精品解析：吉林省实验中学2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试卷

2024−2025学年上学期寒假成果验收 数学试卷 一、选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动6个单位长度，再向右移动3个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 学校准备设计一款女生校服，对全校女生喜欢的颜色进行了问卷调查，统计如下表所示： 颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色 学生人数 100 180 220 80 750 学校决定采用红色，可用来解释这一现象的统计知识是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 3. 如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 2025年乙巳蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，下图为春晚主标识、将两个“巳”字如图摆放，恰似中国传统的如意纹样．双巳合璧，事事如意，它采用的基本数学变换是（ ） A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 位似 5. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，原点为位似中心，且相似比为，点在轴上，若，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中不正确的是（ ） A. 是的平分线 B. C. 点D在的中垂线上 D. 7. 如图，将一把三角尺放置在量角器上，使点C与圆心重合，若，，三角尺的直角边和量角器所在圆的半径相等，点D是斜边与量角器的交点，若B点的对应刻度为，则D点的对应刻度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图象上.若直线的函数表达式为，则反比例函数表达式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题6小题，每小题3分，共18分） 9. 单项式的系数是_______． 10. 根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：_______． 11. 已知关于x的方程没有实数根，则实数k的取值范围为__________． 12. 在剪纸活动中，小花同学想用一张长方形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与长方形的边重合，如图所示，则的大小是______度． 13. 传统服饰日益受到关注，图为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，马面裙可以近似地看作扇环（图）．若长为米，裙长为米，圆心角，则的长度为______米．（结果保留） 14. 如图，的对角线，交于点，平分，交于点E，且，，连接；下列结论：①；②；③；④，其中成立的有_____． 三、解答题：（本题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 不透明的袋子中装有2个白球、1个黑球，这些球除颜色外无其他差别． （1）从袋子中摸出1个球，则“摸到白球”是__________事件．（选填“随机”、“不可能”或“必然”） （2）从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球，用列表或画树状图的方法，求两次摸出的球都是白球的概率． 17. 长春冰雪新天地是美丽春城的一道亮丽的风景线，它的设计和造型每年都有变化．某工程公司承担了为某项建设取吨冰块的任务，在2021由于任务紧急，实际取冰时的工作效率比原计划提高了，结果提前1天完成任务，该公司原计划每天取冰块多少吨？ 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点均是格点．的顶点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上找到点，连结，使为中边上的中线； （2）在图②中的边上找到点，连结，使； （3）在图③中的边上找到点，连结，使． 19. 发图，在中，，是边上的中线，． （1）求四边形是菱形； （2）若，则的值为____________． 20. 某校兴趣小组在学科实践活动中，从市场上销售的A，B两个品种的花生仁中各随机抽取30粒，测量其长轴长度，然后对测量数据进行了收集、整理和分析．下面是部分信息． a．两种花生仁的长轴长度统计表： 花生仁长轴长度（mm） 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 A品种花生仁粒数 5 10 6 7 2 0 0 0 0 0 B品种花生仁粒数 0 0 2 3 6 4 5 4 4 2 b.两种花生仁的长轴长度的平均数、中位数、众数、方差如下： 平均数 中位数 众数 方差 A品种花生仁 a 13.5 c 1.4 B品种花生仁 17.5 b 16 3.9 根据以上信息，回答下列问题： （1）兴趣小组的同学在进行抽样时，以下操作正确的是_________（填序号）； ①从数量足够多的两种花生仁中挑取颗粒大的各30粒； ②将数量足够多的两种花生仁分别放在两个不透明的袋子中，摇匀后从中各取出30粒； （2）写出a，b，c的值； （3）学校食堂准备从A，B两个品种的花生仁中选购一批做配菜食材，根据菜品质量要求，花生仁大小要均匀，那么兴趣小组应向食堂推荐选购_____（填“A”或“B”）品种花生仁，理由是_______________________ 21. 用甲、乙两个机器加工一批零件，两个机器同时开始加工，加工一段时间后，甲机器进行检修，乙机器以原来的效率加工，检修结束后，甲机器提高工作效率继续加工，两个机器共用了完成任务，两个机器加工的零件总数（件）与乙机器加工时间之间的函数图象如图所示． （1）乙机器的工作效率是______件，甲机器提速后的工作效率是______件； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）当甲机器加工个零件时，的值为______． 22. 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动． （1）操作判断 如图1，正方形纸片，在边上任意取一点，连接，过点作于点，与边交于点．根据以上操作，请直接写出图1中线段与线段的关系． （2）迁移探究 小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下： 如图2，在矩形纸片中，，在边上任意取一点，连接，过点作于点，与边交于点，请求出线段与的关系，并说明理由． （3）拓展应用 如图3，已知正方形纸片的边长为2，动点由点向终点做匀速运动，动点由点向终点做匀速运动，动点、同时开始运动，且速度相同，连接、，交于点，连接，则线段长度的最小值为______，点的运动轨迹的长为______．（直接写出答案不必说明理由） 23. 如图，在中，，点从点出发，沿射线方向以每秒5个单位长度的速度向终点运动．当点不与点重合时，将线段绕点旋转使（点在点右侧），过点作交射线于点．设点运动的时间为． （1）的长为_____________（用含的代数式表示）； （2）求点落在边上时的值； （3）设与重叠部分的面积为，若与重叠部分的图形为三角形，且时，求的值； （4）当点落在的中线上时，直接写出的值． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）的对称轴为直线，与轴交于点点．、在抛物线上，其横坐标分别为． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）若，当点、的纵坐标之差为1时，求点的坐标； （3）该抛物线在点、之间的部分〔包括、两点）记作图像．设图像上的点的纵坐标为，当时，求的值； （4）过点作直线轴，将该抛物线在点右侧的部分沿直线翻折，得到的图像与该抛物线在点及点左侧的图像组成一个新图像记作图像．当直线与图像有三个公共点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024−2025学年上学期寒假成果验收 数学试卷 一、选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动6个单位长度，再向右移动3个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数， 数轴上点的平移，有理数的加减混合运算等知识点，熟练掌握数轴上“左减右加”的平移规律是解题的关键． 根据“左减右加”的平移规律可知上述过程为，再利用有理数的加减混合运算法则即可求解． 【详解】解：根据题意，得：， 故选：C． 2. 学校准备设计一款女生校服，对全校女生喜欢的颜色进行了问卷调查，统计如下表所示： 颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色 学生人数 100 180 220 80 750 学校决定采用红色，可用来解释这一现象的统计知识是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数及方差的有关知识，掌握相关概念是解题的关进． 【详解】解：喜欢红色的学生最多，是这组数据的众数， 故选：C． 3. 如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据左视图是从左边看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从左边看该几何体，上面一层左边是1个小正方形，下面一层是2个小正方形，如图所示： 故选：A． 【点睛】本题主要考查了简单几何组合体的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键． 4. 2025年乙巳蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，下图为春晚主标识、将两个“巳”字如图摆放，恰似中国传统的如意纹样．双巳合璧，事事如意，它采用的基本数学变换是（ ） A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 位似 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转变换的性质，利用旋转变换的性质解决问题即可． 【详解】解：由图可知：春晚主标识是中心对称图形，可以由一个“巳”绕中心顺时针旋转得到另一个“巳”． 故选：B． 5. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，原点为位似中心，且相似比为，点在轴上，若，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换、相似三角形的判定与性质，根据位似变换的性质得出，求出，，再根据位似变换的性质得出，得出，从而得出，求出、的长即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：正方形与正方形是位似图形，原点为位似中心， ， 相似比为，， ， ， ， 正方形与正方形是位似图形，原点为位似中心， ， 相似比为， ， ， ，， 点的坐标是， 故选：C． 6. 如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中不正确的是（ ） A. 是的平分线 B. C. 点D在的中垂线上 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作图可知：是的平分线，由此判断A正确；先求得，由是的平分线，求得，即可得到，判断B正确；过点D作于E，根据，证得是等腰三角形，得到，即可判断C正确；证明，得到，根据等底同高得到，即可得到，判断D错误． 【详解】解：由题意得：是的平分线，故A正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； 过点D作于E， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴点在的中垂线上，故C正确，不符合题意； ∵是的平分线，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查角平分线的作图方法及性质应用，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，熟练掌握各部分知识并综合应用是解题的关键． 7. 如图，将一把三角尺放置在量角器上，使点C与圆心重合，若，，三角尺的直角边和量角器所在圆的半径相等，点D是斜边与量角器的交点，若B点的对应刻度为，则D点的对应刻度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，关键是由等边三角形的性质得到． 连接，由，，推出是等边三角形，得到，由点的对应刻度为，即可求出点的对应刻度． 【详解】解：连接， ，， 是等边三角形， ， 点的对应刻度为， 点的对应刻度是． 故选：． 8. 如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图象上.若直线的函数表达式为，则反比例函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线与坐标轴的交点坐标，过A作轴于E，过C作轴于F，证明，推出，，再证，推出，设，，则，，根据反比例函数图象上点的坐标特征，可得，求出a值即可． 【详解】解：设直线与y轴的交点为G， 在中，令，得，解得， 令，得， ，， 如图，过A作轴于E，过C作轴于F， 四边形是正方形， ，， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ，即， ， 设，， ，， ，， 点，点在反比例函数图象上， ， 解得，（不合题意，舍去）， ， ， ∴反比例函数表达式为， 故选A． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，求反比例函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，涉及知识点较多，难度一般，掌握一线三等角模型，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题：（本大题6小题，每小题3分，共18分） 9. 单项式的系数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查单项式的定义，熟知单项式的定义是解本题的关键，由数和字母的积组成的代数式叫做单项式，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．根据单项式的定义即可得到答案． 【详解】解：单项式的系数是， 故答案为：． 10. 根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出独立图形的面积和，组合图形的面积，面积不变得等式，即为所求． 【详解】解：四个独立图形的面积和： 组合图形面积： ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查长方形的面积，因式分解定义，理解因式分解的定义是解题的关键． 11. 已知关于x的方程没有实数根，则实数k的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程没有实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 在剪纸活动中，小花同学想用一张长方形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与长方形的边重合，如图所示，则的大小是______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角与外角，正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和公式是解题的关键． 根据正五边形的内角和公式和邻补角的性质即可得到结论． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 传统服饰日益受到关注，图为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，马面裙可以近似地看作扇环（图）．若长为米，裙长为米，圆心角，则的长度为______米．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，由题意知，求得米，然后根据弧长公式计算求解即可，掌握弧长公式的应用是解题的关键． 【详解】解：∵长为米， ∴， ∴（米）， ∴（米） ∴的长度为米， 故答案为：． 14. 如图，的对角线，交于点，平分，交于点E，且，，连接；下列结论：①；②；③；④，其中成立的有_____． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】结合平行四边形的性质可证明为等边三角形，由可判断①，证明，可判断②，由平行四边形面积公式可判断③，利用三角形中线的性质结合三角形面积公式可判断④． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 为等边三角形 ， ， ， ∴， ∵， ， ，故①正确； ， ， ， ，故②错误； ∵， ∴， ，故③正确； ， 是中点， ， ， ∴ ， ，故④正确； 综上分析可知：正确的有①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线性质、等边三角形的判断与性质等知识，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题关键． 三、解答题：（本题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值，直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案． 【详解】解： ， 当时，原式 16. 不透明的袋子中装有2个白球、1个黑球，这些球除颜色外无其他差别． （1）从袋子中摸出1个球，则“摸到白球”是__________事件．（选填“随机”、“不可能”或“必然”） （2）从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球，用列表或画树状图的方法，求两次摸出的球都是白球的概率． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】（1）根据事件分类判定即可； （2）画出树状图，求解即可． 【小问1详解】 解：从袋子中随机摸出1个球，“摸到白球”是随机事件； 故答案为：随机 【小问2详解】 解：画树状图如下： 一共有9种等可能的情况，其中两次摸出的球都是白球的概率为4种， 两次摸出的球都是白球的概率为． 【点睛】本题考查了事件分类，列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率． 17. 长春冰雪新天地是美丽春城的一道亮丽的风景线，它的设计和造型每年都有变化．某工程公司承担了为某项建设取吨冰块的任务，在2021由于任务紧急，实际取冰时的工作效率比原计划提高了，结果提前1天完成任务，该公司原计划每天取冰块多少吨？ 【答案】原计划每天取冰块吨 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是设公司原计划每天取冰块x吨，根据“取吨冰块，实际取冰时的工作效率比原计划提高了，结果提前1天完成任务”列分式方程，解方程即可求解． 【详解】解：设公司原计划每天取冰块x吨．根据题意，得： ． 解得． 经检验：是原方程的解，且符合题意． 答：公司原计划每天取冰块吨． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点均是格点．的顶点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上找到点，连结，使为中边上的中线； （2）在图②中的边上找到点，连结，使； （3）在图③中的边上找到点，连结，使． 【答案】（1）如图点D就是所求的点； （2）如图点E就是所求的点； （3）如图点F就是所求的点． 【解析】 【分析】本题考查了网格作图，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，三角函数，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取格点，连接，交于点，利用矩形的性质得到点是的中点即可； （2）取格点，连接交于点，连接，得到，可得，即可得； （3）取格点，连接交于点，在网格中，可得． 【小问1详解】 解：取格点，连接，交于点，连接，如图： 在网格中，是矩形，是两条对角线， ∴， ∴点D就是所求的点，使为中边上的中线． 【小问2详解】 解：取格点，连接交于点，连接，如图： 在网格中格线平行，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴点E就是所求的点，使； 【小问3详解】 解：取格点，连接交于点， 在网格中，， ∴， ∴点F就是所求的点，使． 19. 发图，在中，，是边上的中线，． （1）求四边形是菱形； （2）若，则的值为____________． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，，是边上的中线， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据斜边上的中线等于斜边的一半，得到，即可得证； （2）根据菱形的性质，得到，勾股定理求出的长，根据正切的定义，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，求正切值，直角三角形斜边上的中线以及勾股定理．熟练掌握菱形的判定方法，正切的定义，是解题的关键． 20. 某校兴趣小组在学科实践活动中，从市场上销售的A，B两个品种的花生仁中各随机抽取30粒，测量其长轴长度，然后对测量数据进行了收集、整理和分析．下面是部分信息． a．两种花生仁的长轴长度统计表： 花生仁长轴长度（mm） 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 A品种花生仁粒数 5 10 6 7 2 0 0 0 0 0 B品种花生仁粒数 0 0 2 3 6 4 5 4 4 2 b.两种花生仁的长轴长度的平均数、中位数、众数、方差如下： 平均数 中位数 众数 方差 A品种花生仁 a 13.5 c 1.4 B品种花生仁 17.5 b 16 3.9 根据以上信息，回答下列问题： （1）兴趣小组的同学在进行抽样时，以下操作正确的是_________（填序号）； ①从数量足够多的两种花生仁中挑取颗粒大的各30粒； ②将数量足够多的两种花生仁分别放在两个不透明的袋子中，摇匀后从中各取出30粒； （2）写出a，b，c的值； （3）学校食堂准备从A，B两个品种的花生仁中选购一批做配菜食材，根据菜品质量要求，花生仁大小要均匀，那么兴趣小组应向食堂推荐选购_____（填“A”或“B”）品种花生仁，理由是_______________________ 【答案】（1）② （2），， （3）A，A的方差小于B的方差． 【解析】 【分析】（1）抽样时应当尽量避免主观因素的影响据此即可解答； （2）根据平均数、中位数、众数的定义求解即可； （3）根据方差的意义即可解答． 【小问1详解】 解：抽样时应当尽量避免主观因素的影响，则②符合题意． 故答案为②． 【小问2详解】 解：A品种花生仁的平均数为：； A品种花生仁的样本中13出现了10次，次数最多，则众数为； B品种花生仁的样本有30个数据，从小到大排列处于中间为第15和第16的数据分别是17,18，则中位数为． 【小问3详解】 解：由于菜品质量要求，花生仁大小要均匀，即数据波动小，方差小；因为A品种花生仁的方差1.4小于B品种花生仁的方差,则应选A． 故答案为：A，A的方差小于B的方差． 【点睛】本题主要考查了抽样调查、平均数、中位数、众数、方差等知识点，理解平均数、中位数、众数、方差的意义是解答本题的关键． 21. 用甲、乙两个机器加工一批零件，两个机器同时开始加工，加工一段时间后，甲机器进行检修，乙机器以原来的效率加工，检修结束后，甲机器提高工作效率继续加工，两个机器共用了完成任务，两个机器加工的零件总数（件）与乙机器加工时间之间的函数图象如图所示． （1）乙机器的工作效率是______件，甲机器提速后的工作效率是______件； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）当甲机器加工个零件时，的值为______． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查从函数图像中获取信息，一次函数的应用，一元一次方程的应用， （1）由函数图像列式可得甲和乙的工作效率； （2）当时，设与之间的函数关系式为，再将和代入得到关于、的二元一次方程组，求解可得答案； （3）先求出甲机器提速后的工作效率，然后根据题意列出关于的方程即可； 解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和方程． 【小问1详解】 解：∵（件） ∴乙的工作效率是件， ∵（件） ∴甲机器提速后的工作效率是件， 故答案为：；； 【小问2详解】 设当时，关于的函数解析式为， 将和代入得： ， 解得：， ∴与之间的函数关系式为；； 【小问3详解】 甲机器提速前的工作效率：，甲机器提速后的工作效率：， 依题意，得：， 解得：， ∴甲机器加工个零件时，所需时间为，的值为． 故答案为：． 22. 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动． （1）操作判断 如图1，正方形纸片，在边上任意取一点，连接，过点作于点，与边交于点．根据以上操作，请直接写出图1中线段与线段的关系． （2）迁移探究 小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下： 如图2，在矩形纸片中，，在边上任意取一点，连接，过点作于点，与边交于点，请求出线段与的关系，并说明理由． （3）拓展应用 如图3，已知正方形纸片的边长为2，动点由点向终点做匀速运动，动点由点向终点做匀速运动，动点、同时开始运动，且速度相同，连接、，交于点，连接，则线段长度的最小值为______，点的运动轨迹的长为______．（直接写出答案不必说明理由） 【答案】（1） （2），理由： ∵四边形是矩形， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）； 【解析】 【分析】（1）由四边形是正方形，得，进一步可得，所以，结论得证． （2）由四边形是矩形，得，进一步可证，所以，于是，证得.　 （3）取的中点，连接，，由（1）可得，可证，； 中，勾股定理求得；由得的最小值是；由，知、、三点共圆，所以点在以点为圆心，在以半径为1的圆上运动，进而求得运动轨迹的长为． 【小问1详解】 ∵四边形是正方形， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，取的中点，连接，， 由题意知，， 由（1）可得， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴， 在中，； 在中， ∵， ∴的最小值是， ∵， ∴、、三点共圆， ∴点在以点为圆心，在以半径为1的圆上运动， ∴点的运动轨迹的长为：， 故答案为：； 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形判定和性质、相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线性质，两点之间线段最短；合理添设辅助线，借助图中合适的定点运用两点之间线段最短是解题的关键． 23. 如图，在中，，点从点出发，沿射线方向以每秒5个单位长度的速度向终点运动．当点不与点重合时，将线段绕点旋转使（点在点右侧），过点作交射线于点．设点运动的时间为． （1）的长为_____________（用含的代数式表示）； （2）求点落在边上时的值； （3）设与重叠部分的面积为，若与重叠部分的图形为三角形，且时，求的值； （4）当点落在的中线上时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识， （1）由，可得，可求得； （2）由，可得，由此构建方程即可解决问题； （3）分三种情形：①如图1中，当时，重叠部分是；②如图4中，时，重叠部分是．分别列方程求解即可； （4）分三种情况讨论，分别求解即可． 【小问1详解】 如图1中，由题意可知： 在中，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【小问2详解】 如图2中，点落在边上时， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 ， ， 当时， ∵， ∴， 解得：， ①如图1中，当时，重叠部分是， 由（1）得：， ， ， 解得：； ②如图2中，当时，重叠部分是四边形，不是三角形，不合题意； ③如图3中，时，重叠部分是， 则， ， ， ， ， ， ， 或（舍去） 综上所述，或； 【小问4详解】 如图，当点落在边上的中线上时， 可得， ， ， ， ， ； 如图，当点落在边上的中线上时， 可得， ， ， ， ， ； 如图，当点落在边上的中线上时， 可得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 无解； 综上所述，当点落在的中线上时，或． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）的对称轴为直线，与轴交于点点．、在抛物线上，其横坐标分别为． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）若，当点、的纵坐标之差为1时，求点的坐标； （3）该抛物线在点、之间的部分〔包括、两点）记作图像．设图像上的点的纵坐标为，当时，求的值； （4）过点作直线轴，将该抛物线在点右侧的部分沿直线翻折，得到的图像与该抛物线在点及点左侧的图像组成一个新图像记作图像．当直线与图像有三个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线关于直线对称和与y轴交于点即可求得b、c的值，从而求得抛物线对应的函数表达式； （2）根据点B横坐标求得点B纵坐标，根据点A、B的纵坐标之差为1，列方程，解方程即可求解； （3）根据抛物线关于直线对称可得其顶点坐标为，开口向下，故其纵坐标不会，要，则只需要B、C纵坐标即可，根据B、C横坐标和抛物线函数表达式可求得B、C纵坐标，根据不等式，结合一元二次方程求解，即可解题； （4）根据抛物线的图象和翻折与对称轴的性质可知，要直线与图象N有三个公共点，故点B坐标不能为抛物线顶点，考虑点B在直线两侧的情况，结合二次函数与一元二次方程及不等式求解，即可解题． 【小问1详解】 解：物线（b、c为常数）的对称轴为直线，与y轴交于点， ，， ， 抛物线对应的函数表达式为； 【小问2详解】 解：点、在抛物线上，其横坐标分别为， 将m其代入得：， 点B的纵坐标为：， 当，当点A、B的纵坐标之差为1时可得： ，解得：或（舍去）， 当时， 点B的坐标为； 【小问3详解】 解：由（1）可知，抛物线对应的函数表达式为，其对称轴为直线， 其函数图象开口向下，顶点为， ，，， ， 点B、C在抛物线上，其横坐标分别为m，，要使图象M上的点的纵坐标范围为，可得或， 当时，解得（舍去）或 当时，解得（舍去）或 综上所述，当时，或； 【小问4详解】 解：点B在抛物线上，其横坐标分别为m，抛物线对应的函数表达式为， 点的坐标为， 要直线与图象N有三个公共点，则点B不在的顶点上， 当点B在抛物线的对称轴左侧时，则， 又顶点为， ∵，设关于对称的点为 则，即 ∴ 解不等式①得：或（舍去） 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 当点B在抛物线的对称轴右侧时，有， 此时有 解不等式③得：（舍去）或 解不等式④得： ∴不等式组的解集为： 综上所述，m的取值范围为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，求抛物线的解析式，二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式，二次函数图象与一次函数的交点情况，翻折与对称轴的性质，坐标与图形，解题的关键是熟练运用相关知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $