精品解析：江苏省 南通市海门区海南中学2024-2025学年九年级下学期开学数学试题

机密★启用前 南通市海门区海南中学2025学年度九年级开学测试卷 数学·试题卷 试卷类型：A卷 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共8页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 4．作弊者，本卷按0分处理． 班级： 姓名： 学号： 考场号： 座位号： （请考生将自己信息如实填写在上面，不写、漏写、错写为无效试卷） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2025的绝对值数是（ ） A. B. 2025 C. D. 2022 2. 我国世界遗产总数居世界首位，其中自然遗产总面积约．将68000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 4. 下列各式中计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列图是由5个大小相同的小立方体搭成的几何体，主视图和左视图相同的是（　　） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（ ） A. 为等腰三角形 B. 与相互垂直平分 C. 点A、B都在以为直径的圆上 D. 为的边上的中线 8. 如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，等边的边长为3，点在边上，，线段在边上运动，，有下列结论： ①与可能相等；②与可能相似；③四边形面积的最大值为；④四边形周长的最小值为．其中，正确结论的序号为（ ） A. ①④ B. ②④ C. ①③ D. ②③ 10. 已知的图象如图所示，对称轴为直线，若，是一元二次方程的两个根，且，，则下列说法正确的是（ ） A B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分） 11. 分解因式：_____． 12. 计算：_______． 13. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为______． 14. 已知圆锥的底面半径为，高为，则它的侧面展开图的面积为=__________． 15. 关于的一元二次方程有一个根是，则的值是_______． 16. 如图，矩形的边在轴上，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，若，，则_________． 17. 如图，将小正方形AEFG绕大正方形ABCD的顶点A顺时针旋转一定的角度α(0°≤a≤90°)，连接BG，DE相交于点O，再连接AO、BE、DG．以下四个结论：①BG＝DE；②BG⊥DE；③∠DOA＝∠GOA；④．其中结论正确的是__________． 18. 如图，在矩形ABCD中，，，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则的最小值为___________________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 19. 计算： （1）计算：； （2）解方程组：； （3）先化简，再求代数式值：，其中． 20. 如图，在菱形中，、分别是和中点，连接、．求证：． 21. 我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题． （1）成绩为“B等级”的学生人数有 名； （2）在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数为 ，图中m的值为 ； （3）学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率． 22. 为助力新冠肺炎疫情后经济的复苏，天天快餐公司积极投入到复工复产中．现有A、B两家农副产品加工厂到该公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近．该公司决定通过检查质量来确定选购哪家的鸡腿．检察人员从两家分别抽取100个鸡腿，然后再从中随机各抽取10个，记录它们的质量（单位：克）如表： A加工厂 74 75 75 75 73 77 78 72 76 75 B加工厂 78 74 78 73 74 75 74 74 75 75 （1）根据表中数据，求A加工厂的10个鸡腿质量的中位数、众数、平均数； （2）估计B加工厂这100个鸡腿中，质量为75克的鸡腿有多少个？ （3）根据鸡腿质量的稳定性，该快餐公司应选购哪家加工厂的鸡腿？ 23. 去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%． （1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； （2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率． 24. 如图，已知抛物线经过，，三点． （1）求该抛物线的解析式； （2）经过点B的直线交y轴于点D，交线段于点E，若． ①求直线解析式； ②已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右侧．点R是直线上的动点，若是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标． 25. 如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F． （1）如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是　　； （2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示） （3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长． 26. 综合与实践 在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验． 实践发现： 对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①． （1）折痕BM　 　（填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN是什么特殊三角形？答：　 　；进一步计算出∠MNE＝　 　°； （2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN＝　 　°； 拓展延伸： （3）如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT． 求证：四边形SATA'是菱形． 解决问题： （4）如图④，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．请写出以上4个数值中你认为正确的数值　 　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 机密★启用前 南通市海门区海南中学2025学年度九年级开学测试卷 数学·试题卷 试卷类型：A卷 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共8页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 4．作弊者，本卷按0分处理． 班级： 姓名： 学号： 考场号： 座位号： （请考生将自己信息如实填写在上面，不写、漏写、错写为无效试卷） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2025的绝对值数是（ ） A. B. 2025 C. D. 2022 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数．根据一个正数的绝对值等于它的本身求解即可． 【详解】解：2025的绝对值数是． 故选B． 2. 我国世界遗产总数居世界首位，其中自然遗产总面积约．将68000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：． 故选A． 3. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项正确； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 4. 下列各式中计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法、除法，即可解答． 【详解】解：A. 不是同类项，不能合并，不符合题意； B 不是同类项，不能合并，不符合题意； C．=x6,符合题意； D. =x10,不符合题意； 故选:C. 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法、除法，解决本题的关键是熟记合并同类项，同底数幂的乘法、除法的法则． 5. 下列图是由5个大小相同的小立方体搭成的几何体，主视图和左视图相同的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：A、主视图是第一层三个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故A错误； B、主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故B错误； C、主视图是第一层两个小正方形，第二层右边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故C错误； D、主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层右边一个小正方形，故D正确； 故选D． 【点睛】本题考查三视图中的知识，得到从几何体的正面，左面，上面看的平面图形中正方形的列数及每列正方形的个数是解决本题的关键 6. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出每个不等式的解集，再求其公共部分即可． 【详解】解 由①得， x＜−2； 由②得，x≥−3， 所以不等式组的解集为． 故选：C． 【点睛】本题的实质是求不等式的公共解，解答时要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 7. 如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（ ） A. 为等腰三角形 B. 与相互垂直平分 C. 点A、B都在以为直径的圆上 D. 为的边上的中线 【答案】B 【解析】 【分析】连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，证明Rt△OPB≌Rt△OPA，可得BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出为等腰三角形，可判断A；根据△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，可得PM=OM=BM=AM，可判断C；证明△OBC≌△OAC，可得PC⊥AB，根据△BPA为等腰三角形，可判断D；无法证明与相互垂直平分，即可得出答案． 【详解】解：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB， ∵B，C为切点， ∴∠OBP=∠OAP=90°， ∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△OPB≌Rt△OPA， ∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC， ∴为等腰三角形，故A正确； ∵△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边， ∴PM=OM=BM=AM ∴点A、B都在以为直径的圆上，故C正确； ∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC， ∴△OBC≌△OAC， ∴∠OCB=∠OCA=90°， ∴PC⊥AB， ∵△BPA为等腰三角形， ∴为的边上的中线，故D正确； 无法证明与相互垂直平分， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆的性质，掌握知识点灵活运用是解题关键． 8. 如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 【详解】假设不规则图案面积为x， 由已知得：长方形面积为20， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ， 当事件A实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35， 综上有：，解得． 故选：B． 【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高． 9. 如图，等边的边长为3，点在边上，，线段在边上运动，，有下列结论： ①与可能相等；②与可能相似；③四边形面积的最大值为；④四边形周长的最小值为．其中，正确结论的序号为（ ） A ①④ B. ②④ C. ①③ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】①通过分析图形，由线段在边上运动，可得出，即可判断出与不可能相等； ②假设与相似，设，利用相似三角形的性质得出的值，再与的取值范围进行比较，即可判断相似是否成立； ③过P作PE⊥BC于E，过F作DF⊥AB于F，利用函数求四边形面积的最大值，设，可表示出，，可用函数表示出，，再根据，依据，即可得到四边形面积的最大值； ④作点D关于直线的对称点D1，作D1D2∥PQ，连接CD2交AB于点P′，在射线P′A上取P′Q′=PQ，此时四边形P′CDQ′的周长为：，其值最小，再由D1Q′=DQ′=D2 P′，，且∠AD1D2=120°，∠D2AC=90°，可得的最小值，即可得解． 【详解】解：①∵线段在边上运动，， ∴, ∴与不可能相等， 则①错误； ②设， ∵，， ∴，即， 假设与相似， ∵∠A=∠B=60°， ∴，即， 从而得到，解得或（经检验是原方程的根）， 又， ∴解得的或符合题意， 即与可能相似， 则②正确； ③如图，过P作PE⊥BC于E，过D作DF⊥AB于F， 设， 由，，得，即， ∴， ∵∠B=60°， ∴， ∵，∠A =60°， ∴, 则， ， ∴四边形面积为：, 又∵， ∴当时，四边形面积最大，最大值为：， 即四边形面积最大值为， 则③正确； ④如图，作点D关于直线的对称点D1，作D1D2∥PQ，连接CD2交AB于点P′，在射线P′A上取P′Q′=PQ， 此时四边形P′CDQ′的周长为：，其值最小， ∴D1Q′=DQ′=D2 P′，， 且∠AD1D2=180∠D1AB=180∠DAB =120°， ∴∠D1AD2=∠D2AD1==30°，∠D2AC=90°， 在△D1AD2中，∠D1AD2=30°，， ∴， 在Rt△AD2C中， 由勾股定理可得，， ∴四边形P′CDQ′的周长为： ， 则④错误， 所以可得②③正确， 故选：D． 【点睛】本题综合考查等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、利用函数求最值、动点变化问题等知识．解题关键是熟练掌握数形结合的思想方法，通过用函数求最值、作对称点求最短距离，即可得解． 10. 已知的图象如图所示，对称轴为直线，若，是一元二次方程的两个根，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数图象对称轴位置及抛物线与轴交点的位置，分别判断四个结论正确性． 【详解】解：，是一元二次方程的两个根， 、是抛物线与轴交点的横坐标， 抛物线的对称轴为， ，即，故选项错误； 由图象可知，， ， 解得：，故选项正确； 抛物线与轴有两个交点， ，故选项错误； 由对称轴可知，可知，故选项错误． 故选：． 【点睛】主要考查二次函数与一元二次方程之间的关系，会利用对称轴的值求抛物线与轴交点的横坐标间的数量关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分） 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接提公因式法：观察原式，找到公因式，提出即可得出答案． 【详解】， 故答案为：a（a+2）． 【点睛】考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法．该题是直接提公因式法的运用． 12. 计算：_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂的意义，实数的混合运算，先根据负整数指数幂和绝对值的意义化简，再算加减即可． 详解】解： 13. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和公式、多边形外角和为等知识，先设这个多边形的边数为，由题意，结合多边形内角和公式及外角和为列方程求解即可得到答案，熟记多边形的内角和公式、多边形外角和为是解决问题的关键． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 多边形的内角和是外角和的2倍， ，解得， 故答案为：． 14. 已知圆锥的底面半径为，高为，则它的侧面展开图的面积为=__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出圆锥的母线l的长，再利用圆锥的侧面积公式：S侧=πrl计算即可． 【详解】解：根据题意可知，圆锥的底面半径r=1cm，高h=， ∴圆锥的母线， ∴S侧=πrl=π×1×2=2π（cm2）． 故答案为：2πcm2． 【点睛】此题考查圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图是个扇形，扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是底面圆的周长l．掌握圆锥的侧面积公式：S侧=•2πr•l=πrl是解题的关键． 15. 关于的一元二次方程有一个根是，则的值是_______． 【答案】1 【解析】 【分析】把方程的根代入原方程得到，解得k的值，再根据一元二次方程成立满足的条件进行取舍即可． 【详解】∵方程是一元二次方程， ∴k+2≠0，即k≠-2； 又0是该方程的一个根， ∴， 解得，，， 由于k≠-2， 所以，k=1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解．解此类题时，要擅于观察已知的是哪些条件，从而有针对性的选择解题方法．同时要注意一元二次方程成立必须满足的条件，这是容易忽略的地方． 16. 如图，矩形的边在轴上，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，若，，则_________． 【答案】-10 【解析】 【分析】设C（x，），根据求出OB，BC，再根据求出AC，由勾股定理求出AB，从而得出AO，得到D的坐标，进而求出k的值． 【详解】解：设C（x，）（x＞0）， ，， ∵四边形ABCD是矩形， ，， ， ， ，即， 解得，，（舍去）， ，， ， ，即， ， ， ， ， ∵D在函数的图象上， ． 故答案为：-10． 【点睛】此题是一道综合性较强的题目，将解直角三角形和用待定系数法求函数解析式结合起来，有一定难度． 17. 如图，将小正方形AEFG绕大正方形ABCD的顶点A顺时针旋转一定的角度α(0°≤a≤90°)，连接BG，DE相交于点O，再连接AO、BE、DG．以下四个结论：①BG＝DE；②BG⊥DE；③∠DOA＝∠GOA；④．其中结论正确的是__________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】由“SAS”可证△DAE≌△BAG，可得BG=DE，∠ADE=∠ABG，S△DAE=S△BAG，即可判断①②③，过点G作GH⊥AD，过点E作EQ⊥EQ，由“AAS”可证△AEQ≌△GAH，可得AQ=GH，可得S△ADG=S△ABE，可判断④即可求解． 【详解】∵四边形AEFG和ABCD都是正方形， ∴∠DAB=∠EAG=90°， ∴∠DAE=∠BAG，且AD=AB，AG=AE， ∴△DAE≌△BAG（SAS） ∴BG=DE，∠ADE=∠ABG，故①符合题意， 如图，设点DE与AB交于点P， ∵∠ADE=∠ABG，∠DPA=∠BPO， ∴∠DAP=∠BOP=90°， ∴BG⊥DE，故②符合题意， 过点A作AM⊥DE，AN⊥BG， ∵△DAE≌△BAG， ∴S△DAE=S△BAG， ∴DEAM=BGAN，且DE=BG， ∴AM=AN，且AM⊥DE，AN⊥BG， ∴AO平分∠DOG， ∴∠AOD=∠AOG，故③符合题意， 如图2，过点G、点E作DA的垂线，分别交DA的延长线于H、Q， ∴∠EAQ+∠AEQ=90°，且∠EAQ+∠GAQ=90°， ∴∠AEQ=∠GAQ，且AE=AG，∠EQA=∠AHG=90°， ∴△AEQ≌△GAH（AAS）， ∴AQ=GH， ∴ADGH=ABAQ， ∴S△ADG=S△ABE， 故④不符合题意， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 18. 如图，在矩形ABCD中，，，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则的最小值为___________________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过A作于，延长，使，过作于，交于，则最短，再利用矩形的性质与锐角三角函数求解即可得到答案． 【详解】解：如图，过A作于，延长，使，过作于，交于，则最短， 四边形为矩形，，， 即的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，同时考查利用轴对称与垂线段最短求线段和的最小值问题，解题的关键是掌握以上知识． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 19. 计算： （1）计算：； （2）解方程组：； （3）先化简，再求代数式的值：，其中． 【答案】（1） （2） （3），12 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式的性质，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，绝对值的意义化简，再算加减； （2）先分别求出两个不等式的解集，再求出公共部分即可； （3）先算括号，并把除法转化为乘法，再约分化简，然后把化简后的x的值代入计算． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：， 解①得， 解②得， ∴； 【小问3详解】 解： ， 当时， 原式． 【点睛】本题考查了负整数指数幂的意义，二次根式的加减，求不等式组的解集，分式的化简求值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 20. 如图，在菱形中，、分别是和的中点，连接、．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据已知和菱形的性质证明，即可得出． 【详解】证明：四边形是菱形， ， 、分别是和的中点， ，， ， 又， ， ． 21. 我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题． （1）成绩为“B等级”的学生人数有 名； （2）在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数为 ，图中m的值为 ； （3）学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率． 【答案】（1）5（2）72°；40（3） 【解析】 【分析】（1）先根据“A等级”的人数及占比求出学生总人数，再减去各组人数即可求出成绩为“B等级”的学生人数； （2）根据“D等级”的占比即可求出其圆心角度数，根据“C等级”的人数即可求出m的值； （3）根据题意画树状图，再根据概率公式即可求解． 【详解】（1）学生总人数为3÷15%=20（人） ∴成绩为“B等级”的学生人数有20-3-8-4=5（人） 故答案为：5； （2）“D等级”的扇形的圆心角度数为 m=， 故答案为：72°；40； （3）根据题意画树状图如下： ∴P（女生被选中）=． 【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是根据题意求出学生总人数及概率的求解方法． 22. 为助力新冠肺炎疫情后经济的复苏，天天快餐公司积极投入到复工复产中．现有A、B两家农副产品加工厂到该公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近．该公司决定通过检查质量来确定选购哪家的鸡腿．检察人员从两家分别抽取100个鸡腿，然后再从中随机各抽取10个，记录它们的质量（单位：克）如表： A加工厂 74 75 75 75 73 77 78 72 76 75 B加工厂 78 74 78 73 74 75 74 74 75 75 （1）根据表中数据，求A加工厂的10个鸡腿质量的中位数、众数、平均数； （2）估计B加工厂这100个鸡腿中，质量为75克的鸡腿有多少个？ （3）根据鸡腿质量的稳定性，该快餐公司应选购哪家加工厂的鸡腿？ 【答案】（1）75；75；75 （2）30个 （3）B加工厂 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数和平均数的计算公式分别进行解答即可； （2）用总数乘以质量为75克的鸡腿所占的百分比即可； （3）根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案． 【详解】解：（1）把这些数从小到大排列，最中间的数是第5和第6个数的平均数， 则中位数是（克； 因为75出现了4次，出现的次数最多， 所以众数是75克； 平均数是：（克； （2）根据题意得： （个， 答：质量为75克的鸡腿有30个； （3）选加工厂的鸡腿． 、平均值一样，的方差比的方差小，更稳定， 选加工厂的鸡腿． 【点睛】本题考查了方差、平均数、中位数、众数，熟悉计算公式和意义是解题的关键． 23. 去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%． （1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； （2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率． 【答案】（1）504万元；（2）20%． 【解析】 【分析】(1)根据“前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%”即可求解； (2)设去年8、9月份营业额的月增长率为x，则十一黄金周的月营业额为350(1+x)2，根据“十一黄金周这七天的总营业额与9月份的营业额相等”即可列方程求解． 【详解】解：(1)第七天的营业额是450×12%=54(万元)， 故这七天的总营业额是450+450×12%=504(万元)． 答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元． (2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x， 依题意，得：350(1+x)2=504， 解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2(不合题意，舍去)． 答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24. 如图，已知抛物线经过，，三点． （1）求该抛物线的解析式； （2）经过点B的直线交y轴于点D，交线段于点E，若． ①求直线的解析式； ②已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右侧．点R是直线上的动点，若是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）①；②（2，4）或（，） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）①过点E作EG⊥x轴，垂足为G，设直线BD的表达式为：y=k（x-4），求出直线AC的表达式，和BD联立，求出点E坐标，证明△BDO∽△BEG，得到，根据比例关系求出k值即可； ②根据题意分点R在y轴右侧时，点R在y轴左侧时两种情况，利用等腰直角三角形的性质求解即可. 【详解】解：（1）∵抛物线经过点，，，代入， ∴，解得：， ∴抛物线表达式为：； （2）①过点E作EG⊥x轴，垂足为G， ∵B（4，0）， 设直线BD的表达式为：y=k（x-4）， 设AC表达式为：y=mx+n，将A和C代入， 得：，解得：， ∴直线AC的表达式为：y=2x+4， 联立：， 解得：， ∴E（，）， ∴G（，0）， ∴BG=， ∵EG⊥x轴， ∴△BDO∽△BEG， ∴, ∵， ∴， ∴， 解得：k=， ∴直线BD的表达式为：； ②由题意：设P（s，），1＜s＜4， ∵△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形， ∴∠PQR=90°，PQ=RQ， 当点R在y轴右侧时，如图， 分别过点P，R作l的垂线，垂足为M和N， ∵∠PQR=90°， ∴∠PQM+∠RQN=90°， ∵∠MPQ+∠PQM=90°， ∴∠RQN=∠MPQ，又PQ=RQ，∠PMQ=∠RNQ=90°， ∴△PMQ≌△QNR， ∴MQ=NR，PM=QN， ∵Q在抛物线对称轴l上，纵坐标为1， ∴Q（1，1）， ∴QN=PM=1，MQ=RN， 则点P的横坐标为2，代入抛物线得：y=4， ∴P（2，4）； 当点R在y轴左侧时， 如图，分别过点P，R作l的垂线，垂足为M和N， 同理：△PMQ≌△QNR， ∴NR=QM，NQ=PM， 设R（t，）， ∴RN==QM， NQ=1-t=PM， ∴P（，2-t），代入抛物线， 解得：t=或（舍）， ∴点P的坐标为（，）， 综上：点P的坐标为（2，4）或（，）. 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数，难度较大，解题时要理解题意，根据等腰直角三角形的性质构造全等三角形. 25. 如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F． （1）如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是　　； （2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示） （3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长． 【答案】（1）AF＝AE；（2）AF＝kAE，证明见解析；（3）EG的长为或 【解析】 【分析】（1）证明△EAB≌△FAD（AAS），由全等三角形的性质得出AF＝AE； （2）证明△ABE∽△ADF，由相似三角形的性质得出，则可得出结论； （3）①如图1，当点F在DA上时，证得△GDF∽△GBA，得出，求出AG＝．由△ABE∽△ADF可得出，求出AE＝．则可得出答案； ②如图2，当点F在DC的延长线上时，同理可求出EG的长． 【详解】解：（1）AE＝AF． ∵AD＝AB，四边形ABCD矩形， ∴四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°， ∵AF⊥AE， ∴∠EAF＝90°， ∴∠EAB＝∠FAD， ∴△EAB≌△FAD（AAS）， ∴AF＝AE； 故答案为：AF＝AE． （2）AF＝kAE． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADF＝90°， ∴∠FAD+∠FAB＝90°， ∵AF⊥AE， ∴∠EAF＝90°， ∴∠EAB+∠FAB＝90°， ∴∠EAB＝∠FAD， ∵∠ABE+∠ABC＝180°， ∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ABE＝∠ADF． ∴△ABE∽△ADF， ∴， ∵AD＝kAB， ∴， ∴， ∴AF＝kAE． （3）解：①如图1，当点F在DA上时， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵AD＝2AB＝4， ∴AB＝2， ∴CD＝2， ∵CF＝1， ∴DF＝CD﹣CF＝2﹣1＝1． 在Rt△ADF中，∠ADF＝90°， ∴AF＝， ∵DF∥AB， ∴∠GDF＝∠GBA，∠GFD＝∠GAB， ∴△GDF∽△GBA， ∴ ∵AF＝GF+AG， ∴AG＝ ∵△ABE∽△ADF， ∴， ∴AE＝＝ 在Rt△EAG中，∠EAG＝90°， ∴EG＝， ②如图2，当点F在DC的延长线上时，DF＝CD+CF＝2+1＝3， 在Rt△ADF中，∠ADF＝90°， ∴AF＝． ∵DF∥AB， ∵∠GAB＝∠GFD，∠GBA＝∠GDF， ∴△AGB∽△FGD， ∴， ∵GF+AG＝AF＝5， ∴AG＝2， ∵△ABE∽△ADF， ∴， ∴， 在Rt△EAG中，∠EAG＝90°， ∴EG＝． 综上所述，EG的长为或． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 26. 综合与实践 在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验． 实践发现： 对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①． （1）折痕BM　 　（填“是”或“不是”）线段AN垂直平分线；请判断图中△ABN是什么特殊三角形？答：　 　；进一步计算出∠MNE＝　 　°； （2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN＝　 　°； 拓展延伸： （3）如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT． 求证：四边形SATA'是菱形． 解决问题： （4）如图④，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．请写出以上4个数值中你认为正确的数值　 　． 【答案】（1）是；等边三角形；60°；（2）15°；（3）见解析；（4）7、9 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°，BM垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝90°，可证△ABN是等边三角形，由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求解； （2）由折叠的性质可得∠ABG＝∠HBG＝45°，可求解； （3）由折叠的性质可得AO＝A'O，AA'⊥ST，由“AAS”可证△ASO≌△A'TO，可得SO＝TO，由菱形的判定可证四边形SATA'是菱形； （4）先求出AT的范围，即可求解． 【详解】解：（1）如图①∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合， ∴EF垂直平分AB， ∴AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°， ∵再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处， ∴BM垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝90°， ∴AB＝BN， ∴AB＝AN＝BN， ∴△ABN是等边三角形， ∴∠EBN＝60°， ∴∠ENB＝30°， ∴∠MNE＝60°， 故答案为：是，等边三角形，60； （2）∵折叠纸片，使点A落在BC边上点H处， ∴∠ABG＝∠HBG＝45°， ∴∠GBN＝∠ABN﹣∠ABG＝15°， 故答案为：15°； （3）∵折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处， ∴ST垂直平分AA'， ∴AO＝A'O，AA'⊥ST， ∵AD∥BC， ∴∠SAO＝∠TA'O，∠ASO＝∠A'TO， ∴△ASO≌△A'TO（AAS） ∴SO＝TO， ∴四边形ASA'T是平行四边形， 又∵AA'⊥ST， ∴边形SATA'是菱形； （4）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处， ∴AT＝A'T， 在Rt△A'TB中，A'T＞BT， ∴AT＞10﹣AT， ∴AT＞5， ∵点T在AB上， ∴当点T与点B重合时，AT有最大值为10， ∴5＜AT≤10， ∴正确的数值为7，9， 故答案为：7，9． 【点睛】本题考查矩形和菱形的性质和判定,关键在于结合图形,牢记概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$