专题10.1 两角和与差的三角函数（八个重难点突破）-2024-2025学年高一第二学期数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第二册）

专题10.1 两角和与差的三角函数 一、两角和与差的正余弦公式正用 五、求特殊角的三角函数值 二、两角和与差的正余弦公式逆用 六、三角函数式给值求值 三、两角和与差的正切公式正用 七、三角函数式求值求角 四、两角和与差的正切公式逆用 八、三角函数式的化简与证明 知识点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）；（2） 记忆口诀：“CCSS，符号改变”； （3）；（4） 记忆口诀：“SCCS，符号不变”； （5） （6） 知识点2两角和与差的三角函数应用 1.给角求值与给值求值问题 “给角求值”、“给值求值”问题求解的关键是把“所求角”用“已知角”表示，其中“已知角”可以是题意提供的角，也可以是常用的特殊角，例如 2.给值求角问题 实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角. 一般遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数； ②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数； 若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦； 若角的范围是，选正弦. 重难点一、两角和与差的正余弦公式正用 【例1】已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，，所以， 则， 故选：C． 【例2】已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由 ，即，解得. 故选：. 【变式1-1】若，则 【答案】5 【详解】由可得， 故， 故答案为：5 【变式1-2】已知，，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 又，所以，， 所以 故选： 【变式1-3】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由，可得， ∴， 故选：C． 正用和差角公式“展开”含有特殊角的三角式,然后合并可以化简某些特殊结构的三角式. 重难点二、两角和与差的正余弦公式逆用 【例3】（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C 【例4】已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】两边平方得，①， 两边平方得，②， 式子①+②得， 即，即， 所以. 故选：B 【变式2-1】已知，且，则 . 【答案】 【详解】由， 又，则. 故答案为： 【变式2-2】设，则“”是“，”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【详解】由， 得，所以， 所以，，所以，， 所以”是“，”的必要不充分条件， 故选：B 【变式2-3】等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】 . 故选：C 含有两个角的正、余弦值的积的和或差的三角式,若不符合和差角公式结构,通过诱导公式凑为和差角公式的结构形式,然后逆用公式“合并”为一个三角式,若为特殊角则需要求值. 重难点三、两角和与差的正切公式正用 【例5】已知，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【详解】由，等式两边同乘可得． 移项得到，故． 所以． 故选：. 【例6】已知是第二象限内的角，，则 . 【答案】 【详解】因为是第二象限内的角，， 所以，则， 则. 故答案为： 【变式3-1】已知，则 ． 【答案】 【详解】， 解得， 解得，故． 故答案为：. 【变式3-2】在中，已知是关于的方程的两个根，则角（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题得， 所以， 由于，故． 故选：A 【变式3-3】设，若，则 . 【答案】 【详解】， 整理得， 因为，所以，所以， 则. 故答案为：. 重难点四、两角和与差的正切公式逆用 【例7】的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为， 所以， 所以有 ， 故选：D． 【例8】若，则 . 【答案】 【详解】因为，则， 所以，， 因此，. 故答案为：. 【变式4-1】（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】因为， 且， 可得， 所以 . 故选：C． 【变式4-2】化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 故选：D. 【变式4-3】已知正实数a，b满足，则 ． 【答案】 【详解】原式可变形为：， 令，则有， 由此可， 所以，（）， 故， 即． 故答案为： 逆用需紧扣“分子和差±分母积差”结构，灵活拆角并匹配符号，验证条件后代入公式求解。 重难点五、求特殊角的三角函数值 【例9】（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 故选：A． 【例10】计算（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 代入原式可得. 故选：A. 【变式5-1】已知角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】解：角的终边经过点，即， 由三角函数的定义可得，，所以． 故选：． 【变式5-2】某同学站立在雨中水平撑伞，始终保持伞面的下边缘距离地面，当雨与地面成斜降下来时，要使脚恰好不被雨淋湿，脚与伞边缘的水平距离（单位：m）为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，脚的位置位于点处，伞的边缘位于点处，则脚与伞边缘的水平距离为. 由题意得，在中，，则，则， ， . 故选：. 【变式5-3】 ． 【答案】/ 【详解】. 故答案为：. 直接使用公式求值时,应该充分利用已知角的三角函数值,求所需要的三角函数值 重难点六、三角函数式给值求值 【例11】已知，都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，都是锐角，，， ，， . 故选：D. 【例12】已知，，，则 . 【答案】 【详解】因，，， 故，， 故，， 则 . 故答案为： 【变式6-1】若、为锐角，，，则角 ． 【答案】 【详解】由于为锐角，所以， 所以，， 所以， 所以. 故答案为：. 【变式6-2】若，且，则 . 【答案】 【详解】因，所以，又，所以. 根据，得，同时也能确定. 因为，所以. . 所以 因为，所以. 在这个区间内，时，. 故答案为：. 【变式6-3】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令， 则，，且， 因为，所以，所以， 因为，所以，， 所以， 所以. 故选：A． ①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式; ②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”,或者将“所求角”转化为与“已知角”及特殊角之间的关系. 重难点七、三角函数式求值求角 【例13】已知锐角，满足，，求的值． 【答案】 【详解】由，，且，可知，，． ． 又，，，． 【例14】已知都是锐角，且，则 . 【答案】 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以， 故答案为： 【变式7-1】在平面直角坐标系中，已知锐角的终边与单位圆交点的纵坐标为，锐角的终边与单位圆交点的横坐标为． (1)求和的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由三角函数的定义可知，，， 因为，为锐角， 所以， ； （2）因为，，， 所以， 因为，，所以， 所以． 【变式7-2】已知. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，可得， . （2）由 ，可得， 又， ， ， 由，可得. 【变式7-3】已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝ . 【答案】 【详解】因为α，β均为锐角，所以－<α－β<. 又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝. 又sin α＝，所以cos α＝， 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝×－×＝. 所以β＝. 故答案为： 方法总结： ①定范围：优先明确角的限制区间，避免多解或漏解。 ②选函数：根据范围选择单调性好的函数（如余弦在单调，正切在唯一对应）。 ③构造角：将所求角用已知角或特殊角（如）的和差、倍半关系表示，结合公式转化。 ④验结果：将解代入原式验证，结合范围排除增根，确保唯一性 重难点八、三角函数式的化简与证明 【例15】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以 . 故选：D. 【例16】已知 ， ，且，，证明：. 【答案】证明见解析 【详解】因为，，所以，， ， ， 所以， ， ，所以 ， 由，，有 ，所以 . 【变式8-1】已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选: 【变式8-2】若为锐角，且，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】由，则， 所以，又为锐角，则， 所以，可得. 故选：D 【变式8-3】已知，是方程（）的两个根，求证：. 【答案】证明见解析 【详解】证明：因为，是方程（）的两个根， 所以，， 所以. 所以左边 右边. 所以原等式成立. 一、单选题 1．已知角的终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设， 则. 故选：B 2．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 . 故选：A. 3．已知角的终边经过点，将的终边逆时针旋转得到角，若，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【详解】因为角的终边经过点， 所以， 所以，解得：. 故选：D 4．已知为锐角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为锐角，所以，又， 所以， 所以， 故选：A 5．已知，则的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵， ， ， ∴， ∴，即， ∴. 故选：C. 6．已知，，，，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由题意知，， 即， 令，则不等式化为, 当且仅当时取等号，的最小值为4. 故选：C 二、多选题 7．已知，分别为第一、第三象限角，且，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】已知为第一象限角，且， 则，所以， 同理为第三象限角，则， 所以，，C正确，D错误， ，A错误； ，B正确. 故选：BC 8．已知的终边经过点，则（   ） A． B．可能等于 C． D．可能等于 【答案】ACD 【详解】因为的终边经过点，且， 所以，，故A，C正确. 因为点在第四象限，所以不可能等于，可能等于，B错误，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 9． ． 【答案】 【详解】原式=. 故答案为：. 10．已知，，，，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】，，，， ，， ，. . 故答案为：. 11．已知，且，则的最大值是 . 【答案】/ 【详解】因为， 所以， 即，即. 又， 等号当且仅当时成立，所以的最大值是. 故答案为：. 四、解答题 12．已知、均为锐角，. (1)求，的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为均为锐角，所以. 又，所以. （2）根据第（1）问可知： 13．如图，在平面直角坐标系中，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆交于点，点． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由三角函数的定义可得，． 因为，所以，， 所以． （2）由（1）知，， 所以． 14．在中，，求A. 【答案】. 【详解】在中，由， 得， 整理得， 于是，而，则， 两边平方得，而，， 解得，所以. 15．已知，求的值. 【答案】或. 【详解】因为， 所以， 故有.① 又，② ①②联立，解得或 且. 当，时，； 当，时，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10.1 两角和与差的三角函数 一、两角和与差的正余弦公式正用 五、求特殊角的三角函数值 二、两角和与差的正余弦公式逆用 六、三角函数式给值求值 三、两角和与差的正切公式正用 七、三角函数式求值求角 四、两角和与差的正切公式逆用 八、三角函数式的化简与证明 知识点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）；（2） 记忆口诀：“CCSS，符号改变”； （3）；（4） 记忆口诀：“SCCS，符号不变”； （5） （6） 知识点2两角和与差的三角函数应用 1.给角求值与给值求值问题 “给角求值”、“给值求值”问题求解的关键是把“所求角”用“已知角”表示，其中“已知角”可以是题意提供的角，也可以是常用的特殊角，例如 2.给值求角问题 实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角. 一般遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数； ②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数； 若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦； 若角的范围是，选正弦. 重难点一、两角和与差的正余弦公式正用 【例1】已知，，则（   ） A． B． C． D． 【例2】已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】若，则 【变式1-2】已知，，则（   ） A． B． C．1 D． 【变式1-3】已知，则（    ） A． B． C． D． 正用和差角公式“展开”含有特殊角的三角式,然后合并可以化简某些特殊结构的三角式. 重难点二、两角和与差的正余弦公式逆用 【例3】（    ） A． B．0 C． D． 【例4】已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知，且，则 . 【变式2-2】设，则“”是“，”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式2-3】等于（    ） A． B． C． D．1 含有两个角的正、余弦值的积的和或差的三角式,若不符合和差角公式结构,通过诱导公式凑为和差角公式的结构形式,然后逆用公式“合并”为一个三角式,若为特殊角则需要求值. 重难点三、两角和与差的正切公式正用 【例5】已知，则（   ） A． B． C．3 D． 【例6】已知是第二象限内的角，，则 . 【变式3-1】已知，则 ． 【变式3-2】在中，已知是关于的方程的两个根，则角（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】设，若，则 . 重难点四、两角和与差的正切公式逆用 【例7】的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【例8】若，则 . 【变式4-1】（    ） A．1 B． C． D．2 【变式4-2】化简：（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知正实数a，b满足，则 ． 逆用需紧扣“分子和差±分母积差”结构，灵活拆角并匹配符号，验证条件后代入公式求解。 重难点五、求特殊角的三角函数值 【例9】（    ） A． B． C． D． 【例10】计算（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【变式5-2】某同学站立在雨中水平撑伞，始终保持伞面的下边缘距离地面，当雨与地面成斜降下来时，要使脚恰好不被雨淋湿，脚与伞边缘的水平距离（单位：m）为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】 ． 直接使用公式求值时,应该充分利用已知角的三角函数值,求所需要的三角函数值 重难点六、三角函数式给值求值 【例11】已知，都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 【例12】已知，，，则 . 【变式6-1】若、为锐角，，，则角 ． 【变式6-2】若，且，则 . 【变式6-3】已知，且，则（    ） A． B． C． D． ①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式; ②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”,或者将“所求角”转化为与“已知角”及特殊角之间的关系. 重难点七、三角函数式求值求角 【例13】已知锐角，满足，，求的值． 【例14】已知都是锐角，且，则 . 【变式7-1】在平面直角坐标系中，已知锐角的终边与单位圆交点的纵坐标为，锐角的终边与单位圆交点的横坐标为． (1)求和的值； (2)求的值． 【变式7-2】已知. (1)求的值； (2)若，求的值. 【变式7-3】已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝ . 方法总结： ①定范围：优先明确角的限制区间，避免多解或漏解。 ②选函数：根据范围选择单调性好的函数（如余弦在单调，正切在唯一对应）。 ③构造角：将所求角用已知角或特殊角（如）的和差、倍半关系表示，结合公式转化。 ④验结果：将解代入原式验证，结合范围排除增根，确保唯一性 重难点八、三角函数式的化简与证明 【例15】已知，则（   ） A． B． C． D． 【例16】已知 ， ，且，，证明：. 【变式8-1】已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】若为锐角，且，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式8-3】已知，是方程（）的两个根，求证：. 一、单选题 1．已知角的终边过点，则（   ） A． B． C． D． 2．（    ） A． B． C． D． 3．已知角的终边经过点，将的终边逆时针旋转得到角，若，则（    ） A． B． C． D．3 4．已知为锐角，若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，则的关系为（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题 7．已知，分别为第一、第三象限角，且，则（   ）． A． B． C． D． 8．已知的终边经过点，则（   ） A． B．可能等于 C． D．可能等于 三、填空题 9． ． 10．已知，，，，则的值为 ． 11．已知，且，则的最大值是 . 四、解答题 12．已知、均为锐角，. (1)求，的值； (2)求的值. 13．如图，在平面直角坐标系中，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆交于点，点． (1)求的值； (2)求的值． 14．在中，，求A. 15．已知，求的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$