点C到平面BDF的距离； (3)求几何体ABCDEF的表面积． 16．（24-25高三下·广西·开学考试）如图平面ABC，，F是线段BC上的动点，E是MC的中点，已知 (1)证明：平面平面 (2)若，，N在线段MB上. （i）求点C到平面AEB的距离; （ii）是否存在点N，使得平面NAC与平面AEB夹角的余弦值为若存在，求的值;若不存在，请说明理由. 17．（24-25高三上·吉林长春·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，，∥，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，， （i）求二面角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点6-2 空间角与空间距离的计算 三年考情分析 2025考向预测 在近三年的高考中，空间角与空间距离的计算出现频率较高，通常以选择题、填空题或解答题的形式出现，并且考查频率略有上升，题目难度和综合性有所增强． 预计2025年仍旧会以柱体、锥体等简单几何体为背景进行考查，命题还可能结合数学文化或实际应用背景，考查学生对知识的灵活运用． 题型1 求异面直线所成角 1、几何法求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 2、向量法求异面直线所成角：若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则． 1．（24-25高三上·吉林长春·月考）在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，°，则异面直线与直线所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连接， 在平行六面体中，由与平行且相等得平行四边形， 因此，∴是异面直线与直线所成角或其补角， 由已知，，， 由余弦定理得，， ， ∴．故选：C． 2．（24-25高三上·重庆·月考）在正四棱台中，，其体积为，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设正四棱台的高为， 连接，作交于点，作交于点，连接， 则为异面直线与所成角或其补角. 因为，且正四棱台的体积为， 即， 所以，即， 则，，， ，， 所以.故选：D. 3．（24-25高三上·吉林·期末）正三棱台中，，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设，过点做，是中点， 因为，分别为，的中点，所以，所以, 因为所以， 所以，因为正三棱台中，三个侧面是全等的等腰梯形， 所以， 所以，， 又因为，， 所以， 设异面直线，所成角为 所以.故选：C. 4．（24-25高三上·云南昆明·月考）在三棱锥中，平面平面是边长为的等边三角形，是直角三角形，且，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设是的中点，连接，则，， 由于平面平面且交线为，平面， 所以平面，由于平面，所以， 由于是直角三角形，且， 所以，且， 由此以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ， ， 则与所成角的余弦值为.故选：A 题型2 求直线与平面所成角 1、几何法求线面角 （1）垂线法求线面角（也称直接法）：先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O；连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）． （2）公式法求线面角（也称等体积法）：用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解．公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长． 2、向量法求线面角：设是直线的方向向量，是平面的法向量，直线与平面的夹角为.则． 1．（24-25高三上·山西沁县·期末）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】过点作的垂线，与交于点， 因为平面，又因为平面，所以， 又，平面， 所以平面, 如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设， 则， 所以，是平面的法向量， 设直线与平面所成的角为， 所以，所以， 所以直线与平面所成的角为.故选：. 2．（24-25高三上·甘肃张掖·第一次联考）在圆台中，下底面半径为上底面半径的4倍，高为4，体积为，则圆台的母线与下底面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，圆台的高，体积，设上底面半径为，则下底面半径为4r. 圆台的体积，解得. 作出圆台的轴截面，如图， 则，为母线CB与下底面所成的角. 过点作于点，则1， 所以，所以.故选：A. 3．（24-25高三上·四川攀枝花·模拟预测）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵中，，若，，直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在堑堵中，平面，，，， 以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， ，，， 设平面的法向量， 则，取，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以， 因此，直线与平面所成角的余弦值为．故选：A． 4．（24-25高三上·福建莆田·月考）已知如图所示的几何体中，底面是边长为4的正三角形，侧面是长方形，，平面平面为棱上一点，，且，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分别取的中点，连接，则，， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 所以是平面的一个法向量， ，，所以， 设与平面所成的角为， 则.故选：D. 题型3 求平面与平面所成角 1、几何法求二面角 （1）定义法（棱上一点双垂线法）：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线． （2）三垂线法（面上一点双垂线法）：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角． （3）垂面法（空间一点垂面法）：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角． （4）射影面积法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为， 平面和平面所成的二面角的大小为，则.这个方法对于无棱二面角的求解很简便． 2、向量法求二面角：若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则． 1．（24-25高三上·湖南娄底·期末）如图，在圆锥中，是底面圆的直径，已知，，M是的中点，二面角的大小为.则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是底面圆的直径，所以， 又M是的中点，所以， 又平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角，即. 由已知，， 可得，所以， 又平面，平面，所以， 由，解得， 所以圆锥的体积.故选：B. 2．（24-25高三下·北京·开学考试）如图是一种帐篷示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面，正脊与斜脊长度的比为，底面为矩形且长与宽之比为2∶1，若各斜坡面与底面所成二面角都相等，则该二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意不妨设：正脊，斜脊，底面矩形的长为，宽， 设在底面的投影分别为，的中点分别为， 若各斜坡面与底面所成二面角都相等，则四点共线，， 且，则，可知二面角的平面角为， 过作，垂足为，连接， 因为平面，平面，可得， 且，平面，可得平面， 又因为平面，可得， 则二面角的平面角为， 可知，则， 即，可得， 即，可得， 则，可得， 所以所求二面角的正切值为.故选：A. 3．（24-25高三下·云南昭通·开学考试）如图所示，在四棱锥中，，底面为正方形，侧面底面，点是线段的中点. (1)求证：； (2)若，求所成二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）如图，取的中点，连接，连接，交于. 在中，，，， 平面平面，平面底面，平面， 底面， 平面，， 在正方体中， ，， 又， ，即， 平面平面， 平面. （2）过点作的平行线，交于，则， 由（1）知底面， 平面，，两两垂直， 以为坐标原点，分别以的方向为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 不妨设，则， 因为平面平面，平面平面，平面 平面，，则， ，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，令，， 设平面的一个法向量为， 则，令，， 设所成二面角为，由图可知为锐角， ， ，， 所成二面角的正切值为. 4．（24-25高三上·河南信阳·二模）如图，在三棱台中，平面，平面平面，，的面积为，三棱锥的体积为． (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的大小． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）取的中点，连接， ∵，∴， 又平面平面， ∵平面平面，平面， ∴平面，又平面， ∴， ∵平面平面， ∴， 又平面，， ∴平面，又平面，则； （2）由题意及（1），面，且面，则， 由面面，则， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 则，解得， 则， 设是平面的一个法向量，则，， 所以，当时，， 设是平面的一个法向量，则，， 所以，当时，， ∴由图知，平面与平面夹角为锐角， ∴平面与平面的夹角为． 题型4 求点线面的空间距离 1、几何法求点面距 （1）定义法（直接法）：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度； （2）等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离； （3）转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离． 2、向量法求点面距：已知平面的法向量为，是平面内的任一点，是平面外一点,过点作则平面的垂线，交平面于点,则点到平面的距离为（如图）． 注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 1．（24-25高三上·辽宁·模拟预测）在直三棱柱中，，，，为棱的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】如图，在中，，所以， 在中，，所以， 在中，因为，所以， 又，，平面，，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离即为点到平面的距离， 所以， 在等腰三角形中，， 因为，所以，所以， 则点到平面的距离为．故选：C． 2．（24-25高三上·湖北黄冈·月考）如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】平面,平面, 平面, 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴， 所在的直线为轴，建立直角坐标系. 则 设平面的法向量为，则 ，令，则 设点到平面的距离为，则 故直线到平面的距离为.故选：D. 3．（24-25高三上·宁夏银川·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面，是的中点，． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）取的中点，连接. 因为是的中点，是的中点，所以在中， 根据三角形中位线定理，，且. 已知底面是直角梯形，，，， 所以，且. 由此可得，且， 所以四边形是平行四边形，那么. 又因为平面，平面， 根据线面平行的判定定理，所以平面. （2）因为平面，平面,所以. 在直角梯形中，，， 根据勾股定理可得. 又，，， 所以，则. 因为平面，平面，所以， 又，所以平面. 因为是的中点，所以点到平面的距离是点到平面距离的一半. 计算，，则. 设点到平面的距离为， ，. 由，即，解得. 所以点到平面的距离. 4．（24-25高三上·湖南永州·模拟预测）如图，正方体的棱长为1，点M，N分别在线段，上，且，. (1)若，证明：； (2)若，点P，Q分别在直线，上，且，，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）连接，，当，则是的中点，是的中点，所以， 因为面，面，所以，所以. （2）以点为原点，，，方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系，则 ，，，，， ，，所以，， 所以，，所以， 又，设直线的方向向量为， 则由得， 取，又， 所以 由得， 易知在单调递减，单调递增 所以，所以. 题型5 空间角下的动点探究 1、寻找点的特殊位置，再加以证明； 2、一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意，则存在；若有解但不满足题意或误解，则不存在． 1．（24-25高三下·山东·开学考试）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，已知，，三棱锥的体积为 (1)设平面CAB与平面的交线为l，证明： (2)在线段上是否存在一点P，使得直线AP与平面ABC所成角的正弦值为若存在，指出P点的位置;若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，P是线段的中点 【解析】（1）因为四边形为正方形，所以，又因为平面，平面， 所以平面，因为平面CAB，平面平面，所以 （2）由题意知，，设三棱锥的高为h， 因为三棱锥的体积为，所以， 过C向平面作垂线，垂足为H，， 取AB，的中点，分别为E，F，连接HE，HA，CE， 因为，，所以，， 因为平面，AH，平面，所以，， 在直角中，，， 所以，在直角中，，，所以， 因为，，， 满足，所以，所以H在AB的中垂线EF上，且， 所以H为四边形的中心， 以H为坐标原点，HA，HB，HC分别为x轴，y轴，z轴建立如图坐标系， ，，，，， 设，则， 由可得：，即，所以， 假设线段上存在一点P，使得直线AP与平面ABC所成角的正弦值为， 设，因为C，，P三点共线， 所以设，即， 则，则，， 设平面ABC的法向量为， 所以即 令，则，，所以， 设直线AP与平面ABC所成角为， 则，解得，， 此时，P是线段的中点， 所以，当P是线段的中点时，直线AP与平面ABC所成角的正弦值为 2．（24-25高三上·江苏无锡·月考）如图，在三棱锥中，侧面PAC是边长为2的正三角形，，，E，F分别为PC，PB的中点，平面AEF与底面ABC的交线为l. (1)证明：l∥平面PBC. (2)已知平面平面，若在直线l上存在点Q，使得直线PQ与平面AEF所成角为，异面直线PQ，EF所成角为，且满足，求. 【答案】(1)证明见解析；(2)1 【解析】（1）证明：因为分别为的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. 又平面，平面与底面的交线为，所以，从而. 而平面，平面，所以平面. （2）取的中点记为，连接， 因为是边长为2的正三角形，所以， 所以，. 又平面平面，平面平面，且平面， 所以平面， 由（1）可知，在底面内过点作的平行线，即平面与底面的交线. 由题意可得，即， 取的中点记为，连接，则. 因为，所以. 以为坐标原点，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设，则，，， 设平面的一个法向量为， 则， 即， 取，则，，即是平面的一个法向量， 所以. 又直线与平面所成角为， 于是. 又， 而异面直线所成角为，于是. 假设存在点满足题设，则， 即，所以. 当时，，此时有； 当时，，此时有. 综上所述，这样的点存在，且有. 3．（24-25高三上·广东·期末）已知直三棱柱中，，分别为和的中点，P为棱上的动点，F为棱上一点，且四点共面.若 (1)证明：平面平面； (2)设是否存在实数λ，使得平面与平面所成的角的余弦值为若存在，求出实数λ，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在 【解析】（1）因为平面平面， 所以平面． 因为平面，平面平面，所以． 因为为的中点，故为的中点． 在正方形，因为，故． 所以． 因为，故，故． 因为，故平面， 所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2）因为三棱柱为直三棱柱，故． 因为平面， 所以平面，平面，所以，故． 又因为平面，故以A为原点，分别为轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设则， ． 据题设有，显然，此时． 设为平面的法向量，则． 则，令，从而． 显然，平面的法向量可取． 此时平面与平面所成的角的余弦值为 故，即，解得， 所以存在，使得平面与平面所成的角的余弦值为． 4．（24-25高三下·河南驻马店·开学考试）如图，在三棱锥中，二面角的大小为，，为棱的中点. (1)①②③④从上述四个条件中，选出一个能证明的选项，并证明； (2)设，点为上一点，是否存在点使得二面角的余弦值等于？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)选条件②，证明见解析；(2)存在，或. 【解析】（1）取AB中点O，连接，因为为棱的中点， 所以，又，则， 若，又，，、平面， 则平面，又平面， 所以有，又①②③④四个条件中， 条件②能使，故选条件②： 证明：，O为中点，所以有， 又，，、平面， 所以平面，又平面， 所以； （2）因为，所以，即为正三角形， 取AB中点O，则有，则由（1）可知平面， 所以是二面角的平面角，故， 设，则， 则点P到底面的距离为， 点P在底面的投影落在直线上且与距离为， 以O为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 所以， 分别设平面和平面的一个法向量为， 则，， 取，， 则， 则 解得或，满足题意， 所以存在点E使得二面角的余弦值等于， 当时，；当时，. 题型6 空间距离下的动点探究 1．（23-24高三下·湖南·月考）如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面，. (1)证明：平面； (2)若点Q是线段的中点，M是直线上的一点，N是直线上的一点，是否存在点M，N使得?请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)不存在，理由见解析 【解析】（1）如图，取的中点O，因为，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，平面，平面，， 所以平面. （2）因为，O为的中点，，所以， 过点O作交于点E，则由平面,平面,可得， 则以O为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设与，都重直的向量为， 则得 令，则， 设直线与直线的距离为d， 则， 则不存在点M和N使得. 2．（23-24高三下·江西·开学考试）已知等边的边长为4，分别是边的中点（如图1），现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且（如图2）. (1)证明：； (2)在线段上是否存在点，使得到平面的距离为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，. 【解析】（1） 分别是边的中点，， 如图，连接交于，连接， 由折叠可知，平面平面， 平面平面. （2）等边的边长为， ， 如图，以为坐标原点，所在直线为轴， 过作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设， 在平面中，， 不妨设平面的法向量， 则令，得，故可取. 则点到平面的距离为解得或（舍去）， 为的中点，， 满足条件的点存在，且. 3．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)（i）；（ii）存在， 【解析】（1）取的中点N，连接，如图所示：为棱的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形，， 又平面平面平面． （2）， ∵平面平面，平面平面平面， 平面， 又平面，而， ∴以点D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图：则， 为棱的中点， （i）， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 平面的一个法向量为， ， 根据图形得二面角为钝角，则二面角的余弦值为 （ii）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设，则， 由（2）知平面的一个法向量为， ， ∴点Q到平面的距离是， ． 4．（24-25高三上·云南昆明·月考）图1是直角梯形，，，四边形是边长为4的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2. (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得到平面的距离为，若存在，则的值； (3)在（2）的前提下，求出直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，；(3) 【解析】（1）取BE的中点F，连接AF，， 因为四边形ABCE是边长为4的菱形，并且， 所以均为等边三角形， 故⊥BE，⊥BE，且， 因为，所以， 由勾股定理逆定理得：AF⊥， 又因为，平面ABE，所以⊥平面ABED， 因为平面，所以平面平面ABED； （2）以F为坐标原点，FA所在直线为x轴，FB所在直线为y轴， 所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则， 设，，， 即，解得：， 故， 设平面的法向量为， 则，则， 令，则，故， 其中 则， 解得：或（舍去）， 所以存在点，使得到平面的距离为，此时. （3）由（2）可得：， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（24-25高三上·甘肃白银·期末）若为正方体，则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接，，如下图： 易知，所以为异面直线与所成的角（或其补角）， 易知为等边三角形，所以.故选：A. 2．（24-25高三上·河北·期末）如图组合体是由正四棱锥与正四棱台组合而成，，则PA与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】延长，，，交于Q，易知：， 故是正八面体，故，， ∠APD即为所求异面直线所成角，余弦值为.故选：A 3．（24-25高三上·甘肃·月考）已知某圆锥的侧面积为，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆锥的母线为，底面半径为，高为， 由题意可得：，解得， 设该圆锥的母线与底面所成的角为，则，可得， 所以该圆锥的母线与底面所成的角为.故选：C. 4．（24-25高三上·福建龙岩·月考）已知正四棱台的体积为，则与底面ABCD所成角的正切值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【解析】∵，，∴上，下底面的面积分别为， 设正四棱台的高为， 则其体积为，解得， 连接，分别取的中点， ∵面，面，∴， 过作交于，则，面， ∴为与底面所成的角， ∵， ， ∴， 即与底面所成角的正切值为.故选：C. 5．（24-25高三上·辽宁丹东·期末）已知正三棱锥中，D是棱PC上的点，，且，则直线BD与平面PAB所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取中点，连接， 因为为中点，所以，， 因为，平面，所以平面， 以为原点，所在直线分别为轴，作平面， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， 设，，，， ，， 因为，所以，解得， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，则，， 所以，， 所以直线与平面所成角的正弦值为.故选：A. 6．（24-25高三上·云南丽江·一模）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，侧面上有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成的锐二面角的正切值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】由题意知，水的体积为，如图所示， 设正方体水槽绕倾斜后，水面分别与棱交于， 由题意知，水的体积为， 所以，即，解得， 在平面内，过点作交于， 则四边形是平行四边形，且， 又侧面与桌面所成的角即侧面与水面所成的角， 即侧面与平面所成的角,其平面角为， 在直角三角形中，.故选：C. 7．（24-25高三上·河北承德·期中）已知正方体的棱长为1，M为棱的中点，G为侧面的中心，点P，Q分别为直线，上的动点，且，当取得最小值时，点Q到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】如图，建立空间直角坐标系，则，，设，， 所以，， 因为，所以，即，所以， 又，所以， 当且仅当时取等号，此时， 所以，，， 设平面的法向量为，所以，取， 所以当取得最小值时，点Q到平面的距离.故选：A 8．（24-25高三下·山东·开学考试）已知正方体的棱长为3，平面平面且与线段，分别交于点，则长度的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】如图，以为原点，建立空间直角坐标系，连接， 因为正方体的棱长为3，所以，， ，，，而，， ，，由题意得共线，共线， 设，，，， 则，，， 得到，，，解得，则， 而，故， 得到，，，解得，，， 则， 故， 设面的法向量为，结合，， 则，， 令，解得，，故， 因为平面平面，所以也是面的法向量， 则，即，解得，此时， 由向量模长公式得 ， 若最小，则最小即可， 令，由二次函数性质得对称轴为， 而，则当时，取得最小值，最小值为， 则的最小值为，即的最小值为，故C正确.故选：C 二、多选题 9．（24-25高三上·浙江嘉兴·期末）在正三棱台中，则（    ） A．三棱台的表面积为 B．直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的余弦值为 D．三棱锥与三棱锥的公共部分的几何体的体积为 【答案】ACD 【解析】将正三棱台补成三棱锥，根据长度关系可知三棱锥为正四面体， 对于A：因为， 可知，， 所以三棱台的表面积为，故A正确； 对于B：取BC的中点D，连接， 可知，，则为平行四边形，则，， 可知直线与所成角为或其补角， 因为，则， 所以直线与所成角的余弦值为，故B错误； 对于C：因为三棱锥为正四面体，则点P在平面ABC内的投影为的中心O， 且直线与平面所成角等于直线与平面ABC所成角， 可得，则， 所以直线与平面所成角的余弦值为，故C正确； 对于D：设， 可知分别为的重心，且所求几何体为三棱锥， 因为，可得平面， 所以三棱锥的高即为， 又因为，则， 可得， 所以三棱锥的体积，故D正确；故选：ACD. 10．（24-25高三上·贵州黔东南·模拟预测）《九章算术》卷五《商功》中，记载了一种几何体“刍童”，这种几何体是上下底面为互相平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的六面体.如图，现有一高为2的“刍童”，其中，则（    ） A．该“刍童”的所有侧棱的延长线交于一点 B．该“刍童”的所有侧棱与下底面所成角的正弦值均为 C．该“刍童”外接球的表面积为 D．该“刍童”外接球表面上的点到平面的距离的最大值为 【答案】BCD 【解析】对A：根据“刍童”的概念可知：“刍童”不是棱台， 所以“刍童”的所有侧棱的延长线不会交于一点，故A错误； 对B：设在平面上的射影为、在直线上的射影为，如图： 易知，该“刍童”的所有侧棱与下底面所成角均相等. 则,，, 所以， 可得， 设，则，故B正确； 对C：如图： 若该“刍童”的的外接球的球心在“刍童”外面， 设其外接球半径为，，（） 则， 所以该“刍童”的的外接球的表面积为：. 若该“刍童”的的外接球的球心在“刍童”里面， 设其外接球半径为，，（） 则，不合题意，故舍去. 所以该“刍童”的的外接球的表面积为：.故C正确； 对D：如图： 等腰梯形中，，，， 所以， 即等腰梯形外接圆的半径. 所以该“刍童”的的外接球球心到平面的距离为：， 所以该“刍童”外接球表面上的点到平面的距离的最大值为，故D正确.故选：BCD 11．（24-25高三上·甘肃定西·期末）如图，在长方体中，，E，F分别是棱的中点，点G在棱上，则下列说法正确的是（    ） A．存在点G，使得 B．点B到平面CEF的距离是 C．存在点G，使得平面CEF D．过CF作该长方体外接球的截面，所得截面面积的最小值是 【答案】ABD 【解析】以为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图： 设，则， ， 对于A，由，得，解得，A正确； 对于B，设平面CEF的法向量为，则，令， 得，则点B到平面CEF的距离是，B正确； 对于C，当平面CEF时，，则， 即，此方程组无解，C错误； 对于D，设该长方体外接球的球心为O，则，， 点O到直线CF的距离，设该截面圆的半径为r， 则， 所得截面面积的最小值是，D正确.故选：ABD 三、填空题 12．（24-25高三下·江西九江·月考）已知异面直线所成的角为，在直线上，在直线上，，则间的距离为 ． 【答案】或 【解析】 以向量为基底， 由题知：或， ∴， 当时，，∴， 当时，，∴． 故答案为：或． 13．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·月考）正四面体中，，，则异面直线与所成角的正弦值为 ． 【答案】 【解析】从正方体中可截取一个正四面体，设正方体的边长为， 根据正方体的性质建立空间直角坐标系如图所示： 则， 所以， 则， 因为，， 所以，则， 所以， 根据， 则， 所以异面直线PQ与BD所成角的正弦值为. 14．（24-25高三上·辽宁大连·期中）如图，在五棱锥中，底面ABCDE，，，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为 ． 【答案】 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，， 所以, 则， 假设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 假设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 假设平面与平面的夹角为， 则， 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高三上·辽宁沈阳·月考）《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，平面ABCD，，四边形ABCD中，，，，． (1)证明：四面体BCFD为鳖臑； (2)求点C到平面BDF的距离； (3)求几何体ABCDEF的表面积． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1）取的中点，连接， 平面，，平面， 又平面，，为直角三角形. 四边形中，，，，， ，四边形为平行四边形，， ，， ，， 在中，，， ，为直角三角形， 在中，，， ，为直角三角形， 四面体为鳖臑. （2）设点C到平面的距离为， ，即，解得. （3）取的中点，连接， 根据题意可知，四边形为平行四边形， ， ，易得为直角三角形， ， 又因为的边上的高为，， 几何体的表面积 . 16．（24-25高三下·广西·开学考试）如图平面ABC，，F是线段BC上的动点，E是MC的中点，已知 (1)证明：平面平面 (2)若，，N在线段MB上. （i）求点C到平面AEB的距离; （ii）是否存在点N，使得平面NAC与平面AEB夹角的余弦值为若存在，求的值;若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)（i）；（ii）存在，或 【解析】（1），E是MC的中点，， 平面ABC，平面ABC，， 又，又，平面MAC，平面MAC， 平面MAC， 又平面AEF，， 又，平面MBC，平面MBC， 平面MBC，又平面AEF 平面平面MBC （2）（i） 以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系： ，，，，， ，， 设平面AEB的法向量为 则，即，取，可得， 所以，即点C到平面AEB的距离为； （ii） ， 设，则， ， 设平面NAC的法向量为 则，即， 令。可得， ， 化简得，解得或， 或. 17．（24-25高三上·吉林长春·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，，∥，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，， （i）求二面角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析;(2)（i）；（ii）存在，. 【解析】（1） 取的中点，连接，，如图所示：为棱的中点， ，， ，，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 平面. （2），，， ，， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 又，平面， ，，又， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 如图：则，，，， 为棱的中点， ， （i），， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，，， 平面的一个法向量为， ， 则二面角的正弦值为； （ii）假设在线段上存在点，使得点到平面的距离是， 设，， 则，， 由（2）知平面的一个法向量为， ， 点到平面的距离是 ， ，，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$