精品解析：北京市顺义区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

北京市顺义区2024~2025学年第一学期期末质量监测 高一数学试卷 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题共40分） 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由交集运算即可求解； 【详解】， 所以， 故选：B 2. 下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的定义及结合指数函数，对数函数，余弦函数的单调性分别判断各个选项即可. 【详解】对于A：函数在上单调递减，A选项错误； 对于B：函数定义域为关于原点对称，且， 所以是奇函数不是偶函数，B选项错误； 对于C：函数在单调递减，C选项错误； 对于D：函数定义域为关于原点对称， 且，所以为偶函数， 时，单调递增，D选项正确； 故选：D. 3. 命题，都有，则命题的否定为（ ） A. ，使得 B. ，都有 C. ，使得 D. ，都有 【答案】C 【解析】 【分析】由全称命题的否定，可得答案. 【详解】由题意可得. 故选：C. 4. 已知实数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图可得，应用不等式性质及特殊值法逐一分析选项，即可得答案. 【详解】对于A：因为，左右乘以，所以， 所以，故A正确； 对于B：由图可得，左右乘以，所以，所以B错误； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：因为，取，所以，故D错误， 故选：A 5. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过和中间量1和0的比较即可求解； 【详解】， 所以， 故选：C 6. 函数的零点所在的大致区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分别计算各选项区间端点处函数值，再根据零点存在定理判断零点所在区间. 【详解】将代入函数， .  把代入函数，则.  由于，，满足，且内图像连续，根据零点存在定理可知函数在区间内有零点. 故A正确. 将代入函数，得到.  因为，，则，所以函数在区间不一定有零点.  把代入函数，可得.  由于，，即，所以函数在区间内不一定有零点.  将代入函数，得到.  因为，，则，所以函数在区间内不一定有零点.  再由于中，时，单调递增，单调递增，则时，随着变大增大. 综上所得，函数的零点所在的大致区间是， 故选：A 7. 已知均为第二象限角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知角所在象限，分析余弦值大小关系与正弦值大小关系之间的逻辑联系 【详解】在第二象限，余弦函数值是负数且单调递减，正弦函数值是正数且单调递减. 已知α，β均为第二象限角，当时，根据余弦函数在第二象限的单调性可知 .  因为正弦函数在第二象限单调递减，当时，可得. 这说明由可以推出.  当时，根据正弦函数在第二象限单调递减可知，再根据余弦函数在第二象限单调递减，可得. 说明由也可以推出. 所以“”是“”的充分必要条件.  故选：C 8. 通过科学研究发现：地震时释放的能里（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9.2级地震，2019年乙地发生里氏7.4级地震，若甲，乙两地地震释放能量分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数、对数运算求得正确答案. 【详解】根据题意:,, 所以. 故选：D 9. 给出下列四个结论，其中正确的是（ ） A. 若为第一象限角，且，则 B. 函数的定义域为 C. 函数在上的最大值为 D. 函数的最小正周期为 【答案】B 【解析】 【分析】AC，可通过特殊值验证判断，B通过整体代换可判断，D由周期公式可判断； 【详解】对于A，，满足第一象限角，而，错； 对于B，由，可得，故定义域为，对； 对于C：当时，函数值为：，错； 对于D：由周期公式可知最小正周期为，错； 故选：B 10. 对于函数，若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”.若函数是“2阶准偶函数”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别讨论不同情况下在时的解的情况，再根据恰有个元素这一条件得出的取值范围. 【详解】当时，，即. 因为，且. 若，当时： 对于，令，，，，， 通过分析函数与的图象可知，在时，最多有个解. 要使中恰有个元素，则（且）必须有一个解，（且）必须有一个解. 由（），通过分析函数与的图象，当时满足恰有个解. 若，当时，与相等的情况会使得满足且的元素个数多于个. 综上所得，的取值范围是， 故选：B. 第二部分（非选择题共110分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数定义域求法解决即可. 【详解】由题知，函数， 所以，解得， 所以定义域为， 故答案为： 12. 已知幂函数的图象过点，则 ____________ 【答案】3 【解析】 【分析】设出函数解析式，由已知点求得参数值得解析式，然后代入计算． 【详解】设，则，，即， ∴． 故答案为：3. 13. 已知函数，那么当__________时，函数取得最小值且最小值为__________. 【答案】 ①. 2 ②. 5 【解析】 【分析】应用基本不等式计算最小值及根据取等条件求x的值. 【详解】因， 所以函数， 当且仅当，即时取最小值5. 故答案为：2；5. 14. 若点关于x轴的对称点为，则角α的一个取值为________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据关于x轴的对称的性质，结合正弦（余弦）值相等的性质进行求解即可. 【详解】因为点关于x轴的对称点为， 所以有， 由可得：， 由可得：或， 显然无实数解， 由， 于是当时，即，符合题意， 故答案为：（答案不唯 一）. 15. 已知函数，给出下列四个结论： ①函数的图象经过原点但不关于原点对称； ②是周期函数且在区间上单调递增； ③函数的图象是轴对称图形； ④函数有最大值也有最小值，且最大值为1. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】验证和即可判断①，令，，可知为周期函数，不是周期函数即可判断②，验证即可判断③，由得的最大值，当时，，即有最小值即可判断④. 【详解】由有：，故①正确； 令，周期为，令，可知不是周期函数，所以不是周期函数，故②错误； ，所以， 所以，故的图像关于对称，故③正确； 由，当时，， 又因为是连续函数，当时，，所以有最小值， 即函数有最大值也有最小值，且最大值为1，故④正确； 故答案为：①③④. 三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知全集，集合. （1）若，求集合； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）求出，结合并集概念计算；（2）求出，结合交集概念和得到取值范围. 【小问1详解】 由，解得或， 可得或， 若，则，所以或. 小问2详解】 由（1）知可得或， 所以， 又因为，若， 则实数的取值范围是. 17. 已知函数的图象过点. （1）求及的最小正周期； （2）求的单调递增区间. 【答案】（1），最小正周期为 （2）单调递增区间为 【解析】 【分析】（1）代入即可求，由周期公式可求最小正周期； （2）通过整体代换法，即可求解； 【小问1详解】 因为的图象过点， 所以即 化简得即所以. 的最小正周期： 【小问2详解】 由（1）可知 令，因为的单调递增区间为, 所以令 解得 所以的单调递增区间为 18. 在平面直角坐标系中，角和角的顶点均与坐标原点重合，始边均为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于两点，且两点关于轴对称. （1）若点的纵坐标为，求的值； （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)先利用任意角的三角函数的定义求出再利用诱导公式化简，代值计算可得. (2)根据的范围求出，进而得到，再根据角的范围求最小值. 【小问1详解】 因为点的纵坐标为， 所以.又. 因为， 所以 【小问2详解】 因为，所以.所以. 所以. 所以当时，取最小值为. 19. 已知函数，且函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）设函数，判断函数在区间上的单调性，并证明你的判断； （3）设函数，写出函数的零点个数.（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）函数区间上单调递增，证明见解析 （3）2个零点 【解析】 【分析】(1)根据奇函数定义，由，代入计算可求得； (2)利用函数单调性的定义证明函数的单调性； (3)借助函数奇偶性和单调性可得零点的个数. 【小问1详解】 令，解得，所以函数的定义域为. 由于函数是奇函数， 所以函数在其定义域内满足， 则. 整理得：， 注意到对任意的上式均成立，可得，解得. 【小问2详解】 因为，可知函数在区间上单调递增. 证明如下（方法一）： 对任意，且， 则. 因为， 可得，即 所以函数在区间上单调递增. 证明单调性（方法二）： 对任意，且， 则 因为， 可得，即， 所以函数在区间上单调递增. 【小问3详解】 由题意得, 根据第(2)小问得在区间上单调递增， 又函数在区间上单调递增，所以在区间上单调递增， 当时，， 当时，， 根据零点存在定理得在区间上存在一个零点， 同理可得在区间上存在一个零点， 所以函数有2个零点. 20. 某学校鼓励学生利用课余时间积极参加体育锻炼，学生每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分标准，建立一个学生每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系.满足的条件如下： ①函数是区间上的增函数； ②每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； ③每天运动时间为10分钟时，当天得分为2分； ④每天运动时间为30分钟时，当天得分不超过5分. 现有以下三个函数模型供选择：①②③ （1）请你根据条件从中选择一个合适的函数模型（不必说明理由），并求出函数的解析式； （2）若每位学生每天得分不少于5分，求该学生每天至少需要锻炼的时间.（注：，结果保留整数）. 【答案】（1）②， （2）该学生每天至少篅要锻炼47分钟 【解析】 【分析】（1）选择模型①②③，利用函数图象过的点求出，再验证即可得解. （2）由（1）所得解析式，建立不等式并求解即得. 【小问1详解】 选择模型①，由函数过点，得，则， 当时，，不符合题意； 选择模型③，由函数过点，得，则， 当时，，不符合题意； 选择模型②，由函数过点，得，解得， 此时函数的解析式为，当时，，符合题意， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 由（1）知，由每位学生每天得分不少于5分， 得，即，则， 解得， 所以若每位学生每天得分不少于5分，该学生每天至少篅要锻炼47分钟. 21. “函数图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有”.若函数的图象关于点对称，且当时，. （1）求的值； （2）设函数. （i）证明函数的图象关于点对称； （ii）若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）2 （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）直接将和代入的表达式求出与，再求和. （2）（i）要证明函数的图象关于点对称，需利用函数图象关于点对称的性质进行证明.（ii）先求出在的值域，再根据条件得出在的值域与在的值域的关系，进而求出的取值范围. 【小问1详解】 解：因为函数的图象关于点对称， 所以，所以 【小问2详解】 （i）因为， 所以. 所以， 即对任意，都有成立 故的图象关于点对称； （ii）因为，所以在区间上单调递增， 所以在区间上的值域为. 记在上的值域为集合在上的值域为集合. 由于对任意，总存在，使得成立， 所以. 由的对称性可知，只需 ①当，即时，函数在上单调送增， 因为，所以 所以. ②当，即时，在上单调遂减，在上单调递增， 因为，所以，即 解得，又因为 所以. ③当，即时，函数在上单调递减， 所以， 结合，得. 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市顺义区2024~2025学年第一学期期末质量监测 高一数学试卷 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题共40分） 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3. 命题，都有，则命题的否定为（ ） A. ，使得 B. ，都有 C. ，使得 D. ，都有 4. 已知实数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的零点所在的大致区间是（ ） A B. C. D. 7. 已知均为第二象限角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 通过科学研究发现：地震时释放的能里（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9.2级地震，2019年乙地发生里氏7.4级地震，若甲，乙两地地震释放能量分别为，则（ ） A B. C. D. 9. 给出下列四个结论，其中正确的是（ ） A. 若为第一象限角，且，则 B. 函数的定义域为 C. 函数在上的最大值为 D. 函数的最小正周期为 10. 对于函数，若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”.若函数是“2阶准偶函数”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共110分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是___________. 12. 已知幂函数的图象过点，则 ____________ 13. 已知函数，那么当__________时，函数取得最小值且最小值为__________. 14. 若点关于x轴的对称点为，则角α的一个取值为________. 15. 已知函数，给出下列四个结论： ①函数的图象经过原点但不关于原点对称； ②是周期函数且在区间上单调递增； ③函数的图象是轴对称图形； ④函数有最大值也有最小值，且最大值为1. 其中所有正确结论的序号是__________. 三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16 已知全集，集合. （1）若，求集合； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知函数的图象过点. （1）求及最小正周期； （2）求的单调递增区间. 18. 在平面直角坐标系中，角和角的顶点均与坐标原点重合，始边均为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于两点，且两点关于轴对称. （1）若点的纵坐标为，求的值； （2）若，求的最小值. 19. 已知函数，且函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）设函数，判断函数在区间上的单调性，并证明你的判断； （3）设函数，写出函数零点个数.（结论不要求证明） 20. 某学校鼓励学生利用课余时间积极参加体育锻炼，学生每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分标准，建立一个学生每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系.满足的条件如下： ①函数是区间上的增函数； ②每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； ③每天运动时间为10分钟时，当天得分为2分； ④每天运动时间为30分钟时，当天得分不超过5分. 现有以下三个函数模型供选择：①②③ （1）请你根据条件从中选择一个合适的函数模型（不必说明理由），并求出函数的解析式； （2）若每位学生每天得分不少于5分，求该学生每天至少需要锻炼的时间.（注：，结果保留整数）. 21. “函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有”.若函数的图象关于点对称，且当时，. （1）求的值； （2）设函数. （i）证明函数的图象关于点对称； （ii）若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$