模拟卷11（全国高中数学联赛一试）-【竞赛】2024-2025学年高中数学竞赛能力培优全真模拟卷（全国通用）

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题11参考答案及评分标准 说明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次． 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．已知集合是的两个不交子集，且若，则．则的元素之和的最大值为_____． 答案：39． 解析：由，得．若，则，从而中至多有个元素．注意符合条件，故最大值为39． 2．函数的定义域和值域均为，则实数的取值范围是_____． 答案：． 解析：显然在定义域上单调递减，故．从而，故，由于，故． 而，故． 3．已知是平面上的单位向量，且对，这里下标按模2025理解．则对正整数与夹角的所有可能的取值组成的集合为_____． 答案：． 解析：注意单位向量的数量积为等价于两向量夹角为，所以能取到的夹角都是的整数倍．又由向量夹角在到之间，故可能取值有．但容易注意只可能出现在与夹角或的位置，这导致不可能，从而不存在这样的向量，故答案为． 4．已知半径为2的球与平面相切于点，直线与平面相交，交点为．与球相切，切点为，且与平面所成角的大小为，则_____． 答案：． 解析：设在平面的投影为，则四点共面，又，故．过作的垂线，垂足为点，则，故．从而．故． 5．定义函数满足．已知复数满足，则的最大值为_____． 答案：． 解析：设，则．故 6．已知实数满足．随机且独立地从和中选取实数和，则的最小可能概率为_____． 答案：． 解析：容易看出等价于．考虑边界情况，即．这对应四条直线．将这四条直线绘制在中，容易看出，这四条线包绕出的小正方形外侧表示所求区域，因此我们只需选取恰当的，让左侧的矩形中，小正方形外侧的面积占矩形之比最小，设，则此概率 7．已知单调递增的正整数数列共有项，且．对于任意的，．若对于任意，总存在异于的，使得，则对所有可能的的最小值为_____． 答案：5454． 解析：因为数列任意相邻两项的差的绝对值不超过，所以或．当时，，此时，矛盾，所以． 类似地，必有，由得前6项任意两项之和小于等于3时，均符合，要最小，则每项尽可能小，且值要尽量小，则，同理，，当中间各项为公差为1的等差数列时，可使得值最小，且满足题设． 由对称性得最后6项为，则的最小值． 8．在一条单行道上有6个停车位，编号1，2，3，4，5，6．有6辆车，他们各自有一个(可以相同的)心仪的停车位．现在6辆车依次驶入这个单行道，径直驶向自己心仪的停车位．如果心仪的停车位为空，该车就在此泊车；否则该车就停在此后的第一个空停车位；如果后面的停车位都已满，该车就驶离单行道．已知最后恰有5辆车停在了自己心仪的停车位上，则有_____种可能的． 答案：7416． 解析：考虑一般情况，记恰有辆车停在心仪的位置上的方法数为．容易看出中恰好有一对心仪同一个位置，称这对车为好车，而且恰有一个位置没有车心仪，称这个位置为坏位置．记第一辆是好车的方法数为，第一辆车不是好车的方法数为，容易看出若第一辆车不是好车，则可以把这辆车和它心仪的停车位同时删去，故． 若第一辆车是好车，则存在，使得．若，则这些车在前个停车位各选一个心仪的(不重复)，有种，若，则坏位置必须是，从而也是种，共计种．若，则第二辆车不是好车，它的心仪位置有种选法，然后可以删去第二辆车和它心仪的停车位，故这种情况共有种．故 从而，化简可得 ． 由，容易递推算出． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本题满分16分）已知在中，角所对的边分别为，且满足．求的取值范围． 解：因为，所以由正弦定理知 ， 而，故 ， 从而． 由于是三角形内角，故，从而，故 ， 亦即，显然，故． 从而 不妨设，则，故，而，代入上式得． 10．（本题满分20分）已知正实数列的前项和为，且．记． (1) 数列的最大项是第几项？ (2) 数列中是否存在相等的两项？若存在，求出所有正实数，使得数列中有至少两项等于；若不存在，请给出证明． 解：(1) ，即． 当时，，即 将换成，有 上述两式相减得，即，故为等差数列．由，知． 由，易得．当时，由 可得，即，亦即．从而可得，故的最大项是第4项． (2) 由(1)知，．又对，故若中有两项相等，只可能是或，且这样的若存在，则必唯一． 易得，又，则仅有两项相等．故． 11．（本题满分20分）已知椭圆的方程为，点的坐标为．平面上是否存在一点，使得任意作一条过点的直线交椭圆于两点，总有．若存在，请求出点的所有可能坐标；若不存在，请说明理由． 解：先考虑题设中过点的直线与坐标轴垂直的情况．设，记与椭圆交于，与交于与椭圆交于，与交于点．则以和为直径的圆分别为和的阿波罗尼斯圆．记两圆的第二个交点为，则且在上．计算可得．下证点满足条件．设过点的直线方程为，与椭圆方程联立得 设点，由韦达定理知．注意等价于，代入得 将斜率展开得 最后一个式子显然成立．故点即为所求． 另解：容易看出这样的点至多有一个．将点平移到原点，则椭圆方程变为，即．然后以原点为反演中心，1为反演半径作反演变换，则点变为点．记点在反演变换下的像分别为，则根据反演变换的性质有．因此等价于．注意直线在反演变换下保持不变，故上述条件等价于点在线段的中垂线上． 由于反演变换的逆变换为自身，故在反演后对应的曲线方程为 亦即 考虑一条曲线，其方程为 先考虑斜率存在的情况，设直线方程为．分别与和方程联立可得 与 注意由韦达定理，与和方程联立得到的两根之和相同．从而与两曲线各自的两交点的中垂线是同一条．而方程是圆，它的任意一条弦的中垂线必过圆心．容易看出直线斜率不存在时，中垂线也过该点，故该圆心即点． 从而反演变换前点的坐标为．故在原坐标系下点的坐标为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题11 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．已知集合是的两个不交子集，且若，则．则的元素之和的最大值为_____． 2．函数的定义域和值域均为，则实数的取值范围是_____． 3．已知是平面上的单位向量，且对，这里下标按模2025理解．则对正整数与夹角的所有可能的取值组成的集合为_____． 4．已知半径为2的球与平面相切于点，直线与平面相交，交点为．与球相切，切点为，且与平面所成角的大小为，则_____． 5．定义函数满足．已知复数满足，则的最大值为_____． 6．已知实数满足．随机且独立地从和中选取实数和，则的最小可能概率为_____． 7．已知单调递增的正整数数列共有项，且．对于任意的，．若对于任意，总存在异于的，使得，则对所有可能的的最小值为_____． 8．在一条单行道上有6个停车位，编号1，2，3，4，5，6．有6辆车，他们各自有一个（可以相同的）心仪的停车位．现在6辆车依次驶入这个单行道，径直驶向自己心仪的停车位．如果心仪的停车位为空，该车就在此泊车；否则该车就停在此后的第一个空停车位；如果后面的停车位都已满，该车就驶离单行道．已知最后恰有5辆车停在了自己心仪的停车位上，则有_____种可能的． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本题满分16分）已知在中，角所对的边分别为，且满足．求的取值范围． 10．（本题满分20分）已知正实数列的前项和为，且．记． (1) 数列的最大项是第几项？ (2) 数列中是否存在相等的两项？若存在，求出所有正实数，使得数列中有至少两项等于；若不存在，请给出证明． 11．（本题满分20分）已知椭圆的方程为，点的坐标为．平面上是否存在一点，使得任意作一条过点的直线交椭圆于两点，总有．若存在，请求出点的所有可能坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$