精品解析：浙江省湖州市2024-2025学年高二上学期期末数学试题

2024学年第一学期期末调研测试卷 高二数学 注意事项： 1.本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答. 2.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点到其准线的距离为( ) A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线标准方程即可求得焦准距. 【详解】由抛物线可得， 而抛物线的焦点到准线的距离为. 故选：C. 2. 若直线与直线垂直，则实数a的值是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线垂直得到，求解即可； 【详解】由题意可得：， 解得： 故选：A 3. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据基底的含义以及向量共面的判定，即可判断出答案. 【详解】对于A，，故，，共面； 对于B，，与共面，构成空间的一个基底，即不共面，则与，不共面； 对于C，，，，共面； 对于D，，即，，共面， 故选：B 4. 已知为数列的前项和，且（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据与的关系求解即可. 【详解】因为，又， 所以. 故选：D. 5. 已知圆，，则与的公共弦的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合圆的方程求两圆的圆心和半径，判断两圆的位置关系，求两圆的公共弦方程，再结合弦长公式求结论. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 因为，故圆与圆相交， 将两圆方程相减可得， 故两圆的公共弦方程为， 圆心到直线的距离， 所以公共弦的长为. 故选：A. 6. 已知空间三点，，，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求在上的投影向量，再结合勾股定理求结论. 【详解】因为，，， 所以，， 所以在向量上的投影向量的长为， 所以点到直线的距离是. 故选：C. 7. 已知等差数列，的前n项和分别是，，若（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，由条件确定关系，由此可求，由此可求结论. 【详解】因为数列，为等差数列， 所以可设，， 因为， 所以， 所以， 所以，，， 所以，，， 所以， 所以，. 故选：D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，，，，（，），若动点，满足，（），则动直线与的交点（ ） A. 在直线上 B. 在曲线上 C. 在曲线上 D. 在曲线上 【答案】B 【解析】 【分析】求直线与直线的方程，消去参数可得交点轨迹. 【详解】因为，，，，，， 所以的坐标为，点的坐标为， 所以直线的方程为，即， 直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 消去可得，即， 所以动直线与的交点在曲线上. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列，都是公比不为1的正项等比数列，则下列结论中一定正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等比数列 C. 数列是等差数列 D. 数列是等差数列 【答案】BC 【解析】 【分析】利用等差数列与等比数列的定义通项公式及其对数的运算分析判断即可 【详解】对于A选项，不妨设，，满足、都是正项等比数列， 此时， 因为，， 所以，此时数列不是等比数列，故A不正确； ， ，不相等，故D不正确， 对于B，设等比数列的公比分别为， 因为，所以数列是以为公比的等比数列，所以B正确， 对于C，因为数列，都是公比不为1的正项等比数列，为常数，所以数列是等差数列，所以C正确， 故选：BC 10. 如图，平行六面体的底面是菱形，且，，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面 B. C. 点到平面的距离为 D. 直线与直线所成角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，则，， 对于A，，，，由，可得； 对于B，可得； 对于C，求边长为1的正四面体的高可得； 对于D，又，根据空间向量法求夹角即可. 【详解】，设，则， 因，故， 对于A，，，， ， ， 故，，又，平面， 故平面，故A正确； 对于B，， ，故B错误； 对于C，由题意可知三棱锥为边长为1的正四面体， 如图，为底面的中心，为的中点， 由题意可知即为点到平面的距离， 则，， 故，故C正确； 对于D，，，， ， 设直线与直线所成角为， 则，故D正确. 故选：ACD 11. 抛物线的光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点（不同于顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.如图，已知抛物线C的准线为，焦点为F，过C上任意一点P（不同于顶点）的切线与交于Q，与x轴交于点R，过点P作的垂线与x轴交于点T，点P在上的投影为点A，则下列说法正确的是（ ） A. 以线段为直径的圆过定点 B. 点F是线段中点 C. y轴上存在一点M，使得 D. 若平行于抛物线对称轴的光线（不与对称轴重合）经抛物线两次反射后，且入射光线与最后的反射光线间的最小距离为2，则该抛物线的方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，设点，分别求出切线方程、过点与切线垂直直线方程，依次求解相关点坐标.A项转化为向量坐标化求解可得；B项由中点坐标公式可知；C项由数量积坐标运算可判断；D项由光学性质，将两光线间的距离用表示，再设直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理转化为关于的函数求最值可得. 【详解】设抛物线方程为，则焦点，准线， 设上任意一点，，则. 由题意知切线斜率存在，设切线方程为， 联立，消得， ，且，则， 解得，则在点处的切线方程为， 令，得，即， 令，得，即. 过点与垂直的直线， 令，得，即， A项，，， 则， 所以，即以为直径的圆过定点，故A正确； B项，，由， 可知是线段的中点，故B正确； C项，设轴上任一点，则， 则 ，故C错误； D项，由光学性质，经抛物线两次反射后，入射光线与最后的反射光线均平行于轴. 设平行于抛物线对称轴的入、反射光线分别与交于， 则过焦点，设直线的方程为， 联立，消得， 则， 所以两平行光线间的距离 ， 当且仅当时，即与轴垂直时，两光线间的距离最小，且最小值为. 由题意，最小距离为2，即， 故此时抛物线方程为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于理解题意，利用抛物线的光学性质，转化两平行光线间的距离为，设而不求利用韦达定理求解最值. 第Ⅱ卷（非选择题部分，共92分） 注意事项：用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题纸上，做在试题卷上无效. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列中，，（），则______. 【答案】 【解析】 【分析】将化为，采用累加相消的方法，即可求得答案. 【详解】由题意知数列中，，， 故， 故 ， 故答案为： 13. 由曲线围成的图形的面积为_______________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：当时，曲线 表示的图形为 以为圆心，以为半径的圆在第一象限的部分，所以面积为 ，根据对称性，可知由曲线 围成的图形的面积为 考点：本小题主要考查曲线表示的平面图形的面积的求法，考查学生分类讨论思想的运用和运算求解能力. 点评：解决此题的关键是看出所求图形在四个象限内是相同的，然后求出在一个象限内的图形的面积即可解决问题. 14. 已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，O为坐标原点，P为C上一点，右顶点A到直线的距离为（），点P到直线x轴的距离为.若，且，，成等比数列，则双曲线C的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】设出点坐标，利用点到直线距离 公式可得，再利用双曲线定义及数量积的运算律列式求出离心率. 【详解】设点，则直线方程为，而，又， 则，于是，由，，成等比数列， 得，而，则， 令双曲线半焦距为c，由， 得，因此，解得， 所以双曲线C的离心率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，过点作直线交于，两点. （1）若，求直线的方程； （2）若点是上的一动点，点是线段的中点，求动点的轨迹方程. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由圆的方程求圆心及半径，结合弦长公式求圆心到直线的距离，验证斜率不存在与条件矛盾，设直线，结合点到直线距离公式列方程求斜率，可得结论； （2）设，，由条件利用表示，将结果代入圆的方程可得轨迹方程. 【小问1详解】 由题意得，圆的半径，圆心， 故直线与圆心的距离， 若斜率不存，即，显然不满足要求； 若斜率存在，设直线，即. 由，得， 因此所求直线的方程为， 即或. 【小问2详解】 设，， 因为是线段的中点，所以，故， 又点在圆上，故有， 将（*）代入得， 因此点轨迹方程为. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为正方形且边长为2，，. （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得到，再通过平面，得到，即可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可； 【小问1详解】 由，，，由勾股定理可得. 又平面平面，平面平面， 又平面，且， 可得平面，又平面， 所以. 因为且平面. 所以平面， 平面，所以. 【小问2详解】 过P作交于O， 因为平面平面且交于，， 所以平面， 易得，，， 如图以O为坐标原点建立空间直角坐标系， ，，. 故，. 设平面的法向量， 则，得， 解得 又平面的法向量， 设平面与平面的夹角为， 则. 因此平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知数列的首项，且满足（）. （1）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （2）若，求满足条件的最大整数n. 【答案】（1）证明见解析， （2）2024 【解析】 【分析】（1）递推关系可变形为，结合等比数列定义证明结论，再求，变形可得的通项公式； （2）求数列的前项和，由此可得，再研究数列的单调性，结合单调性解不等式求的最大值. 【小问1详解】 因为， 所以， ， 又，所以数列是以为首项，为公比等比数列； 所以， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， 则， 记，则，所以单调递增， 当时，； 当时，， 则满足条件的最大整数. 18. 如图，已知点，在双曲线（，）上，过点作直线交曲线C于M，N两点，过N作x轴的垂线交直线于点Q. （1）求曲线C的方程； （2）若点P为线段的中点，求线段的长度； （3）求证：直线过定点. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据双曲线上的点，列出方程组，即可求得答案； （2）设直线方程并联立双曲线方程，结合根与系数的关系以及弦长公式，即可求得答案；另解：可用点差法求解； （3）设直线方程并联立双曲线方程，可得根与系数的关系，求出的方程，即可表示出Q点坐标，进而可得直线的方程，即可证明结论；另解：结合图设，证明直线恒过定点，故只要证明，结合斜率公式化简即可. 【小问1详解】 将A，B代入曲线C的方程可得： ，解得， 所以曲线C的方程为：. 【小问2详解】 直线的斜率显然存在，故设的斜率为k，， 得：消元得：， 所以. 若点P为线段的中点，则，所以. 经验证，满足，符合题意； 则：消元得：， 所以. 另解：直线的斜率显然存在，故设的斜率为k，， 得：变形得：， 即，所以. 所以得：消元得： 所以. 【小问3详解】 直线的斜率显然存在，故设直线的方程为，，， 得：消元得：， 所以. 由直线的方程为，所以， 所以直线的方程为， 令，得. 又，得，消去， 整理得 即直线恒过定点. 另解： 直线的斜率显然存在，故设直线的方程为，，， 得：消元得：， 所以. 由直线的方程为，所以， 以下证明：直线恒过定点. 只要证明，即证， 只要证明， 只要证明， 只要证明. 上式显然恒成立，即直线恒过定点. 【点睛】难点点睛：有关圆锥曲线综合应用问题，解答的思路并不难想到，难点在于复杂的计算，并且基本都是有关字母参数的计算，需要十分细心. 19. 无穷数列满足：若存在正数，使得对任意，，不等式恒成立，则称数列为数列. （1）请判断公差为4的等差数列是否为数列，并说明理由； （2）若首项为1，公比为的正项等比数列为数列. （i）求实数的取值范围； （ii）记数列的前n项和为，求证：存在一个正数，使得数列为数列. 【答案】（1）是，理由见解析 （2）（i）（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1））直接利用定义判断结论是否成立； （2）（i），根据的单调性去掉绝对值，通过构造新数列，由不等式恒成立得到新数列的单调性，求的取值范围； （ⅱ）根据（i）的结果分类讨论，时，易证，当时，要数列符合数列，只要，构造新数列，由不等式恒成立得到新数列的单调性，由条件只要证即可. 【小问1详解】 公差为4的等差数列，设， 由， 所以公差为4的等差数列是数列. 【小问2详解】 （i）首项为1，公比为q的正项等比数列，， 由对，恒成立，得 若，则，符合. 若，由数列单调递增，不妨设， 故，得（*）， 设，由（*）式中的i，j任意性得数列不递増， 所以，， 但当，，矛盾. 若，则数列单调递减，不妨设， ，即（**）， 设，由（**）式中i，j的任意性得，数列不递减， 所以，， 又当时，单调递增， 因此，结合，得， 综上，公比q的取值范围为. （ⅱ）①当时，，， 故对于任意，均有，此时数列为数列. ②当时，不妨设，因为，则. 要使得数列为数列，则， 只要， 只要， 设，由（**）式中i，j任意性得，数列不递减， 此时 因为，所以必定存在，使得对， 所以存在一个正数，使得数列为数列. 综上所述，可知对于任意的， 均存在一个正数，使得数列为数列. 【点睛】思路点睛：在第（2）（ⅱ）中判断数列为时，分类讨论，根据数列的单调性去掉绝对值，通过构造新数列，由不等式恒成立得到新数列不递减，研究此数列不递减的条件即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期期末调研测试卷 高二数学 注意事项： 1.本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答. 2.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点到其准线的距离为( ) A. B. 1 C. 2 D. 4 2. 若直线与直线垂直，则实数a的值是（ ） A 0 B. 1 C. D. 3. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 已知为数列的前项和，且（），则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆，，则与的公共弦的长是（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间三点，，，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列，的前n项和分别是，，若（），则（ ） A B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，，，，（，），若动点，满足，（），则动直线与的交点（ ） A. 在直线上 B. 在曲线上 C. 在曲线上 D. 在曲线上 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列，都是公比不为1的正项等比数列，则下列结论中一定正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等比数列 C. 数列是等差数列 D. 数列是等差数列 10. 如图，平行六面体的底面是菱形，且，，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面 B. C. 点到平面的距离为 D. 直线与直线所成角的余弦值为 11. 抛物线的光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点（不同于顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.如图，已知抛物线C的准线为，焦点为F，过C上任意一点P（不同于顶点）的切线与交于Q，与x轴交于点R，过点P作的垂线与x轴交于点T，点P在上的投影为点A，则下列说法正确的是（ ） A. 以线段为直径的圆过定点 B. 点F是线段中点 C. y轴上存在一点M，使得 D. 若平行于抛物线对称轴的光线（不与对称轴重合）经抛物线两次反射后，且入射光线与最后的反射光线间的最小距离为2，则该抛物线的方程为 第Ⅱ卷（非选择题部分，共92分） 注意事项：用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题纸上，做在试题卷上无效. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列中，，（），则______. 13. 由曲线围成的图形的面积为_______________． 14. 已知双曲线（，）左右焦点分别为，，O为坐标原点，P为C上一点，右顶点A到直线的距离为（），点P到直线x轴的距离为.若，且，，成等比数列，则双曲线C的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，过点作直线交于，两点. （1）若，求直线的方程； （2）若点是上的一动点，点是线段的中点，求动点的轨迹方程. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为正方形且边长为2，，. （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知数列的首项，且满足（）. （1）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （2）若，求满足条件的最大整数n. 18. 如图，已知点，在双曲线（，）上，过点作直线交曲线C于M，N两点，过N作x轴的垂线交直线于点Q. （1）求曲线C方程； （2）若点P为线段的中点，求线段的长度； （3）求证：直线过定点. 19. 无穷数列满足：若存在正数，使得对任意，，不等式恒成立，则称数列为数列. （1）请判断公差为4的等差数列是否为数列，并说明理由； （2）若首项为1，公比为的正项等比数列为数列. （i）求实数取值范围； （ii）记数列的前n项和为，求证：存在一个正数，使得数列为数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$