精品解析：北京市第一六一中学2024-2025学年高一下学期开学测试数学试题

北京市第一六一中学2024—2025学年第二学期开学测试 高一数学2025.2 班级_________姓名_________学号_________ 本试卷共2页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效. 一、选择题：本大题共10道小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置. 1 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 掷一个骰子，观察朝上的面的点数，设事件“点数为奇数”，事件“点数为的整数倍”，若，分别表示事件，发生的概率，则（ ） A. ， B. ， C. D. 3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数与的图像关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 3 5. 已知，若方程至少有一个解，则（ ） A. B. C. D. 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是 A. B. C. D. 8. 定义在上的函数是增函数，则系数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 在不考虑空气阻力条件下，火箭的最大速度（单位：）与燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到．若要使火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭质量的比值应为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数在上的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5道小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上. 11. 函数的定义域为_______. 12. 函数的值域为，能使成立的一个值为________． 13. 在中，点满足．若，则________；________． 14. 已知函数,若，则________；若有三个不同的实根，且满足，则的取值范围是________ 15. 对于函数﹐若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”．已知函数 （1）若，则函数“_______阶准偶函数”； （2）若函数是“阶准偶函数”，则的取值范围是_____________． 三、解答题：本大题共6道小题，共75分.把答案填写在答题卡上相应的位置. 16. 甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目概率是，乙解出这道题目的概率是． （1）求甲、乙两人都解出这道题目的概率； （2）求这道题目被甲、乙两人解出的概率． 17. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围； （3）若，求取值范围． 18. 已知函数. （1）判断的奇偶性，并证明； （2）若，求的取值范围. 19. 设，且图象过点， （1）求表达式； （2）计算； （3）试求的值． 20. 已知函数． （1）求函数的最小值； （2）若对于，恒成立，求的取值范围； （3）若关于的方程有两个不同的实数解，直接写出实数的取值范围． 21. 已知集合对于，，定义A与B的差为 A与B之间的距离为 （Ⅰ）当n=5时，设，求，； （Ⅱ）证明：，且; (Ⅲ) 证明：三个数中至少有一个是偶数 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市第一六一中学2024—2025学年第二学期开学测试 高一数学2025.2 班级_________姓名_________学号_________ 本试卷共2页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效. 一、选择题：本大题共10道小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置. 1 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数的运算性质求解即可． 【详解】因为，， 所以. 故选：D． 2. 掷一个骰子，观察朝上的面的点数，设事件“点数为奇数”，事件“点数为的整数倍”，若，分别表示事件，发生的概率，则（ ） A. ， B. ， C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型求解概率即可. 【详解】首先，我们知道投掷的点数有， 对于，符合条件的有，对于，符合条件的有， 故，，故B正确. 故选：B 3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数与单调递增的定义，可得答案. 【详解】对于A，由，则，，即，故A不符合题意； 对于B，，显然函数是非奇非偶函数，故B不符合题意； 对于C，由函数的定义域为，，则函数是奇函数， 由函数在上单调递增，函数在上单调递减，则函数在上单调递增，故C正确； 对于D，由函数的定义域为，则函数是非奇非偶函数，故D不符合题意. 故选：C. 4. 若函数与的图像关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底的指数函数和对数函数互为反函数可解. 【详解】因为函数与的图像关于直线对称， 所以，所以. 故选：B. 5. 已知，若方程至少有一个解，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由选项分别求函数值，根据零点存在性定理，可得函数零点存在的区间，结合方程根的个数，可得答案. 【详解】由，，，，，，， 则，， 所以函数在、、内分别至少有一个零点， 由方程为次方程，最多存在个根， 则方程的三个根分别为、、内. 故选：D. 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数在上单调递增，可得结论. 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 由，结合为增函数，可得， 由，结合为增函数，可得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 7. 如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：如下图所示，画出的函数图象，从而可知交点，∴不等式的解集为，故选C． 考点：1．对数函数的图象；2．函数与不等式；3．数形结合的数学思想． 8. 定义在上的函数是增函数，则系数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性，结合函数定义域，列出不等关系，即可求得的范围. 【详解】二次函数的对称轴为，考虑到其定义域为，故. 故选：A. 9. 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）与燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到．若要使火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭质量的比值应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】根据对数运算法则可求得，由此可得结果. 【详解】由题意得：， ，， 即当火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭质量的比值为. 故选：D. 10. 已知函数在上的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，求出相应的值，即可画出的图象，数形结合求出的最值，即可得解. 【详解】由，即，解得或， 所以， 当时，，所以， 当时，令，即，解得，， 则的图象如下所示： 因为函数在上的值域为， 当，（或，）时取得最小值， 即； 当，时取得最大值， 即； 所以的取值范围是. 故选：D 二、填空题：本大题共5道小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上. 11. 函数的定义域为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分母不为,根号内要大于等于且对数函数的定义域列不等式组，解不等式可得. 【详解】由题可知，解得 故答案为：. 12. 函数的值域为，能使成立的一个值为________． 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】首先求出函数的值域为，再利用集合间的包含关系即可求得的取值范围，即可得到答案. 【详解】函数的值域为，因为，所以. 故答案为：0 13. 在中，点满足．若，则________；________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算求解； 【详解】如图： , 故； 故答案为：. 14. 已知函数,若，则________；若有三个不同的实根，且满足，则的取值范围是________ 【答案】 ①. 或 ②. 【解析】 【分析】根据函数解析式和函数值，直接求解即可求得；数形结合求得的关系，再根据的取值范围，即可求得结果. 【详解】当时，，即，解得；当时，，即，解得； 故当时，或； 有三个不同的实根，也即与图象交点的横坐标为； 数形结合可知，若有三个不同的实数根，则，且； 当时，令，解得，故； 故. 故答案为：或；. 15. 对于函数﹐若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”．已知函数 （1）若，则函数是“_______阶准偶函数”； （2）若函数是“阶准偶函数”，则取值范围是_____________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】（1）根据“阶准奇函数”的定义，可将问题转化为的根的问题； （2）根据“阶准偶函数”定义，分，，三种情况分析即可得答案. 【详解】①当时，函数，取值为，的取值为，即，根据题意得,解得或， 则集合中恰有个元素， 故是“阶准偶函数” ②根据题意，函数是“阶准偶函数”， 则集合中恰有个元素， 当时,是“阶准偶函数”，不合题意； 当时，函数的图像如图①所示， 根据“阶准偶函数”的定义得的可能取值为，的可能取值为， 由题意知， 所以解得或 要使得集合中恰有个元素，则需要满足， 即 当时，函数的图像如图②所示， 根据“阶准偶函数”的定义得的可能取值为或，为， 由题意知， 当，解得不符合题意 当，解得或， 要使得集合中恰有个元素，则需要满足. 综上，若函数是“阶准偶函数”，则的取值范围是. 故答案为：2；范围是. 【点睛】解题的关键是根据新定义的“阶准偶函数”，将问题转化为研究函数，可能取何值，求出方程的解，通过分类讨论根据方程的解的个数确定的取值范围. 三、解答题：本大题共6道小题，共75分.把答案填写在答题卡上相应的位置. 16. 甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目概率是，乙解出这道题目的概率是． （1）求甲、乙两人都解出这道题目的概率； （2）求这道题目被甲、乙两人解出的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用乘法公式计算； （2）根据对立事件的概率性质计算. 【小问1详解】 设甲解出这道题为事件，乙解出这道题为事件， 则， 所以甲、乙两人都解出这道题目的概率为. 【小问2详解】 设这道题目被甲、乙两人解出为事件， 则，， 所以这道题目被甲、乙两人解出的概率为. 17. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的单调性解不等式，即可得集合，将代入不等式，即可得集合，最后根据补集、交集的定义计算即可； （2）根据得关于的不等式在上恒成立，利用判别式列不等式，求解即可； （3）根据，且，可得，则使得不等式成立，即可解得的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 则，即， 由，解得，则， 所以. 【小问2详解】 因为，所以关于的不等式在上恒成立， 所以，解得， 故的取值范围是. 【小问3详解】 由（1）知，， 所以，又因为， 所以，所以，解得， 故的取值范围是. 18. 已知函数. （1）判断的奇偶性，并证明； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）奇函数，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求得函数的定义域，再求得，从而得证； （2）利用（1）可得，进而可得，解之即可得解. 【小问1详解】 为奇函数，证明如下： 对于， 有，解得，所以的定义域为， 又， 因此为奇函数； 【小问2详解】 因为为奇函数，则， 即，所以， 解，得或， 解，得， 综上，，即的取值范围是. 19. 设，且的图象过点， （1）求表达式； （2）计算； （3）试求的值． 【答案】（1） （2）1 （3）1012 【解析】 【分析】（1）根据列方程，解方程得到，即可得到； （2）根据表达式计算； （3）根据对称性求函数值. 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以. 【小问2详解】 . 【小问3详解】 由（2）得，，，， 所以. 20. 已知函数． （1）求函数的最小值； （2）若对于，恒成立，求的取值范围； （3）若关于的方程有两个不同的实数解，直接写出实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先确定函数的定义域，再利用对数运算和换元法化简解析式，根据二次函数的单调性和复合函数的单调性判断方法确定函数的单调性，进而求得最值； （2）将的解析式代入不等式，利用换元法得对于，恒成立，将恒成立问题转化为最值问题，利用对勾函数的单调性求最值即可； （3）画出函数的图象，将方程有两个不同的实数解转化为函数和的图象有两个交点即可. 【小问1详解】 由题意，函数的定义域为， ， 令，则，则． 因为二次函数开口向上，且对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 由，得，解得， 又因为对数函数是增函数， 所以根据复合函数的单调性判断方法可知： 函数在上单调递减，在上单调递增． 因此当时，有最小值，最小值为； 【小问2详解】 由，得． 令，由，得． 由题意可知，对于，恒成立，即恒成立． 令，则，． 由对勾函数的单调性可知在上单调递减，在上单调递增， 且，， 所以当时，． 因此，解得，即． 【小问3详解】 结合（1）可画出函数的大致图象如下： 如图所示，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 并且，， 因此当时，关于的方程有两个不同的实数解. 21. 已知集合对于，，定义A与B的差为 A与B之间的距离为 （Ⅰ）当n=5时，设，求，； （Ⅱ）证明：，且; (Ⅲ) 证明：三个数中至少有一个是偶数 【答案】（Ⅰ）=（1,0,1,0,1），=3； （Ⅱ）见解析; (Ⅲ)见解析 【解析】 【详解】（Ⅰ）解：=（1,0,1,0,1） =3 (Ⅱ)证明：设 因为，所以 从而 由题意知 当时， 当时， 所以 (Ⅲ)证明：设 记由（Ⅱ）可知 所以中1的个数为k,中1的个数为 设是使成立的的个数．则 由此可知，三个数不可能都是奇数 即三个数中至少有一个是偶数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$