精品解析：四川省广安中学2024-2025学年九年级下学期入学考试数学试题

四川省广安中学2024-2025学年度下期初2022级入学考试数学试题 （考试时间：120分钟 总分：120分） 注意事项： 1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号．考试结束，将答题卡交回． 2．选择题每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．非选择题须用黑色墨水的钢笔或签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答，答案无效． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意． 1. 16的平方根是（ ） A. 4 B. C. 8 D. 2. 据新华社报道：在我国南海某海域探明可燃冰储量约有194亿立方米，194亿用科学记数法表示为（ ） A. 1.94×1010 B. 0.194×1010 C. 19.4×109 D. 1.94×109 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 今年我市有近4万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计解析，以下说法正确的是( ) A. 这1000名考生是总体的一个样本 B. 近4万名考生是总体 C. 每位考生的数学成绩是个体 D. 1000名学生是样本容量 5. 将点A（3，2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，点A′关于y轴对称的点的坐标是（ ） A. （﹣3，2） B. （﹣1，2） C. （1，2） D. （1，﹣2） 6. 函数 中，自变量x的取值范围是（　　） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 7. 如图，正五边形内接于，P为上一点（点P不与点D重合），则的度数为（　　） A B. C. D. 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　 A. B. k＜1且k≠0 C. k≥﹣1且k≠0 D. 且 9. 如图，四边形是菱形，对角线，于点H，且与交于G，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE，其中正确结论有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．） 11. 因式分解：___________． 12. 已知一元二次方程x2–6x–5=0两根为a、b，则的值是__________ 13. 已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为_____． 14. 如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=_____ 15. 已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为__________． 16. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜；④3|a|+|c|＜2|b|．其中正确的结论是___（写出你认为正确的所有结论序号）． 三、解答题：（本大题共8个小题，共72分．） 17. ＋＋4cos30°－│1－│ 18. 先化简，然后a在﹣1、1、2三个数中任选一个合适的数代入求值． 19. 解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来． 20. 在中，于点，点在上，且，连接． （1）求证：； （2）连接，若平分，且，，判断四边形的形状，并求其面积． 21. 打造书香文化，培养阅读习惯，某校举行了以“礼、才、恩”为主题的读书活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，C：科技类，D：艺术类，E：其他类）．柳老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生人数为 名，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，C “科技类” 所对应的圆心角度数是 ； （3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C两类书籍中随机选择一种请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 22. 如图，直线与双曲线相交于点，． （1）求双曲线及直线对应函数表达式； （2）请直接写出关于的不等式的解集； （3）将直线向下平移至处，其中点，点在轴上，连接，，求的面积． 23. 现有一块形如母子正方形的板材，木工师傅想先把它分割成几块，然后适当拼接，制成某种特殊形状的板面(要求板材不能有剩余，拼接时不重叠、无空隙)，请你按下列要求，帮助木工师傅分别设计一种方案： (1)板面形状为非正方形的中心对称图形； (2)板面形状为等腰梯形； (3)板面形状为正方形． 请在方格纸中的图形上画出分割线，在相应的下边的方格纸上面画出拼接后的图形． 24. 某商品进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元．则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元? （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元?根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元? 25. 如图，是的外接圆，直径，直线经过点C，于点D，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长； （3）在（2）条件下，求图中阴影部分的面积． 26. 如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于C点，直线交抛物线于点D，并且，． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形面积的最大值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四川省广安中学2024-2025学年度下期初2022级入学考试数学试题 （考试时间：120分钟 总分：120分） 注意事项： 1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号．考试结束，将答题卡交回． 2．选择题每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．非选择题须用黑色墨水的钢笔或签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答，答案无效． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意． 1. 16的平方根是（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根的定义，根据平方根定义求解即可． 【详解】解：， 故选：B 2. 据新华社报道：在我国南海某海域探明可燃冰储量约有194亿立方米，194亿用科学记数法表示为（ ） A. 1.94×1010 B. 0.194×1010 C. 19.4×109 D. 1.94×109 【答案】A 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）． 【详解】解：194亿=19400000000=1.94×1010， 故选：A． 【点睛】题目主要考查绝对值大于1的科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方运算法则依次判断. 【详解】A、，故该项错误； B、，故该项错误； C、，故该项错误； D、，故该项正确； 故选：D. 【点睛】此题考查同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方运算法则，熟记各运算法则并熟练解题是关键. 4. 今年我市有近4万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计解析，以下说法正确的是( ) A. 这1000名考生是总体的一个样本 B. 近4万名考生是总体 C. 每位考生的数学成绩是个体 D. 1000名学生是样本容量 【答案】C 【解析】 【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的定义对各选项判断即可． 【详解】解：A、1000名考生数学成绩是样本，故本选项错误； B、4万名考生的数学成绩是总体，故本选项错误； C、每位考生的数学成绩是个体，故本选项正确； D、1000是样本容量，故本选项错误． 故选C． 5. 将点A（3，2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，点A′关于y轴对称的点的坐标是（ ） A. （﹣3，2） B. （﹣1，2） C. （1，2） D. （1，﹣2） 【答案】C 【解析】 【分析】先利用平移中点的变化规律求出点A′的坐标，再根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求解． 【详解】根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加．上下平移只改变点的纵坐标，下减上加， 因此，将点A（3，2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，点A′的坐标为（－1，2）． 关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数， 从而点A′(－1，2)关于y轴对称的点的坐标是（1，2）． 故选C． 6. 函数 中，自变量x的取值范围是（　　） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，根据二次根式中被开方数大于等于零和分母不等于零列出不等式求解即可． 【详解】解：由题知，且， 解得且， 故选：B． 7. 如图，正五边形内接于，P为上的一点（点P不与点D重合），则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形的性质和圆周角定理，连结和，根据正多边形求得，结合圆周角定理即可求得答案． 【详解】解：连结、，如图， ∵五边形是正五边形， ∴， 则． 故选：B． 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　 A. B. k＜1且k≠0 C. k≥﹣1且k≠0 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且△，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且△， 解得且． 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 9. 如图，四边形是菱形，对角线，于点H，且与交于G，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义等知识，求出，，根据等积法求出，求出，则，由，即可求出. 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线， ∴．， 在中，， ∵， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴． 故选：B 10. 如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE，其中正确结论有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°． ∵△AEF等边三角形，∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°． 在Rt△ABE和Rt△ADF中，AE =AF，AB=AD，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）． ∴BE=DF．故结论①正确． 由Rt△ABE≌Rt△ADF得，∠BAE=∠DAF， ∴∠DAF+∠DAF=30°．即∠DAF=15°．故结论②正确． ∵BC=CD，∴BC－BE=CD－DF，CE=CF． ∵AE=AF，∴AC垂直平分EF．故结论③正确． 设EC=x，由勾股定理，得EF=，CG=，AG=， ∴AC=．∴AB=．∴BE=． ∴BE+DF．故结论④错误． ∵，， ∴．故结论⑤正确． 综上所述，正确的有4个， 故选：C． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．） 11. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题关键．先提公因式，早利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知一元二次方程x2–6x–5=0两根为a、b，则的值是__________ 【答案】 【解析】 【分析】由根与系数的关系可得a+b=6，ab=-5，然后将所求式子通分整理后代入进行计算即可得． 【详解】∵一元二次方程x2–6x–5=0两根为a、b， ∴a+b=6，ab=-5， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 13. 已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，先根据题意画出图形，由于点的位置不能确定，故分两种情况进行讨论，结合图形利用垂径定理和勾股定理即可求解，根据题意画出图形是解题的关键． 【详解】解：连接，， ∵的直径，，， ∴，， 当点位置如图所示时， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 当点位置如图所示时， 同理可得， ∵， ∴， 在中，； ∴的长为或， 故答案为：或． 14. 如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=_____ 【答案】． 【解析】 【详解】解：令AE=4x，BE=3x， ∴AB=7x. ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD=AB=7x，CD∥AB， ∴△BEF∽△DCF. ∴， ∴DF= 【点睛】本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，掌握定理正确推理论证是本题的解题关键. 15. 已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为__________． 【答案】（3，4）或（2，4）或（8，4） 【解析】 【详解】解：∵A(10，0)，C(0，4)， ∴OA=BC=10，OC=AB=4， 如图所示，PD=OD=5，点P在点D的左侧． 过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4． 在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE=， ∴OE=OD-DE=5-3=2， ∴此时点P坐标为（2，4）； 如图所示，OP=OD=5． 过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4． 在Rt△POE中，由勾股定理得： OE=， ∴此时点P坐标为（3，4）； 如图所示，PD=OD=5，点P在点D的右侧． 过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4． 在Rt△PDE中，由勾股定理得： DE=， ∴OE=OD+DE=5+3=8， ∴此时点P坐标为（8，4）． 故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，并利用分类讨论思想解答是解题的关键． 16. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜；④3|a|+|c|＜2|b|．其中正确的结论是___（写出你认为正确的所有结论序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据抛物线的开口，对称轴即可判断①，举例证明②不成立，根据对称轴即可判断③，根据当x=1时，a+b+c＞0，2a+b＞0，3a+2b+c＞0，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0． ∴2a＜0． ∵对称轴x=＞1，﹣b＜2a， ∴2a+b＞0．故选项①正确． ∵﹣b＜2a， ∴b＞﹣2a＞0＞a， 取符合“开口向下，与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间，对称轴在直线x=1右侧”的特点的一函数，如， 令，得． 由得． ∴． 当时，a＞c，a＜c，a= c都有可能．故②选项错误． ∵﹣1＜m＜n＜1，﹣2＜m+n＜2， ∴抛物线对称轴为：x=＞1，＞2，m+n＜．故选项③正确． 当x=1时，a+b+c＞0，2a+b＞0，3a+2b+c＞0， ∴3a+c＞﹣2b． ∴﹣3a﹣c＜2b． ∵a＜0，b＞0，c＜0， ∴3|a|+|c|=﹣3a﹣c＜2b=2|b|．故④选项正确． 综上所述，正确的结论是①③④． 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，特殊元素法和反证法的应用是解题的关键． 三、解答题：（本大题共8个小题，共72分．） 17. ＋＋4cos30°－│1－│ 【答案】-1 【解析】 【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的函数值，绝对值的化简，二次根式的化简计算即可． 【详解】解：＋＋4cos30°－│1－│ = -+1 = = -1． 【点睛】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，特殊角的函数值，绝对值的化简，二次根式的化简，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键． 18. 先化简，然后a在﹣1、1、2三个数中任选一个合适的数代入求值． 【答案】，5 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的a的值（使分式的分母和除式不为0）代入进行计算即可． 【详解】解：原式= ， ∵ 分式有意义， ∴ ∴a=2， 原式． 19. 解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】1＜x≤4，数轴见解析 【解析】 【详解】解：， 由①得：x＞1， 由②得：x≤4． ∴这个不等式的解集是1＜x≤4．在数轴上表示为： 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时≥，≤要用实心圆点表示；＜，＞要用空心圆点表示． 20. 在中，于点，点在上，且，连接． （1）求证：； （2）连接，若平分，且，，判断四边形的形状，并求其面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）四边形是矩形，32 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定与性质，属于中考常考题型． （1）由平行四边形的性质得到，结合即可证明； （2）证明四边形是平矩形，由矩形的性质得，由角平分线的定义得到，由平行线的性质得到，证出，进而解决问题． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，即， ， ∴四边形平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； ∵平分， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 又， ， ． 21. 打造书香文化，培养阅读习惯，某校举行了以“礼、才、恩”为主题的读书活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，C：科技类，D：艺术类，E：其他类）．柳老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生人数为 名，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，C “科技类” 所对应的圆心角度数是 ； （3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C两类书籍中随机选择一种请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 【答案】（1）100，见解析 （2） （3）见解析， 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图、画树状图或列表法求概率、概率公式， （1）利用选择A类的学生人数除以其所占的百分比求得样本总量，再利用总人数减去其他类的学生人数求得D类的学生人数，再补全条形统计图即可； （2）利用C类的学生人数除以样本的总人数求得其所占的百分比，再乘以即可求解； （3）画树状图可得共有6种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍有2种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由图可得，被调查的学生人数为（人）， ∴选择D类的学生人数为， 补全条形统计图如图： 故答案为：100； 【小问2详解】 解：C “科技类” 所对应的圆心角度数是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由图可得，共有6种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍有2种等可能的结果， ∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为． 22. 如图，直线与双曲线相交于点，． （1）求双曲线及直线对应的函数表达式； （2）请直接写出关于的不等式的解集； （3）将直线向下平移至处，其中点，点在轴上，连接，，求的面积． 【答案】（1）， （2）或 （3）10 【解析】 【分析】（1）将代入双曲线求出的值，得到双曲线解析式，将代入，求出的值，得到点，将，代入得：，求出的值即可得到答案； （2）根据图象即可得出答案； （3）设直线的解析式为，将代入，求得直线的解析式为：，从而得到，设直线与轴交于点，与轴交于点，分别求出，，得到，，，由勾股定理得到，作，交于，根据同角的余角相等得出，结合勾股定理求出，最后根据三角形面积公式计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：将代入双曲线得：， 解得：， 双曲线的解析式为：； 将代入得：， 解得：， ， 将，代入得：， 解得：， 直线解析式为：； 【小问2详解】 解：由图象可得：关于的不等式的解集为：或； 【小问3详解】 解：直线向下平移至， ， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， ， 如图，设直线与轴交于点，与轴交于点， ， 在中，当时，，则， 当时，，解得：，则， ，，， ，， ， 作，交于， ， ， ， ， ，即， ， ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象及性质、求一次函数的解析式、直线平行的性质、勾股定理、求三角形面积等知识点，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键． 23. 现有一块形如母子正方形的板材，木工师傅想先把它分割成几块，然后适当拼接，制成某种特殊形状的板面(要求板材不能有剩余，拼接时不重叠、无空隙)，请你按下列要求，帮助木工师傅分别设计一种方案： (1)板面形状为非正方形的中心对称图形； (2)板面形状为等腰梯形； (3)板面形状为正方形． 请在方格纸中的图形上画出分割线，在相应的下边的方格纸上面画出拼接后的图形． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析 【解析】 【分析】（1）从两层之间切割，使之拼成一个长方形即可； （2）从第一层左侧和第二层右侧切出两个全等的三角形，然后拼成一个等腰梯形即可； （3）在最左边两格和底层右侧两格切出两个全等的三角形，然后拼成一个正方形即可． 【详解】（1）板面形状为非正方形的中心对称图形， ； （2）板面形状为等腰梯形， （3）板面形状正方形， ． 【点睛】本题以图形的分割与拼接为背景，考查了中心对称的定义和空间观念，掌握知识点是解题关键． 24. 某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元．则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元? （3）每件商品售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元?根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元? 【答案】(1) y=－10x2＋110x＋2 100(0＜x≤15且x为整数); (2) 每件55元或56元时，最大月利润为2 400元;(3)见解析. 【解析】 【详解】试题分析：（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件,得 （0＜x≤15且x为整数）； （2）把进行配方即可求出最大值，即最大利润. （3）当时，，解得：,． 当时，，当时，． 当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元． 试题解析：（1）（且为整数）； （2）． ∵a=-10＜0， ∴当x=5.5时,y有最大值2402.5． ∵0＜x≤15且x为整数， ∴当x=5时，50+x=55，y=2400（元），当x=6时，50+6=56，y=2400（元） ∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元． （3）当时，，解得：,． ∴当时，，当时，． ∴当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元． ∴当售价不低于51或60元，每个月的利润为2200元． ∴当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）． 考点：1.二次函数的应用；2.一元二次方程的应用. 25. 如图，是的外接圆，直径，直线经过点C，于点D，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长； （3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明：连接，由垂径定理得，推出．由，证得，即可得到是的切线； （2）证明，得到，求出，根据勾股定理求出； （3）求出，得为等边三角形，推出．由，得四边形是梯形，根据图中阴影部分的面积求出答案． 【小问1详解】 证明：连接，如图， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∵为的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵直径， ∴． 由（2）知：， ∴， ∴为等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是梯形， ∴图中阴影部分的面积 ． 【点睛】此题考查了切线的判定定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，求扇形面积，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 26. 如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于C点，直线交抛物线于点D，并且，． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形面积的最大值； 【答案】（1） （2）四边形面积最大值等于9 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、图形面积计算等重要知识点，涉及考点众多，有一定的难度．第（2）问面积最大值的问题，利用二次函数的最值解决． （1）利用已知条件求出点的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）首先求出四边形面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值． 【小问1详解】 解：如图，过点作轴于点，则，． ， ， ， ． 点、在抛物线上， ，解得， 抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：令，得，， 令，得或1，． 设点坐标为，，， 如图所示，过点作轴于点，则，，． 点在抛物线上， ，代入上式得： ， 当时，四边形面积有最大值，最大值为9． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$